第六章二維隨機變量ppt課件

1、第六章第六章 二維隨機變量二維隨機變量目的與要求：掌握二維離散、延續(xù)變量及分布函數(shù)的概念、目的與要求：掌握二維離散、延續(xù)變量及分布函數(shù)的概念、掌握邊緣分布與條件分布計算。掌握邊緣分布與條件分布計算。教學(xué)內(nèi)容與時間安排教學(xué)內(nèi)容與時間安排2 2學(xué)時學(xué)時教學(xué)方法：講授與提問結(jié)合教學(xué)方法：講授與提問結(jié)合教學(xué)手段：多媒體教學(xué)手段：多媒體PPTPPT軟件軟件重點：二維離散與延續(xù)變量的分布函數(shù)及邊重點：二維離散與延續(xù)變量的分布函數(shù)及邊緣分布的計算。緣分布的計算。難點：邊緣分布難點：邊緣分布 由于從二維推行到多維無本質(zhì)性的困難，由于從二維推行到多維無本質(zhì)性的困難，本節(jié)我們重點討論二維隨機變量。本節(jié)我們重點討論

2、二維隨機變量。 到如今為止，我們只討論了一維隨機變量及到如今為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布。但有些隨機景象用一個隨機變量來描其分布。但有些隨機景象用一個隨機變量來描畫還不夠，而需求用幾個隨機變量來描畫。畫還不夠，而需求用幾個隨機變量來描畫。 定義定義 假設(shè)某隨機變量要經(jīng)過假設(shè)某隨機變量要經(jīng)過 個隨機變個隨機變量量 組成的有序數(shù)組組成的有序數(shù)組nXXX,21),(21nXXXn第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機變量及分布函數(shù)二維隨機變量及分布函數(shù)來描畫，那么稱此有序數(shù)組為來描畫，那么稱此有序數(shù)組為 維隨機變量。維隨機變量。相應(yīng)地，稱相應(yīng)地，稱 元函數(shù)元函數(shù)nn),(),(221121nnnxXxXx

3、XPxxxF為為 維隨機變量維隨機變量 的結(jié)合分布函數(shù)。的結(jié)合分布函數(shù)。),(21nXXXn特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 時，時， 為二維隨機變量。為二維隨機變量。2n),(YX為二維隨機變量為二維隨機變量 的結(jié)合分布函數(shù)。的結(jié)合分布函數(shù)。( (幾幾何意義何意義) ) ),(YX該當(dāng)強調(diào)的是，該當(dāng)強調(diào)的是，),(yYxXP是指是指xX 與與yY 同時成立的概率。同時成立的概率。),(),(),(yxyYxXPyxF稱稱 二維隨機變量二維隨機變量 的結(jié)合分布函數(shù)有以的結(jié)合分布函數(shù)有以下性質(zhì)：下性質(zhì)： ),(YX),(. 1yxF分別對分別對 和和 單調(diào)不減，即單調(diào)不減，即xy當(dāng)當(dāng) 時，時，21xx ;)

4、,(),(21yxFyxF當(dāng)當(dāng) 時，時，21yy ;),(),(21yxFyxF),(. 2yxF對對 和和 都是右延續(xù)的，即都是右延續(xù)的，即xy; ),() 0,(, ),(), 0(yxFyxFyxFyxF,1),(0. 3yxF且，且，;0),(),(xFyF;1),(;0),(FF. 4對恣意實數(shù)對恣意實數(shù) ，成立，成立，2121,yyxx121222122111(,)( ,)( ,)( ,)( ,)0P xXx yYyF x yF x yF x yF x y 對于二維隨機變量我們?nèi)苑謩e散型與延續(xù)對于二維隨機變量我們?nèi)苑謩e散型與延續(xù)型兩種情況來討論。型兩種情況來討論。 第二節(jié)第二節(jié) 二

