專(zhuān)題：拋物線與圓綜合探究題(含答案)

1、專(zhuān)題：拋物線與圓綜合探究題合物線與圓綜合探究題，綜合性強(qiáng)，難度較大，通常都作為“壓軸題”，解此類(lèi)題通常需要熟練掌握拋物線與圓相關(guān)的基本知識(shí)和基本技能，求解時(shí)注意運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行綜合、分析、探究解題思路。例1、拋物線y ax2 bx c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為 x 1, 2B(3,0) ,C(0, 3),(1)求二次函數(shù) y ax bx c的解析式；(2)在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)距離之差最大？若存在，求出 P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)平行于x軸的一條直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，若以 MN為直徑的圓恰好與 x軸相切，求此圓的半徑.解

2、：(1)將 C(0,3)代入 yax2bxc ,得c 3 .將 c3 ,B(3,0) 代入y ax2bx c ,得9a3bc 0. x 1是對(duì)稱(chēng)軸，b21.因此，可得a 1 , b 2二次函數(shù)得解析式是 y x2 2x 3. 2a(2)AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)P即為到B、C的距離之差最大的點(diǎn).二 C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, 3), A點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0), 直線AC的解析式是y 3x 3 ,又對(duì)稱(chēng)軸為x 1 ,：點(diǎn)P的坐標(biāo)(1, 6) .2r,對(duì)稱(chēng)軸為x 1 , ：x2xi 2(3)設(shè)M(%,y)、N(x2，y),所求圓的半徑為r,則x2 x1。由得:x2r 1 。將 N (r1, y)代入解析式y(tǒng)y (r

3、1)22(r 1)3。整理得：y由于圓與x軸相切，即有r=±y。y 0時(shí)，r2.17221172(舍去)；2當(dāng)y 0時(shí)，r2 r4 0,解得,1.17221 .17 人,-(舍去).2所以圓的半徑是一或二2.172例2、已知: 點(diǎn)A,拋物線y(1)試用含圈Iy=kx-4k的圖象與x軸交于在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)ax2 bx c經(jīng)過(guò)。A兩點(diǎn)。a的代數(shù)式表示b;(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D,以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧 兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在。D內(nèi)，它所在的圓恰與 O"目切， 求。D半徑的長(zhǎng)及拋物線的解析式；(3)設(shè)點(diǎn)B是滿足(2

4、)中條件的優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線在 x軸上方的部 分上是否存在這樣的點(diǎn) P,使得/ POA 4/OBA?若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不 3存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（1）解法一：:一次函數(shù)y kx 4k的圖象與x軸交于點(diǎn) a,：點(diǎn) A的坐標(biāo)為（4, 0）。 又;拋物線ax2 bx c經(jīng)過(guò)Q a兩點(diǎn),0,16a 4b 0 b 4a經(jīng)過(guò)解法二：:一次函數(shù)ykxQ A兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線（2）解：由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知,ax2 4ax :點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2,4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A, 點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）。又.拋物線y ax2 bx cx 2 x 2 , b = - 4a o2aD0= DA, 點(diǎn) O

5、在O D ±,且/ DOA= / DAO 又由(1)知拋物線的解析式為4a)當(dāng)a0時(shí)，如圖1,設(shè)。D被x軸分得的劣弧為OmA,它沿x軸翻折后所得劣弧為OnA,顯然OnA所在的圓與OD關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)它的圓心為 D'。 ：點(diǎn)D'與點(diǎn)D也關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),點(diǎn)O在QD'±,且OMOD'相切， ：點(diǎn)O為切OD /DOA= / D'OA45 ° ADO為等腰直角角形 OD2 ” :點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為 24a當(dāng)綜上，o(3)解:當(dāng)點(diǎn)/OBA4a0時(shí),:拋物線的解析式為y2同理可得：OD 2J2 ,d半徑的長(zhǎng)為2行,拋物線的解析式為孑2x；拋物線

6、的解析式為拋物線在X軸上方的部分上存在點(diǎn)P,使得/ POAP在拋物線1 ,- /ADO 2tan/ POEEPOE2x或y1 2-x21 2 x22x ；2x。tan603x:點(diǎn)P的坐標(biāo)為4P在拋物線4 ， 一-ZOBA3設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),且 y>0o1y 2x452x上時(shí)（如圖 2）,/4 /Z POA /OBA3,點(diǎn) B是。D的優(yōu)弧上的一點(diǎn)60過(guò)點(diǎn)P作PE，x軸于點(diǎn)3x解得:2xxiy14 2 36 43x2V20(舍去)01x222x上時(shí)（如圖3)同理可得,解得:2xXi4 2,36 4.3,x2y2:點(diǎn)p的坐標(biāo)為4 2.3,6 4M ；綜上，存在滿足條件的點(diǎn) P,點(diǎn)P的

