數(shù)列求和7種方法方法全_例子多

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應(yīng)的練習(xí)）一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯(cuò)位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯(cuò)位相減 法，三、逆序相加法、錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的二個(gè)基本方法。、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法n1,八3、Snkn(n 1)k 125、Snnk31 2丁(n 1)2k 12例1已知x1 2,求 x x2解:由等比數(shù)列求和公式得g an)2na1n(n21)dna1(q1)a1 (1 qn1 q)a11anqq(q1)4、Snnk2k 111

2、n(n 1)(2n1)63xnx的前n項(xiàng)和Snx x2x3nx（利用常用公式）x(1x )=2(11)2n) = 1 1 1 2n21x11、 等差數(shù)列求和公式：Sn2、 等比數(shù)列求和公式：Sn例 2設(shè) S= 1+2+3+ +n, n N,求 f (n)Sn(n 32)Sn i的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得Sn】n(n21),1Sn-(n 1)( n 2)2 f(n)Sn n(n32) Sn 12 n34n 64 1 1164 n 34 -n(n,n)5050當(dāng)n8 ，即 n= 8 時(shí)，fn(n) max150（利用常用公式）二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的

3、方法，這種方法主要用于求數(shù)列項(xiàng)和，其中 a n 、 b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3（2n 1）xn 1解：由題可知， （2n 1）xn1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列 xn設(shè) xSn 1x 3x2 5x3 7x4一得（1 x）Sn 1 2x 2x2再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1(2n1)xn2x32x42xn1(2n1)xnx)Snn 1 c 1 x1 2x1 x(2n1)xna n bn的前 n1的通項(xiàng)之積（設(shè)制錯(cuò)位）（錯(cuò)位相減）Sn(2n 1)xn 1(2n1)xn (1 x)(1 x)2例4求數(shù)列2上2目 也，前n項(xiàng)的和2'

4、;2 ' 2 ' '2n解：由題可知,設(shè)Sn22222空 2n4尹423的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列1三的通項(xiàng)之積2_6_尹6242n2n2* 11一得（1）Sn22.2223_422nnn2222 22 212n22n12n1n 2Sn42n1（設(shè)制錯(cuò)位）（錯(cuò)位相減）練習(xí)題 1 已知，求數(shù)列 an的前n項(xiàng)和S.答案：練習(xí)題的前 n 項(xiàng)和為答案：、逆序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序） ，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到 n個(gè) (a1an).例5 求證： Cn0 3Cn15Cn2(2n1)Cnn證明： 設(shè) S

5、n Cn03C1n5Cn2(2n把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得Sn (2n 1)Cnn (2n 1)Cnn 1 又由 Cnm Cnn m 可得Sn (2n 1)Cn0 (2n 1)Cn1+得 2Sn (2n 2)(Cn0 C1n(n 1)2ni)cn. 3Cn1 Cn0（反序）n1 n3CnCn. Cnn 1 Cnn) 2(n 1) 2n（反序相加）Sn(n1) 2題 1 已知函數(shù)1）證明：2）求的值 .解：（ 1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊2）利用第（ 1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得：所以四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為

6、幾個(gè)等差、常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1丄a例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：11解：設(shè) Sn (11)(a4)4,4t 7,a1(p 7) a1n 1a(丄a3n 2，3n 2)等比或?qū)⑵涿恳豁?xiàng)拆開(kāi)再重新組合得1Sn (1 一a當(dāng)a = 1時(shí),Sn1F)(1 a(3n1)n3n 2)當(dāng)a 1時(shí),例 8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)(3n1)n（分組）（分組求和）(3n 1)n的前n項(xiàng)和.解：設(shè) akk(k 1)(2k 1)2k33k2(3n 1)n2nSn k(k 1)(2kk 11)n(2 k313k2k)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得nS= 2k3k 1k2（分組）=2(1323n3) 3(

7、1222n2) (1 2n)五、裂項(xiàng)法求和2 2n (n 1)22n(n 1) (nn(n 1)(2 n 1) n(n 1)2)（分組求和）這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n )2(2n 1)(2 n 1)1 112(2n 12n 1)(5)ann(n 1)( n 2)12n(n 1)(nann 21n(n 1) 2n2(n1) nn

8、(n 1)12n1 1n 1nn 2 (n 1)2,則Sn1(n 1)2n(7)(8)例9anan(An B)(A n C) C B( A n B1AnC)求數(shù)列1解：設(shè)an則Sn的前n項(xiàng)和.（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）=(.2 .1)(.3(. n 1、n）例10在數(shù)列an中，an2an an 1求數(shù)列b n的前n項(xiàng)的和.解:ann 12n n 12（裂項(xiàng)）數(shù)列b n的前n項(xiàng)和11Sn8(1-)(221=8(1 )=n 113)8nn 11 1(3 4)1(-nG)（裂項(xiàng)求和）（2009年廣東文）20.（本小題滿分14分)(n) c,.Sn1 n 1 1 n ,Snn2當(dāng)n 2,bn&Si

9、12n 1 2n 1 ；1已知點(diǎn)（1,丄）是函數(shù)f（x） ax（a 0,且a 1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列%的前n項(xiàng)和為3數(shù)列bn(bn 0)的首項(xiàng)為c,且前n項(xiàng)和Sn滿足S*Sn1 =Sn+ .Sn1(n 2)（1）求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;0.【解析】(1)1 » f 1Ia153f x1 %312a1f 1 cc , a2f2 cf 1 c539a3f 3cf 2c2274又?jǐn)?shù)列ar,成等比數(shù)列，a12a.2 1c，所以c 1 ;a323 327又公比qa2-，所以an2 _-n 121n*n Na133 ；331 bSnSn1忑JSn 1怎Sn 1怎Sn 1n2又bn050,

10、 & 1 1;11000（2）若數(shù)列前n項(xiàng)和為T(mén)n，問(wèn)Tn>-000的最小正整數(shù)n是多少bn bn 12009數(shù)列、Sn構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列,bn 2n 1( n N)；（2）Tnb|b2b?b3bsb47 HI(2n 1)12n 1由Tn練習(xí)題112n2n 11.1000 得2009 寸HI2n 112n 112n 1n;2n 11000，滿足Tn 1000的最小正整數(shù)為92009112.練習(xí)題2。答案:求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法(1)求差(商)法5練習(xí)數(shù)列an滿足Sn Sn 1 an仆a1 4，求a*3S注意到ani Sn 1 Sn，代入得也4又$ 4 , A S

11、*是等比數(shù)列，& 4*Sn；n 2 時(shí)，anSn Sn 1-34n 1(2)疊乘法如：數(shù)列an中，ai 3,也，求anan n 1練習(xí)數(shù)列an 中，ai1,n 1an 3an 1求anan(已知數(shù)列an滿足a1an，求an。解：由條件知：an 1an1n(n 1)分別令 n 1,2,3,(n1)，代入上式得(n1)個(gè)等式累加之,(a2印)(a3a2)(a4a3)1、1 1、11、(1)( )()22 334所以ana11 1n1113 1a1,an1 22n2 n(an an 1 )n 1 n(4)等比型遞推公式an can 1 d ( c d 為常數(shù),c0, c 1， d 0)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an x c an 1 x an can 1 c 1 x令(c 1)x d , xan 是首項(xiàng)為a1c 1,c為公比的等比數(shù)列解a2 a3aaa?an1.2M2 3n 1anna11又a1n3 a 3n .(3)等差型遞推公式由 an an 1 f(n).aao,求an，用迭加法a2af(2)n 2 時(shí)，a3 a2f(3)兩邊相加得an a1f (2