131單調性與最大小值1PPT學習教案

1、會計學1131單調性與最大小值單調性與最大小值1【知識提煉知識提煉】1.1.增函數(shù)與減函數(shù)的相關概念增函數(shù)與減函數(shù)的相關概念f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) )第1頁/共49頁2.2.函數(shù)的單調性及單調區(qū)間函數(shù)的單調性及單調區(qū)間增函數(shù)或減函數(shù)增函數(shù)或減函數(shù)單調性單調性區(qū)間區(qū)間D D第2頁/共49頁【即時小測即時小測】1.1.思考下列問題思考下列問題: :(1)(1)所有的函數(shù)在定義域上都具有單調性嗎所有的函數(shù)在定義域上都具有單調性嗎? ?提示提示: :并不是所有函數(shù)在定義域上都是單調的并不是所有函數(shù)在定義域上都是單調的, ,如函數(shù)如函數(shù)f(x)=1,xRf(x)=1,xR在在

2、定義域上就不是單調的定義域上就不是單調的. .第3頁/共49頁(2)(2)增、減函數(shù)定義中的增、減函數(shù)定義中的“任意任意x x1 1,x,x2 2DD”可否改為可否改為“存在存在x x1 1,x,x2 2DD”? ?提示提示: :不能改不能改, ,如函數(shù)如函數(shù)f(x)= xf(x)= x2 2中中, ,雖然雖然f(-1)f(2),f(-1)f(2),但該函數(shù)在定義域但該函數(shù)在定義域上不是單調函數(shù)上不是單調函數(shù). .(3)(3)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在實數(shù)集在實數(shù)集R R上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,則則f(1)f(4)f(1)f(4)成立嗎成立嗎? ?提示提示: :成立成立. .由于函數(shù)在由于函

3、數(shù)在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,且且14,14,故故f(1)f(4).f(1)A.kB.k-B.k-C.kC.k D.k-D.k-【解析解析】選選C.C.若若y=(2k-1)x+by=(2k-1)x+b是是R R上的減函數(shù)上的減函數(shù), ,則必有則必有2k-10,2k-10,所以所以kkf(b),f(a)f(b),則則a a與與b b的大小關系是的大小關系是. .【解析解析】因為因為f(x)f(x)在在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,所以當所以當f(a)f(b)f(a)f(b)時時, ,有有ab.ab.答案答案: :abab第7頁/共49頁5.5.如圖所示為函數(shù)如圖所示為函數(shù)y=f(x),x

4、-4,7y=f(x),x-4,7的圖象的圖象, ,則函數(shù)則函數(shù)f(x)f(x)的單調遞增的單調遞增區(qū)間是區(qū)間是. .【解析解析】結合單調遞增函數(shù)的概念及單調區(qū)間的概念可知結合單調遞增函數(shù)的概念及單調區(qū)間的概念可知, ,此函數(shù)的此函數(shù)的單調遞增區(qū)間是單調遞增區(qū)間是-4,-2,4,7.-4,-2,4,7.答案答案: :-4,-2,4,7-4,-2,4,7第8頁/共49頁【知識探究知識探究】知識點知識點 函數(shù)的單調性與單調區(qū)間函數(shù)的單調性與單調區(qū)間觀察圖形觀察圖形, ,回答下列問題回答下列問題: :第9頁/共49頁問題問題1:1:上面四個圖象從左到右的變化趨勢分別是什么上面四個圖象從左到右的變化趨勢

5、分別是什么? ?它們的變化趨它們的變化趨勢是否相同勢是否相同? ?問題問題2:2:能否說能否說f(x)= f(x)= 在定義域在定義域(-,0)(0,+)(-,0)(0,+)上是減函數(shù)上是減函數(shù)? ?1x第10頁/共49頁【總結提升總結提升】1.1.對增函數(shù)、減函數(shù)概念的三點說明對增函數(shù)、減函數(shù)概念的三點說明(1)(1)單調性是與單調性是與“區(qū)間區(qū)間”緊密相關的概念緊密相關的概念, ,一個函數(shù)在定義域不同區(qū)一個函數(shù)在定義域不同區(qū)間內可以有不同的單調性間內可以有不同的單調性, ,即單調性是函數(shù)的一個即單調性是函數(shù)的一個“局部局部”性質性質. .第11頁/共49頁(2)(2)定義中的定義中的x x

6、1 1和和x x2 2有如下三個特征有如下三個特征: :任意性任意性: :即即“任意取任意取x x1 1和和x x2 2”中中“任意任意”二字不能去掉二字不能去掉, ,證明時不能證明時不能以特殊代替一般以特殊代替一般; ;有大小之分有大小之分; ;屬于同一個單調區(qū)間屬于同一個單調區(qū)間. .(3)(3)函數(shù)單調性給出了自變量與函數(shù)值之間的互化關系函數(shù)單調性給出了自變量與函數(shù)值之間的互化關系: :比如比如f(x)f(x)在在定義域定義域I I上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,若若x x1 1,x,x2 2I,I,則則f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )x x1 1x0(1)y=ax+b,a0時時

