數(shù)分第十八章第四節(jié)(1)高斯公式和斯托克斯公式

1、.第18 章 曲面積分第四節(jié) 第二類(lèi)型曲面積分的高斯公式與第二類(lèi)型曲線積分的斯托克斯公式理解掌握封閉曲面上第二類(lèi)型曲面積分的高斯公式，并運(yùn)用于一些第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算。理解掌握溝通第二類(lèi)曲線積分與第二類(lèi)型曲面積分聯(lián)系的斯托克斯公式。1、 高斯公式的證明 考察中的有界閉區(qū)域其中是平面上的閉區(qū)域。為行文的簡(jiǎn)短，我們稱這類(lèi)區(qū)域?yàn)楸?lèi)區(qū)域。 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。取的外側(cè)為曲面定向，計(jì)算第二型曲面積分，這時(shí)可以看成是一個(gè)拼接曲面。下底由方程表示，法線向下；上蓋由方程表示，法線向上；還有一個(gè)是母線平行于軸的柱面，記作，法線平行于平面，方向向著體外。這樣便有，因?yàn)樵?，因此；于是，我們有，從?/p>

2、， 如果把最后的表達(dá)式看成是從一個(gè)三重積分化歸的累次積分，我們便得出 。類(lèi)似地，我們可以定義甲類(lèi)區(qū)域。如果閉區(qū)域能夠表示為其中是平面上的閉區(qū)域，那么稱這類(lèi)區(qū)域?yàn)榧最?lèi)區(qū)域。這時(shí)我們有： 。而對(duì)于乙類(lèi)區(qū)域其中是平面上的閉區(qū)域，則有。設(shè)是中的一個(gè)有界閉區(qū)域，它可以同時(shí)分拆為有限個(gè)甲類(lèi)區(qū)域、乙類(lèi)區(qū)域和丙類(lèi)區(qū)域的并，同一類(lèi)中任何兩個(gè)區(qū)域至多只有公共邊界。那么，我們把區(qū)域分成這若干簡(jiǎn)單類(lèi)區(qū)域，在每一簡(jiǎn)單類(lèi)區(qū)域上應(yīng)用上述公式，在同一類(lèi)兩個(gè)區(qū)域的公共邊界上，邊界曲面上的第二類(lèi)曲面積分被用到兩次，但符號(hào)恰好相反，把這些公式兩邊相加，仍能得到如下的結(jié)果：，這三個(gè)公式都成立，把這三個(gè)等式相加，我們得出。這樣，我們已

3、經(jīng)證明了下面的定理18.1(高斯公式)設(shè)是中的有界閉區(qū)域，它可以同時(shí)分拆為有限個(gè)甲類(lèi)區(qū)域、乙類(lèi)區(qū)域和丙類(lèi)區(qū)域的并，同一類(lèi)中任何兩個(gè)區(qū)域至多只有公共邊界。如果和都在上連續(xù)可微，那么便有，或 這里表示區(qū)域的邊界，按外法線方向來(lái)定向，表示曲面的外法線的方向余弦。 （高斯公式 中對(duì)區(qū)域的條件可為：是中的有界閉區(qū)域，其邊界（封閉曲面）為光滑或分片光滑的。應(yīng)用高斯公式就可使第二型曲面積分計(jì)算問(wèn)題變的簡(jiǎn)單,理論上應(yīng)用非常方便。）2、斯托克斯公式的證明斯托克斯公式把沿一塊曲面的邊界的第二型曲線積分同展布在這塊曲面上的第二型曲面積分聯(lián)系了起來(lái)。在某種意義上，可以認(rèn)為斯托克斯公式是格林公式的推廣。證明斯托克斯公式

4、的時(shí)侯，要用到格林公式。在講下述定理之前，先對(duì)雙側(cè)曲面的側(cè)與其邊界曲線的方向作如下規(guī)定：設(shè)有人站在上指定的一側(cè)，若沿行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缜€的正向；若沿行走，指定的側(cè)總在人的右方，則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缜€的負(fù)向。這個(gè)規(guī)定方法也稱為右手定則（因?yàn)樗c判別通電螺線管的磁場(chǎng)方向的右手定則類(lèi)似。）定理18.2(斯托克斯公式) 設(shè)是由有限塊二階連續(xù)可微的正則曲面拼接成的定向曲面。如果和是定義在上的連續(xù)可微函數(shù)，那么這里表示曲面的邊界，曲面的定向與其邊界曲線的定向應(yīng)當(dāng)是協(xié)調(diào)的，表示曲面的定向單位法線的方向余弦。曲線積分的方向和曲面的側(cè)（法向量）按右手法則聯(lián)系。曲面為光滑或分片光

