現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)

1、輸入變量 輸出變量 狀態(tài)變量狀態(tài)向量中變量的個數(shù)n稱為狀態(tài)的維數(shù)，也稱為系統(tǒng)的維數(shù)狀態(tài)變量的選取不唯一，但最小個數(shù)是一定的系統(tǒng)狀態(tài)空間描述：1、狀態(tài)方程 2、輸出方程SISO: MIMO: 2-2 由 傳遞函數(shù) 建立系統(tǒng)的 狀態(tài)空間表達(dá)式能控標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)： 各積分器的輸出組合成總輸出（，）能觀標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)： 輸入作用到各個積分器（，）約當(dāng)實現(xiàn)對于n階系統(tǒng)，必含有n個積分器，將積分器的輸出作為狀態(tài)變量能控標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)I型： 反饋作用到個積分器輸入能控標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)II型： 各積分器輸出反饋到總輸入能觀標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)1、2型與能控標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)規(guī)律相同記憶圖中，的方向： 與x的方向始終相同 對于控 觀 對于x,y，I異II同（

2、對于能控而言，能觀剛好相反）能控1型： AC1, BC1，CC1T 能控2型：A等于AC1轉(zhuǎn)置 B、C分別等于B、C倒過來能觀1型與能控2型互為對偶關(guān)系： 二者的A互為轉(zhuǎn)置 二者的B、C互換，但是要注意橫向量和豎向量問題能觀2型與能控1型互為對偶關(guān)系： （反映在框圖中為綜合點和引出點互換，積分器輸入輸出 互換，信號線方向取反）對角標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)是指：A 為對角矩陣或約當(dāng)矩陣2-3 線性變換 非奇異：可逆矩陣為非奇異，矩陣的秩0為非奇異線性非奇異變換，可逆變換通過線性非奇異變換，系數(shù)矩陣變成一樣的，則兩個系統(tǒng)是代數(shù)等價的 特征多項式、特征方程、特征根、特針值、特征向量其中非奇異變換只改變

3、特征向量，變?yōu)?，其余皆不改變N個相異特征根有N個特征向量，反之，不一定成立，重根現(xiàn)象用非奇異線性變換將系統(tǒng)化為能控能觀標(biāo)準(zhǔn)型 沒有看 化為對角型： 充要條件：N個線性獨立的特征向量（特征根互異 OR 降秩數(shù)=特征根重數(shù)）T是一個方陣化為約當(dāng)型： 給定條件： 矩陣降秩數(shù) 特征根重數(shù) 造成的后果： 第一次解的時候解不出N個特征向量，只能解出 （N降秩數(shù)） 個 接下來解的時候應(yīng)該看每一個解出來的特征向量里的元素的個數(shù)，有幾個 元素就一共可以解出多少個特征向量，如（1,2,3,0，0，0）則接下來可 以解出（0,1,1,0，0,0） （0,0,1,0,0,0），數(shù)字是隨意編的，大概是這個 意思 之后的

4、地推公式（雖然不知道怎么來的，線代書上應(yīng)該有，貌似有那么一點印象）： 凱萊·哈密頓定理 自己試著背誦一下吧 伴隨矩陣：對每一個元素求行列式，然后轉(zhuǎn)置 最小多項式： 首項系數(shù)為1 的，階次最小的多項式 特點： 1、階次 N 2、存在且唯一 3、能整除 4、 所有元素的公因式d(s), 5、2-4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 根據(jù)p 維輸入q維輸出，做拉普拉斯變換得： 狀態(tài) 伴隨×B 伴隨×B 輸入 = （sI-A)-1 B = 秩 = （s） 輸出 C× 伴隨×B C× 伴隨×B 輸入 = C（sI-A)-1 B+D = 秩 +D =

