最優(yōu)控制習(xí)題及參考答案

1、最優(yōu)控制習(xí)題及參考答案習(xí)題1求通過x(O) = l, x(l) = 2 ,使下列性能指標(biāo)為極值的曲線:J = f (x2 + l)dfJ/o解：由己知條件知：r0 = 0, tf = 1由歐拉方程得：4(2%) = 0atx = Cx = C/ + C2將 x(0) = 1, x(l) = 2 代入，有：C2 = L C = 1得極值軌線：xt) = t + l習(xí)題2求性能指標(biāo)：J= fx2+l)dtJo在邊界條件x(0) = 0 , x(l)是門由情況下的極值曲線。X。i0i'解：由上題得：xt) = Clt + C2,dL由衣由 x(o)= o 得：g = o=2丘血)=2C=&#

2、187; = 0 f=/于是：/(/) = 0【分析討論】對(duì)丁任意的x(o)= x0, x(i)n由。有：C2 = xQ, C = 0 ,即：xt) = xQ其兒何意義：x(l)lH由意味著終點(diǎn)在虛線上任意點(diǎn)。習(xí)題3 己知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x1(r) = x2(r), x2(r)= ；/(r)邊界條件為:x1(0) = x2(0) = l, X(3)=兀(3) = 0 ,試求使性能指標(biāo)丿二f3-ut)dtJo 2取極小值的最優(yōu)控制llt)以及最優(yōu)軌線/(/) O解：由己知條件知：f = 21 UHanuton 函數(shù)：H = L + A7 f 1> / =丄/ + 入x? + 入“由協(xié)態(tài)方

3、程：p=0U = -A衛(wèi)嚴(yán) IA> - -Cj+C2 TH由控制方程：= u + =05u 得：U = 2 = C2 由狀態(tài)方程：x2=u = C/-C2得：x>(/) = C廣C+ C3 由狀態(tài)方程： =x2得：不(/)=cFC2t2 4- C3t 4- C4 將 x(0)=，X3) =代入，,聯(lián)立解得：C=¥，C2 = 2 , C3 = C4 = 1 由、式得：心）=罟，-2X；（F） = 戶一尸+F + l兀;話$ 2r+1習(xí)題4已知系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為x = w ,x（0） = 1試確定最優(yōu)控制使下列性能指標(biāo)取極小值。J = （x2 +u2）e2tdtJo解：

4、 H = x2e2t +u2e2t + Au列方程：人=一2加"2e2,u + 2 = 0由得，”=-丄kq 2代入得，x = e2t A2丘=一丄尸/兄+尸口2將，代入，并考慮到u = xx = -| £ J（_2xe2t） + £ J（_2/q）整理可得：x+2x-x = 0特征方程：52+25-1 = 0$ = -1 + 2, 5-)= 1 2于是得：/(o = Qv + cz：f才(足-2e2'u= -2e2'x2*(f) = -2/(CS"" + C2s2e5-)由x(0) = 1,得：CC2=1由 A(/y) = A

5、(l) = 0得:C$c斥 + C2s2eS2 = 0、聯(lián)立，可得C、c2代回原方程可得/(略)習(xí)題5求使系統(tǒng)：X = x2, x2 = u65#由初始狀態(tài)x1(O) = x2(O) = O出發(fā)，在-=1時(shí)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集1 /J 1x1(l) + x2(l) = l,并使性能指標(biāo) J = -j ut)dt為最小值的最優(yōu)控制/(/)及和應(yīng)的最優(yōu)軌線F(/) 0解:本題/(),厶()與習(xí)題3同，故/()相同f方程同f通解同入=C,易=-Cj + C2xi =7 c? 一石 °2尸 + G' + C4 oz1 9x2 =_C丁 - C2t 4- C3u = Cj C、兀(0)=,有：

6、C3 = C4 = 0由召(1) +兀2(1)=1,有:由兄(1) = y = 0, / = Xj + 1dx dx有:2(1)= J/ = O=>21(1) = 22(1)丁 是：c嚴(yán)c + q2C = C2、聯(lián)立，得：C二-二 c7=-17-7丁r3,6于是：u =1 + .1332x =r+-r 11473, 6=r +r 147習(xí)題6已知一階系統(tǒng)：x(r) = -x(r)+ u(t), x(0) = 3(】)試確定最優(yōu)控制ut).使系統(tǒng)在tf = 2時(shí)轉(zhuǎn)移到x(2) = 0 ,并使性能泛函./o(l + u2)dt = min(2)如果使系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到x(rr)= 0的終端時(shí)間。H由