7、坐標(biāo)為 4注意：動(dòng)點(diǎn)B的變化不影響/ OBA的大小。（舍去）2 3,64 2 .3, 6 4.3例3、如圖，在直角坐標(biāo)系中，O C過(guò)原點(diǎn)O,交x軸于點(diǎn)A (2, 0),交y軸于點(diǎn)B (0, 24)。(1)求圓心的坐標(biāo)；(2)拋物線y=ax2+bx + c過(guò)。A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在正比例函數(shù)3. 一.y=- 1x的圖象上，求拋物線的解析式；(3)過(guò)圓心C作平行于x軸的直線 DE交O C于H E兩點(diǎn)，試判斷 兩點(diǎn)是否在(2)中的拋物線上；(4)若(2)中的拋物線上存在點(diǎn) P (xo, yo),滿足/ APB為鈍角，求 取值范圍。解：(1) ;。經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O, ：AB為。C的直徑。：C為AB的中點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)C作

8、CH垂直x軸于點(diǎn)H,則有CH= 1oB=君2Ok1_OW 1。：圓心C的坐標(biāo)為2(1,平)。(2) ;拋物線過(guò) Q A兩點(diǎn)，：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x = 1。.拋物線的頂點(diǎn)在直線 y =,3x上,:頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1)把這三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線拋物線y= ax2+bx3+ c,得c4a02b解得03"3"3T:拋物線的解析式為y2 3丁0BCDHO(3) O" 2, OB= 2 J3 ,AB <22(273)24.即。C的半徑 r = 2。：D (3, V3),E( 1,6)代入3 22 3、y x x檢驗(yàn)，知點(diǎn) D> E均在拋物線上。33(4) .AB為直徑，

9、當(dāng)拋物線上的點(diǎn) P在。C的內(nèi)部時(shí),滿足/ APB為鈍角。：一1<x0<0或2<x0<3例4、如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,4),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn) C。(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A B、C的坐標(biāo)；(2)若直線y=kx+t經(jīng)過(guò)C M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D,試證明四邊形 CDAN 是平行四邊形；(3)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸 x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?zhí)剿鳎涸趚軸上方是否存在這樣 的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過(guò) A、B兩點(diǎn)，并且與直線 CD相切，若存在，請(qǐng)求出 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)由拋物線的頂點(diǎn)是 M (

10、1, 4),設(shè)解析式為y=a(x-12 + 4(a<0)，又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N (2, 3),所以2令 y = 0,得一x +2x+3= 0,解得:3= a (212+4解彳導(dǎo)a= 1。所以所求拋物線的解析式為 y= - (x 12+ 4= x2+ 2x + 3.x1=-1, x2= 3.得 A (1,0), B (3, 0);令 x=0,得 y = 3,所以 C(0, 3)t=3(2)直線y=kx+t經(jīng)過(guò)G M兩點(diǎn)，所以即k=1,t=3。：直線解析式為y = x + 3.令y = 0,得x=3,k + t=4故口( -3, 0),:3 3 應(yīng)。、m+ n0 -連接AN,過(guò)N做x軸的垂線，垂

11、足為F. 設(shè)過(guò)A N兩點(diǎn)的直線的解析式為 y = mx+ n,則解彳導(dǎo)m= 1,2m+ n=3n=1,所以過(guò)A、N兩點(diǎn)的直線的解析式為 y = x+1o所以DC/ AN.在RtANF中，AN= 3, NF= 3,所以AN= 372 所以DC= AN0因此四邊形CDAN1平行四邊形另：也可以證明 CN / AD(3)假設(shè)在x軸上方存在這樣的 P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過(guò) A B兩點(diǎn)，并且與直線 CD相切，設(shè)P (1, u)其中u>0,則pa是圓的半徑，且 PA2= u2+22過(guò)P做直線CD的垂線，垂足為Q,則PQ= PA時(shí)以P為圓心的圓與直線 CD相切。由第(2)小題易得： MD時(shí)等腰直角三

