數(shù)學建模入門試題極其答案

1、1. 你要在雨中從一處沿直線走到另一處，雨速是常數(shù)，方向不變。你是否走得越快，淋雨量越少呢？2. 假設(shè)在一所大學中，一位普通教授以每天一本的速度開始從圖書館借出書。再設(shè)圖書館平均一周收回借出書的 1/10 ，若在充分長的時間內(nèi)，一位普通教授大約借出多少年本書？3. 一人早上 6：00 從山腳 A上山，晚 18：00 到山頂 B；第二天，早 6：00 從 B 下山，晚 18：00 到 A。問是否有一個時刻 t, 這兩天都在這一時刻到達同一地點？4. 如何將一個不規(guī)則的蛋糕 I 平均分成兩部分？5. 兄妹二人沿某街分別在離家 3 公里與 2 公里處同向散步回家，家中的狗一直在二人之間來回奔跑。已知

2、哥哥的速度為 3 公里 / 小時，妹妹的速度為 2 公里 / 小時，狗的速度為 5 公里 / 小時。分析半小時后，狗在何處？6. 甲乙兩人約定中午 12：00 至 13：00 在市中心某地見面，并事先約定先到者在那等待 10 分鐘，若另一個人十分鐘內(nèi)沒有到達，先到者將離去。用圖解法計算，甲乙兩人見面的可能性有多大？7. 設(shè)有 n 個人參加某一宴會，已知沒有人認識所有的人，證明：至少存在兩人他們認識的人一樣多。8. 一角度為 60 度的圓錐形漏斗裝著 10 厘米高的水（如右圖），其下端小孔的面積為 0.5 平方厘米，求這些水流完需要多少時間？10cm9. 假設(shè)在一個剎車交叉口，所有車輛都是由東駛

3、上一個 1/100 的斜坡，計算這種情下的剎車距離。如果汽車由西駛來，剎車距離又是多少？10. 水管或煤氣管經(jīng)常需要從外部包扎以便對管道起保護作用。包扎時用很長的帶子纏繞在管道外部。為了節(jié)省材料，如何進行包扎才能使帶子全部包住管道而且?guī)ё右矝]有發(fā)生重疊。1解：把人體簡化為長方柱，表面積之比為前：側(cè): 頂=1：a:b ，選坐標系將人的速度表示為（v,0,0 ）, 即人沿 x 周方向走， v>0, 而設(shè)語雨速為 （x,y,z ）, 行走距離為 L，則淋雨量 Q的表達式為：Q= Q=|x-a|+a|y|+b|z|*L/v記 q=a|x|+b|z|, 則qxL(1 ),v xQ(v)=qxL(+

4、1),v>x在 qx和 q<x 兩種情形下作圖Q/Q/Lq>xq<xq/x11q/x0vvx0x2. 解：由于教授每天借一本書，即一周借七本書，而圖書館平均每周收回書的 1/10 ，設(shè)教授已借出書的冊數(shù)是時間 t 的函數(shù)小 x(t) 的函數(shù)，則它應滿足（時間 t 以周為單位）dx/dt=-x/10+X(0)=07其中 初始條件表示開始時教授借出數(shù)的冊數(shù)為0。t解該線性方程-初t始問題得X(t)=701-e 10 由于當 t時，其極限值為 70,故在充分長的時間內(nèi)，一位普通教授大約已借出 70本書。3.解：我們從山腳 A點為始點記路程，設(shè)從 A到 B路程函數(shù)為 f （t

5、）,即 t 時刻走的距離為 f （t ）; 同樣設(shè)從B點到A點的路程為函數(shù) g（t ）。由題意有f(8)=0,f(18)=|AB| ，g（8）=|AB|，g（18）=0；令 h（t ）= f （t ）-g （t ），則有 h(8)= f(8) - g（8）=- |AB|<0, h(6)=f(6) - g(6)= | AB|>0 又注意 f （t ），g（t ）都是時刻 t 的連續(xù)函數(shù)，因此 h（t ）也是時刻t 的連續(xù)函數(shù)，由連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理，一定存在某時刻 t 。使 h（t 。）=0，即 f （t 。）=g（t 。）所以存在一個時刻t, 這兩天都在這一時刻到達同一地點。4. 解

