最新人教版-21章-一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、精品文檔21 章一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等號(hào)兩邊是整式，含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的方程叫做一元二次方程。注意：（1）一元二次方程必須是一個(gè)整式方程；（ 2）只含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 ；（4）二次項(xiàng)系數(shù)不能等于 0 2、一元二次方程的一般形式： ax 2 bx c 0(a 0) ，它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù) x 的二次三項(xiàng)式，等式右邊是零，其中 ax 2 叫做二次項(xiàng)， a 叫做二次項(xiàng)系數(shù)； bx 叫做一次項(xiàng)， b 叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c 叫做常數(shù)項(xiàng)。注意：（1）二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面

2、的符號(hào)。（2）要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般形式。（3）形如 ax2bxc0 不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng)a0 時(shí)是一元二次方程。二、 一元二次方程的解使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解， 如：當(dāng) x 2 時(shí)，x 2 3 x 2 0 所以 x 2 是 x 2 3 x 2 0 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 一元二次方程有兩個(gè)根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接開(kāi)平方法 :直接開(kāi)平方法理論依據(jù)：平方根的定義。利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。根據(jù)平方根的定義可知，xa 是 b

3、 的平方根，當(dāng) b0 時(shí)，xab ，x ab ，當(dāng) b<0 時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。三種類型：（ 1） x 2a a0的解是 xa ；精品文檔精品文檔（ 2） xm 2n n0的解是 xnm ；（3） mxn 2c m0 , 且 c0 的解是 xcn 。m2、配方法 :配方法的理論根據(jù)是完全平方公式 a2 2ab b 2 (a b) 2 ，把公式中的 a 看做未知數(shù) x，并用 x 代替，則有 x2 2bx b2 ( x b) 2 。（一）用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1 的一元二次方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1 的一元二次方程的步驟：（ 1）把一元二次方程化成一般形式（ 2）在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)

4、絕對(duì)值的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；（ 3）把原方程變?yōu)?x m 2 n 的形式。（ 4）若 n 0 ，用直接開(kāi)平方法求出 x 的值，若 n0，原方程無(wú)解。（二）用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1 的一元二次方程當(dāng)一元二次方程的形式為ax 2bxc0 a0, a1 時(shí)，用配方法解一元二次方程的步驟：（ 1）把一元二次方程化成一般形式(2) 先把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為 1：方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)；（ 3）在方程的左、右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半的平方把原方程化為 x m 2 n 的形式；（ 4）若 n 0 ，用直接開(kāi)平方法或因式分解法解變形后的方程。3、公式法公式法是用求

5、根公式解一元二次方程的解的方法， 它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax 2bxc0(a0) 的求根公式：精品文檔精品文檔xbb24ac (b24ac 0)2a用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為 ax 2bxc 0 a 0 的形式，確定的值 a, b.c（注意符號(hào)）；（2）求出 b24ac 的值；并判斷方程根的情況；（ 3 ） 若 b 24ac0 ， 則 把 a, b. 及 b 24ac 的 值 代 人 求 根 公 式xbb 24ac ，求出 x1 , x2 。2a4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常

6、用的方法。因式分解法的理論依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于0，即若 pq=0 時(shí)，則 p=0 或 q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為 0（即化為一般式）；（2）將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。（3）令每個(gè)因式分別為 0，得兩個(gè)一元一次方程。 （4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點(diǎn)：（ 1）要將方程右邊化為 0（即化為一般式）；（ 2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法。注意：一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開(kāi)平方法

7、或因式分解法， 不能用這兩種特殊方法時(shí)， 再選用公式法， 沒(méi)有特殊要求， 一般不采用配方法， 因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。三、一元二次方程根的判別式一元二次方程ax 2bxc0( a0) 中， b24ac 叫做一元二次方程ax 2bxc0(a0) 的根的判別式， 通常用“”來(lái)表示，即b24acI當(dāng) >0 時(shí)，一元二次方程有2 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；精品文檔精品文檔II 當(dāng) =0 時(shí)，一元二次方程有 2 個(gè)相同的實(shí)數(shù)根；III 當(dāng) <0 時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式；確定 a,b.c 的值；計(jì)算 b 24ac 的值；根

8、據(jù) b 24ac 的符號(hào)判定方程根的情況。根的判別式的逆用在方程 ax2bxc 0 a 0 中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b24ac 0（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b24ac =0（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根b24ac 0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0 這一條件。四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）如果方程 ax 2bxc0(a0) 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1， x2 ，那么 x1x2b ， x1 x2 c 。aa也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系

9、數(shù)所得的商。五、一元二次方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（ 1） 審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（ 4）解方程，（5）檢驗(yàn)，（6）作答。關(guān)鍵點(diǎn)：找出題中的等量關(guān)系。(1) “審”指讀懂題目、審清題意，明確已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系這一步是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)；精品文檔精品文檔(2) “設(shè)”是指設(shè)元，設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元，所謂直接設(shè)元就是問(wèn)什么設(shè)什么，間接設(shè)元雖然所設(shè)未知數(shù)不是我們所要求的，但由于對(duì)列方程有利，因此間接設(shè)元也十分重要恰當(dāng)靈活設(shè)元直接影響著列方程與解方程的難易；(3) “列”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式， 即方程找出相等關(guān)系列方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；(4) “解”就是求出所列方程的解；(5) 檢驗(yàn) 應(yīng)注意的是一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長(zhǎng)度不能為負(fù)數(shù)，降低率不能大于 100%等等因此，解出方程的根后，一定要進(jìn)行檢驗(yàn)（6）作答知識(shí)點(diǎn)二用一元二次方程解與增長(zhǎng)率（或降低率）有關(guān)的問(wèn)題增長(zhǎng)率問(wèn)題的有關(guān)公式：增長(zhǎng)數(shù)（增長(zhǎng)了多少）=基數(shù)×增長(zhǎng)率實(shí)際數(shù)（增長(zhǎng)后的值）=基數(shù)增長(zhǎng)數(shù)增長(zhǎng)率問(wèn)題與降低率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系及表示法：1. 若基數(shù)為 a，增長(zhǎng)率 x 為，則一次增長(zhǎng)后的值為 a 1 x ，兩次增長(zhǎng)后的值為 a 1 x 2 ；2. 若基數(shù)為 a，降低率 x