第十三章動(dòng)能定理

1、 第十三章動(dòng)能定理 動(dòng)能是力學(xué)中的重要概念，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的另一種度量。當(dāng)機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式運(yùn)動(dòng)如電、熱等相互轉(zhuǎn)化時(shí)，用動(dòng)能來(lái)度量機(jī)械運(yùn)動(dòng)。動(dòng)能定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的變化與作用力的功之間的關(guān)系，是研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的重要依據(jù)。本章介紹動(dòng)能定理及其應(yīng)用，并將綜合運(yùn)用動(dòng)力學(xué)普遍定理分析較復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。§13-1 力的功 §13-2 動(dòng)能定理例1.質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，沿傾角為的斜面向上運(yùn)動(dòng)，若質(zhì)點(diǎn)與斜面間的摩擦系數(shù)為，初速度為，求質(zhì)點(diǎn)的速度與路程之間的關(guān)系。并求質(zhì)點(diǎn)停止前經(jīng)過(guò)的路程。圖13-15 解：研究對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)。受力分析：重力，法向約束力和摩擦力。質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)

2、的動(dòng)能為 經(jīng)過(guò)路程后的動(dòng)能為 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在路程上作的功為 其中是重力的功，是摩擦力的功，法向約束力不作功，由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理可得 所以 這就是質(zhì)點(diǎn)的速度和路程的關(guān)系。令，可得質(zhì)點(diǎn)停止前經(jīng)過(guò)的路程: 這就是質(zhì)點(diǎn)停止前經(jīng)過(guò)的路程。若用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程解此問(wèn)題，則需先建立運(yùn)動(dòng)微分方程，再進(jìn)行積分，積分上下限由初始條件確定，即 經(jīng)變換有 積分上式，并注意初始條件 得 這與上面應(yīng)用動(dòng)能定理得到的結(jié)果相同，在力是常數(shù)或力是位置的函數(shù)時(shí)，積分形式的動(dòng)能定理，直接給出了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的第一次積分，得到了速度和位置的關(guān)系。所以，用動(dòng)能定理解此類(lèi)問(wèn)題，比較方便。例2.撞擊試驗(yàn)機(jī)的擺錘質(zhì)量為，擺桿長(zhǎng)為，質(zhì)量不計(jì)

3、。擺錘在最高位置受微小擾動(dòng)而下落，不計(jì)軸承摩擦，擺錘視為質(zhì)點(diǎn)，求:(1)在任一位置擺錘的速度。(2)桿的約束力及其最大值。(3)桿的內(nèi)力隨角的變化規(guī)律。解：(1)研究對(duì)象：擺錘。受力分析：作用在擺錘上的力有重力，約束力。圖13-16擺錘的初始動(dòng)能為: 擺錘在任一位置時(shí)的動(dòng)能: 作用在擺錘上的力在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中作的功為: 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理，得 求得擺錘的速度為 (2)為了求擺錘的約束力，可用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)式: 將代入上式，得 這就是擺錘在任一位置時(shí)受的約束力，結(jié)果表明約束力隨角而變化。顯然，當(dāng)，即擺錘運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)，約束力達(dá)到最大值，即，是靜約束力的5倍。例3.掛在吊索上的物體，質(zhì)量

4、為以的速度下降，如吊索的上端突然被卡住，求此后吊索中的最大張力。吊索的質(zhì)量不計(jì)，被卡住后的剛度系數(shù)為。解：重物為研究對(duì)象，作用力有重力和彈性力。 圖13-17 圖13-18重物的初始動(dòng)能為 重物運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)，吊索變形最大，張力也最大，重物的速度為零，動(dòng)能為重物的速度由減小到，吊索的變形由原來(lái)的靜變形增加到，則彈性力的功為 重力的功為 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理可得由初始時(shí)的平衡條件可得 代入上式并簡(jiǎn)化得 所以 吊索的最大變形為，最大張力為 例4.將一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)從地球上沿垂直方向拋出，初速度為，不計(jì)空氣阻力和地球自轉(zhuǎn)的影響，求(1)質(zhì)點(diǎn)在地球引力作用下的速度。(2)第二宇宙速度。解：(1)以質(zhì)點(diǎn)為

