2018-2019學(xué)年高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(含答案解析)(3)

1、2018-2019學(xué)年高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含答案解析）一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分）1.（5 分）向量十：二鼻二：二,-，若 則 x 的值為（）A. - 3 B. 1 C. - 1 D. 32.（5 分）已知函數(shù) f （x） =x+lnx,則 f（1）的值為（）A. 1 B. 2 C. - 1 D.- 23.（5 分）某學(xué)校高一、高二、高三共有學(xué)生 3500 人，其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的兩倍，高二學(xué)生數(shù)比高一學(xué)生數(shù)多 300 人，現(xiàn)在按丁的抽樣比用分層 抽樣的方法抽取樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為（）A. 8 B. 11 C. 16 D. 104.

2、（5 分）某公司在 2014 年上半年的收入 x （單位：萬元）與月支出萬元）的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示:月份1 月份2 月份3 月份4 月份5 月份6 月份收入 x12.314.515.017.019.820.6支出丫5.635.755.825.896.116.185. （5 分）齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬， 劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽,為（y（單位:根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則（）A. 月收入的中位數(shù)是 15,B. 月收入的中位數(shù)是 17,C. 月收入的中位數(shù)是 16,D. 月收入

3、的中位數(shù)是 16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系 x與 y 有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系 x與 y 有正線性相關(guān)關(guān)系 x與 y 有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系則田忌獲勝的概率6 . (5 分)點(diǎn)集Q=(x, y) | 0 xe, 0yex, (x, y)內(nèi)，在點(diǎn)集Q中任取一個(gè)元素 a,貝 U a A 的概率為()7.（5 分）下列說法錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù) f （x）的奇函數(shù)”是“f（0） =0”的充分不必要條件.B.已知 A, B, C 不共線，若-： = |,則 P ABC 的重心.C.命題？xo R, sinxoT 的否定是：? x R, sinxv1”.D.命題若a=，則 cos的逆否命題是： 若 cosy ，則，”.3

4、2232 28.（5 分）過雙曲線21-:.的右焦點(diǎn)且垂直于 x 軸的直線與雙a2b2曲線交于 A, B 兩點(diǎn)，D 為虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，且 ABD 為直角三角形，則此雙曲線離心率的值為（）A. B.門.：C. Y ：或 門.：D. 或：.:9.（5 分）若雙曲線 x2+my2=m （m R）的焦距 4，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）A. ：:B.：:- C. , _ I :, D.，-，10. （5 分）已知正三棱柱 ABC- A1B1C1 的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則 ABi 與側(cè)面2=x2- 9lnx 在區(qū)間a- 1, a+1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（）A. (1,2 B.4,+x

5、)C. (-X,2 D.(0,312.(5 分)設(shè)函數(shù) f (x)=二sin 丄三,若存在 f (x)的極值點(diǎn) X。滿足 x2+f (x。)2K1v m2,貝 U m 的取值范圍是()A.c： D -ACCA1所成角的正弦值等于（）A. B匸 C匚 D.-11. （5 分）設(shè)函數(shù) f （x）A. (-x,-6)U(6,+x)B.(-x,-4)U(4,+)C.(-, -2)U(2,+x)D.(-x,-1)U(1,+x)、填空題（本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，共 20 分）13._（5 分）已知命題? x R, x2- ax+1v0”為假命題，貝 U 實(shí)數(shù) a 的取值范圍 是_ .14.（

6、5 分）由動(dòng)點(diǎn) P 向圓 x2+y2=1 引兩條切線 PA PB,切點(diǎn)分別為 A、B,若/APB=120,則動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為_ .15.（5 分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值是_ .c弄癌） 14 S * sin巴，3rJ、 201掃出$IG 束16.（5 分）已知函數(shù) f （x） =ex- e-x+1 （e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若 f （2x- 1） +f（4-x2）2,則實(shí)數(shù) x 的取值范圍為_ .三、解答題（本大題共 6 個(gè)小題，17 題 10 分，其余各題各 12 分，共 70 分）17.（10 分）已知過拋物線 y2=8x 的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于 A （冷，y

7、1），B （X2，y2） （X10 內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù) f（X）在區(qū)間1,+ y0X)上是增函數(shù)的概率.19.(12 分)已知四棱錐 P- ABCD 底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 2 的菱形，/ ABC=60, E 為AB 的中點(diǎn)，PA!平面 ABCD 且 PA=2(1) 在棱 PD 上求一點(diǎn) F,使 AF/平面 PEC(2) 求二面角 D-PE- A 的余弦值.20.(12 分)已知函數(shù) f (x) =ex(ax+b)-x2- 4x,曲線 y=f (x)在點(diǎn)(0, f (0) 處切線方程為 y=4x+4.(I)求 a, b 的值；(n)討論 f( x)的單調(diào)性，并求 f( x)的極大值.2221