5、維離散型隨機變量及其分布二維離散型隨機變量及其分布 對于二維隨機變量對于二維隨機變量 ，假設(shè)，假設(shè) 和和 都是離都是離散型隨機變量，那么稱散型隨機變量，那么稱 是二維離散型隨機是二維離散型隨機變量。變量。 ),(YX),(YXXY幾何意義幾何意義為為 的結(jié)合分布列或分布列。的結(jié)合分布列或分布列。),(YX，那么，那么稱稱ijp, 2 , 1,),(jipyYxXPijji的分布列也可由以下矩陣表格表示。的分布列也可由以下矩陣表格表示。),(YX1211ppXY2221pp21yy21xx ()(,)( ,1, 2 , 3 .),ijXYxyij 定 義二 維 離 散 型 隨 機 變 量，可 能

6、 的取 值 為相 應(yīng) 的 概 率 為), 3 , 2 , 1,(),(jiyxii由于由于普及一切普及一切的能夠取值，從而成立的能夠取值，從而成立.1, 01,jiijijpp反之，假設(shè)某非負(fù)數(shù)列反之，假設(shè)某非負(fù)數(shù)列 ), 3 , 2 , 1,(jipij滿足滿足 ，那么它定可作為某二維離散，那么它定可作為某二維離散型隨機變量的分布列。型隨機變量的分布列。.11,jiijp 例例1 1 一口袋中裝有四個球，上面依次標(biāo)一口袋中裝有四個球，上面依次標(biāo)有數(shù)字有數(shù)字1 1，2 2，2 2，3 3。從袋中任取一球后不放回。從袋中任取一球后不放回的再取一球，假設(shè)每次取球時袋中各球被取到的再取一球，假設(shè)每次

7、取球時袋中各球被取到的能夠性一樣，以的能夠性一樣，以 和和 表示第一次和第二表示第一次和第二次取出的球上標(biāo)有的數(shù)字，求次取出的球上標(biāo)有的數(shù)字，求 的結(jié)合分布。的結(jié)合分布。),(YXXY解解 能夠取值為能夠取值為),(YX),2 , 2(),1 , 2(),3 , 1 (),2 , 1 (. )2 , 3)(1 , 3(),3 , 2(由乘法原理，得：由乘法原理，得：,613241)2, 1(),(12pYXP,1213141)3 , 1(),(13pYXP類似可得：類似可得：613121)1 ,2(),(21pYXP613121)2,2(),(22pYXP613121)3 ,2(),(23pY

8、XP1213141)1 , 3(),(31pYXP.613241)2, 3(),(32pYXP從而所求的分布列為：從而所求的分布列為：121610XY321161616106112123第三節(jié)第三節(jié) 二維延續(xù)型隨機變量及其分布二維延續(xù)型隨機變量及其分布dxdyyxfyxFxy ),(),( 定義定義 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 的結(jié)合分布函的結(jié)合分布函數(shù)為數(shù)為 ，假設(shè)存在一非負(fù)二元函數(shù)，假設(shè)存在一非負(fù)二元函數(shù) , ,使使對恣意實數(shù)對恣意實數(shù) 有有),(YX),(yxF),(yxf, yx那么稱那么稱 是二維延續(xù)型隨機變量，相應(yīng)的是二維延續(xù)型隨機變量，相應(yīng)的二元函數(shù)二元函數(shù) 稱為稱為 的結(jié)合密

9、度。它滿足：的結(jié)合密度。它滿足：),(YX),(yxf),(YX 1),(dxdyyxf,0),(yxf 反之，假設(shè)二元函數(shù)滿足以上條件，那么反之，假設(shè)二元函數(shù)滿足以上條件，那么它定可作為某二維延續(xù)型隨機變量的結(jié)合密它定可作為某二維延續(xù)型隨機變量的結(jié)合密度。度。,),(),(2yxyxFyxf不難得出，在不難得出，在 的延續(xù)點：的延續(xù)點：),(yxf且對平面上的恣意區(qū)域且對平面上的恣意區(qū)域D證明如下證明如下),(DyxPdxdyyxfD),(其其它它,),()(0002yxkeyxfyx試求試求(1) (1) 常數(shù)常數(shù) 的值；的值；k例例2 2 二維隨機變量二維隨機變量 的結(jié)合密度為的結(jié)合密度

