數(shù)學(xué)人教B版必修5教學(xué)設(shè)計(jì)：1.2應(yīng)用舉例Word版含答案

1、教學(xué)設(shè)計(jì)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析本章通過章頭圖中的古建筑和臺(tái)風(fēng)問題實(shí)例，引入要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，由此可見實(shí)際測量在本章的中心地位實(shí)際上解斜三角形知識(shí)在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、 航海等都要用到這方面的知識(shí)對(duì)于解斜三角形的實(shí)際問題，我們要在理解一些術(shù)語（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基礎(chǔ)上，正確地將實(shí)際問題中的長度、角度看成三角形相應(yīng)的邊和角，創(chuàng)造可解的條件，綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)以及正弦定理和余弦定理來解決教學(xué)時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合的方法，充分利用多媒體課件給學(xué)生以動(dòng)態(tài)演示，加強(qiáng)直觀感知學(xué)習(xí)這部分知識(shí)有助于增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和提高解決實(shí)際問題的能力本節(jié)教材提出了四個(gè)問題：問題 1 和問

2、題 2 為測量題這類問題在我們的日常生活中比比皆是，學(xué)生對(duì)實(shí)際背景非常熟悉，這給教學(xué)帶來了極大的便利由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直角三角形的方法來解決，但用正弦定理和余弦定理就可以計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題問題 3 是介紹解決平衡力系的數(shù)學(xué)方法學(xué)習(xí)此題教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生簡要地復(fù)習(xí)一下向量求和的平行四邊形法則和三角形法則問題 4 是解三角形方法用于天氣預(yù)報(bào)的一個(gè)典型例子，有很好的教育價(jià)值本節(jié)學(xué)習(xí)可增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性由于解決的是一些實(shí)際問題，在進(jìn)行近似計(jì)算時(shí)，要求學(xué)生算法要簡練、清楚，計(jì)算要準(zhǔn)確本節(jié)后的練習(xí)和

3、習(xí)題都是解三角形應(yīng)用的基本題，應(yīng)要求學(xué)生全部掌握三維目標(biāo)1通過巧妙的設(shè)疑，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問題 引發(fā)思考 探索猜想 總結(jié)規(guī)律 反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程， 使學(xué)生能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決一些有關(guān)測量距離的實(shí)際問題同時(shí)通過多媒體課件直觀演示，加強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)感知，幫助學(xué)生掌握常規(guī)解法，能夠通過類比解決實(shí)際問題2通過對(duì)解斜三角形在實(shí)際中應(yīng)用的講解，讓學(xué)生體會(huì)具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問題，以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力3通過本節(jié)的探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從實(shí)際問題中提取數(shù)學(xué)模型，使

4、發(fā)展學(xué)生“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)“用數(shù)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，進(jìn)一步拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)空間，學(xué)”的意識(shí)重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：掌握應(yīng)用正弦定理和余弦定理解決測量問題的一般方法，并能應(yīng)用正弦定理、余弦定理列方程求解一些實(shí)際問題，進(jìn)一步熟悉數(shù)學(xué)建模的方法步驟，提高解決實(shí)際問題的能力教學(xué)難點(diǎn)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型課時(shí)安排2 課時(shí)教學(xué)過程第 1 課時(shí)導(dǎo)入新課思路 1.（問題導(dǎo)入）本章引言中就提出了經(jīng)常縈繞著我們的這么一個(gè)問題：“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代， 天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離， 是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的

5、距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在實(shí)際測量問題的真實(shí)背景下，某些方法不能實(shí)施上面的問題用以前的方法是不能解決的那么我們用剛剛學(xué)習(xí)的正弦定理、余弦定理就可以解決以前不能解決的問題，究竟如何測量呢？下面我們就來探究這個(gè)問題，由此展開新課思路 2.（情境導(dǎo)入）你有坐汽車（或者火車）經(jīng)過山前水平公路的經(jīng)歷嗎？如果身邊帶著測角儀，那么根據(jù)路標(biāo)（100 米桿）就會(huì)立即測算出你所看到的山的高度利用正弦定理、余弦定理你也會(huì)馬上算出來，在學(xué)生急切想知道如何測算山高的期待中展開新課推進(jìn)新課新知探究提出問題1 提示學(xué)生先回顧正弦定理、余弦定理，并提問：若已知三角形的