8、.(12 分)已知橢圓：rf.I.-的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為： 一 , 比(逅，0),點(diǎn) M (1, 0)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.(I)求橢圓 C 的方程；(n)過點(diǎn) M(1,0)的直線 I 與橢圓 C 相交于 A,B 兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) N( 3,2),記 直線 AN, BN的斜率分別為 k1, k2,求證：k1+k2為定值.22.(12分)設(shè)函數(shù) .(1) 當(dāng) x(0, +) ,.- 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.(2) 設(shè) g (x) =f (x)- x 在1, e2上有兩個(gè)極值點(diǎn) X1, x2.(A) 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；(B)求證：11-：.lux In x 22017-2018學(xué)

9、年大慶高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分）1.（5 分）向量.-J.，若:-，則 x 的值為（）A.- 3 B. 1C. - 1 D. 3【解答】解：向量工，.，-1 = - 4+4x- 8=0，解得 x=3.故選：D.2.（5 分）已知函數(shù) f （x） =x+lnx,則 f （1）的值為（）A. 1B. 2 C. - 1 D.- 2【解答】解： f （x） =x+lnx， f（ x） =1+Xf （ 1） =1+】=21故選 B3.（5 分）某學(xué)校高一、高二、高三共有學(xué)生 3500 人，其中高三學(xué)生數(shù)是高一 學(xué)生數(shù)的

10、兩倍，高二學(xué)生數(shù)比高一學(xué)生數(shù)多 300 人，現(xiàn)在按丁的抽樣比用分層 抽樣的方法抽取樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為（）A. 8 B. 11 C. 16 D. 10【解答】解：設(shè)高一學(xué)生有 x 人，則高三有 2x,高二有 x+300，高一、高二、高三共有學(xué)生 3500 人，.x+2x+x+300=3500,.x=800,按的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本,100二應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為 一 z :1=8100故選 A.4. （5 分）某公司在 2014 年上半年的收入 x （單位：萬元）與月支出 y （單位:萬元）的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示:月份1 月份2 月份3 月份4 月份5 月份6 月份收入 x12.31

11、4.515.017.019.820.6支出丫5.635.755.825.896.116.18根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則（）【解答】解：月收入的中位數(shù)是1=16，收入增加，支出增加，故 x 與 y 有2正線性相關(guān)關(guān)系,故選：C.5. （5 分）齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等 馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬， 劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊 王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場(chǎng)比賽， 則田忌獲勝的概率為（A.【解答】解：設(shè)齊王的上，中，下三個(gè)等次的馬分別為 a, b, c,田忌的上，中,下三個(gè)等次的馬分別為記為 A, B, C,從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一

12、場(chǎng)比賽的所有的可能為Aa, Ab, Ac, Ba, Bb,A.月收入的中位數(shù)是15,B.月收入的中位數(shù)是17,C月收入的中位數(shù)是16,D月收入的中位數(shù)是16,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系 x與 y 有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系 x與 y 有正線性相關(guān)關(guān)系 x與 y 有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系D.Bc, Ca, Cb, Cc根據(jù)題設(shè)其中 Ab, Ac, Bc 是勝局共三種可能, 則田忌獲勝的概率為=】,93故選：A6.(5 分)點(diǎn)集 Q= (x, y) | 0 xe, 0yex, (x, y)內(nèi)，在點(diǎn)集 Q 中任取一個(gè)元素 a,貝 U a A 的概率為()【解答】解：點(diǎn)集 Q 表示的平面區(qū)域的面積為：_結(jié)合幾何概型計(jì)算公式

13、可得所求的概率值為：一 一7.(5 分)下列說法錯(cuò)誤的是()A.函數(shù) f (x)的奇函數(shù)”是“f(0) =0”的充分不必要條件.B. 已知 A, B, C 不共線，若 I 1= J 則 P 是厶 ABC 的重心.C.命題?XD R, sinx0T 的否定是：? x R, sinxv 1”所表示的平面區(qū)域如圖所示其面積為：已B C.D.命題若a=，則 COS -一”的逆否命題是：若 COS. 一，則，一”.3223【解答】解：對(duì)于 A,函數(shù) f (x)為奇函數(shù)，若 f (0)有意義，則 f (0) =0, 則函數(shù) f (x)為奇函數(shù)”是“f(0) =0”的非充分非必要條件，故 A 錯(cuò)誤； 對(duì)于

