第10章 梁的彎曲變形

1、 主講 韓志型 西南科技大學(xué)土建學(xué)院力學(xué)教研室101 101 概述概述102 102 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程103 103 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形104 104 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形105 105 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施第第10章章 梁的變形梁的變形 精選課件3 ： 1 1、撓度、轉(zhuǎn)角的概念、撓度、轉(zhuǎn)角的概念 2 2、積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角、積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角 3 3、疊加法求梁指定截面的、疊加法求梁指定截面的 1 1、撓曲線微分方程的建立、撓曲線微分方程的建立 2 2、撓度、轉(zhuǎn)角函數(shù)的確定、撓度、轉(zhuǎn)

2、角函數(shù)的確定 精選課件要求：要求： 1 1理解撓度曲線、撓度、轉(zhuǎn)角的概念以及它們之間的關(guān)理解撓度曲線、撓度、轉(zhuǎn)角的概念以及它們之間的關(guān)系；系； 2 2、了解梁的撓曲線近似微分方程的應(yīng)用條件，掌握梁撓、了解梁的撓曲線近似微分方程的應(yīng)用條件，掌握梁撓曲線的近似微分方程；曲線的近似微分方程； 3 3、掌握用積分法求梁的變形；、掌握用積分法求梁的變形； 4 4、熟練運(yùn)用疊加法求梁的變形。、熟練運(yùn)用疊加法求梁的變形。 5 5、熟練運(yùn)用剛度條件，解決剛度校核、截面設(shè)計(jì)和確定、熟練運(yùn)用剛度條件，解決剛度校核、截面設(shè)計(jì)和確定容許荷載問(wèn)題。容許荷載問(wèn)題。精選課件10-1 概概 述述 精選課件6彎曲變形彎曲變形高

3、架橋高架橋研究目的：研究目的：對(duì)梁作剛度校核；對(duì)梁作剛度校核； 解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。研究范圍：等直梁在平面彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究范圍：等直梁在平面彎曲時(shí)位移的計(jì)算。 精選課件一、梁的變形特征一、梁的變形特征精選課件一、梁的變形特征一、梁的變形特征精選課件精選課件2.2.轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度動(dòng)的角度。用。用 表示，順時(shí)表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。反之為負(fù)。 3. 3.橫截面形心沿軸線方向的線位移橫截面形心沿軸線方向的線位移x x。在小變形情況下，。在小變形情況下， x x很小，通常被忽

4、略不計(jì)。很小，通常被忽略不計(jì)。 度量梁變形的兩個(gè)基本位移量：度量梁變形的兩個(gè)基本位移量：二、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量二、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量PxvCCv 1.1.撓度撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用用v v 表示。表示。 v v向下為正，反之為負(fù)。向下為正，反之為負(fù)。x 精選課件 撓度曲線撓度曲線指梁在彈性范圍內(nèi)的荷載作用下，指梁在彈性范圍內(nèi)的荷載作用下，梁的軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑的曲線，該曲線稱梁的軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑的曲線，該曲線稱為為撓度曲線撓度曲線，簡(jiǎn)稱為，簡(jiǎn)稱為撓曲線。撓曲線。 撓曲線方程撓曲線方程用來(lái)描述撓曲線的方程稱

5、為撓曲用來(lái)描述撓曲線的方程稱為撓曲線方程。線方程。)(xvv PxvC Cv精選課件 撓曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)撓曲線上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo) v（x）即為該點(diǎn)的即為該點(diǎn)的橫截面的撓度。橫截面的撓度。可見：可見：梁的任一橫截面的轉(zhuǎn)角，等于撓曲線在對(duì)梁的任一橫截面的轉(zhuǎn)角，等于撓曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線的斜率。應(yīng)點(diǎn)的切線的斜率。四、轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系四、轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系 ddtgxv 小變形小變形 ddtgvxv 轉(zhuǎn)角單位為弧度。轉(zhuǎn)角單位為弧度。PxvC Cv ddtgvxv 精選課件 推導(dǎo)純彎梁橫截面正應(yīng)力時(shí)，得到撓曲線的曲推導(dǎo)純彎梁橫截面正應(yīng)力時(shí)，得到撓曲線的曲率公式：率公式：z zEIEIM M1 1 忽略剪力

