第十一章 影響線及其應(yīng)用

1、1結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)海南大學(xué)土木工程系海南大學(xué)土木工程系第十一章 影響線及其應(yīng)用2 影響線的概念影響線的概念 靜力法作影響線靜力法作影響線 結(jié)點(diǎn)荷載下的影響線結(jié)點(diǎn)荷載下的影響線 機(jī)動(dòng)法作影響線機(jī)動(dòng)法作影響線 影響線的應(yīng)用影響線的應(yīng)用 簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖 超靜定結(jié)構(gòu)影響線 連續(xù)梁的最不利荷載及內(nèi)力包絡(luò)圖311.1 移動(dòng)荷載和影響線的概念移動(dòng)荷載作用下內(nèi)力計(jì)算特點(diǎn):結(jié)構(gòu)內(nèi)力隨荷載的移動(dòng)而變化,為此需要研究?jī)?nèi)力的變化規(guī)律、變化范圍及最大值，和產(chǎn)生最大值的荷載位置（即荷載的最不利位置）。研究方法： 先研究單位移動(dòng)荷載作用下的內(nèi)力變化規(guī)律， 再根據(jù)疊加原理解決移動(dòng)荷載作用下的內(nèi)力計(jì)算問題

2、,以及最不利荷載的位置問題。P=1RBxY=RB1影響線的定義： 當(dāng)P=1在結(jié)構(gòu)上移動(dòng)時(shí)，用來表示某一量值Z變化規(guī)律的圖形，稱為該量值Z的影響線。在Z的影響線中,橫標(biāo)表示的是P=1的作用位置； 豎標(biāo)表示的是量值Z的值。 如在RB影響線中的豎標(biāo)yD表示的是： 當(dāng)P=1移動(dòng)到 點(diǎn)時(shí)，產(chǎn)生的 支座反力。Z的影響線與量值Z相差一個(gè)力的量綱。所以反力、剪力、軸力 的影響線無 量綱，而彎矩影響線的量綱是長(zhǎng)度。DByDDP=1 4 以自變量以自變量x x表示表示P=1P=1的作的作用位置，通過平衡方程，建用位置，通過平衡方程，建立反力和內(nèi)力的影響線函數(shù)立反力和內(nèi)力的影響線函數(shù) 并作影響線并作影響線0，a）1

3、、支座反力影響線MA=0 RB=x/l 0，lMB=0RA=（l-x）/l0，l11RB.影響線RA.影響線2、剪力影響線Cab當(dāng)P=1在AC上移時(shí)取CBMCQCRBY=0QC =（L-x）/lRB=x/la/l當(dāng)P=1在CB上移時(shí)取ACRAQCMCY=0QC= （a，lRAb/l+QC.影響線RAARB.B、彎矩影響線MC=MCRBb=0 0,a MC=x/lb MC=MCRAa=0 ab/lMC.影響線CBbACaMC=（lx）laa,lxP=1l11.2 靜力法作單跨靜定梁的影響線5a/lb/l+QC.I.Lab/lMC.I.LRB.B11RB.I.LRA.I.LCabxP=1lRAA

4、單跨靜定梁的影響線特點(diǎn)單跨靜定梁的影響線特點(diǎn):反力影響線是一條直線；反力影響線是一條直線；剪力影響線是兩條平行線；剪力影響線是兩條平行線；彎矩影響線是兩條直線組彎矩影響線是兩條直線組 成的折線。成的折線。 6CabxP=1Lab/LM圖(kN.m)P=1kNCabLab/LMC.I.L(m)彎矩影響線與彎矩圖的比較影響線彎矩圖荷載位置 截面位置橫坐標(biāo)豎坐標(biāo)yD不變變不變變單位移動(dòng)荷載位置截面位置yDDyDD單位移動(dòng)荷載移到D點(diǎn)時(shí),產(chǎn)生的C截面的彎矩C點(diǎn)的固定荷載作用下,產(chǎn)生的D截面的彎矩 7RB=x/L 0,L當(dāng)P=1在AC上移動(dòng) QC=-x/L （0，a）當(dāng)P=1在CB上移動(dòng) QC=（L-x