14、B,已知 A, B, C 不共線，若，-I. I:- I,可得、+ 1.= Wi, (D 為 AB 的中點(diǎn))，即有 P 在 AB 的中線上， 同理 P 也在 BC 的中線上， 在 CA 的中線上， 則 P 是厶 ABC 的重心，故 B 正確；對(duì)于 C,命題？x R, sinx0T 的否定是：？x R, sinxv1”由命題的否定 形式，可得 C 正確；對(duì)于 D,由逆否命題的形式可得，命題 若a=,則 cosa=”的逆否命題為 若32cos 滬丄，貝Ua”，23故 D 正確.故選：A.2 28.(5 分)過雙曲線: ,.的右焦點(diǎn)且垂直于 x 軸的直線與雙 b2曲線交于 A, B 兩點(diǎn)，D 為虛軸

15、上的一個(gè)端點(diǎn)，且 ABD 為直角三角形，則此雙曲線離心率的值為()A.【B. ； : C. ：或；：D.二或：、門22【解答】解：設(shè)雙曲線 1，可得 e=：丨:,a綜上，e=匚或；:.故選：D.9.(5 分)若雙曲線 x2+my2=m (m R)的焦距 4，則該雙曲線的漸近線方程為( )A.y；B.y廠-c. , _丨 一，D. -4.33【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線 x2+my2=m (m R)的焦距 4,可得I =2c=4,解可得 m=- 3,則雙曲線的方程為：二.其漸近線方程為：y= 丄 x;3故選：D.10. (5分)已知正三棱柱ABC- A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等， 則 AB

16、i與側(cè)面 ACCA1所成角的正弦值等于()A. 一 B廠 C. D.4422【解答】解：取 A1C1的中點(diǎn)連接 B1D1, A0，在正三棱柱 ABC- A1B1C1中，BiDi丄面 ACCAi,則/ B1AD1是 AB 與側(cè)面 ACCA1所成的角，正三棱柱 ABC- A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等,故選 A.11. (5 分)設(shè)函數(shù) f (x) =,x2-9lnx 在區(qū)間a- 1，a+1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()A. (1,2 B.4,+x)C. (-x,2 D.(0,3【解答】解： f (x) =_/-91 nx,2函數(shù) f (x)的定義域是(0, +x), f(X)=X-王

17、XTx0,.由 f(x)=x2v 0,得 0vxv3.函數(shù) f (x) = x2 9lnx 在區(qū)間a 1, a+1上單調(diào)遞減,2解得 1vam2+3,. m24.4求得 m2,或 mv-2,故選：C.二、填空題(本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，共 20 分)13. (5 分)已知命題？x R, x2 ax+1v0”為假命題，貝 U 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是-2,2.【解答】解：命題 存在實(shí)數(shù) x,使 x2 ax+1v0”的否定是任意實(shí)數(shù) x,使 x2ax+10,命題否定是真命題，:. -（- a）2- 42,則實(shí)數(shù) x 的取值范圍為(-1, 3).【解答】解：根據(jù)題意，令 g (x) =f

18、 (x)-仁 ex- e-x,有 g (- x) =f (- x)-仁 e-x- ex= - g (x),則 g (x)為奇函數(shù)，對(duì)于 g (x) =ex- e-x，其導(dǎo)數(shù) g (x) =ex+e-x0,則 g (x)為增函數(shù)，且 g (0) =e0- e=0,f (2x- 1) +f (4-x2) 2? f (2x- 1)- 1-f (4 - x2) +1? f (2x- 1)- f(4- x2) - 1 ? g (2x- 1) g (x2-4),又由函數(shù) g (x)為增函數(shù)，則有 2x- 1x2- 4, 即卩 x2- 2x- 3v0解可得：-1vXV3,即實(shí)數(shù) x 的取值范圍為（-1, 3

19、）;故答案為：（-1, 3）.三、解答題（本大題共 6 個(gè)小題，17 題 10 分，其余各題各 12 分，共 70 分）17.（ 10 分） 已知過拋物線 y2=8x 的焦點(diǎn)， 斜率為 的直線交拋物線于 A （xi, yi） ,B （X2，y2） （X1VX2）兩點(diǎn).（1）求線段 AB 的長(zhǎng)度；（2） O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，C 為拋物線上一點(diǎn)，若 | ,求入的值.【解答】解：（1）直線 AB 的方程是 y=2 - （x-2）,與 y2=8x 聯(lián)立，消去 y 得x2- 5x+4=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得 X1+X2=5.由拋物線定義得 I AB| =X1+X2+p=9,（2）由 x2- 5x+4=0，得