12、角形，故PQMfe是等腰直角三角形,由 P (1, u)得 PE= u, PM= |4-u|PQ=PM _|4-u|1TF2_ _ 2由PQ=PA得方程:(4 u)=u2+22,解得 u = 422屈,舍去負(fù)值u= -4-276 ,符合題意的u=4+2J6,所以，滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為(1,例5、已知：如圖，拋物線 y 1x232-3-xm與x軸交于 A、3B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，/ ACB= 90° ,m ,即 xi x?= - mi ： rm = 3nx 解得x2(1)求m的值及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)A B、C的三點(diǎn)的。M交y軸于另一點(diǎn) D,連結(jié)DM拜延長(zhǎng) 交。M于點(diǎn)E,

13、過(guò)E點(diǎn)的。M的切線分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、G 求直線FG的解析式；(3)在條件(2)下，設(shè)P為施上的動(dòng)點(diǎn)(P不與C、D重合)， 連結(jié)PA交y軸于點(diǎn)H,問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù) k,始終滿足AH - AP =k,如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)由拋物線可知，點(diǎn) C的坐標(biāo)為(0, m),且m<0.設(shè) A (xi, 0) , B (x2, 0).則有 xi - x2= 3nl又 OC是 RtABC 的斜邊上的高，： AOS A COB . . 2A. OC xOC OB m1 2-x3mR 0或mR - 3,而nx 0,故只能取 m = 3。這時(shí)，y2llx 3 1(x

14、、3)2 4,因此，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo) 33為(A.I113 , - 4)。另外，由AC±BC,也可以用 AC2+ BC2 = AB2來(lái)求mb(2)解法一：由已知可得：M(J3 ,0),A (J3, 0), B (3J3, 0), C (0, 3) ,D(0,3 );.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=J3,也是。M的對(duì)稱(chēng)軸，連結(jié)CE,丁 DE是。M的直徑，DCE= 90°,：直線x=J3,垂直平分CE,：E點(diǎn)的坐標(biāo)為(243,3)。. OA 0M三3,/AOC= /DO* 90° ,ACO= /MDO= 30° , ： AC/DRACL CB,OC OD 3.CB&#

15、177;DE又FG,DE,：FG/ CB;由B (333,0)、C(0,-3)兩點(diǎn)的坐標(biāo)易求直線CB的解析式為：y= <3x3 可設(shè)直線FG的解析式為y=W3x+n，把(2 J3，33-3)代入求得n = 5故直線FG的解析式為y = X3x53解法二：由拋物線解析式可求得：A(一范,0),B (3v3,0),D (0,3),M(V3,0),則有E (2v3,3)。再由AQCO MO DO的長(zhǎng)度可得：/ AC0 = /MDO= 30° ,結(jié)合 DE = 4V3, DEXFG可得：DG= 8, . G點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 5)。 . OG= 5, .OF = OG-芭'=5 V

16、3，; F點(diǎn)的坐標(biāo)為(5芯，0),再由E、G兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線 FG的解析式為y=-3-x-5o (自解)(3)解法一：存在常數(shù)k=12,滿足AH-AP= 12 連結(jié)CP由垂徑定理可知 AD AC , ： / P= / ACH(或利用/ P= /ABC= / ACO 又/ CAH= /PAC ： ACHh APQ . - AC AP 即 AC2 AH AC= AH- AP 在 RtAAOO, AC = AO+OC=(望)2 + 32 = 12 (或利用 AC2 = AO- AB= <3x43 = 12, : AH- AP= 12o解法二：存在常數(shù)k = 12,滿足AH- AP= 12設(shè)AH

17、= x, AP= y由相交弦定 理彳導(dǎo) HD- HC= AH- HP 即(3 - MR - 3)(3 + M聲-3) = x(y - x),化簡(jiǎn)得：xy = 12,即 AH - AP= 12o例6、拋物線y ax2 bx c（ a 0）交x軸于點(diǎn)A（-1,0）y軸于點(diǎn)Q頂點(diǎn)為D,以BD為直徑的。M恰好過(guò)點(diǎn)C.（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）；、B (3,0 )，交（2）求拋物線的解析式；（3）拋物線上是否存在點(diǎn) 標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由P使 PBD為直角三角形？若存在解：（1）（方法一）由題意：設(shè)拋物線的解析式為 ya(x1)(x 3)一 2.y ax 2ax3a a(x1)24a:點(diǎn)