6、兩邊及其中一邊的對(duì)角用哪個(gè)定理解三角形？若已知三角形的兩角及其夾邊又可選用哪個(gè)定理解三角形呢？2 回憶過去的一些測量方法，如測量兩點(diǎn)間的距離都有哪些測量方法？3 如果底部可到達(dá)，如電線桿的高度應(yīng)怎樣測量？如果底部不能到達(dá)，如工廠的煙囪 的高度應(yīng)怎樣測量呢?4對(duì)解題中的近似值要怎樣處理才能減小誤差呢?5解決實(shí)際問題的一般程序是什么？活動(dòng)：教師先讓學(xué)生回憶正弦定理、 余弦定理的內(nèi)容，學(xué)生很快回憶起來， 若已知三角 形的兩邊及其中一邊的對(duì)角， 則用正弦定理較好， 鼓勵(lì)學(xué)生多動(dòng)手畫圖， 特別是對(duì)想象能力 較弱的學(xué)生，更應(yīng)畫出圖形，在圖形上標(biāo)出已知的數(shù)據(jù)以加強(qiáng)直觀感知.對(duì)于底部可到達(dá)的物體的高度問題，如

7、測量電線桿的高度，利用初中的知識(shí)即可解決.如 圖1,只要測出/B及BC即可算出AC的高度.對(duì)于底部不能到達(dá)的物體的高度又該怎樣 測量呢？教師引導(dǎo)學(xué)生分組討論， 充分發(fā)揮學(xué)生的想象力. 學(xué)生會(huì)提出許多的方案. 教師可一一 指導(dǎo)，選出其中有代表性的方案作為本節(jié)教學(xué)的切入點(diǎn)，比如有的學(xué)生會(huì)提出： 既然底部不可到達(dá)，則BC就不可測出，但解三角形至少需有一邊， 如此可否使原來的 B點(diǎn)后退至B' 點(diǎn)，測量BB'的距離.如圖2,引導(dǎo)學(xué)生深入探究，效果將會(huì)更好.在具體解題過程中，教師可針對(duì)解題中的近似彳1處理問題，適時(shí)地提醒學(xué)生注意：（1）應(yīng)根據(jù)題中對(duì)精確度的要求，合理選擇近似值；（2）為避免

8、誤差的積累，解題過程中應(yīng)盡可能地使用原始（已知）數(shù)據(jù)，少用間接求出的量.討論結(jié)果：（4）略.（5）解決實(shí)際問題的一般程序是：（1）審題，逐字逐句地閱讀題目，弄清題目的條件、要求，找出其中的數(shù)學(xué)關(guān)系；（2）建模，分析題目的變化趨勢，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型；（3）求解,也就是對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)解答得到數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原，即把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的解答，包括檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義等.本節(jié)所研究的問題都是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解三角形的問題，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)等來解決.應(yīng)用示例例1（教材問題1）活動(dòng)：教師借助多媒體，引導(dǎo)學(xué)生觀看實(shí)物圖片，讓學(xué)生明確建筑物的底部不可到達(dá)， 需在宮墻外護(hù)

9、城河畔的馬路邊選擇一個(gè)觀測點(diǎn)， 移動(dòng)測量儀再選擇一個(gè)觀測點(diǎn). 在動(dòng)態(tài)的演 示中讓學(xué)生充分理解我們?yōu)槭裁匆@樣做. 然后教師指導(dǎo)學(xué)生畫出平面示意圖， 并在圖上標(biāo) 出相關(guān)的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生自己思考怎樣根據(jù)正弦定理和余弦定理計(jì)算出建筑物的高度.點(diǎn)評(píng)：解完本例后讓學(xué)生總結(jié)測量的方法， 本例的關(guān)鍵是選擇觀測點(diǎn)和測量的基線， 上 實(shí)物的實(shí)際高度僅有 0.3 m的誤差，可讓學(xué)生分析誤差產(chǎn)生的原因.變式訓(xùn)練如圖，在山頂鐵塔上 B處測得地面上一點(diǎn) A的俯角“=54 40',在塔底C處測得A處的俯角3= 50”.已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD.（精確到1 m）解：如下圖，在 ABC 中，/

10、BCA = 90°+ 3, / BAC = "一 3, / BAD = & .根據(jù)正弦定理,二所以AB =BCsin 90 +3 BCcos 3sin a 3 sin a 3解RtAABD ,得BD = ABsin / BAD = BCcos ° sin.潞測量數(shù)據(jù)代入上式，得 sin a 327.3cos50 1°' sin54 40'27.3cos50 1" sin54 40'bd =sin 54 40 - 50 1sin4 39'= 177(m),CD = BD BC = 177 27.3= 150