5、研究對(duì)象，作用在質(zhì)點(diǎn)上的力只有引，由萬(wàn)有引力定律知 指向地心質(zhì)點(diǎn)初始動(dòng)能為 運(yùn)動(dòng)到處的動(dòng)能為 在此過(guò)程中，引力的功為 根據(jù)動(dòng)能定理可得 所以質(zhì)點(diǎn)的速度為 結(jié)果表明，上拋初速度一定時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度隨的增加而減小，即愈來(lái)愈慢。(2)由速可見(jiàn)，若，為負(fù)值，故當(dāng)增加到某一數(shù)值時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度減小為零，此后質(zhì)點(diǎn)在地球引力作用下落回地面。若，則不多大，甚至當(dāng)為無(wú)窮大時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度也不會(huì)減小到零，即質(zhì)點(diǎn)將脫離地球引力場(chǎng)，一去不復(fù)返，所以，即 就是第二宇宙速度。即從地面發(fā)射飛行器，使之脫離地球，進(jìn)入太陽(yáng)系，成為人造衛(wèi)星所需的最小速度。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理例題講解例1.輸送機(jī)的主動(dòng)輪上作用一不變轉(zhuǎn)矩，被輸送的重物的質(zhì)量

6、為，由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。輪和均視為均質(zhì)圓盤(pán)，質(zhì)量為，半徑為，輸送帶的質(zhì)量不計(jì)，傾角為，不計(jì)阻力，求重物的速度和加速度。圖13-19解：以整個(gè)輸送機(jī)為研究對(duì)象。作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力有轉(zhuǎn)矩，重物的重力，輪和輪的重力，約束力有、輪軸承的約束力、，、。系統(tǒng)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，故初始動(dòng)能為 重物運(yùn)動(dòng)距離后，系統(tǒng)的動(dòng)能為 系統(tǒng)受理想約束，故約束力不作功，主動(dòng)力的功為 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理可得: （a）解之得 這就是重物的速度。 將式（a）兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得重物的加速度，即 結(jié)果表明，加速度為常數(shù)，即重物作勻加速運(yùn)動(dòng)。例2.一不變轉(zhuǎn)矩作用在絞車(chē)的鼓輪上，鼓輪視為均質(zhì)圓盤(pán)，半徑為，質(zhì)量為。重物質(zhì)量為，沿傾角為的斜

7、面上升，重物與斜面的摩擦系數(shù)為，繩索質(zhì)量不計(jì)，系統(tǒng)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求鼓輪的角速度和角加速度。圖13-20解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力有轉(zhuǎn)矩，重力和，重物與斜面間的摩擦力，故非理想約束。其它約束力都不作功。系統(tǒng)的初始動(dòng)能 鼓輪轉(zhuǎn)過(guò)角后，系統(tǒng)的動(dòng)能為 主動(dòng)力及摩擦力的功根據(jù)動(dòng)能定理可得 （a）解之得 對(duì)式（a）兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得 在有摩擦力的情況下，已不是理想約束，但把摩擦力視為主動(dòng)力，計(jì)入摩擦力的功，適用于理想約束的動(dòng)能定理。對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，摩擦力也是內(nèi)力，是成對(duì)出現(xiàn)的，但由于作用在斜面上的那個(gè)摩擦力不作功，所以此一對(duì)大小相等，方向相反，作用線相同的摩擦力，它們作的功之和并不

8、為零。任何機(jī)器或機(jī)構(gòu)，其傳動(dòng)副間的滑動(dòng)摩擦力總是存在的，它們雖然是一對(duì)作用力和反作用力，但作的功不能相互抵消，所以滑動(dòng)摩擦的存在，總是消耗能量的。例3.重物質(zhì)量為，當(dāng)其下落時(shí)，借一無(wú)重量且不可伸長(zhǎng)的繩子，使鼓輪沿水平軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)。已知鼓輪的質(zhì)量為，外輪半徑為，內(nèi)輪半徑為，對(duì)質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為，滑輪的質(zhì)量忽略不計(jì)，求重物的加速度。圖13-21解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。系統(tǒng)受理想約束，主動(dòng)力有和。系統(tǒng)的初始動(dòng)能，任一瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為 其中 ，所以 主動(dòng)力的功為 根據(jù)動(dòng)能定理得兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意到 ，得 （方向向下）與之前的這道題的做法比較，用動(dòng)能定理解此題比較簡(jiǎn)便。這是因?yàn)槔硐爰s束的約束力不