18、C (0, 3a)D (1, 4a);，求出點(diǎn)P的坐（方法二）由題意:9a3b2a2ax 2ax3aDE CE（2）（方法一）過(guò)點(diǎn)D作DEXy軸于點(diǎn)E,易證 DES COB : OC OB3a2 D V Qa1故拋物線的解析式為：y x 2x 3（方法二）過(guò)點(diǎn)D作DELy軸于點(diǎn)E,過(guò)M作MGL y軸于點(diǎn) G 設(shè)。M交x軸于另一點(diǎn)H,交y軸于另一點(diǎn)F,可先證四邊形 OHD時(shí)矩形，貝U OH= DE= 1,再證 OF= CE= a,由 OT OB= OF- OC得：(a)( 3a)a 1 （下同法一）（方法三）用勾股定理，CD+C甘=BD2,也可得a2= 1.（自解）（3）符合條件的點(diǎn)若/ BPA

19、90° ,P存在，共3個(gè)：P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則P1 （0, 3） （P1表示第一個(gè)P點(diǎn)，下同）若 / DBP= 90°過(guò)點(diǎn)P2作P2R，x軸于點(diǎn)R,設(shè)點(diǎn)P2（P, PBR2p 3),由 BP2匕ADBIH導(dǎo)，dhP2R而,即2p 2p 333P2 (二,p 3 (舍去)，故 294)若/1 y -x 式為 2BDP= 90° ,設(shè)DP3的延長(zhǎng)線交7y軸于點(diǎn)117N,可證 EDN sHDB 求得 EN= 2 , : N (0, 2 )求得15DN的解析2求拋物線與直線DN的交點(diǎn)得P3 （ 23，（二綜上所述：符合條件的點(diǎn) P為（0, 3）、21 15(2,4 )。例7

20、、已知拋物線y=ax2+bx+c(a W0)與x軸交于不同的兩點(diǎn) A和B (4, 0),與y軸交于點(diǎn)C (0, 8),其對(duì) 稱(chēng)軸為x=1.求此拋物線的解析式；過(guò)A、B C三點(diǎn)作。0與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) D,求經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O且與直線AD垂直(垂足為 E)的直線OE 的方程；設(shè)。O與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為P,直線OE與直線BC的交點(diǎn)為Q直線x=m與拋物線的交點(diǎn)為 R,直線求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。x=l x-mx=m與直線OE的交點(diǎn)為So是否存在整數(shù) m,使得以點(diǎn)P、Q R S為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在,b2aa 1解：(1)由已知，有c 8.c 8.a 42 b 4 c 0,解得 b

21、 2:拋物線的解析式是 y=-x 2+2x+8.(2)令y=0,得方程-x2+2x+8= 0,解得Xi=-2, x2=4.二點(diǎn)A的坐標(biāo)為 (-2 , 0).在Q0，中，由相交弦定理，得 |OA| |OB|=|OC| |OD| , 即 2X 4=8X|OD|,|OD|=1.二點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，：點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0 , -1).|OE|= 2-.5在 RtAOD中，: |OA|=2 , |OD|=1 , OEL AD :由勾股定理，有 AD=后""1=5.又 1|OA| - |OD|=1|AD| |OE| , 22|OA| 2=|AE| - |AD| ,即 22=痣 |AE|

22、 , ： |AE|= 45.同理，由 |OD|2=|DE| |AD| ,得 |DE|=|y|= , . . y=-.在 RtDO即，工 552設(shè)點(diǎn) E(x, y),且 x<0, y<0.在 RtAOE中，1 |AE| - |OE|= 1 |y| |OA| ,22|DE| |OE|= 1|x| |OD| ,|x|= 2, : x=- 2.;點(diǎn) E 的坐標(biāo)是(-2, - 4 ).25555設(shè)直線OE的方程為y=kx (k w 0).二直線OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(-2 , - 4 ), . - =- 2-k, k=2. :直線OE的方程為y = 2x.5555在QO中，:對(duì)稱(chēng)軸x=1垂直平分弦AB