7、, ,單調增區(qū)間為單調增區(qū)間為(-,+);a0(-,+);a0(2)y= ,a0時時, ,單調減區(qū)間為單調減區(qū)間為(-,0)(-,0)和和(0,+);a0(0,+);a0+n,a0時時, ,單調減區(qū)間為單調減區(qū)間為(-,m,(-,m,單調增區(qū)間為單調增區(qū)間為m,+);a0m,+);a4.4.4x第24頁/共49頁【解析解析】函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在(2,+)(2,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,證明如下證明如下: :任取任取x x1 1,x,x2 2(2,+),(2,+),且且x x1 1xx2 2, ,則則f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=(x=(x1 1-x-x2 2)

8、+ =(x)+ =(x1 1-x-x2 2) ) 因為因為2x2x1 1xx2 2, ,所以所以x x1 1-x-x2 20,x4,x4,x1 1x x2 2-40,-40,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)=x+ f(x)=x+ 在在(2,+)(2,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù). .4x121244xxxx211 24 xxxx1 21 2xx4.xx第25頁/共49頁【延伸探究延伸探究】1.(1.(變換條件、改變問法變換條件、改變問法) )將本例中區(qū)間將本例中區(qū)間“(2,+)(2,+)”改

9、為改為“(0,2)(0,2)”, ,判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)f(x)的單調性的單調性, ,并證明并證明. .第26頁/共49頁【解析解析】函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在(0,2)(0,2)上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,證明如下證明如下: :任取任取x x1 1,x,x2 2(0,2),(0,2),且且x x1 1xx2 2, ,則則f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=(x=(x1 1-x-x2 2)+ =(x)+ =(x1 1-x-x2 2) )因為因為0 x0 x1 1xx2 22,2,所以所以x x1 1-x-x2 20,0 x0,0 x1 1x x2 24,x4,x1 1x x

10、2 2-40,-40,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)=x+ f(x)=x+ 在在(0,2)(0,2)上是減函數(shù)上是減函數(shù). .4x121244xxxx211 24 xxxx1 21 2xx4.xx第27頁/共49頁2.(2.(變換條件、改變問法變換條件、改變問法) )將本例中的函數(shù)將本例中的函數(shù)“f(x)=x+ f(x)=x+ ”變?yōu)樽優(yōu)椤癴(x)= f(x)= ”, ,求證函數(shù)求證函數(shù)f(x)f(x)在在(-1,+)(-1,+)上為減函數(shù)上為減函數(shù). .4x2 xx 1第28頁/共49頁【證明證明】任取任取x x1 1,x,x2 2(-1,

11、+),(-1,+),且且x x1 1xxx1 1-1,-1,所以所以x x2 2-x-x1 10,(x0,(x1 1+1)(x+1)(x2 2+1)0,+1)0,因此因此f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在在(-1,+)(-1,+)上為減函數(shù)上為減函數(shù). .21212123 xx12 x2 x.x1x1x1 x1第29頁/共49頁【方法技巧方法技巧】利用定義證明函數(shù)單調性的步驟利用定義證明函數(shù)單調性的步驟(1)(1)取值取值: :設設x x1 1,x,x2 2是該區(qū)間內的任意兩個值是該區(qū)間內的任意

12、兩個值, ,且且x x1 1x0,0,則必有則必有( () )A.A.函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)先增后減先增后減B.B.函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)先減后增先減后增C.C.函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)是是R R上的增函數(shù)上的增函數(shù)D.D.函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)是是R R上的減函數(shù)上的減函數(shù) f af ba b第31頁/共49頁【解析解析】選選C.C.由由 00知知, ,當當abab時時,f(a)f(b);,f(a)f(b);當當abab時時,f(a)f(b),f(a)00”變?yōu)樽優(yōu)椤?a-b)f(a)-f(b)0(a-b)f(a)-f(b)bab時時,f(a)f(b);,f(a)f(b);當當abaf

13、(b),f(a)f(b),所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)是是R R上的減函數(shù)上的減函數(shù). . f af ba b第33頁/共49頁類型三類型三函數(shù)單調性的應用函數(shù)單調性的應用【典例典例】1.(20151.(2015張家界高一檢測張家界高一檢測) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=f(x)=是是R R上的增函數(shù)上的增函數(shù), ,則則a a的取值范圍是的取值范圍是. .2.(20152.(2015廣州高一檢測廣州高一檢測) )已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)是定義在是定義在(0,+)(0,+)上的增函上的增函數(shù)數(shù), ,對于任意的對于任意的x0,y0,x0,y0,都有都有f(xy)=f(x)+f(