9、作功，故在動(dòng)能方程中不包含未知的約束力。而用剛體的平面運(yùn)動(dòng)微分方程解此題，約束力都包含在方程中。方程中包含未知約束力，不僅演算較繁，而且當(dāng)未知數(shù)多于方程數(shù)時(shí)，還要將系統(tǒng)拆開(kāi)，考慮幾個(gè)甚至多個(gè)研究對(duì)象，以尋求足夠的獨(dú)立方程。所以對(duì)于具有理想約束的一個(gè)自由度系統(tǒng)，一般都用動(dòng)能定理確理確定其運(yùn)動(dòng)。例4.汽車(chē)連同車(chē)輪的總質(zhì)量為，每個(gè)車(chē)輪的質(zhì)量為，半徑為，對(duì)輪心的回轉(zhuǎn)半徑為。在主動(dòng)輪上作用有主動(dòng)力矩，空氣阻力與汽車(chē)速度的平方成正比，即，車(chē)輪軸承的總摩擦力矩為，不計(jì)滾動(dòng)摩擦，求汽車(chē)的極限速度。圖13-22解：以汽車(chē)為研究對(duì)象，作用在汽車(chē)上的外力有汽車(chē)的重力，空氣阻力，前后輪的摩擦力、和法向約束力、，作用在

10、汽車(chē)上的內(nèi)力有驅(qū)動(dòng)力矩和摩擦力矩。系統(tǒng)的動(dòng)能為 式中，所以有 由于作用力中包含有變力，故應(yīng)用微分形式的動(dòng)能定理 其中外力的元功為 內(nèi)力的元功為 所以 等式兩邊同除以微小時(shí)間間隔，并注意到，得 這是汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)微分方程，且有 顯然加速度隨速度增加而減小。當(dāng)汽車(chē)加速度減小為零時(shí)，速度達(dá)到極值稱(chēng)為極限速度，即 所以 顯然汽車(chē)達(dá)到極限速度時(shí)，系統(tǒng)所有內(nèi)力和外力作功之和必為零，即來(lái)自于汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)力矩之功完全消耗于空氣阻力和摩擦阻力，系統(tǒng)的動(dòng)能不能再繼續(xù)增加，汽車(chē)以極限速度作勻速運(yùn)動(dòng)。例5如圖所示，均質(zhì)桿長(zhǎng)為，重為，均質(zhì)圓盤(pán)半徑為，重為，與桿在處鉸接，初瞬時(shí)桿水平，桿與圓盤(pán)均靜止。求桿與水平線成角時(shí)桿

11、的角速度與角加速度，以及處的反力。圖13-23解：先以圓盤(pán)為研究對(duì)象，受力如圖所示，由相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理或剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有 故得圓盤(pán)的角速度常量，因圓盤(pán)開(kāi)始靜止，即，所以在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓盤(pán)始終作平動(dòng)。再以圓盤(pán)與桿一起為研究對(duì)象，任一位置受力分析如圖，則系統(tǒng)的初動(dòng)能 角位置時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能 由水平位置運(yùn)動(dòng)至角位置過(guò)程中只有重力、作功，有 根據(jù)動(dòng)能定理有 （1）可得 將式（1）兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 其中，代入上式可得 求處反力可應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，即有 式中，代入上式，即可求得，（略）。§13-3勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)能機(jī)械能守恒定理機(jī)械能守恒定理例題講解例1.如圖所示，桿長(zhǎng)度為，質(zhì)量為，輪及輪的半徑

12、均為，質(zhì)量均為，圓形槽道的半徑為，初瞬時(shí)靜止，且，求運(yùn)動(dòng)至?xí)r軌道作用在輪子上的摩擦力。圖13-27解：取輪、輪及桿組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)只受有重力，約束力及內(nèi)力均不作功，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。由圖示的幾何關(guān)系有，桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，輪及輪作平面運(yùn)動(dòng)，則，為輪子的角速度，即，則任一位置時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能可寫(xiě)為 取初瞬時(shí)位置，即為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，則在位置時(shí)系統(tǒng)具有的重力勢(shì)能為根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒常量，有 由初始條件，即時(shí)，代入上式可得，所以可得 將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得 當(dāng)時(shí)，所以有。再取輪為研究對(duì)象，受力分析如圖，列剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程有 所以即軌道作用于輪上的摩擦力為零。例2.均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為，質(zhì)量為，上端