11、(m).答：山的高度約為150 m.例2（教材問題2）活動(dòng)：教師借助多媒體，引導(dǎo)學(xué)生觀看實(shí)物圖片，明確要解決的問題.在實(shí)際生活中,這樣的問題隨處可見， 如學(xué)生熟悉的河兩岸的某兩點(diǎn)之間的距離.在例1的類比下，學(xué)生很容易想到選擇一個(gè)觀測點(diǎn)， 移動(dòng)測量儀再選擇一個(gè)觀測點(diǎn).本例可讓學(xué)生畫圖探究.教師給予適時(shí)點(diǎn)撥.點(diǎn)評(píng)：結(jié)合例1可對(duì)這類測量問題進(jìn)行小結(jié)，解決這類測量問題的關(guān)鍵是選擇觀測點(diǎn)和測量的基線.可讓學(xué)生進(jìn)一步探究，除了教材中的測量方法和計(jì)算，還有其他的方法嗎?變式訓(xùn)練如圖，為了測量隧道口 AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)（）3, aA. a, a, bB. %C. a, b, 丫D.

12、3, b答案：C解析：由a, b, 丫利用余弦定理可求出 AB.例3如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到 A處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5 km后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北 25°的方向上, 仰角為8°,求此山的高度 CD.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生充分理解題目背景，引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形. 首先理解什么是仰角，西 偏北25是什么意思.本題的圖形是一個(gè)立體幾何圖形，讓學(xué)生充分理解圖形中的各個(gè)已知 量和要求的量.解：在4ABC 中，/ A=15°, Z C=25 -15 = 10°,根據(jù)正弦定理，-BC-=券，BC =

13、ABsinA = 5s喏-無 7.452 4(km),sinA sinCsinC sin10CD = BC x tan/ DBC = BC x tan8 為 1 047(m).答：山的高度約為1 047 m.點(diǎn)評(píng)：此例即為本課導(dǎo)入時(shí)思路 2提出的問題，切入生活實(shí)際.教師可提醒學(xué)生總結(jié),我們是如何根據(jù)已知條件及所求的邊長，恰當(dāng)?shù)剡x取我們需要的三角形的.知能訓(xùn)練1.為了測量河的寬，在河岸的一邊選取兩點(diǎn)A和B,觀測對(duì)岸標(biāo)記 C點(diǎn)，測得/ CAB= 45°, Z CBA =75°, AB = 120 m,則河寬為 m.答案：20(3 +5)解析：由題意畫出示意圖，如下圖，則/ AC

14、B =180° 45° 75° = 60°,由正弦定理，知AB ACsin/ACB sin75 "-AC = sn60 120 = 20(32 &).在 RtAACD 中，CD = ACsin45° =20(3 + 出)，即河的寬為20(3 + 73) m.2.如圖，測量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底 B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)D.測得/ BCD = 15 °, Z BDC = 30 °, CD = 30米，并在點(diǎn) C測得塔頂A的仰角為Wj AB =答案：15m米解析：在4DBC中，/ CBD = 180

15、 15 30 =135°.由正弦定理得CDsin/ CBDBCsin / BDC30sin30 ° lc r： .BC=T。=15 丑在 RtAABC 中，AB=BC tan60 = 15m X15乖（米）,即塔高為1546米.課堂小結(jié)先由學(xué)生自己回顧本節(jié)所學(xué)的測量底部不可到達(dá)的建筑物高度和測量地面上兩個(gè)不能你是否解決到達(dá)的地方之間的距離的方法，是如何從實(shí)際問題情境中尋求到解決問題的方案的，能根據(jù)題意準(zhǔn)確地畫出示意圖？你沒有畫出的原因是什么呢？在學(xué)生自己總結(jié)歸納而對(duì)本節(jié)有了一個(gè)整體認(rèn)識(shí)的時(shí)候，教師可作進(jìn)一步的歸納.實(shí)際問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，特別是畫出示意圖是準(zhǔn)確迅速解這