6、對(duì)變形的影響，也可忽略剪力對(duì)變形的影響，也可用上式計(jì)算橫力彎曲梁的變形：用上式計(jì)算橫力彎曲梁的變形：zEIxMx)()(1 10-2 10-2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程以撓曲線的曲率來(lái)度量梁彎曲變形的程度。顯然，在以撓曲線的曲率來(lái)度量梁彎曲變形的程度。顯然，在純彎曲時(shí)，曲率為常數(shù)，其撓曲線為一圓弧。在橫力純彎曲時(shí)，曲率為常數(shù)，其撓曲線為一圓弧。在橫力彎曲時(shí)，曲率與彎矩成正比。彎曲時(shí)，曲率與彎矩成正比。PD精選課件由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：平面曲線的曲率公式為由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：平面曲線的曲率公式為3222)(1 1dxdvdxvd 略去高階小量，得略去高階小量，得221dxvd 所以所以zE

7、IxMdxvd)(22 1dvdx 在小變形（小撓度）在小變形（小撓度）zEIxMx)()(1 精選課件 其中的正負(fù)號(hào)與彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則和其中的正負(fù)號(hào)與彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則和v v坐標(biāo)的取坐標(biāo)的取向有關(guān)。向有關(guān)。vxM00)( xvvxM0( )0vx vx( )0vx 精選課件 由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符號(hào)與撓曲由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，所以取負(fù)號(hào)，線的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，所以取負(fù)號(hào)，撓曲線的近似撓曲線的近似微分方程微分方程為：為：zEIxMdxvdv)( 22 由上式進(jìn)行積分，由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。轉(zhuǎn)角和撓度

8、。vxM00)( xvvxMb。解：解：1 1）由梁整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：0,AABFbFaHRRll 2 2）彎矩方程）彎矩方程10 xa AC AC 段：段： 222()AM xR xF xaCB CB 段：段：ab1x2xACxARBRABBF 111,AFbM xR xxl2axl 22(),FbxF xal HA精選課件3 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分111()FbEIvMxxl 121111()2FbEIvEIxxCl 1311116FbEIvxC xDl AC AC 段：段：10 xa2222()()FbEIvM xxF xal 22

9、222222()()22FbFEIvEIxxxaCl 23322222()66FbFEIvxxaC xDl CB CB 段：段：2axl 111,AFbM xR xxl222()(),FbM xxF xal ab1x2xACxARBRABBFl精選課件4 4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)22,( )0 xlvl 110,(0)0 xv 代入求解，得代入求解，得位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件1212,( )( )xxaaa 1212,( )( )xxav av a 2212()6FbCClbl 120DD 121111()2FbEIvEIxxCl 131111

10、6FbEIvxC xDl 22222222()()22FbFEIvEIxxxaCl 23322222()66FbFEIvxxaC xDl 10D（1）3322()066FbFllaC lDl （2）212FbaCl 222FbaCl （3）3116FbaC aDl 3226FbaC aDl （4）ab1x2xACxARBRABBFl精選課件5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程12221()26FbFbEIxlbll 132211()66FbFbEIvxlbxll AC AC 段：段：10 xa2222222()()226FbFFbEIxxalbll 33222222()()6

11、66FbFFbEIvxxalbxll CB CB 段：段：2axl （1 1）（2 2）（3 3）（4 4）ab1x2xACxARBRABBFl精選課件6 6）確定）確定C C截面的撓度：截面的撓度：7 7）確定）確定A A截面轉(zhuǎn)角：截面轉(zhuǎn)角：222()6cFabvlabEIl將將 x x1 1=a =a 代入代入v v1 1 或?qū)⒒驅(qū)?x x2 2=a =a 代入代入v v2 222()6AFblbEIl 將將 x1=0 代入（代入（1）式：）式： ab1x2xACxARBRABBFl132211()66FbFbEIvxlb xll 12221()26FbFbEIxlbll 2222222(