13、靠在光滑的墻上，下端以鉸鏈和圓柱體的中心相連。圓柱體質(zhì)量為，半徑為，放在粗糙的地面上，自圖示位置由靜止開(kāi)始滾動(dòng)，滾動(dòng)阻力可不計(jì)。如果初瞬時(shí)桿與水平線的夾角，求此瞬時(shí)點(diǎn)的加速度。圖13-28解：取圓柱和桿組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖所示。在作用于系統(tǒng)上所有力當(dāng)中，顯然只有重力作功。故該系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒。以經(jīng)過(guò)圓柱體中心的水平面為勢(shì)能的零位置。則在圖示位置桿的重力勢(shì)能為 因圓柱體和桿皆作平面運(yùn)動(dòng)，在圖示位置它們的速度瞬心分別為點(diǎn)和點(diǎn)，則系統(tǒng)的動(dòng)能為 根據(jù)機(jī)械能守恒定理 常量得 將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 上式中 ，代入上式并注意到初瞬時(shí)，可得 注：本題亦可用微分形式的動(dòng)能定理求解。例3.試用

14、機(jī)械能守恒定律計(jì)算第二宇宙速度。解：設(shè)飛行器質(zhì)量為，視為質(zhì)點(diǎn)。發(fā)射后在地球引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，則飛行器的機(jī)械能保持不變。飛行器在任一位置時(shí)，受地球的引力為 其機(jī)械能為（選無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零勢(shì)能位置）圖13-29 其中是地球半徑，是飛行器到地心的距離。設(shè)飛行器在地面的發(fā)射速度為，則械械能為 飛行器要能脫離地球引力場(chǎng)，成為人造衛(wèi)星，必須滿足條件，因?yàn)樵跓o(wú)窮遠(yuǎn)處，地球引力趨于零，飛行器速度稍大于零，即可脫離地球引力場(chǎng)，成為人造衛(wèi)星。顯然，應(yīng)用條件，進(jìn)行計(jì)算，即可求得從地面發(fā)射所需之最小初速度，即第二宇宙速度。根據(jù)上述條件可知飛行器在無(wú)窮遠(yuǎn)處的機(jī)械能為零。根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得 從而可算得

15、 這就是第二宇宙速度。第二宇宙速度在前面的例4中已用動(dòng)能定理計(jì)算過(guò)。在此重算之目的在于通過(guò)對(duì)比，常握動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的內(nèi)在聯(lián)系，掌握機(jī)械能守恒定律解題的方法和特點(diǎn)。對(duì)于在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的自由質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系，或受有理想約束的非自由質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系，用機(jī)械能守恒定律確定其運(yùn)動(dòng)，十分簡(jiǎn)便。用機(jī)械能守恒定律解題，關(guān)鍵在于正確計(jì)算勢(shì)能，故必須正確理解勢(shì)能的概念，熟練常握重力、彈性力及萬(wàn)有引力勢(shì)能的計(jì)算。計(jì)算勢(shì)能時(shí)要特別注意基準(zhǔn)點(diǎn)的選擇。§13-4功率 功率方程 機(jī)械效率功率 功率方程 機(jī)械效率例題講解 例1.車(chē)床電動(dòng)機(jī)的功率，主軸的最低轉(zhuǎn)速，傳動(dòng)系統(tǒng)中損耗的功率是輸入功率的，或工件的直徑，求切

16、削力。圖13-30解：車(chē)床正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)主軸是等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，故系統(tǒng)動(dòng)能不隨時(shí)間變化，即。根據(jù)功率方程可得 其中輸入功率，損耗功率，故用于切削工件的功率為 又 故切削力 例2.皮帶輸送機(jī)的速度，輸送量，高度，損耗功率為輸入功率的，求輸入功率。圖13-31解：輸送帶在時(shí)間內(nèi)輸送的質(zhì)量為。以皮帶上被輸送的材料為研究對(duì)象（包括將要進(jìn)入輸送帶的質(zhì)量）。經(jīng)時(shí)間，輸送帶將質(zhì)量的材料以速度拋出，同時(shí)又有質(zhì)量的材料從靜止?fàn)顟B(tài)進(jìn)入輸送帶。由于拋出質(zhì)量速度的大小未改變，而進(jìn)入質(zhì)量的速度由零增加到，故在時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)動(dòng)能的增量為 動(dòng)能對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為 根據(jù)功率方程 得 其中是工作用的功率，用于在時(shí)間內(nèi)將質(zhì)量的材料提高，即 是