16、類數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵,需要在反復(fù)的練習(xí)和動(dòng)手操作中提高這方是本節(jié)要體現(xiàn)的技能， 這在高考中體現(xiàn)得很突出,面的能力.作業(yè)課本本節(jié)習(xí)題1 2A組1、2、3.設(shè)計(jì)感想本教案設(shè)計(jì)以情境教學(xué)、問題教學(xué)為主，教師引導(dǎo)和學(xué)生積極參與探究相結(jié)合，充分體現(xiàn)以學(xué)為主、逐步領(lǐng)悟的原則.日常生活中的實(shí)例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用.通過合作學(xué)習(xí)和相互提問補(bǔ)充的方法讓學(xué)生多感受問題的演變過程，通過多媒體課件的演示讓學(xué)生切身感受實(shí)際問題所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生在輕松愉快的互動(dòng)氣氛中學(xué)到知識(shí)，提高能力.本教案設(shè)計(jì)的中心主線是在學(xué)生探究活動(dòng)中提煉數(shù)學(xué)建模，不要求學(xué)生死記硬背解決實(shí)際問題的方法步驟.本教案的設(shè)計(jì)始終抓住本節(jié)乃至本章的這

17、一重點(diǎn)，不在一些細(xì)枝末節(jié)上浪費(fèi)時(shí)間.通過本節(jié)探究，學(xué)生基本上熟悉了解決實(shí)際問題的思想方法，下一步教師要在規(guī)范步驟等方面加以關(guān)注.備課資料一、拓展資源1 .利用余弦定理證明正弦定理在 ABC 中，已知 a2= b2+ c2 2bccosA, b2= c2+ a2 2cacosB, c2= a2+b22abcosC,求證:sinA sinB sinC.，c c c _，口b2+ c2- a2證明： 由 a2= b2+ c2 2bccosA, 得 cosA =,2bc1' sin2A = 1 cos2A = 1 b2 + c2a2 2 2bc2 b2+ c2- a2 22bc 22bc22b

18、c+b2+c2a2 2bc b2 c2+ a2b+c+a b+c a a+ b c ab+ca24b2c24a2b2c24b2c2sin Aa+ b+ c a+ b+ c a+ b c a b+ c記該式右端為 M ,同理可得 用= M , Tc2T= M , sin B sin Cc222a b csin2Asin2Bsin2C.sinA sinB sinC.2 .如圖，P 為ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，且/ PAB = /PBC=/ PCA=也 記 BC = a, CA=b,11.1.1AB = c，求證：sin2 9= sin2A + sin2B+sin2C.證明：在APAC中，由正弦定理，得-A

19、P- = b sin Osin/APCAPC=180 - 0- (A -。4 180° A.AP b sin 0 sinA“He 11 bsin 01sin2 0 osin2 0從向 SAPAB = 2c - APsin= 5c gig - sin= 2bcsinA 亦2A = Ssbc sn2A.同理可得 S"BC=S“BC 嗯，S”CA = S”BC 啤. sin Bsin C-一222 八相加后即得S"BC = S"BC(嗯+彗).sin A sin B sin C1 111sin2 0sin2Asin2B sin2C、備用習(xí)題1.在一幢20 m高

20、的樓頂測得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?0°,塔基的俯角為 45C.,320(1 + 2)m10( .6+ 2) mB. 20(1 +V3) mD. 20(V6+2) m2.如圖，在河岸 AC測量河的寬度BC,測量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是（A. a, c, aB. b, c, aC. C, a, 3D. b, a, 33.如圖，B、C、D三點(diǎn)在地面同一直線上， DC = a,從C、D兩點(diǎn)測得 A點(diǎn)的仰角分別是3a （呱3 ）則A點(diǎn)離地面的Wj AB等于（）asin a sin BA COS aasin a cos 3C. _ _ csin 3一民Aacos a cos 3D. COs 3- a

21、B. 10 mC. 10 ,2 mD. 10j3 m4.如圖，有一長為10 m的斜坡，它的傾斜角是 75°,在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30°,則坡底要延伸（）C和D處，已知CD5.如下圖，我炮兵陣地位于地面 A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn) =6 000 m , Z ACD = 45 , Z ADC = 75°,目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn) B 處時(shí)，測得/ BCD =30°, / BDC= 15。，求炮兵陣地到目標(biāo)的距離.（結(jié)果保留根號(hào)）MN = PN = 500 m,求塔高 AB.6 .如下圖，測量人員沿直線MNP的方向測量，測得

22、 A點(diǎn)的仰角分別是/ AMB =30°,/ANB =45°, / APB=60°,參考答案1. B 解析：如圖，AB為樓，CD為塔，AM為水平線，則有 AB=20./ DAM =45°, / CAM =60°, .MD =20, AM =20, CM =20展 .CD = 20(1 +#)(m).2. D 解析：由% & b可利用正弦定理求出 BC.3. B 解析：在4ABC中,CD = a, / DAC = 3- %由正弦定理，得a ACC一 一二一 ，sin 3 a Sin aAC =asin a sin 3 a 人a- . asi