5、）/L CabxP=1LRAABRB.當(dāng)P=1在EC上時(shí)： QC=-RB=-x/L （-L1，a）當(dāng)P=1在CF上時(shí)： QC=RA=（L-x）/L （a，L+L2）RB=x/L （-L1，L+L2）伸臂梁的影響線由平衡條件可得: 故欲作伸臂梁的反力及支座間的截面內(nèi)力影響線，可先作簡(jiǎn)支梁的影響線，然后向伸臂上延伸。+1-RB.I.La/Lb/L-+-QC.I.Lab/L+_Mc.I.LD當(dāng)P=1在D以里移動(dòng)時(shí)D截面內(nèi)力等于零， 故伸臂上截面內(nèi)力影響線在該截面以外的伸臂段上才有非零值。MD.I.L-d在D以外移動(dòng)時(shí)D截面才有內(nèi)力d+ 1QD.I.LL1abLL2P=1xABCRARBEF 8d 8

6、 5d 4 3d1615橫梁縱梁主梁AB CE FRARB l=4dd/2 d/2DP=1 MD影響線P=1 P=1 DxP=1P=1 dxd dxdxddxddMD4385 結(jié)點(diǎn)荷載下影響線特點(diǎn) 1、在結(jié)點(diǎn)處，結(jié)點(diǎn)荷載與直接荷載的影響線豎標(biāo)相同。 2、相鄰結(jié)點(diǎn)之間影響線為一直線。 結(jié)點(diǎn)荷載下影響線作法 1、以虛線畫出直接荷載作用下有關(guān)量值的影響線。 2、以實(shí)線連接相鄰結(jié)點(diǎn)處的豎標(biāo)，即得結(jié)點(diǎn)荷載作用下該量值的影響線。MD.I.LI.L.QCE1/21/4CMLI.43d11.3 結(jié)點(diǎn)荷載作用下梁的影響線 9橫梁縱梁主梁AB CE G l=4dd/2 d/2DP=1 F H Id/2 d/2作出

7、FAy 、 FBy 、 FsD 、 MD的影響線 10繪制影響線的方法靜力法:列影響線方程,作影響線.機(jī)動(dòng)法:根據(jù)虛功原理,將作影響線的靜力問 題轉(zhuǎn)化為作位移圖的幾何問題。機(jī)動(dòng)法的優(yōu)點(diǎn)：不經(jīng)計(jì)算快速的繪出影響線的形狀。P=1xablCP=1Z(x)ZP(x)zPPzxxZxPxZ)()(0)()( 1 1 機(jī)動(dòng)法作影響線的步驟： 1）撤除與Z相應(yīng)的約束，代以未知力。 2）使體系沿Z的正方向發(fā)生虛位移，作出荷載作用點(diǎn)的豎向虛位移圖，即Z的影響線輪廓。 3）再令Z=1，定出影響線豎標(biāo)的值。 4）基線以上為正的影響線,基線以下為負(fù)的影響線，11.4機(jī)動(dòng)法作影響線11b/la/lI.L.QC P=1C

8、QCP=1xablCP=1CP=1xablC1bab/lI.L.MC 所作虛位移圖要滿足支承連接條件！ 121m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1 1m1/43/49/49/29/4I.L.MK I.L.Mk(m)1/43/49/49/29/413Qk11/43/41/43/43/23/4I.L.QKMC11I.L.QKI.L.MC1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/41/43/43/23/422I.LMC(m)114121RD11.51m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDGI.L.QEI.L.RD I.L.QE121I.L.R

