線性代數(shù)習(xí)題行列式學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1第一頁，共52頁。利用利用(lyng)范德蒙行列式計(jì)算范德蒙行列式計(jì)算例計(jì)算例計(jì)算(j sun)利用范德蒙行列式計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算(j sun)行列式，應(yīng)根據(jù)范德行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算(j sun)出結(jié)果。出結(jié)果。.333222111222nnnDnnnn 第1頁/共52頁第二頁，共52頁。，于是得到，于是得到增至增至冪次數(shù)便從冪次數(shù)便從則方則方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，遞升至遞升至而是由而是由變到變到序排列，但不是從序排列，但不是

2、從次數(shù)自左至右按遞升次次數(shù)自左至右按遞升次方冪方冪數(shù)的不同方冪數(shù)的不同方冪中各行元素分別是一個中各行元素分別是一個10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 第2頁/共52頁第三頁，共52頁。上面上面(shng min)等式右端行列式為等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin第3頁/共52頁第四頁，共52頁。評注本題所給行列式各行（列）都是某元評注本題所給行列式各行（列）

3、都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列(pili)與范德蒙與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式第4頁/共52頁第五頁，共52頁。用化三角形行列式計(jì)算用化三角形行列式計(jì)算(j sun)例計(jì)算例計(jì)算(j sun).43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 第5頁/共52頁第六頁，共52頁。解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得將第將第1, 3

4、, 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 第6頁/共52頁第七頁，共52頁。提取提取(tq)第一列的公因第一列的公因子，得子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan 第7頁/共52頁第八頁，共52頁。. )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(第8頁/共

5、52頁第九頁，共52頁。評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時一般盡量化零時一般盡量(jnling)(jnling)選含有的行（列）及含零較多選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取便于化零的行（列）；若沒有，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為化為1 1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到應(yīng)充分利用這些特

6、點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的化為三角形行列式之目的第9頁/共52頁第十頁，共52頁。，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并從第行，并從第行都加到第行都加到第、的第的第將將dcbaD 114324用降階法計(jì)算用降階法計(jì)算(j sun)例計(jì)算例計(jì)算(j sun).4abcdbadccdabdcbaD 解解第10頁/共52頁第十一頁，共52頁。,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列，得列，得列都減去第列都減去第、再將第再將第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 第11頁/共52頁第十二頁，共52頁。行展開，得行展開，得按

7、第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再從從第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 第12頁/共52頁第十三頁，共52頁。列，得列，得列減去第列減去第再將第再將第12行行展展開開，得得按按第第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(第13頁/共52頁第十四頁，共52頁。評注本題是利用行列式的性質(zhì)將

8、所給行列評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低可降低 1階，如此階，如此(rc)繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來為止（一般展開成二階行列式）這種計(jì)算出來為止（一般展開成二階行列式）這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用第14頁/共52頁第十五頁，共52頁。用加邊法計(jì)算用加邊法計(jì)算(j sun)例計(jì)算例計(jì)算(j sun)解解.21xaaaaxaaaaxaDnn 11

9、11000111nnaxaaDaaxaaaax第15頁/共52頁第十六頁，共52頁。1111111nnaaaxDxx111110nnnaaaaxxxx1111niinnaaaaxxxx1211nniiax xxx第16頁/共52頁第十七頁，共52頁。用遞推法計(jì)算用遞推法計(jì)算(j sun)例計(jì)算例計(jì)算(j sun).21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆成兩個行列式之和拆成兩個行列式之和列把列把依第依第Dnn第17頁/共52頁第十八頁，共52頁。aaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann 第18頁/共52頁第十九頁，共52頁。.11

10、21DxaxxxDnnnn 從而從而得得列展開列展開第第右端的第二個行列式按右端的第二個行列式按列列加到第加到第倍分別倍分別列的列的將第將第右端的第一個行列式右端的第一個行列式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 第19頁/共52頁第二十頁，共52頁。由此遞推，得由此遞推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此如此(rc)繼續(xù)下去，可得繼續(xù)下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 第20頁/共52頁第二十一頁，共52頁。)(2

11、1213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 時，還可改寫成時，還可改寫成當(dāng)當(dāng)021 xxxn).111(1 2121xxxaxxxDnnn 第21頁/共52頁第二十二頁，共52頁。評注評注(pngzh).1 1 .1,1 1的遞推關(guān)系的遞推關(guān)系列式更低階行列式之間列式更低階行列式之間階行階行，建立比，建立比階更低階的行列式表示階更低階的行列式表示比比用同樣形式的用同樣形式的階行列式階行列式時，還可以把給定的時，還可以把給定的有有之間的遞推關(guān)系之間的遞推關(guān)系階行列式階行列式與與建立了建立了階行列