6、：設(shè) I 為平面上任一封閉曲線， p 為平面上一點（不妨設(shè) p 在 I 內(nèi)），則存在已過點 p 的直線，將 I 所圍的面積二等分，如下圖lS2pS1a0設(shè) l 為過點 p 的一條直線，若 S1= S1，則得證，否則設(shè) S1 >S2,l 與 x 軸夾角為 a，讓 l 逆時針繞 p 旋轉(zhuǎn) S2 ，S2，則 S1，S2 隨 a 的變化連續(xù)的變化， 記其面積為 S1a），S2（a）, 則記 S1（a）= S1, S2 （a）= S2,f(a+ )<0, 且 f （a）連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在（0，）存在使 f （）=0，a=對應的直線即為所求。5解：哥哥與妹妹的速度分別為3 公里

7、/ 小時及 2 公里 / 小時，因此一小時后，哥哥與妹妹都已到家，而狗一直在二者之間，因此狗已到家。6解：設(shè)甲乙兩人分別在12 點 x 分及 y 分等可能到達到達約定地點，顯然0x60,0 y60，若兩人相遇則有 |x-y|10，這是一個幾何概率問題，其中樣本空間為 A=（x，y）| x60,0 y60它構(gòu)成了空間直角標系中的正方形，相遇空間為y6ag1001060xG=（x，y）, |x-y|10其圖形見上圖陰影部分，Sa，Sg 分別表示正方形、陰影部分的面積，從而相遇的概率為 P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)0.3067. 證明：設(shè)第 i 個人認識的人

8、為 s（i ），則 s（i ） N-1設(shè)沒有兩個人認識的人一樣多，則 s（1），s（2）， 互不相等，則 s（i ）取遍集合0 、1、2 N-1 中的一個值，即至少存在某兩個人 k1，k2 使 s（k1）=N-1，s（k2）=0，而對第 ki 個人，由于（ ki ）=N-I ，故他必然認識第 k2 人，故 s（k）至少為1，與s（k2）=0 矛盾，得證。8解：由水力學定律可知Q=dv/dt=0.62S2gh ，其中0.62為流量系數(shù)S為空口橫截面， g為重力加速度，h 為從從空口到水面的高度，故有dv=0.312gh dt，另一方面，在 t 時間內(nèi)，水面由h 降至 h+dh（dh<0）,

9、 則僅有dv=- r*r*dh=- /3*h*h*dh,所以有 0.312gh dt=- /3*h*h*dh ，再由 h(0)=10,聯(lián)立求得其解為t=( /3)*(2/5)*1/(0.312g ( 2.5 10-2.5 h,當水流完時，h=0解得 t=2 /(15*0.312g )*2.5109解：設(shè) t=0 時為開始剎車的時刻， x（t ）為從 t=0到 t 時刻所幸的距離，由剎車時所受的制動力為 -uW100100* 100-W* 1100 * 1001，其中 W為車重，故 x（t ）1滿足 w *d （dt/dt ）/dt=-uW錯誤 !未找到引用源。-W* 1100 * 100 1g又由 x（0）=0，dx/dt|t=0 =v。解得 x（t ）=-1/2 （100ug+g100 * 100 1） t2+v。*t100* 1001故制動時間為t b=v。/( 100ug+ g 100* 1001 )100 * 100 1因此剎車距離為x(t b)=1/2* v 。/( 100ug+ g100 * 100 1)100* 100 1同理可得汽車由西駛來時， 剎車距離為 1/2* v。/(100ug+ g 100* 100 1 )100* 100110. 解：假設(shè)管道是