10、為),(YX),(YX3 3 的結(jié)合分布函數(shù)。的結(jié)合分布函數(shù)。),(YX 取值落入?yún)^(qū)間取值落入?yún)^(qū)間中的概率；中的概率；1),(yxyxD解解 1 1由結(jié)合概率密度的性質(zhì)：由結(jié)合概率密度的性質(zhì)： 1),(dxdyyxf(2)001x ykedxdy 2001xykedxe dy2k從而從而其其它它,00, 0,2),()2(yxeyxfyx2 2DdxdyyxfDYXP),(),(;3996.0)1 (22110)2(10edyedxxyx1yxxyo11D3 3由結(jié)合分布的定義，由結(jié)合分布的定義，dxdyyxfyxFxy ),(),(當(dāng)當(dāng) 或或 時，時， 從而從而0 x; 0),(yxF0y0

11、),(yxf當(dāng)當(dāng) 且且 時，時， 從而從而0 x0y)2(2),(yxeyxf)1)(1 (2),(200)2(yxxyyxeedxdyeyxF 其其它它, 00, 0),1 ()1 (),(2yxeeyxFyx從而所求的結(jié)合分布函數(shù)為：從而所求的結(jié)合分布函數(shù)為：下面我們引見兩個常見的二維分布。下面我們引見兩個常見的二維分布。 設(shè)設(shè) 是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為 。假設(shè)二維隨機變量假設(shè)二維隨機變量 具有概率密度具有概率密度GS),(YX其其它它, 0),(,1),(GyxSyxf那么稱那么稱 在在 上服從均勻分上服從均勻分布。布。),(YXGDdxdyyxfDYXP

12、),(),(DdxdyS1SD 的 面 積 向平面上有界區(qū)域向平面上有界區(qū)域 上任投一質(zhì)點，假設(shè)上任投一質(zhì)點，假設(shè)質(zhì)點落在質(zhì)點落在 內(nèi)任一小區(qū)域內(nèi)任一小區(qū)域 的概率與小區(qū)域的概率與小區(qū)域GGD的面積成正比，而且與的面積成正比，而且與 的外形及位置無關(guān)。的外形及位置無關(guān)。D 例例3 3 甲乙兩人各自在甲乙兩人各自在0,10,1區(qū)間上隨機區(qū)間上隨機取數(shù)取數(shù), ,求甲所取數(shù)超越乙所取數(shù)兩倍的概率。求甲所取數(shù)超越乙所取數(shù)兩倍的概率。上的均勻分布上的均勻分布, ,從而所求概從而所求概率為率為: : 12.4P XY陰影部分面積D的面積 O12y2xyx1 解解 用用 表示甲所取的數(shù)表示甲所取的數(shù), ,

13、表示乙所表示乙所取的數(shù)取的數(shù), ,那么那么X X，Y Y服從正方形區(qū)域服從正方形區(qū)域XY10 , 10|,yxyxD2112221121121)()(exp),(xyxf)()(22222211yyx其中其中均為常數(shù)均為常數(shù), ,且且,2121假設(shè)二維隨機變量假設(shè)二維隨機變量 具有概率密度：具有概率密度：),(YX,2121那么稱那么稱 服從參數(shù)服從參數(shù)為為),(YX的二維正態(tài)分布。的二維正態(tài)分布。, 0, 0211|記作：記作：。),(),(2121NYX密度函數(shù)圖形密度函數(shù)圖形體積為體積為1第四節(jié)第四節(jié) 隨機變量的邊緣分布隨機變量的邊緣分布即是指即是指。YxX,稱這種由稱這種由 的結(jié)合的結(jié)