12、式表示出來階行列式表示出來用同樣形式的用同樣形式的行列式行列式階階質(zhì)把所給的質(zhì)把所給的本題是利用行列式的性本題是利用行列式的性 nnDnDnDnDnnnnn第22頁/共52頁第二十三頁，共52頁。用數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)(shxu)歸納法歸納法例證明例證明(zhngmng).coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 第23頁/共52頁第二十四頁，共52頁。證證對階數(shù)對階數(shù)n用數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)(shxu)歸納法歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結(jié)論成立結(jié)論成立時時當(dāng)當(dāng)所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?nnDD 得得展展開開按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將

13、將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于于下下證證對對的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立假假設(shè)設(shè)對對階階數(shù)數(shù)小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn 第24頁/共52頁第二十五頁，共52頁。,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由歸納假設(shè)由歸納假設(shè);cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結(jié)論成立結(jié)論成立所以對一切自然數(shù)所以對一切自然數(shù)n第25頁/共52頁第二十六頁，共52頁。評注評注(pngzh).,)1(1,)(, 21同型的行列式同型的行列式是與是與不不否則所得的低階行列式否則所得的低階行列式展開展開列列或第或

14、第行行按第按第不能不能展開展開列列或第或第行行本例必須按第本例必須按第表示表示展開成能用其同型的展開成能用其同型的為了將為了將DnnDDDnnnn .,.,其猜想結(jié)果成立其猜想結(jié)果成立然后用數(shù)學(xué)歸納法證明然后用數(shù)學(xué)歸納法證明也可先猜想其結(jié)果也可先猜想其結(jié)果如果未告訴結(jié)果如果未告訴結(jié)果納法來證明納法來證明可考慮用數(shù)學(xué)歸可考慮用數(shù)學(xué)歸結(jié)論時結(jié)論時證明是與自然數(shù)有關(guān)的證明是與自然數(shù)有關(guān)的而要我們而要我們當(dāng)行列式已告訴其結(jié)果當(dāng)行列式已告訴其結(jié)果一般來講一般來講第26頁/共52頁第二十七頁，共52頁。計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式

15、計(jì)算需要幾種方以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用在計(jì)算時，首先要仔細(xì)考察行列式法綜合應(yīng)用在計(jì)算時，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)(xngzh)對它進(jìn)行變對它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法換后，再考察它是否能用常用的幾種方法小結(jié)小結(jié)(xioji)第27頁/共52頁第二十八頁，共52頁。當(dāng)線性方程當(dāng)線性方程(fngchng)組方程組方程(fngchng)個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等、個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時，可用克萊姆法則為且系數(shù)行列式不等于零時，可用克萊姆法則為了避免在計(jì)算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對有的方程了避

16、免在計(jì)算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對有的方程(fngchng)乘以適乘以適當(dāng)整數(shù)，把原方程當(dāng)整數(shù)，把原方程(fngchng)組變成系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是整數(shù)組變成系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是整數(shù)的線性方程的線性方程(fngchng)組后再求解組后再求解.28)3(, 3)2(, 0)1( ),( fffxf使使求一個二次多項(xiàng)式求一個二次多項(xiàng)式例10例10第28頁/共52頁第二十九頁，共52頁。解解設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為,)(2cbxxaxf 由題意由題意(t y)得得,2839)3(, 324)2(, 0)1( cbafcbafcbaf., 的線性方程組的線性方程組數(shù)數(shù)這是一個關(guān)于三個未知這是一個關(guān)于三個

17、未知cba第29頁/共52頁第三十頁，共52頁。.20,60,40, 020321 DDDD由克萊姆法則由克萊姆法則(fz)，得，得. 1, 3, 2321 DDcDDbDDa于是于是(ysh)，所求的多項(xiàng)式為，所求的多項(xiàng)式為. 132)(2 xxxf第30頁/共52頁第三十一頁，共52頁。證證.0, 0, 01,),(0000從而有系數(shù)行列式從而有系數(shù)行列式的非零解的非零解可視為齊次線性方程組可視為齊次線性方程組則則點(diǎn)點(diǎn)設(shè)所給三條直線交于一設(shè)所給三條直線交于一必要性必要性 bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM. 00, 0, 0 cbabaycxacybxcbyax條件是條件