23、n a - sin B在 RtAABC 中，AB =AC sin 傷 sin 3- a .4. C 解析：在ABC中，由正弦定理，可知 一*=一*力，x=10/ m.sin45 sin305.解：在4ACD 中，Z CAD =180°-Z ACD -Z ADC =60°, CD = 6 000 m, / ACD由正弦定理，有CDsin45 °_ V6sin60 °= 3CD.同理，在 BCD 中，Z CBD = 180°-Z BCD / BDC = 135°, CD = 6 000, Z BCD =30°.由正弦定理，有cc

24、 CDsin30 °BD = =sin135£cd.又在 ABD中,/ ADB = / ADC + / BDC = 90°,根據(jù)勾股定理，得AB =、AD2+ BD2 = yj 當(dāng) 2+ 乎2 cd=.cD = 1 000V42 m.答：炮兵陣地到目標(biāo)的距離為1 000442 m.6.解：設(shè)AB的高為x. 丁 AB與地面垂直,ABM , ABN , 4ABP均為直角三角形.31. BM = x cot30 =43x, BN = x cot45 =x, BP = xcot60 = 23-x.在4MNB 中，BM2=MN2+BN22MN BN cos/ MNB ,在

25、PNB 中，BP2= NP2+ BN22NP BN cos/ PNB ,又. / BNM 與/ PNB 互補(bǔ)，MN = NP=500,3x2= 250 000 + x22X 500x cos/ MNB ,1 c§x2= 250 000 + X2-2X 500x cos/ PNB. IO cc十 ，得 于x2= 500 000+2x2,x=250/6（m）.3答：塔高AB為250* m.第2課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.（本章章頭圖導(dǎo)入）有的學(xué)生可能要問：正弦定理探究完了，余弦定理也探究完了， 那么本章開始引言中提出的問題究竟怎樣解決呢？也就是怎樣算出幾小時(shí)后某城市開始受 到臺(tái)風(fēng)的侵襲和怎樣測出

26、海上航行的輪船的航速和航向呢？學(xué)過本節(jié)后就簡單清晰了，由此展開新課.思路2.（猜想導(dǎo)入）上節(jié)課我們探究了怎樣測量不可到達(dá)的點(diǎn)的距離，又解決了怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物高度的問題， 這些都是距離問題，那么能否借助正弦定理、余弦定理 測量一些角度的問題呢？回答是肯定的，由此展開新課.推進(jìn)新課新知探究提出問題1回憶前面是如何測量距離和高度的？2在測量距離和高度時(shí)，是怎樣由三角形的一些已知邊和角來求其他邊的？3回憶上冊中向量求和的平行四邊形法則和三角形法則4日常生活中還有一個(gè)例子，如航海，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向， 同時(shí)保持一定的航速和航向前進(jìn)，還有如何預(yù)防臺(tái)風(fēng)的侵襲等，這些可否像前

27、面探究的距離和高度那樣，轉(zhuǎn)化為解三角形模型來解決呢？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生再次回憶正弦定理、余弦定理.為了提高學(xué)生興趣，可換個(gè)提法，前面解決實(shí)際問題的順序是“實(shí)際問題一數(shù)學(xué)建模一數(shù)學(xué)模型的解 一實(shí)際問題的解”，我們?nèi)绻话催@個(gè)步驟進(jìn)行結(jié)果會(huì)怎樣？通過這樣反復(fù)強(qiáng)化，使學(xué)生的“數(shù)學(xué)建?！币庾R(shí)得以鞏 固，這里關(guān)鍵是找出已知量和未知量，畫好平面示意圖，確定需要解決的三角形.三角形模型應(yīng)用很廣泛，像航海確定方向等都離不開角，當(dāng)然也就離不開解三角形，也就需要用正弦定理、余弦定理等有關(guān)的三角形知識(shí)來解決它.討論結(jié)果：(4)略.應(yīng)用示例例1(教材問題3)活動(dòng)：本例題是解三角形與向量結(jié)合的典例， 教師可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)