9、D1.5QE15作出FAy 、 FsB 、 FsC左、 FsC右、 MK、 MD的影響線 16l=6dACBDEFGh任一軸力影響線在相鄰結(jié)點(diǎn)之間為直線。反力影響線與簡(jiǎn)支梁相同。11.5靜力法作桁架的影響線17P=111.5靜力法作桁架的影響線l=6dACBDEFGacbdefgh任一軸力影響線在相鄰結(jié)點(diǎn)之間為直線。反力影響線與簡(jiǎn)支梁相同。11NbcRARGNbc=RA2d/h (P=1在C以右時(shí)） NCD同理：NCD=+Mc0/hP=1平行弦桁架弦桿影響線可由相應(yīng)梁結(jié)點(diǎn)的彎矩影響線豎標(biāo)除以h得到。上弦桿為壓下弦桿為拉。P=14d/3/hI.L.NCDI.L.Nbc4d/34d/3/hP=1P

10、=1P=1P=1或：Nbc=MC0/h Nbc=R4d/h (P=1在C以左時(shí)）1811.5靜力法作桁架的影響線l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFG22RARGRARGP=1P=1I.L.YbC0BCbCQY1/62/3NbC平行弦桁架斜桿軸力的YbC影響線就是梁的節(jié)間剪力QBC0影響線。右下斜為正，右上斜為負(fù)。P=1在C以右時(shí) YbC=RAP=1在B以左時(shí) YbC=R可概括為一個(gè)式子 1911.5靜力法作桁架的影響線l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFGRARGRARGP=1P=10CDcCQNNcC111/21/3I.L.NcC1/6豎桿軸力N

11、cC影響線就是負(fù)的梁的節(jié)間剪力QCD0影響線。作桁架影響線時(shí)要注意區(qū)分是上弦承載，還是下弦承載。下承上承0bccCQN2/3I.L.NcCP=1在D以右時(shí) NcCRAP=1在C以左時(shí) NcCRG可概括為一個(gè)式子在CD之間為直線 2011.5靜力法作桁架的影響線l=6dACBDEFGacbdefghI.L.NdD=0下承上承I.L.NdD1P=1ACBDEFGacbdefghP=1P=1P=1P=1P=1任一軸力影響線在相鄰結(jié)點(diǎn)之間為直線。平行弦桁架 弦桿影響線可由相應(yīng)梁結(jié)點(diǎn)的彎矩影響線豎標(biāo)除以h得到。上弦桿為壓下弦桿為拉。 斜桿軸力的YbC影響線就是梁的節(jié)間剪力QBC0影響線。右下斜為正，右上

12、斜為負(fù)。 豎桿軸力NcC影響線就是梁的節(jié)間剪力QCD0影響線。作桁架影響線時(shí)要注意區(qū)分是上弦承載，還是下弦承載。 靜定結(jié)構(gòu)某些量值的影響線，?？赊D(zhuǎn)換為其它量值的影響線來繪制。 21 1）求影響量b/la/lI.L.QCy1P1y2P2y3P3a）集中荷載QC=P1y1+ P2y2 + P3y3一般說來： Z= PiyiablCa blqABqdxb）均布荷載d=ydxQC=q 正的影響線取正面積ydxqBAyqdxQBACwdqBAb/la/lyx dxQCydxqBA 0yqc 0qctgxb qdtgxxbxdtgqbx0定理：當(dāng)一組平行力作用在影 響線的同一直線段上時(shí)， 這組平行力產(chǎn)生的

13、影響等 于其合力產(chǎn)生的影響。I.L.QCy0c 11.6影響線的應(yīng)用22例：利用影響線求圖示梁K截面的彎矩。6454I.L.MK (m)MK=P1y1+ P2y2 +q11+q22 q33m =1004100550 12321630 1.518301925kN.m6m3m6m6m3m 3m3m100kN100kN 50kN/m30kN/mK30kN.m301/3 1）利用影響線求各種固定荷載作用下的影響量一般說來： Z= Piyi+qm tg 為集中力偶所在段的影響線的傾角，上升為正。23mbm/bm/bZ=m/ba+m/bc =m(ac)/b =m tgacZ的影響線集中力偶引起的Z值等于力