5、滑的，（封閉曲線）為光滑或分段光滑的。證明方法一 用曲面的顯式表示給出的證法先證 ，其中曲面由方程，確定，它的正側(cè)法線方向?yàn)?，設(shè)上指向正側(cè)的單位法向量為 ，其中是的方向角，即分別是與軸，軸和軸的正向的夾角。 則有，。 在平面上投影區(qū)域?yàn)?，在平面上的投影曲線為?，F(xiàn)由第二型曲線積分定義及格林公式，有 ，因?yàn)?，所以，由于，把上述二重積分先換到第一類(lèi)曲面積分，然后在換到第二類(lèi)曲面積分，從而，綜合上述結(jié)果，便的所要證明的成立。同樣，對(duì)于曲面表示為和時(shí)，可證得，將以上三式相加得式。 如果曲面不能直接以的形式給出，則可增添一些輔助光滑曲線把分割為若干小塊，使每一小塊能用這種形式來(lái)表示，在公共的輔助曲線上，

6、第二類(lèi)曲線積分被用到兩次，但符號(hào)恰相反，把這些等式相加，就得要證的公式成立。 證法二：用曲面的向量參數(shù)表示設(shè)是一塊正則參數(shù)曲面片：，設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)，函數(shù)在包含的某個(gè)三維區(qū)域上連續(xù)可導(dǎo)，我們來(lái)計(jì)算第二型曲線積分 。設(shè)的參數(shù)方程是，并且的增長(zhǎng)方向?qū)?yīng)著的正向。這樣，的參數(shù)方程是，因此，對(duì)最后的那個(gè)平面第二型曲線積分應(yīng)用格林公式，得到，（9）計(jì)算得，將以上二式相減，得出，代入（9），得出，即。類(lèi)似地，還有其他兩個(gè)公式，條件是在包含的某個(gè)三維區(qū)域上連續(xù)可導(dǎo)。把以上三個(gè)等式雙方相加，就得到。若是由有限塊二階連續(xù)可微的正則曲面拼接成的定向曲面，任何兩個(gè)小塊正則曲面至多只有公共邊界。那么，我們把整個(gè)曲面分成

7、這若干小塊正則曲面，在每一小塊正則曲面上應(yīng)用上述公式，在相鄰兩個(gè)小塊正則曲面的公共邊界上，邊界曲線上的第二類(lèi)曲線積分被用到兩次，但符號(hào)恰好相反，把這些公式兩邊相加，能得到如下的結(jié)果： 定理18.2(斯托克斯公式) 設(shè)是由有限塊二階連續(xù)可微的正則曲面拼接成的定向曲面。如果和是定義在上的連續(xù)可微函數(shù)，那么，這里表示曲面的邊界，曲面的定向與其邊界曲線的定向應(yīng)當(dāng)是協(xié)調(diào)的，表示曲面的定向法線的方向余弦。（曲線積分的方向和曲面的側(cè)（法向量）按右手法則聯(lián)系。曲面為光滑或分片光滑的，（封閉曲線）為光滑或分段光滑的。）斯托克斯公式記憶法，其中表示曲面的正單位向量。3、用高斯公式計(jì)算第二類(lèi)曲面積分時(shí)，要注意是對(duì)封

8、閉曲面來(lái)用。 如果不是封閉曲面，需要適當(dāng)補(bǔ)充一部分曲面之后，再用高斯公式計(jì)算。4、用斯托克斯公式計(jì)算第二類(lèi)曲線積分時(shí)，要注意是對(duì)封閉曲線來(lái)用。如果不是封閉曲線，需要適當(dāng)補(bǔ)充一段曲線之后，再用斯托克斯公式計(jì)算。5、高斯公式和斯托克斯公式的應(yīng)用例1 證明阿基米得原理：物體全部浸入液體中所受的浮力等于與物體同體積的液體之重。 證明 取坐標(biāo)系如圖 。設(shè)液體的密度是，那么物體表面一小塊面積所受到的壓力大小是，方向是，這里是物體表面的單位外法向量。設(shè)，作為物體的表面的曲面記為，那么整個(gè)物體受到的壓力是，由高斯定理，由此即得，這就是要證明的。例2計(jì)算積分，其中為橢球面的外側(cè)。解 這里，：，由高斯公式，得，用廣義球坐標(biāo)變換這里，。，代入公式，得。例 3 利用斯托克斯公式計(jì)算下列積分：（1），為圓周，從第一卦限內(nèi)看去，是反時(shí)針?lè)较蚶@行的；（2），為橢圓，眼睛從點(diǎn)向看去，是反時(shí)針?lè)较蚶@行的；（3），為，從原點(diǎn)向看去，是反時(shí)針?lè)较蚶@行的。 解 （1） 用記平面在球內(nèi)的部分， 平面的方向，利用斯托克斯公式，得。（這里選曲線所圍的曲面為平面，計(jì)算來(lái)的就簡(jiǎn)單；若選曲線所圍的曲面為半球面，則計(jì)算起來(lái)就難了。以曲線為邊界的曲面，有許多個(gè)，我們當(dāng)然選擇容易計(jì)算的那個(gè)曲面，一般選由曲線所圍的平面或球面。）（2） 用記平面在圓柱內(nèi)的部分，平面的方向，利用斯托克斯公式，得；（3）