12、)()226FbFFbEIxxalbll 33222222()()666FbFFbEIvxxalb xll 精選課件疊加原理：疊加原理：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形 等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。)()()()()(221121iinnnPPPPPPP )()()()()(221121iinnnPvPvPvPvPPPv 10-3 10-3 疊加法求梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法求梁的撓度與轉(zhuǎn)角計(jì)算時(shí)可查表計(jì)算時(shí)可查表10-110-1（p194p194）。）。 疊加原理適用條件：小變形、材料服從胡克定

13、律。疊加原理適用條件：小變形、材料服從胡克定律。精選課件例例4 4 按疊加原理求按疊加原理求A A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C C點(diǎn)點(diǎn) 撓度。撓度。解、解、載荷分解如圖載荷分解如圖查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表：查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表：36C PP avE I 24A PP aE I 4524C qqavE I 33A qqaE I qqPP=+AAABBB Caa精選課件36C PP avE I 24A PP aE I 4524C qqavE I 33A qqaE I qqPP=+AAABBB Caa疊加疊加qAPAA )43(122qaPEIa EIPaEIqa624534 cqcPCvvv 精選課件例例5 5

14、 按疊加原理求按疊加原理求B B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。解、解、載荷分解如圖載荷分解如圖41()8Bq abvEI 31(),6Bq abEI 2BBBCCvvvb v 433(34 )8624qaqa bqaabEIEIEI BqABvBvcvC BqCABqCA=+（1 1） （2 2） 3,6cqaEI 48cqavEI 326BcqaEI 查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表：查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表：精選課件疊加：疊加： 41()8Bq abvEI 31()6Bq abEI 12BBB 32(34 )24BqavabEI BqABvBvcvC BqCABqCA=+（1 1） （2 2） 326Bqa

15、EI 12BBBvvv 43()(34 )824q abqaabEIEI 33()66q abqaE IE I 精選課件 maxvv 10-4 10-4 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施 建筑工程中的梁主要是強(qiáng)度條件控制，即按強(qiáng)度條件建筑工程中的梁主要是強(qiáng)度條件控制，即按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)出梁的截面尺寸，然后進(jìn)行剛度校核。設(shè)計(jì)出梁的截面尺寸，然后進(jìn)行剛度校核。 剛度條件就是將最大撓度控制在一定范圍內(nèi)，而對(duì)轉(zhuǎn)剛度條件就是將最大撓度控制在一定范圍內(nèi)，而對(duì)轉(zhuǎn)角一般不要求。角一般不要求。 建筑鋼梁的許可撓跨比：建筑鋼梁的許可撓跨比：112501000vl 精選課件例例6 圖示圖示

16、一圓木桁條，一圓木桁條，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/mq=1.04kN/m，桁條的容許撓度，桁條的容許撓度 v=l/200, ,試校試校核此桁條的剛度。核此桁條的剛度。qBAlvmax444cm8956462.1114. 364 dI EIqlv38454max 解：解：查表查表 vllEIqlv 6 .1411089510103846 . 31004. 153845864334max可見，不滿足剛度條件。因此需重新設(shè)計(jì)圓木的直徑。可見，不滿足剛度條件。因此需重新設(shè)計(jì)圓木的直徑。精選課件qBAlvmax644dI vEIqlv 38454max（2 2

17、）重新設(shè)計(jì)桁條尺寸）重新設(shè)計(jì)桁條尺寸 根據(jù)剛度條件：根據(jù)剛度條件： vdEqlEIqlv 444max6438453845 mvEqld46443441054. 26 . 314. 310103842006 . 31004. 15643845 md126. 0 例例6 圖示圖示一圓木桁條，一圓木桁條，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/mq=1.04kN/m，桁條的容許撓度，桁條的容許撓度 v=l/200, ,試校試校核此桁條的剛度。核此桁條的剛度。精選課件二、提高梁剛度的主要措施二、提高梁剛度的主要措施撓曲線微分方程：撓曲線微分方程：zEIxMv)( 轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：)( xv 1 1、選擇合理的截面形狀，以增大截面慣性矩、選擇合理的截面形狀，以增大截面慣性矩Iz盡量減小梁的跨度或長(zhǎng)度，減少?gòu)澗財(cái)?shù)值盡量減小梁的