23、,：由垂徑定理的推論知直線x=1經(jīng)過(guò)圓心O0 小 解得28.4 ,一 4k b C(0, 8), 由對(duì)稱(chēng)當(dāng)?shù)命c(diǎn) P的坐標(biāo)為(2, 8).設(shè)直線BC的萬(wàn)程為y=kx+b (k，0).則有b 8.y2xx 2;直線BC的方程為y=-2x+8.聯(lián)立方程組 )解得：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2 , 4).y-2x 8,y 4.點(diǎn)P(2, 8),點(diǎn)Q(2, 4),PQ/ RS (因此，只有一種情況).設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(m, -m2+2m+8),點(diǎn)S的坐標(biāo)的(m, 2m).要使四邊形PQRSJ平行四邊形，已知 PQ/ RS,尚需條件|RS|=|PQ|.由|(-m 2+2m+8)-2m|=|8-4|=4 ,得|-m2+8

24、|=4 ,解得m= ±2,或m=± 2 石.而m=2, ±2后不合題意，應(yīng)舍去.：存在整數(shù)m= -2,使得以P、Q、R S為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.例8、如圖3,已知拋物線y = x2+ bx+ c,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0, 5)和點(diǎn)B (3, 2) (1)求拋物線的解析式：(2)現(xiàn)有一半徑為 1,圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)白動(dòng)圓，問(wèn)。 P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程 中，是否存在。P與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在， 請(qǐng)求出圓心P的坐標(biāo)：若 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若。Q的半徑為r,點(diǎn)Q在拋物線上、O Q與兩坐軸都相切時(shí)求半徑 r的值解：(1)由題意，得；c 5解得3b c 9 2b=-4c=5拋

25、物線的解析式為 y x2 4x 5(2)當(dāng)。P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在。 P與坐標(biāo)軸相切的情況.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(, y°),則有:當(dāng)。P與y軸相切時(shí)，有|xo|=i , xo=± 1由 x01 ,得 y0 12 4 15 10P ( 1,10),由 xo 1 ,得 yo 12 4 1 5 2,F2(1,2).當(dāng)。P與x軸相切時(shí)有| y0 | 1拋物線開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)在x軸的上方.y0 1由 yo 1 ,得 x。2 4x0 5 1 ,解得 y0=2,P3(2, 1).綜上所述，符合要求的圓心P有三個(gè)，其坐標(biāo)分別為：P( 1,10),P2(1,2),2(2,1)(3)設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(x,

26、 y),則當(dāng)。Q與兩條坐標(biāo)軸都相切時(shí)，有 y= x21- 25:5由y=x得x 4x 5 x,即x 5x 5 0,解得x ；2由y x,得x2 4x 5x,即x2 3x 5 0,此方程無(wú)解;5 .5.。0的半徑為r 。例9、已知：如圖，拋物線y3 22 j3x x J3的圖象與x軸分別交于A,OM經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。及點(diǎn)A, C,點(diǎn)D是劣弧? ? 一動(dòng)點(diǎn)(D點(diǎn)與A, O不重合)(1)求拋物線的頂點(diǎn) E的坐標(biāo)；(2)求。M的面積；(3)連CD交AO于點(diǎn)F ,延長(zhǎng)CD至G ,使FG2，試探究當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線GA與。M相切，并請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)拋物線:7 3 2x3x2 2x 1.3 3E的坐標(biāo)為

27、1 "1，3(2)連 AC； . OM 過(guò) A, O, C, Z AOC 900,AC為。M的直徑.可求得A點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 0), B點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0),OA 3, OC 33,AC = 2v,ACSe M(3)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到？制中點(diǎn)時(shí)，直線3。GA與。M相切理由：在 RtACO中，OA 3, OC 73Qtan/ACO 石石/ ACO 60°, / CAO 30°Q 點(diǎn) D 是?？灌中點(diǎn)，? ?= ? ? /ACG /DCO 30°OF OCgtan30° 1 , /CFO 60°。在 4GAF 中，AF 2, FG 2, ZAFG

28、 Z CFO 60°, / CAG / GAF / CAO 90°,°又AC為直徑，：GA與。M相切。綜上，當(dāng)D為？?胸中點(diǎn)時(shí)，GA是。M的切線。(3)正面推：可得 A (-3, 0), B (1, 0), C (速，0),易得/ CAO = /BCO = 30°, ： BC± AC.又 GA與 OM 相切，GA±AC, ： / GAC = 90,且 GA/ BC,因止匕, 怎么推？ ？ ？例10、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) B( 2j2,0), A(m ,0)(/2 m 0),以AB為邊在x軸下方作正方形ABCD,點(diǎn)E是線段O