14、偶矩乘以力偶所在段的影響線的傾角正切。兩者同向取負(fù)值。 24 2）利用影響線求荷載的最不利位置如果荷載移動(dòng)到某個(gè)位置，使某量達(dá)到最大值，則此位置稱為荷載最不利位置。判斷荷載最不利位置的一般原則：應(yīng)當(dāng)把數(shù)值大、排列密的荷載放在影響線豎標(biāo)較大的部位。a）單個(gè)移動(dòng)集中荷載：ablPb）可按任意方式分布的移動(dòng)均布荷載：I.L.Z求Z的最大值求Z的最小值c）行列荷載（間距不變的一系列移動(dòng)荷載） 252m12mKP1=PP2=2P4m5/34/312/3I.L.MK(m)P1=PP2=2PMKxP1=PP2=2P10P/38P/3MK=P1y1+P2y2=P15/3+P21=11P/311P/3P1=PP

15、2=2P2P/3P1=PP2=2PP1=PP2=2PxMK的綜合影響線P1=PP2=2PP1=PP2=2P滿足這種條件的位于影響線頂點(diǎn)的集中力叫臨界荷載，與此對(duì)應(yīng)的行列荷載位置，稱為臨界位置。3）臨界荷載不只一個(gè)，但也并非行列荷載中的每一個(gè)荷載都是臨界荷載。1) 當(dāng)行列荷載移動(dòng)時(shí),MK按折線規(guī)律變化。2) MK的極值表現(xiàn)為尖點(diǎn)值。其特點(diǎn)是：a）有一集中力Pcr位于影響線頂點(diǎn)上。b)將行列荷載自此向左或向右稍移一點(diǎn), MK的值均減少。 26Z影響線P1P2P3P4P5P6R1R2R3臨界荷載的判斷條件3y2y1y1yD2yD3yD102030P1=P2=P3=P4=P5=90kNP2P3P4P1

16、P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530m8m4m6m1.00.75132Z影響線P2P3P4P1P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530mtg1=1/8tg2=0.25/4tg3=0.75/6荷載稍向右移: R1=270kN R2=90237.81=217.8kN R3=37.86=226.8kNRitgi=2701/8+217.8(0.25/4)+226.8(0.75/6)=8.20荷載稍向左移: R1=360kN R2=9037.81=127.8kN R3=37.86=226.8kNkN4552675. 01275. 081. 08 .37906. 0

17、90Z185 . 68585 . 390所以P4是個(gè)臨界荷載。（中活載）0.90685 . 68585 . 3 0.8129當(dāng)影響線為三角形時(shí)：PcrR左R右tg=c/atg=c/b荷載右移：cab荷載左移：bRaPRbRPaRcrcr右左右左當(dāng)影響線為三角形時(shí)，臨界位置的特點(diǎn)是：有一集中力Pcr在影響線的頂點(diǎn)，將Pcr計(jì)入那邊那邊荷載的平均集度就大。如Z到達(dá)極大值iitgR=R左tg(PcrR右)tg0=(R左 Pcr) tgR右tg0 iitgR3015m25mC70kN13050100501004m5m4m15m4m25200151307015702520013015150 252201

18、30 15m25mCMC影響線(m)9.386.257.880.753.752.25MC=1003.75+506.25+1309.38+707.88+1002.25 +50 0.752720kN.mMcmax=2720kN.m 130kN是臨界荷載321）簡(jiǎn)支梁的包絡(luò)圖： 將移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁中各個(gè)截面產(chǎn)生的最大（小）內(nèi)力值用曲線連接起來，得到的圖形稱為簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力包絡(luò)圖。Px=MCmax=(l- )P/l0.25Pl0.21Pl0.09PlM包絡(luò)圖C12m(l- )/lMC影響線 單個(gè)集中力11.7簡(jiǎn)支梁的包絡(luò)圖和絕對(duì)最大彎矩3312m(l- )/lM4影響線P3P4P1P23.53.51