18、是相交于一點(diǎn)的充分必要相交于一點(diǎn)的充分必要直線直線證明平面上三條不同的證明平面上三條不同的 例11例11第31頁/共52頁第三十二頁，共52頁。. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因?yàn)槿龡l直線互不相同因?yàn)槿龡l直線互不相同將方程組將方程組如果如果充分性充分性, 0 cba第32頁/共52頁第三十三頁，共52頁。. 00,唯唯一一解解下下證證此此方方程程組組（）有有（）到到第第三三個個方方程程，得得的的第第一一、二二兩兩個個方方程程加加 acybxcbyax. 00)(

19、2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，從而有，從而有，于是，于是得得。由。由，則，則如果如果第33頁/共52頁第三十四頁，共52頁。.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直線線交交于于一一點(diǎn)點(diǎn)有有唯唯一一解解，即即三三條條不不同同方方程程組組從從而而知知有有唯唯一一解解組組由由克克萊萊姆姆法法則則知知，方方程程故故，與與題題設(shè)設(shè)矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨設(shè)設(shè) cbbaccbabacba第34頁/共52頁第三十五頁，共52頁。例例12有甲、乙、丙三種有甲、乙、丙三種(sn zhn)化肥，甲種化肥每千化肥，甲種化肥每千克含氮克含氮70

20、克，磷克，磷8克，鉀克，鉀2克；乙種化肥每千克含克；乙種化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，鉀克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮克；丙種化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，鉀克，鉀1.4克若把此三種克若把此三種(sn zhn)化肥混合，要化肥混合，要求總重量求總重量23千克且含磷千克且含磷149克，鉀克，鉀30克，問三種克，問三種(sn zhn)化化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解題意得方程組題意得方程組依依千克千克、各需各需設(shè)甲、乙、丙三種化肥設(shè)甲、乙、丙三種化肥,1xxx .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx第35頁/共52頁第三十

21、六頁，共52頁。,527 D此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式8127581 321 DDD，又又.15, 5, 332 xxx組組有有唯唯一一解解由由克克萊萊姆姆法法則則，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三種種化化肥肥第36頁/共52頁第三十七頁，共52頁。).(40,1552.1355.1357.1360.133020100:.)(000000332210準(zhǔn)準(zhǔn)確確到到小小數(shù)數(shù)兩兩位位時時水水銀銀密密度度求求由由實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)測測得得以以下下數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的關(guān)關(guān)系系為為與與溫溫度度設(shè)設(shè)水水銀銀密密度度 thttatataathth例例1313第

22、37頁/共52頁第三十八頁，共52頁。)1(.52.132700090030,5557 6 .13),(3210321032100 aaaaaaaaaaaaath得得方方程程組組將將測測得得的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分別別代代入入解解)2(.008. 02700903,005. 0800402,003. 010010,60.133213213210 aaaaaaaaaa得得方方程程組組分分別別代代入入其其余余三三個個方方程程將將第38頁/共52頁第三十九頁，共52頁。,12000 D此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式.0000033. 0,0001

23、5. 0,0042. 0)2(,321 aaa的的唯唯一一解解得得方方程程組組由由克克萊萊姆姆法法則則,04. 0, 8 . 1,50321 DDD又又得得將將以以上上四四個個數(shù)數(shù)代代入入又又),(,60.130tha 第39頁/共52頁第四十頁，共52頁。由此得由此得.0000033. 000015. 00042. 060.13)(32tttth .46.13,56.13,40,15,00水銀密度分別為水銀密度分別為時時當(dāng)當(dāng)所以所以 t.46.13)40(,56.13)15( hh第40頁/共52頁第四十一頁，共52頁。第一章第一章 測試題測試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分

24、，共分，共4040分分) ) ijijnaDaaD則則若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式則行則行的三個根的三個根是方程是方程設(shè)設(shè)行列式行列式 . 3第41頁/共52頁第四十二頁，共52頁。 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 . 4ababbaba四階行列式四階行列式第42頁/共52頁第四十三頁，共52頁。 443424144, . 5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD則則設(shè)四階行列式設(shè)四階行列式的的符符號號為為在在五五階階行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的系數(shù)是的系數(shù)是中中在函數(shù)在函數(shù)321112 . 7xxxxxxxf 第43頁/共52頁第四十四頁，共52頁。 abcdbadccdabdcba四階行列式四階行列式 . 8, . 9時時且且則當(dāng)則當(dāng)為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)若若 baba010100 abba第44頁/共52頁第四十五頁，共52頁。二、計(jì)算二、計(jì)算(j sun)(j sun)下列行列式下列行列式( (每小題每小題9 9分，共分，共1818分分) )01122103210113