5、 （s） +D = G(s)其中要注意兩個式子的表示方法嚴(yán)格真有理分式 分子的階數(shù) < 分母的階數(shù)真有理分式 分子的階數(shù) 分母的階數(shù)(書上介紹的情況是等于)多輸入多輸出系統(tǒng)傳遞矩陣特點：1、D=0時，才是 嚴(yán)格真有理分式 D=G()2、系統(tǒng)穩(wěn)定，特征根都有負(fù)的實部時， 靜態(tài)增益矩陣 G（0）3、線性非奇異變換 不改變 輸入輸出 的傳遞函數(shù)矩陣4、系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的遞推算法： 兩個基本公式: 1、特征多項式 2、伴隨矩陣的特征多項式寫法 通過二者的對比計算可以得出 第二個式子 中的 系數(shù)矩陣 的值 將輸入輸出方程求出的傳遞函數(shù)矩陣列出： 把伴隨矩陣化為多項式寫法 求得系數(shù) E E 的求法和

6、規(guī)律： 1、系數(shù)永遠(yuǎn)是從a n-1 開始，第一個系數(shù)永遠(yuǎn)是1 2、變化的只有A的冪次方，最開始的冪次方數(shù)和E的下角標(biāo)之和為n-1 3、最后一個永遠(yuǎn)是CB 2-5 系統(tǒng)的連接并聯(lián)串聯(lián)反饋連接并聯(lián)： 1、兩個個系統(tǒng) 輸入、輸出維度 分別相等 2、串聯(lián)：1、系統(tǒng)1 的輸出維度為系統(tǒng)2輸入維度2、輸出反饋連接：1、系統(tǒng)1 的輸入和系統(tǒng)2 的輸出維度相同 系統(tǒng)1 的輸出和系統(tǒng)2 的輸入維度相同 2、2-6 線性系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性狀態(tài)方程的解：對于線性齊次微分方程： 基解矩陣 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)： 1、關(guān)于逆的性質(zhì) 2、傳遞性 3、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的初始矩陣 4、求導(dǎo) 5、對偶系統(tǒng)矩陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)

7、移矩陣為 不懂對于線性非齊次微分方程： 設(shè) 注：此處加上z（t），是因為想要保持住，這里的就是前面的， 具有前面的所有性質(zhì)繼而通過對x（t）的導(dǎo)數(shù)的計算求出z（t）的導(dǎo)數(shù)，接著通過積分求出 z（t）最后得到狀態(tài)變量x（t）=零輸入解 + 零狀態(tài)解 對于線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 是時間差的函數(shù) 因而得到的狀態(tài)變量方程又可以表示為： 自己背誦理解的線性定常系統(tǒng)的性質(zhì)：1、 逆矩陣性質(zhì)（注意： 以后此處的t 指的就是時間差）2、 傳遞性3、 初始矩陣4、 矩陣求導(dǎo)： 對自身求導(dǎo)，對它的逆求導(dǎo)5、 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 和A可交換6、 對偶系統(tǒng)矩陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 不懂矩陣指數(shù)函數(shù)定義：有關(guān)時間的狀態(tài)的表達(dá)

8、式 的性質(zhì)：1、 冪和2、 冪積3、 AB=BA時，矩陣冪和才成立即4、 凱萊哈密頓定理的應(yīng)用： 當(dāng)A的特征根互異時，可求得轉(zhuǎn)換后的系數(shù)。應(yīng)用矩陣指數(shù)函數(shù)，狀態(tài)關(guān)于時間的方程可以有新的表示 典型輸入信號的系統(tǒng)響應(yīng)，脈沖、階躍、斜坡，自己記憶幾個特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)： 對角矩陣 約當(dāng)矩陣（比較難記，慢慢記吧） 不懂 對于有共軛復(fù)數(shù)的情況矩陣指數(shù)函數(shù)的計算：1、 直接用定義求2、 利用約當(dāng)矩陣求3、 拉普拉斯變換求4、 凱萊哈密頓定理求兩個重要的式子： 例2.18 、2.19 嚴(yán)重不懂范德蒙德矩陣第三章能控 : 從某狀態(tài) 到01、 系統(tǒng) 某狀態(tài) 在某區(qū)間上 能控2、 系統(tǒng)在 某區(qū)間上能控 （任意