28、向量的相關(guān)知識(shí). 利 用多媒體課件明確所要探究問題的已知量和未知量，指導(dǎo)學(xué)生畫出平面示意圖， 這是解好本問題的關(guān)鍵.點(diǎn)評(píng)：本例背景是我們?nèi)巳硕际煜さ娜切螣艏?，目的是讓學(xué)生熟悉解決平衡力系的數(shù)學(xué)方法，解決問題的關(guān)鍵是把受力情況和角度都放在三角形中，然后用正弦定理解決.變式訓(xùn)練有兩根柱子相距 20 m,分別位于電車的兩側(cè)，在兩柱之間連接一條水平的繩子，電車的送電線就懸掛在繩子的中點(diǎn)，如果送電線在這點(diǎn)垂直向下的作用力是17.8 N,則這條成水平的繩子的中點(diǎn)下降 0.2 m,求此時(shí)繩子所受的張力.解：如圖所示，設(shè)重力作用點(diǎn)為 c,繩子ac、bc所承受的力分別記為 Ce> CF,重力 記為CG.

29、由C為繩子的中點(diǎn)，知|CE|=|cF|.由 CE+CF=CG, 知四邊形CFGE為菱形.0 2又cos/ FCG = cos/ DCB =10.02,102+ 0.2 21 -犬 一 2|CG| 89. |C E|= |C F|= _8J9_=4451| | | cos/ FCG 0.02即繩子所受的張力為 445 N.例2如圖，一艘海輪從 A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然 后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0 n mile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從 A出 發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？（角度精確到

30、0.1。，距離精確至ij 0.01 n mile）北中南活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出平面示意圖，這是解決本類題目很重要的一方面.教師可就此點(diǎn)撥學(xué)生注意：畫圖、用圖、識(shí)圖是學(xué)好數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本功，能否準(zhǔn)確畫出示意圖直接決定著解題的成敗， 這項(xiàng)基本功較弱的同學(xué)可就此加強(qiáng)自己的補(bǔ)弱訓(xùn)練.我們前面學(xué)習(xí) 時(shí)有過這樣的經(jīng)歷：有些選擇題，甚至解答題，只要畫出示意圖，解答結(jié)果很快就出來了, 這就是數(shù)形結(jié)合的強(qiáng)大威力之所在，提醒學(xué)生關(guān)注這一點(diǎn).解：在4ABC 中，/ ABC = 180 - 75 + 32° = 137°,根據(jù)余弦定理,AC =、AB 2+ BC2 2AB X BC X co

31、s/ ABC =、67.52 + 54.022X 67.5X 54.0X cos137° = 113.15.BCAC根據(jù)正弦定理,_ _ sin / CAB sin/ABCsin / CAB =BCsin / ABCAC54.0sin137113.15°0.325 5,所以 / CAB = 19.0 °, 75° / CAB = 56.0 °.答：此船應(yīng)該沿北偏東56.0 °的方向航行，需要航行113.15 n mile.余弦定理在解斜三角形中的重點(diǎn)評(píng)：本例綜合運(yùn)用了正、余弦定理，體現(xiàn)了正弦定理、要作用.解完本例后教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思

32、領(lǐng)悟，讓學(xué)生把重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)建模這一共性上和對(duì)一般方法的掌握上.變式訓(xùn)練如圖，港口 A北偏東30°方向的C處有一觀測站，港口正東方向的B處有一輪船,測得BC為31 n mile,該輪船從B處沿正西方向航行 20 n mile后到D處，測得CD為21 n mile,問此時(shí)輪船離港口 A還有多遠(yuǎn)?北 L-r解：由條件知/ CAD =60°,設(shè)/ ACD = % / CDB = &在 BCD中，由余弦定理，得CD2+BD2BC2 _ 1COs 即2CD BD -7. .sin 即 J1 -cos2 3= *7. .sin 后sin（伊60°）= sin 3 cos

33、60 cos 3 sin60= 5314在AABC中,由正弦定理，得sn*D =第枳CD- sin a . AD = 15 n mile.sin / CAD答：此時(shí)輪船離港口還有15 n mile.例3（教材問題4）活動(dòng)：為降低難度，本題已經(jīng)給出了平面示意圖，教學(xué)時(shí)，可先不讓學(xué)生看這個(gè)圖形,讓學(xué)生通過閱讀題意自己畫出圖形，然后對(duì)照題目給出的圖形，以便找出偏差.或者教師以幻燈片的形式打出題意，稍后再出示示意圖，留給學(xué)生足夠的思考空間.點(diǎn)評(píng)：（1）本例右邊的邊注可作為本例的變式訓(xùn)練.在教材圖116中，延長PQ到Q',使/AQQ' =40.3-臺(tái)風(fēng)沿PQ方向過點(diǎn)Q'時(shí)，則臺(tái)風(fēng)