19、.5P1=P2=P3=P4=82kN123456789100M4max=559kN.m559M包絡(luò)圖（kN.m)Q包絡(luò)圖（kN)21215394.341.7574578彎矩包絡(luò)圖動(dòng)力系數(shù)+M靜 =據(jù)以設(shè)計(jì)的彎矩包絡(luò)圖 行列荷載34彎矩影響線與彎矩圖的比較影響線彎矩圖荷載位置 截面位置橫坐標(biāo)豎坐標(biāo)yD不變變不變變單位移動(dòng)荷載位置截面位置單位移動(dòng)荷載移到D點(diǎn)時(shí),產(chǎn)生的C截面的彎矩C點(diǎn)的固定荷載移作用下,產(chǎn)生的D截面的彎矩彎矩包絡(luò)圖變變截面位置在實(shí)際移動(dòng)荷載作用下,D截面可能產(chǎn)生的最大彎矩與彎矩包絡(luò)圖的比較 35 2）簡(jiǎn)支梁的絕對(duì)最大彎矩：移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁各個(gè)截面產(chǎn)生的最大彎矩中的最大者，稱為簡(jiǎn)

20、支梁的絕對(duì)最大彎矩。它是荷載移動(dòng)過程中，簡(jiǎn)支梁中可能產(chǎn)生的最大彎矩。絕對(duì)最大彎矩與兩個(gè)未知因素有關(guān)：（1）絕對(duì)最大彎矩發(fā)生在哪個(gè)截面？（2）行列荷載位于什么位置發(fā)生絕對(duì)最大彎矩？計(jì)算依據(jù)：絕對(duì)最大彎矩必然發(fā)生在某一集中力的作用點(diǎn)。計(jì)算途徑：任取一個(gè)集中力Pcr求行列荷載移動(dòng)過程中Pcr作用 點(diǎn)產(chǎn)生的彎矩最大值Mmax計(jì)算公式，利用這個(gè)公 式求出每個(gè)集中力作用點(diǎn)的彎矩最大值其中 最大 的，就是絕對(duì)最大彎矩。經(jīng)驗(yàn)表明：絕對(duì)最大彎矩常發(fā)生在，梁中央截面彎矩取得最 大值的臨界荷載下面。 36P1PcrPn-1PnxRa推導(dǎo)Pcr彎矩最大值的算式由 MB0 crMxlaxlRAlaxlRRaxllR0)

21、2(dxdM0cr MRAxxM )(RAalx22（a）crmxaMlalRM1222（b）l/2l/2a/2 a/2Mcr=Pcr以左梁上荷載對(duì)Pcr作用點(diǎn)的力矩之和。說明Pcr作用點(diǎn)的彎矩為最大時(shí)，梁的中線正好平分Pcr與R的間距。Pcr與R的間距a可由合力矩定理確定。R在Pcr 右a為正。注意R是梁上實(shí)有荷載。安排Pcr與R的位置時(shí)，有些荷載進(jìn)入或離開梁，這時(shí)應(yīng)重新計(jì)算合力R的值和位置。 37例12mP3P4P1P23.53.51.5P1=P2=P3=P4=82kN先求P2作用點(diǎn)的最大彎矩。R=482=328kN，R作用在P2與P3中間。a=0.75mMmaxmkN.578)5 . 1