9、狀態(tài)）3、 系統(tǒng)完全能控 （任意狀態(tài) 任意區(qū)間）能達(dá)：從0 到某狀態(tài) 1、系統(tǒng) 某狀態(tài) 在某區(qū)間上 能達(dá) 2、系統(tǒng)在 某區(qū)間上能達(dá) （任意狀態(tài)） 3、系統(tǒng)完全能達(dá) （任意狀態(tài) 任意區(qū)間）注：幾點說明1、 在上述定義中，未涉及運行軌線以及如何選取控制作用的問題2、 能控狀態(tài)的線性組合也是能控狀態(tài)，從而衍生出 能控子空間的定義，不能控子空間是它 的正交補(bǔ)空間3、 能控和能達(dá)的的等價性，能控必能達(dá)4、 不能控子空間狀態(tài)轉(zhuǎn)置××=05、 對于線性時變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)在較短的時間區(qū)間內(nèi)能控能達(dá)時，那么它在較長的區(qū)間內(nèi)也 必定可以；對于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)它在某個區(qū)間上能控能達(dá)時，那么它在任意

10、有限時間 區(qū)間上都是能控能達(dá)的。接下來是看圖分析： 需要變換坐標(biāo)系，于是需要乘上一個矩陣最后為變換坐標(biāo)系以后的狀態(tài)方程，從中可以看出，系統(tǒng)輸入只對能控子空間向量有控制作用，反之，則沒作用。任何不能控分量不為零的狀態(tài)都是不能控的。與能控性不同，系統(tǒng)能觀性的討論是從對系統(tǒng)不能觀狀態(tài)的討論開始的。 討論時，假設(shè)輸入恒為零， 除去控制作用的影響。能觀：輸出為零1、 某初始狀態(tài)在某區(qū)間上不能觀 2、 系統(tǒng)在某區(qū)間上不能觀 （任意初始狀態(tài)）3、 系統(tǒng)不能觀或系統(tǒng)完全不能觀，（任意初始狀態(tài) 任意區(qū)間）能重構(gòu)：輸出為零1、某初始狀態(tài)在某區(qū)間上不能重構(gòu) 2、系統(tǒng)在某區(qū)間上不能重構(gòu) （任意初始狀態(tài)）3、系統(tǒng)不能重

11、構(gòu)或系統(tǒng)完全不能重構(gòu)，（任意初始狀態(tài) 任意區(qū)間）注：幾點討論說明1、 未涉及如何從系統(tǒng)輸出判斷狀態(tài)變量問題2、 不能觀狀態(tài)的線性組和依然不能觀。3、 系統(tǒng)完全能觀和完全能重構(gòu)具有等價性4、 當(dāng)前兩個乘積列向量線性無關(guān)時，系統(tǒng)完全能觀5、 線性時變，短時能觀，長時也能；線性定常，短時能觀，永遠(yuǎn)都能3-2 連續(xù)時間系統(tǒng)能控能觀判據(jù)1、 基本判據(jù)：格拉姆矩陣 對于行向量是 在（t0-t1)上的積分 對于列向量是 在（t0-t1)上的積分 定理3.1： 完全能控、完全能觀 的充分必要條件 是它們對應(yīng)的格拉姆矩陣 非奇異 能控格拉姆可解 控制量 時，t1時狀態(tài)歸0 能控格拉姆可解 狀態(tài)量初值 求即得x0

12、當(dāng)考慮線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 時，得到定理3.2定理3.2： 記住這個公式 它的格拉姆矩陣與上面的類似，積分區(qū)間是（0-t1）2、 代數(shù)判據(jù) 用于線性定常 不明妖姬：線性定常系統(tǒng)完全能控的充要條件： 不存在非零解，即的行向量線性無關(guān) 經(jīng)過各種化：得完全能控充要條件： 得完全能控充要條件：（雙重否定好理解一點） 從而引出定理3.3，此處才是真正的代數(shù)判據(jù)：就是它們的秩 0單輸入單輸出就是把b換成小寫，c 換為轉(zhuǎn)置該判據(jù)對于定常系統(tǒng)的結(jié)論：1、 線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性、能觀性2、 不完全能控或能觀時，具體看rank的大小，線性無關(guān)的一組向量張成能控、觀子空間3、 不變子空間，能控子空間