34、終止侵襲 A城.侵襲A城的時(shí)間為臺(tái)風(fēng)經(jīng)過Q至IJQ'所用的時(shí)間.解 4AQQ '，求出Q與Q'的距離，然后除以臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度就可得到侵襲 A城的時(shí)間.(2)解完此題后教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)應(yīng)用正、余弦定理解斜三角形的解題方法.在解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. 已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件 足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解.知能訓(xùn)練1 .已知a、b、c為4ABC的三個(gè)內(nèi)角 A、B、C的對(duì)邊，向量 m=(® -1), n= (cosA, sin

35、A).若 m，n,且 acosB+bcosA= csinC,貝U/ B =.2 .如圖所示，海中小島 A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一船正在向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°,航行30海里后，在C處測得小島在船的南偏東 45°,如果此船不 改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？答案:3 .6 解析：由題意，得，3cosA sinA = 0,即 tanA = J3.又 0V A < tic, A = 3.由正弦定理，得 sinAcosB+sinBcosA =sin2C,即 sinC=sin2C.sinC w 0, sinC= 1.又 0V Cv 5C=-2.2.解

36、：在ABC 中，BC = 30, /B=30°, /ACB = 135°, ./ A= 15°.由正弦定理，知= 60cos15°= 15（逃+V2）,30sin30AC= sin15.A到BC所在直線的距離為 ACXsin45 = 15（3+ 1片40.98（海里）.40.98海里 38海里,，船繼續(xù)向南航行，沒有觸礁的危險(xiǎn).課堂小結(jié)先讓學(xué)生回顧本節(jié)所探究的有關(guān)角度的知識(shí)過程，熟悉有關(guān)角的概念；回顧在本節(jié)實(shí)際問題的探究中，是怎樣畫出方位角的， 是如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的， 又是怎樣靈活 地選用正弦定理、余弦定理的.通過本節(jié)利用物體受力情況和航海、

37、 臺(tái)風(fēng)侵襲等實(shí)際問題，我們感受到數(shù)學(xué)模型可以有 效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象； 數(shù)學(xué)是人類的一種文化， 它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn) 代文明的重要組成部分.作業(yè)課本本節(jié)習(xí)題1 2A組4;習(xí)題1 2B組3.設(shè)計(jì)感想本教案是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，內(nèi)容的安排而設(shè)計(jì)的， 由于本節(jié)課的前面已經(jīng)有了舉例探究經(jīng)驗(yàn)， 因此設(shè)計(jì)的活動(dòng)主要都是通過學(xué)生自己完成；只是教材一開始就呈現(xiàn)出臺(tái)風(fēng)侵襲城市的背景圖， 涉及到方位角，學(xué)生對(duì)圖形難以把握，特別從空間的視角去審視的時(shí)候有些困難.因此教師應(yīng)充分利用多媒體課件演示，讓學(xué)生從動(dòng)態(tài)中發(fā)現(xiàn)實(shí)物背景下的數(shù)學(xué)圖形及有關(guān)的角度問題，引導(dǎo)學(xué)生自己畫出平面示意圖一一這是解決本

38、例的關(guān)鍵所在，教師不要怕在此浪費(fèi)時(shí)間.本教案的設(shè)計(jì)意圖還在于，通過本節(jié)課的展示，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)離不開生活，生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活而最終服務(wù)于生活；數(shù)學(xué)課堂的最后呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)不是學(xué)生成為解題能手，而是讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值.備課資料一、備用習(xí)題1 .從A處望B處的仰角為a,從B處望A處的俯角為 &則 外3的關(guān)系是（）A.B. a= 3C.3= 90 °D. a+ 3= 180°2 .已知兩座燈塔 A和B與海洋觀察站 C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°, 燈塔B在觀察站C的南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的（）A.北偏東10B.