17、損耗功率，已知，所以輸入功率 §13-5動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用前面各章節(jié)講述了用于研究質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)變化與所受力之間關(guān)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理及動(dòng)能定理。但每一定理只反映了這種關(guān)系的一個(gè)方面，這些定理既有共性，又各有其特殊性。例如，動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理都既反映速度大小的變化，也反映速度方向的變化，而動(dòng)能定理只反映速度大小的變化。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理涉及所有外力（包括約束力），卻與內(nèi)力無(wú)關(guān)，而動(dòng)能定理則涉及所有作功的力（不論是內(nèi)力、外力）等都是特殊性的反映。前面各章節(jié)中的例題，有的可用不同的定理求解，這是它們共性的表現(xiàn)，而有的只能用某一定理求解，則是各自特殊性的表現(xiàn)。一般來(lái)說(shuō)，在求

18、解具體問(wèn)題時(shí)，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的受力情況、約束情況、給定的條件及要求的未知量，就可判定應(yīng)用某一定理求解最為簡(jiǎn)捷。只用某一定理，往往不能求得問(wèn)題的全部解答。例如，應(yīng)用動(dòng)能定理可以方便地求出物體在兩個(gè)位置的速度大小的變化，但一般不能確定速度的方向，也不能確定中間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，因?yàn)椴豢紤]不作功的約束力，自然也就不能用來(lái)求那些約束力。有些問(wèn)題需要同時(shí)使用兩個(gè)或三個(gè)定理才能求解全部解答。因此，我們必須對(duì)各定理較透徹的了解，弄清楚什么樣的問(wèn)題宜用什么定理求解，再進(jìn)一步常握各定理的綜合應(yīng)用。動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用例題講解例1.、輪質(zhì)量均為，半徑為、視為均質(zhì)圓柱體。重物質(zhì)量為，三角塊質(zhì)量為，傾角為，固結(jié)于地面。輪在斜

19、面上作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。求（1）重物的加速度。（2）三角塊受地面的約束力。（3）、輪間繩索的張力。（4）輪與斜面間的摩擦力。圖13-32解：（1）求重物的加速度。以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。系統(tǒng)中重物作平動(dòng)，輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，輪作平面運(yùn)動(dòng)。作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力有重力、和約束力、。由于三角塊固定不動(dòng)，故、不作功。系統(tǒng)內(nèi)其他各物體均受理想約束。根據(jù)動(dòng)能定理得式中，上式可簡(jiǎn)化為 等式兩邊各項(xiàng)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并考慮到，可求得重物的加速度為 結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)，輪才能由靜止向上滾動(dòng)，重物向下作勻加速度運(yùn)動(dòng)。（2）求約束力、仍以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象。重物和輪質(zhì)心加速度已求出，故可用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求約束力、。根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可得 所以

20、 （3）求張力和摩擦力以輪為研究對(duì)象。作用在其上的力有重力，繩索的張力，斜面的法向約束力和摩擦力。輪作平面運(yùn)動(dòng)，輪心的加速度已求出，根據(jù)滾動(dòng)無(wú)滑動(dòng)條件，則可求出輪的角加速度，即根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程可得 由此可求出 應(yīng)該注意，此時(shí)斜面的摩擦力是一種約束力，它決定于輪子的運(yùn)動(dòng)和作用在輪子上的其他力，而與接觸面的物理?xiàng)l件無(wú)關(guān)，即。滾動(dòng)無(wú)滑動(dòng)時(shí)，一般，否則就要產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)。求繩索中張力，亦可用輪和重物組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，用動(dòng)量矩定理求解。受力情況如圖（c），根據(jù)動(dòng)量矩定理得 即 其中 ，故張力為 要注意由于考慮了滑輪的質(zhì)量，所以滑輪兩邊繩子的張力是不相等的。下邊繩索張力。例2.原長(zhǎng)、具有彈簧常數(shù)的彈性軟繩，一端固定于一光滑水平面上點(diǎn)，另一端系有一重的小球。開(kāi)始時(shí)，把軟繩拉長(zhǎng)，并給予小球與軟繩相垂直的初速度，如圖所示。求當(dāng)軟繩恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，小球的速度的大小以及與軟繩間的夾角。圖13-33解：因水平面的約束反力不作功，故小球處于