22、82582(121275. 02123282mkN.5785 . 382121275. 02123282MlalRMcr1222max再求P3作用點(diǎn)的最大彎矩。R=482=328kN，R作用在P2與P3中間。a=0.75mP3P4P1P23.53.51.5 38l ：當(dāng)豎向單位 移動(dòng)荷載在梁上移動(dòng)時(shí)，表示某一指定位移kP與荷載位置 x 的關(guān)系曲線，即為kP位移的影響線。P=1xkPP=1xkPP=1xkP*位移影響線kPkP影響線kPKMlabPk=1abPKPMlxlx)( 位移KP的影響線等于固定荷載 PK=1作用于K點(diǎn)時(shí)引起的豎向位移圖。 于是，將求位移影響線的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤诠潭ê奢dP

23、K=1作用下的位移圖問題。PK=1作用下的位移圖由位移互等定理得： KP=PKdxEIMMxkPkP)(393xl aP=1xAB例：試作圖示等截面簡(jiǎn)支梁B截面的角位移影響線。解：作單位豎向移動(dòng)荷載P=1作用下的MP。lxlx)( MP 在B截面施加單位力偶MB=1,并作MB圖。 求影響線方程。ABM=11MB繪制影響線。EIxlxlxlllxlxEIEIdsMMBPB6)(3)()(21122lxl34l4l4l4lEIl12852EIl12882EIl12852 40P=1x Z1 Z1P=1x Z1=111P1W12=Z111 +PP1=W21=0Z1 = P1 /11機(jī)動(dòng)法作法機(jī)動(dòng)法作

24、法: :Z1(x) = P1(x) /111、撤去與約束力Z1相應(yīng)的約束。2、使體系沿Z1的正方向發(fā)生位移， 作出荷載作用點(diǎn)的撓度圖P1 圖，即為影響線的形狀。橫坐 標(biāo)以上圖形為正，橫坐標(biāo)以下 圖形為負(fù)。3、將P1 圖除以常數(shù)11 ，便確 定了影響線的豎標(biāo)。靜定力的影響線對(duì)應(yīng)于幾何可變體系的虛位移圖,因而是折線；超靜定力的影響線對(duì)應(yīng)于幾何不變體系的虛位移圖,因而是曲線。11.8 超靜定力的影響線（機(jī)動(dòng)法）P=1xABCDEFMC11MC.I.LABCDEFMK11MK.I.LKP=1xABCDEFABCDEFRC11RC.I.LABCDEFQC右.I.L42P=1xABCDEFMK.I.LRC

25、.I.LKMC.I.L MKmaxMCminRCmaxv跨中截面正彎矩最不利活載布置：本跨有活載,向兩邊每隔一跨有活載。v支座截面負(fù)彎矩及支座反力最不利荷載布置：支座相鄰兩跨有活載,向兩邊每隔一跨有活載。11.9 連續(xù)梁的最不利荷載布置及內(nèi)力包絡(luò)圖43連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖：求在恒載和活載聯(lián)合作用下，各截面可能產(chǎn)生的最大正彎矩Mmax和最大負(fù)彎矩Mmin。求Mmax和Mmin的原則：1、必有恒載作用，且永遠(yuǎn)出現(xiàn)。 2、活載按最不利情況考慮。具體作法： 1、把連續(xù)梁的每一跨分為若干等分，取等分點(diǎn)為計(jì)算截面。 2、全梁布滿恒載，繪制M恒。 3、逐個(gè)的單獨(dú)一跨布滿活載，繪制各M活圖。 4、求出各計(jì)算截面

26、的Mmax 和Mmin。 活恒活恒kkkkkkMMMMMMminmax 5、將各截面的Mmax值用曲線聯(lián)結(jié)起來，將各截面的Mmin值用曲線聯(lián)結(jié)起來，這兩條曲線即形成彎矩包絡(luò)圖或彎矩范圍圖。10m10m10m例：已知恒載集度q=12kN/m，活載集度p=12kN/m。作M包絡(luò)圖。0123456789101112120120q=12kN/m9030P=12kN/m 80110103020P=12kN/m60603030 P=12kN/m80110103020MmaxMmin00210024681012M恒M活1M活2M活31009090120100210060260 3026060045MmaxMmin00210024681012100120100210060260 30260600012345