39、北偏西10C.南偏東10D.南偏西103 .如圖，有兩條相交成 60°角的直線XX'、YY',交點(diǎn)是 O,甲、乙分別在 OX、 OY上，起初甲在離 O點(diǎn)3千米的A點(diǎn)，乙在離。點(diǎn)1千米的B點(diǎn)，后來兩人同時(shí)以每小 時(shí)4千米的速度，甲沿 XX'方向，乙沿 Y' Y方向步行.(1)起初，兩人的距離是多少？(2)用包含t的式子表示t小時(shí)后兩人的距離；(3)什么時(shí)候兩人的距離最短？4 .如圖，當(dāng)甲船位于 A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救.甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30。，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東

40、多少度的方向沿直線前往B處救援.(角度精確到1°)5 .如圖，已知 A、B兩點(diǎn)的距離為100海里，B在A的北偏東30°處，甲船自A以50海里/時(shí)的速度向B航行，同時(shí)乙船自 B以30海里/時(shí)的速度沿方位角150°方向航行.問航 行幾小時(shí)，兩船之間的距離最近？6 .在某時(shí)刻，A點(diǎn)西400千米的B處是臺(tái)風(fēng)中心，臺(tái)風(fēng)以每小時(shí)40千米的速度向東北方向直線前進(jìn)，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心、300千米為半徑的圓稱為“臺(tái)風(fēng)圈”，從此時(shí)刻算起，經(jīng)過多長時(shí)間A進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈？ A處在臺(tái)風(fēng)圈中的時(shí)間有多長？7 .在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)， 以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域，點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)

41、雷達(dá)觀測站 A.某時(shí)刻測得一般勻速直線行駛的船位于點(diǎn)A北偏東45。，且與點(diǎn)A相距40嫄海里的位置B,經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45 +。其中sin 0二 嚼,0°< (X90°)且與點(diǎn)A相距10/3海里的位置C.(1)求該船的行駛速度；(單位：海里/時(shí))(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛，判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由.參考答案：1. B2. B 解析：由題意可畫出平面示意圖，如圖，則/ ACB = 80°, , AC = BC , ./ ABC = 50°.因此燈塔A在燈塔B的北偏西10°.3.解：(1)二.甲、乙兩

42、人起初的位置是A、B,則AB . ，當(dāng)t=1時(shí)，即在第15分鐘末，PQ最短.答：在第15分鐘末，兩人的距離最短.4.解：連ZBC,由余弦定理，得=OA2+OB220A OBcos60 =32+12-2X3X1X1=7, .起初兩人的距離是,7千米.(2)設(shè)甲、乙兩人t小時(shí)后的位置分別是 P、Q,則AP = 4t, BQ = 4t,.3一當(dāng) 0wtw3時(shí)，PQ2=(3 4t)2+(1 + 4t)22(34t)(1+4t)cos60 =48t224t+7; 4.3一當(dāng) t>3時(shí)，PQ2=(4t3)2+(1 + 4t)22(4t 3)(1+4t)cos120 =48t2-24t+7, 4PQ=

43、 48t2-24t+7.1 c(3)PQ2 = 48t2 -24t+ 7= 48(t - 4)2 + 4,BC2= 202+ 102-2X20X 10Xcos120 =700,于是 BC = 10 產(chǎn)-sin/ACB sin120由 20-兩T， .sin/ACB =-J7. / ACB <90°,ACB =41°.，乙船應(yīng)朝北偏東 71。方向沿直線前往 B處救援.5 .解：設(shè)航行x小時(shí)后甲船到達(dá) C點(diǎn)，乙船到達(dá)D點(diǎn)，在4BCD中，BC = （100 50x） 海里，BD = 30x海里（0WxW 2）, /CBD = 60°,由余弦定理，得CD2= （10

44、0-50x）2+ （30x）2- 2 （100 50x） 30x cos60°=4 900x2- 13 000x + 10 000.J *=與端=6|=喘小時(shí)）時(shí)，CD2最小，從而得CD最小. 2 人 4 900,、，16， 一，、一、一，航行1震小時(shí)，兩船之間距離最近. 496 .解：如圖，以AB為邊，B為頂點(diǎn)作/ ABP = 45°（點(diǎn)P在B點(diǎn)的東北方向上），射線 BP即臺(tái)風(fēng)中心B的移動(dòng)方向，以 A點(diǎn)為圓心，300千米為半徑畫弧交射線 BP于C、D兩 點(diǎn)，顯然當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心從 B點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)開始進(jìn)入臺(tái)風(fēng)圈，臺(tái)風(fēng)中心在 CD上移動(dòng)的 時(shí)間即為A處在臺(tái)風(fēng)圈中的時(shí)間.設(shè)臺(tái)風(fēng)中心由 B到C要t小時(shí)，在 ABC中，AB = 400（千米），AC = 300（千米），BC = 40t（千米），/ ABC =45°,由余弦定理，得AC2=AB2+ BC2-2AB- BC- cosZ ABC ,即 3002=40