20、 X1=1, X2=4，從而 A （1,- 2 伍）,B （4,価）.設(shè) 7T= （X3, y3）= （1,- 2-）+X（4, 4 _） = （4 2+1, 4入2 _）,又 y2=8x3,即2 伍（2 入-1）2=8（42+1）,即（2 入-1）2=4 2+1,解得入=0 或入=218.（12 分）已知關(guān)于 x 的二次函數(shù) f （x） =a- 4bx+1.（I）設(shè)集合 A= - 1, 1, 2和 B= - 2,- 1, 1，分別從集合 A, B 中隨機(jī)取 一個(gè)數(shù)作為 a 和 b,求函數(shù) y=f （x）在區(qū)間1, +x）上是增函數(shù)的概率.（n）設(shè)點(diǎn)（a,b）是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù) f（X）

21、在區(qū)間1,+ y0X）上是增函數(shù)的概率.【解答】解：要使函數(shù) y=f（x）在區(qū)間1, +）上是增函數(shù)，需 a0 且三，即 a0 且 2b4晉23319.(12 分)已知四棱錐 P- ABCD 底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 2 的菱形，/ ABC=60, E 為AB 的中點(diǎn)，PA!平面 ABCD 且 PA=2(1) 在棱 PD 上求一點(diǎn) F,使 AF/平面 PEC(2) 求二面角 D-PE- A 的余弦值.【解答】 解： (1)以 BD 為 x 軸， CA 為 y 軸， AC 與 BD 的交點(diǎn)為 0,過 0 作平面 ABCD的垂線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系.A (0, 1, 0) , 1： ,

22、C (0,- 1, 0),川:墾心，P (0, 1, 2),E爭(zhēng)寺,0)設(shè) 7, !. ：.,-； . :,則點(diǎn)廠二(八：_一).(U)如圖,求得區(qū)域*x0y0a 0 且 2b |WV93 = r，得平面 PEA 的法向量=(,_ 3, 0),，取 x=_;,設(shè)平面設(shè)平面 PED 的法向量=(x, y, z),由二面角 D_ PE- A 為銳二面角， 因此，二面角 D_ PE- A 的余弦值為y20. (12 分)已知函數(shù) f (x) =ex(ax+b)-x2- 4x,曲線 y=f (x)在點(diǎn)(0, f (0) 處切線方程為 y=4x+4.(I)求 a, b 的值；(n)討論 f( x)的單調(diào)

23、性，并求 f( x)的極大值.【解答】解:( I)vf(x)=ex(ax+b) -x2-4x, f(x) =ex(ax+a+b)- 2x-4,曲線 y=f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處切線方程為 y=4x+4 f (0) =4, f (0) =4 b=4, a+b=8 a=4, b=4;(n)由(I)知，f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2) (ex-1),令 f( x) =0,得 x=- In2 或 x=- 2 x( x,-2)或(In2,+x)時(shí)，f(x)0;x ( 2, -In2)時(shí)，f(X)v0 f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-x,-2)

24、, (-In2,+x),單調(diào)減區(qū)間是(-2,-In2)當(dāng) x=- 2 時(shí)，函數(shù) f (x)取得極大值，極大值為 f (- 2) =4 (1 - e2).2221.(12 分)已知橢圓:rfI.的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為：U；躲価,0),點(diǎn)M(1, 0)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.(I)求橢圓 C 的方程；(n)過點(diǎn)M(1,0)的直線 I 與橢圓 C 相交于 A,B 兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) N( 3,2),記 直線 AN, BN的斜率分別為 k1, k2,求證：k1+k2 為定值.【解答】解：(I)依題意，二，a2- b2=2,點(diǎn) M (1, 0)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直， b=| OM|=1,I.

25、(3 分)2 宀橢圓的方程為”.( 4 分)3x=l(II)當(dāng)直線 I 的斜率不存在時(shí)，由* /2+ y =1解得一、廠-一, 丄，貝卜.IJ1.:為定值.當(dāng)直線 I 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 I 的方程為：y=k (x- 1).2將 y=k (x- 1)代入整理化簡(jiǎn)，得(3k2+1) x2- 6&+3- 3分)(5 分)3=0.(6依題意，直線 I 與橢圓 C 必相交于兩點(diǎn)，設(shè) A (xi，yi)，B (X2，y2)， -_：，+；.(7分)又 yi=k (xi- 1)，y2=k (x2- 1)，所以2-匕(2-yj)(3 -/+(2-yp(3-x j)3 - /,；： .|_2-11(“-1)(3-4 + 2-11&廠1)(31巧)9-3( K十xj + xip12-2 ( x + jt+k