14、y),f(xy)=f(x)+f(y),且滿足且滿足f(2)=1.f(2)=1.(1)(1)求求f(1),f(4)f(1),f(4)的值的值. .(2)(2)求滿足求滿足f(2)+f(x-3)2f(2)+f(x-3)2的的x x的取值范圍的取值范圍. .2xax 5,x 1,a,x 1x第34頁/共49頁【解題探究解題探究】1.1.典例典例1 1中中x1x1時對應的函數(shù)值時對應的函數(shù)值f(x)f(x)與與f(1)f(1)的大小關系的大小關系如何如何? ?提示提示: :f(x)f(x)是是R R上的增函數(shù)上的增函數(shù), ,所以所以x1x1時時f(x)f(1).f(x)f(1).2.2.典例典例2 2

15、中中f(2)=1,f(2)=1,則則2 2與與f(2)f(2)什么關系什么關系? ?提示提示: :2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).第35頁/共49頁【解析解析】1.1.因為因為f(x)f(x)在在R R上是單調遞增的函數(shù)上是單調遞增的函數(shù), ,所以所以f(x)f(x)需滿足在需滿足在區(qū)間區(qū)間(-,1(-,1和和(1,+)(1,+)上都是單調遞增的上都是單調遞增的, ,并且端點處并且端點處x=1x=1的函數(shù)值的函數(shù)值-1-12 2-a-5 ,-a-5 ,即即a-3;f(x)=-xa-3;f(x)=-x2 2-ax-5-ax-5的對稱軸為直線的對

16、稱軸為直線x=- ,x=- ,且在且在(-,1(-,1上單調遞增上單調遞增, ,所以所以- 1,- 1,即即a-2;f(x)= a-2;f(x)= 在在(1,+)(1,+)上單調上單調遞增遞增, ,所以所以a0.a0.綜上所述綜上所述,a,a的取值范圍是的取值范圍是-3,-2.-3,-2.答案答案: :-3,-2-3,-2a1a2a2ax第36頁/共49頁2.(1)2.(1)令令x=y=1,x=y=1,得得f(1)=f(1)+f(1),f(1)=f(1)+f(1),所以所以f(1)=0,f(1)=0,令令x=y=2,x=y=2,得得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,f(4)=f(2)+

17、f(2)=1+1=2,所以所以f(4)=2.f(4)=2.(2)(2)由由f(2)=1f(2)=1及及f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y)可得可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).因為因為f(2)+f(x-3)2,f(2)+f(x-3)2,所以所以f(2(x-3)f(4).f(2(x-3)f(4).又函數(shù)又函數(shù)f(x)f(x)在定義域（在定義域（0,+0,+）上是單調增函數(shù)）上是單調增函數(shù), ,所以所以 解得解得3x5.3f(b)f(a)f(b)ab,ab,單調減函數(shù)單調減函數(shù)f(x)f(x)中中f(a)f(b)f(a)

18、f(b)ab,af(3m-4),f(2m+1)f(3m-4),求求m m的取值范圍的取值范圍. .【解題指南解題指南】由由y=f(x)y=f(x)在在R R上是增函數(shù)可知上是增函數(shù)可知f(2m+1)f(3m-4)f(2m+1)f(3m-4)2m+13m-4,2m+13m-4,解此不等式即可解此不等式即可. .【解析解析】由由y=f(x)y=f(x)在在R R上是增函數(shù)且上是增函數(shù)且f(2m+1)f(3m-4)f(2m+1)f(3m-4)知知,2m+13m-4,2m+13m-4,解得解得m5,m5,所以所以m m的取值范圍是的取值范圍是(-,5).(-,5).第40頁/共49頁【補償訓練補償訓練

19、】(2015(2015杭州高一檢測杭州高一檢測)f(x)=)f(x)=是定義在是定義在R R上的減函數(shù)上的減函數(shù), ,則則a a的取值范圍是的取值范圍是. .【解題指南解題指南】一次函數(shù)在定義域上單調遞減一次函數(shù)在定義域上單調遞減, ,則一次項系數(shù)要小于則一次項系數(shù)要小于0.0.(3a 1)x 4a,x 1,ax,x 1第41頁/共49頁【解析解析】因為因為f(x)= f(x)= 是是R R上的減函數(shù)，上的減函數(shù)，答案：答案：3a 1 x 4a,x 1,ax,x 13a 1 0,11a 0a.833a 14aa 所以，解得，1 1)8 3，第42頁/共49頁規(guī)范解答規(guī)范解答 利用函數(shù)單調性求解參數(shù)取值范圍利用函數(shù)單調性求解參數(shù)取值范圍【典例典例】(12(12分分) )已知已知y=f(x)y=f(x)在定義域在定義域(-1,1)(-1,1)上是減函數(shù)上是減函數(shù), ,且且f(1-a)f(1-a)f(2a-1),f(2a-1),求求a a的取值范圍的取值范圍. .【審題指導審題指導】不等式不等式f(1-a)f(2a-1)f(1-a)f(2a-1)為抽象不等式為抽象不等式, ,不能直接解不能直接解. .考考慮到函數(shù)的單調性慮到函數(shù)的單調性, ,可將函數(shù)值的不等關系轉化為自變量取值的不等可將函數(shù)值的不等關系轉化為自變量取值的不等關系關