7、，問“"(/)應(yīng)如何確定? 解： H = 1 + “2 + 加一 Axx = -x + u列方程： 2 =兄2“ + 幾=0由協(xié)態(tài)方程得：A =由控制方程=代入狀態(tài)方程：x = -x-C/ n x(f) = C2e'1 一丄C0 / = 2, x(2) = 0解得:G =，5= Je 1e 1代入得：/(/) = $孑e I")= 2,-自由如=0解得：(?=阿一6 = 0.325u (t) = 0.162/習(xí)題7設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為x(r)= u(t), x(0) = 1試確定最優(yōu)控制/(/),使性能指標(biāo)為極小，其中終端時(shí)間/未定，x(tf) = 0 o 解

8、：H =丄 u2 + Am2由協(xié)態(tài)方程得：A = 0=由控制方程："+ 2 = 0 > u = C由狀態(tài)方程：x = u = -Q => x(r) = -C/ + C2 由始端：x(0) = 1 tC?=1由末端：x(/) = 0 Cj/+l = 0考慮到：)= -空一竺7 = -17 6tf dtf有：w2 + Au = -12*即Cl1 =即=2C = ±/2當(dāng)C嚴(yán)忑時(shí)，代入w：當(dāng)6 = 丁！時(shí)，代入有：t/ = y = 了亍，不合題意，故有C =最優(yōu)控制u = -V2習(xí)題8設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為x1(0 = 2(0> 不(0) = 2性能指標(biāo)為x

9、2(t) = u(t),兀(0)= 1要求達(dá)到x(rz) = O,試求：(1) tf = 5時(shí)的最優(yōu)控制(2) tf門由時(shí)的最優(yōu)控制/(/)；解：本題/(),厶()，/()與前同，故有Aj = Cj + C2< Xj =C/3 -C2r2 + C3t + C4 oz%2 = Cj + C35 = 2C3 = l 2 0 1?s由x(0)= g)= 0 ,得：C2 + 5C3 + C4 = 025尹-5C2+0聯(lián)立得：C, = 0.432, C2 = 1.28, n / = 0.432/-1.28tf H由C=1G=2<_C2r/ +Q/ +C4 =°込 Cj； - C2t

10、f + C3 = 0H（r） = 0聯(lián)立有：C-2C2rz +2 = 0,無論C?為何值，/均無實(shí)解。習(xí)題9 給定二階系統(tǒng)A（0 = X2（O+» xi（0）=丘2（'） = "（/）'兀2（°） = 丁4控制約束為|w（r）|<y,耍求最優(yōu)控制/，使系統(tǒng)在/ = /,時(shí)轉(zhuǎn)移到x（tf） = 0, 并使J = f ir（t）dt = niinJo其中-自由。. 1解：H = “- +人兀）+ a人+入”-丄入入<12 - -本題屬最小能暈問題，因此：«*（/） = <一丄入>1入 <-1入=0 T入=C由協(xié)態(tài)

11、方程：P1入=-人> 入=-C/ + G易是的H線函數(shù)。由始端條件tCj = C嚴(yán)丄4由木端條件TiQ/-i4=°另：H（rz）= o聯(lián)立解得:C1=|, C2=0, tf = 3= 1 時(shí) 9 t <0入=_1 時(shí)，/ = 9在/從0->3段,|<1滿足條件。習(xí)題10設(shè)二階系統(tǒng)班(。=一兀()+ "0)，不(0) = 1E(F) = X(r),x2(O)= O控制約束為w(r)< 1,當(dāng)系統(tǒng)終端IH由時(shí)，求最優(yōu)控制/()，使性能指標(biāo)J = 2x1(1) + x2(1)収極小值，并求最優(yōu)軌線xt)oXi + u解：由題思，f =, (p = x

12、 + x2,厶=0,=> H = u-+ A2xl宙控制方程可得:由協(xié)態(tài)方程可得:=> 人=C2ef + C=>人=6d(p人=嚴(yán)+1 t在r > 0的范圍內(nèi)人 人=1>1故：宀一1 re0,1若需計(jì)算最優(yōu)軌線，只需把u=-l代入狀態(tài)方程，可得： x*(t) = 2ef -1x2*(/) = -2e' - r + 2習(xí)題11設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為A (f) = X2(')' ”1(°) = Xio屯(/) = "()， X2(0) = X2Q性能指標(biāo)為J = - （ （4彳+ ir）dt2 Jo試用調(diào)節(jié)器方法確定最優(yōu)控制llt） O解:由已知條件得：“00AB =可控考慮到'D '2 0_DA0 2:最優(yōu)解在0 2 0=DTDf 故 D = 2閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定0由 Riccati 方程 Al P + PA- P