14、合),(YX對于二維隨機變量對于二維隨機變量 ，隨機事件，隨機事件),(YXxX ),(YXX分布函數(shù)確定出的一維隨機變量分布函數(shù)確定出的一維隨機變量 的分布函數(shù)的分布函數(shù)為為 關(guān)于關(guān)于 的邊緣分布。的邊緣分布。X又稱邊沿分布。假設(shè)又稱邊沿分布。假設(shè) 的結(jié)合分布函數(shù)的結(jié)合分布函數(shù)為為),(YXX, ),(yxF那么關(guān)于那么關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)記為的邊緣分布函數(shù)記為, )(xFX),(),()(YxXPxFxFX類似可得類似可得 關(guān)于關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)為),(YXY。),(),()(yYXPyFyFY 由結(jié)合分布可以確定邊緣分布由結(jié)合分布可以確定邊緣分布; ;但由邊緣但由邊緣分

15、布普通不能確定結(jié)合分布。分布普通不能確定結(jié)合分布。 普通地，對二維離散型隨機變量普通地，對二維離散型隨機變量 ，結(jié)合分布列為結(jié)合分布列為),(YX,)(21ippxXPjijii(),1,2,jjijiP Yyppj, 2 , 1,),(jipyYxXPijji那么那么 關(guān)于關(guān)于 的邊緣分布列為的邊緣分布列為),(YXX關(guān)于關(guān)于 的邊緣分布列為的邊緣分布列為),(YXY 我們常將邊緣概率函數(shù)寫在結(jié)合概率函數(shù)表我們常將邊緣概率函數(shù)寫在結(jié)合概率函數(shù)表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞。格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞。例例4 4 設(shè)設(shè) 的結(jié)合分布列為的結(jié)合分布列為),(YX410121XY2

16、1101211216101214113求關(guān)于求關(guān)于 及及 的邊緣分布列。的邊緣分布列。 XY解解 由邊緣分布列的定義，由邊緣分布列的定義， 111()(0)(0,1)(0,1)111(0,2)01243jjP XxP XppP XYP XYP XY 31121121612111111),(),(),()(YXPYXPYXPXP310121412313133),(),(),()(YXPYXPYXPXPY同理可計算出同理可計算出 的邊緣分布。的邊緣分布。X21031 ip3131Y21121jp6131從而關(guān)于從而關(guān)于 及及 的邊緣分布列為：的邊緣分布列為：XY 對二維延續(xù)型隨機變量對二維延續(xù)型隨

17、機變量 ，假設(shè)結(jié)合概，假設(shè)結(jié)合概率密度為率密度為 ，那么關(guān)于，那么關(guān)于 的邊緣分布的邊緣分布),(yxf),(YXX313131410121XY21101211216101214113 ipjp316121也可表示為：也可表示為：。dxyxfyfY),()(dyyxfxfX),()(其邊緣密度函數(shù)為：其邊緣密度函數(shù)為：同理可知關(guān)于同理可知關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)和密度函數(shù)的邊緣分布函數(shù)和密度函數(shù)為：為：YyYdydxyxfyF,),()(xXdxdyyxfxF,),()(函數(shù)為：函數(shù)為：其其它它,),()(00022yxeyxfyx例例5 5 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 的結(jié)合密度為的結(jié)合密度為

18、),(YX),(YX求求 關(guān)于關(guān)于 和和 的邊緣概率密度。的邊緣概率密度。XY解解 由定義由定義,)(,00 xfxX022220 xyxXedyexfx)()(,所以所以。00022xxexfxX,)(同理同理。000yyeyfyY,)(解解 由二元正態(tài)分布函數(shù)定義可知由二元正態(tài)分布函數(shù)定義可知,X Y的結(jié)合概率密度為的結(jié)合概率密度為X和和 的邊緣概率密度。的邊緣概率密度。Y 例例6 6 設(shè)設(shè), , 試計算關(guān)于試計算關(guān)于,222121YX2122211221222122()11( , )exp2(1)212 ()()()xuf x yxuyuyu ,.Xfxf x y dy從而從而 記記11