13、是對A的不變子空間，不能控子空間是對A的轉(zhuǎn)置的··PBH判據(jù)：只有結(jié)果，不用證明，會用就行 完全能控： 類似的 此處是A的特征根，s是任意復(fù)數(shù)完全能觀： 既能控又能觀的判據(jù)：線性定常 線性時變系統(tǒng)：充分條件 能控： 能觀： 3-3 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型判能控、觀1、單輸入單輸出能控判斷對角型： b全不為0約當(dāng)型： b中與每個約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的元素全 02、多輸入能控：B中與每個約當(dāng)塊最后一行相對應(yīng)的向量是線性獨立的 約當(dāng)塊不分裂時，只要它們都不為零就可以了3、單輸出系統(tǒng)能觀性的判定方法:對角型： cT全不為0約當(dāng)型： ct中與每個約當(dāng)塊第一行對應(yīng)的元素全 0多輸出系統(tǒng)能觀性判定：C

14、中與每個約當(dāng)塊第一行相對應(yīng)的向量是線性獨立的 約當(dāng)塊不分裂時，只要它們都不為零就可以3-4 用傳遞函數(shù)矩陣判定能控、觀系統(tǒng)能控能觀的充分必要條件是: 若系統(tǒng)矩陣A的特征值互不相同(矩陣的最小多項式和特征多項式一致)，傳遞矩陣的分母是特征多項式而與分子之間不發(fā)生因子相消具體證明過程中討論式子： 接下來討論： 能控充要條件：分母是特征多項式而與分子之間不發(fā)生因子相消能觀充要條件：分母是特征多項式而與分子之間不發(fā)生因子相消如果沒有這個條件，及時上述條件成立，系統(tǒng)也不能控、觀但以下結(jié)論總成立：若系統(tǒng)能控、觀，傳遞函數(shù)矩陣分母是對SISO系統(tǒng)：結(jié)論與上面一致，就是把b改成小寫，c改成小寫轉(zhuǎn)置 注：若SI

15、SO 能控、觀，則A 的最小多項式和特征多項式一定相等開環(huán)系統(tǒng)不能控或不能觀時，閉環(huán)系統(tǒng)也不能控或不能觀。 沒學(xué)3-5離散時間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性1、 兩個定義（n階p維輸入q維輸出） 線性定常離散 能控：任意x0，存在u0-k-1，使得xk=0能觀：根據(jù)對y0-yk的測量，可以唯一確定x0 線性時變離散 在區(qū)間（k1，k2）上：能控：任意x（k1），存在uk1-k2-1，使得x(k2)=0能觀：根據(jù)對yk1-yk2的測量，可以唯一確定x(k1)離散時間系統(tǒng)能控性的判定： 自己化簡：有解的充要條件：當(dāng)?shù)膔ank大于G的k次方的rank時若G可逆，第K拍能控的充要條件：另外，即若不能控，增加

16、拍數(shù)扔不能控對于SISO:非奇異時，能控。線性時變離散：在（k1,k2）上能控的充要條件是：其中用到了狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，在書上85頁，增加拍數(shù)，對能控性有益離散時間系統(tǒng)能控性的判定： SISO增加拍數(shù)線性時變 拍數(shù)增加時有益的3-6 對偶性原理對偶系統(tǒng)：即A 化為轉(zhuǎn)置，B化為C的轉(zhuǎn)置，C化為B 的轉(zhuǎn)置1、二者關(guān)系：一個的能觀性等價于另一個的能控性，反過來也一樣2、傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置3-7 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解能控結(jié)構(gòu)分解能觀結(jié)構(gòu)分解 未學(xué)4-1 李亞普諾夫穩(wěn)定性1、李普希茲條件 ： 兩個狀態(tài)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)的差的行列式 < L(兩個狀態(tài)的差的行列式)解的存在性和唯一性： 若滿足李普希茲條件，則存在，使得在（t，t+）內(nèi)微分方程存在唯一解解對初始條件的依賴性： 若滿足李普希茲條件，則存在，使