29、D與正方形ABCD的外接圓除點(diǎn) D以外的另一個(gè)交點(diǎn)，連結(jié)BE與AD相 交于點(diǎn)F .(1)求證：BF DO;(2)設(shè)直線l是ABDO的邊BO的垂直平分線，且與 BE相交于點(diǎn)G.若G是ABDO的外心，試求經(jīng)Q G是ABDO的外心，點(diǎn)G在DO的垂直平分線上.又BD是直徑，可得 BELDO,點(diǎn)B也在DO的垂直平分線上.Z DAO 900.m. 點(diǎn) F m, m .過(guò)B, F, O三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式；(3)在(2)的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)P ,出所有這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)在 4ABF 和 AADO 中，Q四邊形ABCD是正方形，AB AD, / BAF又Q/ABF

30、/ADO, ABFADO,BF DO.(2)由(1),有ABFADO, Q AO AF使該點(diǎn)關(guān)于直線 BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上？若存在，求 DBO為等腰三角形，BO BD J2AB.而B(niǎo)O2立 AB| | 272 m 2夜 m272 m , m 2 2V2.設(shè)經(jīng)過(guò)B, F,。三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式為y ax2 bx c a 0 .Q拋物線過(guò)點(diǎn)O0,0 , c 0.2y ax把點(diǎn)B2x2,0，點(diǎn) F 2 2 2,22衣的坐標(biāo)代入中，得2.2b,2.22x2 2ab.2、2a2 2.20,解得1.12?2.拋物線的解析表達(dá)式為(3)假定在拋物線上存在一點(diǎn)Q BE是/OBD的平分線，1 2 - x 2

31、P,使點(diǎn)P關(guān)于直線BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P在x軸上.X軸上的點(diǎn)P關(guān)于直線BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P必在直線BD上，即點(diǎn)P是拋物線與直線 BD的交點(diǎn).設(shè)直線BD的解析表達(dá)式為y kx b,并設(shè)直線BD與y軸交于點(diǎn)Q,則由 BOQ是等腰直角三角形.OQ OB . Q 0, 2短.把點(diǎn)B 2在,0，點(diǎn)Q 0, 2金代入y kx0 2、.2k b, k1,2.2 b.b2”.直線BD的解析表達(dá)式為 y X 2 J2 .設(shè)點(diǎn) P Xo, V。，則有 y°Xo 2V2 .把代入，得-Xo 72X0Xo 2V2,21 22-Xo& 1X02720,即X22 夜 1X04720 .2Xo 2 拒 Xo 20.解得

32、Xo2拒或Xo2 .當(dāng) Xo2 衣時(shí)，yXo 2V2 2V2 2 72 0;當(dāng) Xo2 時(shí)，yoXo 2>/2 2 2尬.在拋物線上存在點(diǎn) P 2尬,0 , P2 2,2 2衣，它們關(guān)于直線 BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在X軸上.例11、若拋物線y=x2-(m+3)x+m+1與x軸交于 A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，以O(shè)A、OB為直徑分別作。Oi、 。2。(1)試證：無(wú)論m取何實(shí)數(shù)，拋物線與 x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)當(dāng)兩圓相等時(shí)，求 m的值；(3)如果兩圓外切，求 m的范圍；(4)點(diǎn)B能否在原點(diǎn)的左側(cè)？請(qǐng)說(shuō)明理由；(5)兩圓內(nèi)切時(shí)，求 m的范圍；(6)若兩圓內(nèi)切時(shí)，當(dāng) M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1, 0),試證：O

33、AvOMv OB;(7)如果兩圓外切，且。01、。2的周長(zhǎng)之比為2:1,求m的值；(8)若兩圓面積之和為 7兀，求m的值；4(9)若兩圓外切時(shí)，外公切線長(zhǎng)為3,求m之值。解：設(shè) y=x2-(m+3)x+m+1 與 x 軸交于 A(x1, 0)、B(x2,0),顯然 x1x2。(1)因?yàn)閽佄锞€y=x2-(m+3)x+m+1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為所對(duì)應(yīng)的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的兩根。所以，要證明拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，就是要證明方程x2-(m+3)x+m+1=0的根的判別式> 0 = -(m+3)2-4(m+1) = m2+2m+5 = (m+1)2+4> 0 顯然，問(wèn)題可證。(2)