高等數(shù)學(xué)：2-1 導(dǎo)數(shù)概念

1、第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)概念一、引例一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、求導(dǎo)數(shù)舉例三、求導(dǎo)數(shù)舉例四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系一、引例一、引例1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度直接運(yùn)用極限的方法就能得到直接運(yùn)用極限的方法就能得到tstttststttv limlim0005)()(0)/(2535)5(330limsmttt 解解tSt lim0 就定義為該時(shí)刻瞬時(shí)速度的大小就定義為該時(shí)刻瞬時(shí)速度的大小, ,它反它反 映了運(yùn)動(dòng)速度的大小映了運(yùn)動(dòng)速度的大小, ,就是路程相對(duì)

2、時(shí)就是路程相對(duì)時(shí) 間變化的快慢間變化的快慢( (變化率變化率).).53 . 1 3秒秒末末的的瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度，求求汽汽車車第第路路程程的的關(guān)關(guān)系系為為的的最最初初一一段段時(shí)時(shí)間間與與汽汽車車起起動(dòng)動(dòng)后后做做直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)例例ts 2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限

3、位置切線位置切線位置2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問(wèn)題切線問(wèn)題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 讓點(diǎn)讓點(diǎn) N 沿曲線沿曲線 C 趨于趨于M 時(shí)，割線時(shí)，割線 MN 的的極限位置極限位置 MT，就稱為，就稱為曲線曲線 C 在在 M 點(diǎn)的切線點(diǎn)的切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè) 的斜率為的斜率為割線割線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC 沿曲線沿曲線

4、 的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx xyx lim0比較兩比較兩個(gè)公式個(gè)公式xxfxxfxyKttfttftsvxxttt )()()()(00000000limlimlimlim 相同點(diǎn)相同點(diǎn): : 數(shù)學(xué)問(wèn)題相同數(shù)學(xué)問(wèn)題相同 變化率問(wèn)題變化率問(wèn)題 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同 函數(shù)改變量與自變量函數(shù)改變量與自變量 改變量之比的極限改變量之比的極限 就定義為曲線上任意一點(diǎn)切線斜率就定義為曲線上任意一點(diǎn)切線斜率的大小的大小, ,它反映了該切線斜率就是函數(shù)值改變它反映了該切線斜率就是函數(shù)值改變量對(duì)自變量改變量的變化率量對(duì)自變量改變量的變化率. .,)(, )

5、(,0)()( ,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)并稱這個(gè)極限為并稱這個(gè)極限為處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果如果取得增量取得增量相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時(shí)時(shí)仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)處取得增量處取得增量在在當(dāng)自變量當(dāng)自變量有定義有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義 二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義 .)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyx

6、xxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即即 . , . 10的的快快慢慢程程度度而而變變化化因因變變量量隨隨自自變變量量的的變變化化它它反反映映了了變變化化率率處處的的變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)在在一一點(diǎn)點(diǎn)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是因因x . )(, )( . 2內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在開開區(qū)區(qū)間間就就稱稱函函數(shù)數(shù)處處都都可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)的的每每點(diǎn)點(diǎn)在在開開區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxfy 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：.)(),(,.)( . )(,.3 dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記記作作函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)叫叫做做原原來(lái)來(lái)函函數(shù)數(shù)定定的

7、的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值的的一一個(gè)個(gè)確確都都對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著對(duì)對(duì)于于任任一一 xxfxxfyx )()(lim 0 即即.)()(lim)( 0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(00 xxxfxf （2）右導(dǎo)數(shù)）右導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)（1）左導(dǎo)數(shù)）左導(dǎo)數(shù);)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 結(jié)論：結(jié)論：上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在都存在，就說(shuō)都存在，就說(shuō)與與內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間在區(qū)間如果如果 , )( )( )( )( )( . 4baxfbfafa,bxf .)

8、( )( )( 000都存在且相等都存在且相等導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)和右和右左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xfxfxxf 步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限.)()( 1的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)例例CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即三、求導(dǎo)數(shù)舉例三、求導(dǎo)數(shù)舉例 .)(sin)(sin,sin)( 24 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)例例解解hxhxhsin)sin(lim0 22sin)2cos(lim0hhhxh .

9、cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 hxfhxfxfh)()(lim)(0 .)()( 3處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在在為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)例例axnxxfn 解解axafxfafax )()(lim)(lim121 nnnaxaaxx1 nna.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x axaxnnax lim.)1, 0()( 4的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)例例 aaaxfx解解haaxhxh 0limhaahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即

10、即.)(xxee hxfhxfxfh)()(lim)(0 .)1, 0(log)( 5的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)例例 aaxxfa.ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx .0)( 6處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)例例 xxxf解解xy xyo,)0()0( hhhfhf hhhfhfhh00lim)0()0(lim , 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyx

11、f切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 oxy)(xfy TM0 x . , )2 ,21( 1 7方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點(diǎn)處的切線并寫出在該點(diǎn)處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)求等邊雙曲線求等邊雙曲線例例xy 解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即定理定理

12、可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證明證明,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf),(lim00 xfxyx )(0 xfxy.)(0 xxxfy )( limlim000 xxxfyxx . 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf),0(0 x 五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.又如又如,)(3xxf .0 )(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf 0)0()(lim0 xfxfx，處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) 0)( xxf, xxx0lim30 3xy xyo . 0,0, 00,1sin)( 8 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)例例 xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處處有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之間間振振蕩蕩而而極極限限不不存存在在和和在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyx .0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx（參考） 2000, ( ),?,?. ,xxxf xxxabaxbxx例9