專題07極化恒等式問題

1、專題07極化恒等式問題極化恒等式這個(gè)概念雖在課本上沒有涉及，但在處理一類向量數(shù)量積時(shí)有奇效，備受師生喜愛1221 .極化恒等式：a b - (a b ) (a b )2 極化恒等式三角形模型：在ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則AB AC | AD |2 1| BC |243極化恒等式平行四邊形模型：在平行四邊形 ABCD中，AB AD 1 (| AD 2| BD |2 )4類型一利用極化恒等式求值1,則典例1.如圖在三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BA CA 4, BF CFBE CE值為.【答案】【解析】22設(shè) DC a, DF b, BA CA | AD |2 |

2、 BD 2 9b a 422BF CF | FD r | BD j b a 125213解得b _, a 88227BE CE | ED |2| BD 24b a 8類型二利用極化恒等式求最值或范圍典例2在三角形ABC中，D為AB中點(diǎn),C 90, AC 4, BC 3,E,F 分別為 BC,AC 上的動(dòng)點(diǎn)，且 EF=1,則DE DF最小值為15【解析】1設(shè)EF的中點(diǎn)為M,連接CM則| CM | 即點(diǎn)M在如圖所示的圓弧上,則 DE DF | DM |2 | EM |2 | DM |2三| CD | 12 1 15 4244類型三利用極化恒等式求參數(shù)一一 ，一1典例3設(shè)三角形 ABC, P0是邊A

3、B上的一定點(diǎn)，滿足 P oB= _ AB,且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P ,恒有4PB PC P0B P0c ,則三角形ABC形狀為.【答案】C為頂角的等腰三角形.【解析】取BC的中點(diǎn)D,連接PD,Po D.PB PC P0 B P0C| PD |2 11 BC |2 Pjb1| BC |244| PD | P0 DP0D AB ,設(shè)O為BC的中點(diǎn)，OC AB AC BC即三角形ABC為以C為頂角的等腰三角形精選名校模掀PC)的最小值是1已知 ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA (PB【答案】32【解析】一一 22| PM |設(shè)BC的中點(diǎn)為O, OC的中點(diǎn)為 M,連接OP,PM

4、,PA (PB PC) 2PO PA 2| PM |2當(dāng)且僅當(dāng)M與P重合時(shí)取等號(hào)2 直線 ax by c 0 與圓 0 : x2 y216相交于兩點(diǎn)M,N,若c2 a2 b2,P為圓O上任意一點(diǎn)，則PM PN的取值范圍為【答案】6,10【解析】圓心O到直線ax by c 0的距離為d1c |1,a2 b2設(shè)MN的中點(diǎn)為A ,PM PN | PA |2 | MA |2 | PA |2 15| OP | | OA | | PA | | OP | | OA |3 | PA | 5, PM PN | PA |2 15 6, 103 如圖，已知B,D是直角C兩邊上的動(dòng)點(diǎn),AD BD,| AD |3_1B

5、AD 6 , CM 2 (CACB)1CN -(CD CA)，則CM CN的最大值為1【答案】-(.13 4)4設(shè)MN的中點(diǎn)為G, BD的中點(diǎn)為H, CM CN | CG | MN |2 | CG |16|CG I I CH |I HG I13CM4CN2131 .134 (4)所以CM CN的最大值為( .13 4)4如圖在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A位于兩平行直線m,n的同側(cè)，且A到m,n的距離分別為1 , 3,點(diǎn)B,C分別在m,n444上，且| AB AC | 5，則AB AC的最大值為 214【解析】連接BC,取BC的中點(diǎn)D,則AB AC AD2 BD2 ,又 AD 11 AB AC | - 22

6、52522512故 AB AC _ BD _ _ BC又因?yàn)锽Cm.3 1 221所以（AB AC）max5在半彳至為1的扇形AOB 中，AOB60 ,C為弧上的動(dòng)點(diǎn),AB與OC交于點(diǎn)P,則OP BP的最小值為取OB的中點(diǎn)D,連接PD,則OP BPPDODPDCD 110于是只要求求PD的最小值即可,由圖可知，當(dāng) PD AB時(shí)，PD min即所求最小值為 146已知線段AB的長為2,動(dòng)點(diǎn)C滿足CA CB1 ，一為常數(shù)），且點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的2圓內(nèi)，則負(fù)數(shù)的最大值為【解析】如圖取AB的中點(diǎn)為D,連接CD,則CA CB CD2 1，、，-一 ，一 1又由點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，為半徑

7、的圓內(nèi),21 3故j，則負(fù)數(shù)的最大值為3247已知A(0,1),曲線C : y log4x橫過點(diǎn)B,若P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，且AB AP的最小值為2,則 【解析】如圖，B(1,0),則ABJ2,連接BP,取BP的中點(diǎn)C,連接AC,因?yàn)锳B AP的最小值為2,則有 AC 2 BC 22 2 AB2max上式等價(jià)于 AB2 BC 2 AC 2 ,即 ABP 90當(dāng)且僅當(dāng)P與B重合時(shí)取等號(hào)，此時(shí)曲線 C在B處的切線斜率等于1 ,即 1 , a elnJ JA X* 林J11/8若平面向量a, b滿足| 2a b | 3，則a b的最小值為 【答案】98【解析】-2-2-22(2a b) (2a b)

8、| 2a b 卜 | 2a b 卜 039a b _8888當(dāng)且僅當(dāng) | 2a b | 0,| 2a b | 3,即1 |3，| b| 3時(shí)b取最小值9在正方形ABC邛，AB=1, A,D分別在x,y軸的非負(fù)半軸上滑動(dòng),OC OB的最大值為【解析】如圖取BC的中點(diǎn)E,取AD的中點(diǎn)F,2 24OC OB (OC OB)2 (OCOB)2 (2OE)2 (2BE)2 4OE【答案】5 2J52 1所以 OC OB OE 4113而 | OE | | OF | | FE | | AD | | FE | - 1 ,222當(dāng)且僅當(dāng)OF AD, OA OD時(shí)取等號(hào)，所以O(shè)C OB的最大值為0已知正方形ABCD的邊長為2 ,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，以A為圓心,AE為半徑作弧交AD于F,若P為劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn)，則PC PD的最小值為 如圖取CD的中點(diǎn)M.424PC PD (PC PD)2 (PC PD)2 (2PM )2 (2DM )2 4PM12所以PC PD PM而| PM | 1 | PM | | AP | | AE | J5,當(dāng)且僅當(dāng)P,Q重合時(shí)等號(hào)成立所以PC PD的最小值為(J5 1)2 1 5 2娓MN的長1,正方體ABCD-AiBiG D的棱長為2 , MN是它的內(nèi)切球的一條弦，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn), 度最大時(shí)，求PM