19、,xu且對積分引入變量代換且對積分引入變量代換22,yvv再對被積函數(shù)中的指數(shù)部分里的再對被積函數(shù)中的指數(shù)部分里的配方配方, ,可得可得 22222222222222222222122 1212 12212 122122()(1)12112111221uuvvXvuuvuuuuvvvuvuuuvuufxedveedveedv 22121221111.22xuXfxee同理可得同理可得 2222221.2yYfye留意到積分中函數(shù)恰好為一正態(tài)分布留意到積分中函數(shù)恰好為一正態(tài)分布 的概率密度的概率密度, ,積分值應(yīng)為積分值應(yīng)為1,1,從而從而21 ,uN例例7 7 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量(X, Y)

20、(X, Y)的概率密度是的概率密度是其其它它,),(),(00102xyxxcyyxf求求 (1) c (1) c的值；的值； 2 2兩個邊緣密度。兩個邊緣密度。1 dxdyyxf),(解：解：(1)(1)由由12100 xdxdyxcy)(dxxxc10222/ )(1245 c84.c),2(5122xx(2)(2)xXdyxyxf02524)()(, 10 x1xyoyx 所以所以其其它它,),()(01025122xxxxfX1)2(524)(yYdxxyyf),2223(5242yyy, 10 y其它其它,),()(01022235242yyyyyfY第五節(jié)第五節(jié) 隨機變量的相互獨立

21、性隨機變量的相互獨立性 隨機變量的相互獨立性，是事件相互獨立隨機變量的相互獨立性，是事件相互獨立性的推行，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的實踐運用中性的推行，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的實踐運用中是一個重要的概念。是一個重要的概念。 定義定義 設(shè)設(shè) 是兩個隨機變量，假設(shè)對是兩個隨機變量，假設(shè)對恣意實數(shù)恣意實數(shù) 有有YX，yx,(,)()() ,P Xx YyP Xx P Yy那么稱設(shè)那么稱設(shè) 與與 是相互獨立是相互獨立的。的。XY 假設(shè)用假設(shè)用 表示表示 的結(jié)合分布函數(shù)，的結(jié)合分布函數(shù)，),(YX),(yxF和和 分別表示分別表示 和和 的邊緣分布函的邊緣分布函)(xFX)(yFYXY數(shù)，那么對于相互獨立的隨機變

22、量數(shù)，那么對于相互獨立的隨機變量 和和 有：有：XY. )()(),(yFxFyxFYX(,)()() ,ijijP Xx YyP XxP Yy即對一切的即對一切的),(ji 設(shè)設(shè) 是二維離散型隨機變量，那么是二維離散型隨機變量，那么 與與 ),(YX),(YX相互獨立的充分必要條件是：對相互獨立的充分必要條件是：對 一切能一切能夠的取值夠的取值 有有),(jiyxYXjiijppp例例8 8 設(shè)設(shè) 的結(jié)合分布列為的結(jié)合分布列為),(YX121611211XY10124112124128141814XY證明證明 與與 分布相互獨立。分布相互獨立。X42131 ip6121Y10141jp2141容易算得證明容易算得證明 與與 的邊緣分布列為：的邊緣分布列為：XY容易驗證：容易驗證：11114131121ppp2112213161ppp類似可以驗證：類似可以驗證：對一切的對一切的),(jijiijppp成立，所以成立，所以XY 與與 分布相互獨立。分布相互獨立。Y),(YXX 對二維延續(xù)型隨機變量對二維延續(xù)型隨機變量 ，假設(shè)結(jié)合概率，假設(shè)結(jié)合概率密度為密度為 ，假設(shè)，假設(shè) 與與 相互獨立，那么：相互獨立，那么：),(yxf. )()(),(yFxFyxFYX等式兩邊對等式兩邊對 求二階混合偏導(dǎo)數(shù)可得：求二階混合偏導(dǎo)數(shù)可得：yx,)()(),(yfxfyxfYX反之也成立。