IIR濾波器的完全設(shè)計函數(shù)---肖偉

1、2、IIR濾波器的完全設(shè)計函數(shù)以上介紹了IIR濾波器設(shè)計原理和基本方法步驟，并給出了一些例子說明如何用MATLAB編程分步實現(xiàn)這些步驟。由這些步驟可知我們必須多次調(diào)用MATLAB信號處理工具箱中的基本工具函數(shù)。實際上，MATLAB信號處理工具箱還提供了IIR濾波器設(shè)計的完全工具函數(shù)，用戶只要調(diào)用這些工具函數(shù)即可一次性完成設(shè)計，而不需要調(diào)用那些基本工具函數(shù)分步實現(xiàn)。IIR濾波器設(shè)計的完全工具函數(shù)有butter,cheby1,cheby2,ellip。這些工具函數(shù)既可用于設(shè)計模擬濾波器，也可用于設(shè)計數(shù)字濾波器。這里介紹這些函數(shù)在IIR數(shù)字濾波器中的應(yīng)用。在這兩類濾波器設(shè)計中，這些工具函數(shù)調(diào)用格式基

2、本相同，只是在頻率處理上有所不同。在MATLAB濾波器設(shè)計工具箱中，數(shù)字濾波器采用歸一化頻率，取值為01之間，歸一化頻率1對應(yīng)的數(shù)字角頻率為，對應(yīng)的真實頻率為采樣頻率的一半。在應(yīng)用MATLAB工具函數(shù)設(shè)計數(shù)字濾波器時應(yīng)注意這一點。數(shù)字IIR濾波器的完全設(shè)計函數(shù)有： b,a=butter(n,wn,'ftype') z,p,k=butter(n,wn, 'ftype') b,a=cheby1(n,Rp,wn,'ftype') z,p,k=cheby1(n, Rp,wn,'ftype') b,a=cheby2(n,Rs,wn,'

3、;ftype') z,p,k=cheby2(n, Rs,wn,'ftype') b,a=ellip(n,Rp,Rs,wn,'ftype') z,p,k=ellip(n, Rp,Rs,wn,'ftype')在上面的調(diào)用方式中，n為濾波器的階數(shù)，wn為濾波器的截止頻率，取值為01。需根據(jù)采樣頻率Fs來定，如濾波器的截止頻率為Fc（Hz），則wn的計算公式為： （1）這樣就轉(zhuǎn)換為01的歸一化頻率。其中wp,ws等邊界頻率都要根據(jù)此公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 'ftype'濾波器的類型為： high為高通濾波器，截止頻率為wn. stop為帶

4、阻濾波器，截止頻率為wn=w1,w2 (w<w2). ftype缺省時為低通或帶通濾波器。a,b分別為濾波器傳遞函數(shù)分子和分母多項式系數(shù)向量；z,p,k分別為濾波器的零極點和增益。Rp,Rs分別為所設(shè)計濾波器的通帶波紋和阻帶衰減，單位為dB。設(shè)計好的數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)具有下面形式： (2)上述函數(shù)采用雙線性變換法和頻率的預(yù)畸變處理將模擬濾波器離散化為數(shù)字濾波器，同時保證模擬濾波器和數(shù)字濾波器在wn(或w1,w2)處具有相同的幅頻響應(yīng)。設(shè)計時應(yīng)注意真實頻率和MATLAB歸一化數(shù)字頻率之間的轉(zhuǎn)換，即6-20式的應(yīng)用。在進(jìn)行IIR數(shù)字濾波器設(shè)計之前，請大家注意在模擬濾波器中我們用求取最小階數(shù)和

5、截止頻率的函數(shù)如buttord,cheb1ord,cheb2ord,ellipord，這些函數(shù)完全可以用于IIR數(shù)字濾波器設(shè)計中，只不過在模擬濾波器設(shè)計中需加可選項's'，在數(shù)字濾波器中則不加該項。另外，輸出的截止頻率也是歸一化頻率（歸一化為01）?！纠?】設(shè)計一個Butterworth高通數(shù)字濾波器，通帶邊界頻率為300Hz,阻帶邊界頻率為200Hz，通帶波紋小于1dB，阻帶衰減大于20dB,采樣頻率為1000Hz。假設(shè)一個信號，其中f1=10Hz,f2=400Hz。試將原信號與通過該濾波器的輸出信號進(jìn)行比較。%Samp6_8Fs=1000; %采樣頻率wp=300*2/Fs

6、;ws=200*2/Fs; %根據(jù)采樣頻率將濾波器邊界頻率進(jìn)行轉(zhuǎn)換Rp=1;Rs=20; %通帶波紋和阻帶衰減Nn=128; %顯示濾波器頻率特性的數(shù)據(jù)長度N,Wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs); %求得數(shù)字濾波器的最小階數(shù)和截止頻率（歸一化頻率）b,a=butter(N,Wn,'high'); %設(shè)計Butterworth高通數(shù)字濾波器figure(1)H,f=freqz(b,a,Nn,Fs); %用Nn點繪出頻率特性subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H);xlabel('頻率/Hz');ylabel('

7、振幅/dB');grid on;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)xlabel('頻率/Hz');ylabel('相位/o');grid on;n=0:127;dt=1/Fs;t=n*dt; %時間序列f1=10;f2=400; %輸入信號頻率x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t); %輸入信號figure(2)subplot(2,1,1),plot(t,x); title('輸入信號') %繪制輸入信號y=filter(b,a,x); %對輸入信號進(jìn)行

8、濾波subplot(2,1,2),plot(t,y),title('輸出信號') %繪制輸出信號xlabel('時間/s') 圖 所設(shè)計的高通Butterworth濾波器的頻率特性上圖：幅頻特性；下圖：相頻特性圖 所設(shè)計濾波器的輸入和輸出信號由上圖可以看到所設(shè)計濾波器在大于300Hz為通帶，其衰減均小于1dB；小于200Hz為阻帶，其衰減大于20dB，完全符合設(shè)計要求，但相頻特性是非線性的。由圖可以看出，當(dāng)濾波器輸入10Hz和400Hz兩種信號后，濾波器濾除了10Hz的信號，使得400Hz的信號通過了濾波器，起到了濾波的效果?！纠?】設(shè)計一個帶通Chebyshe

9、v I型數(shù)字濾波器，通帶為100Hz200Hz,過渡帶寬均為50Hz,通帶波紋小于1dB，阻帶衰減大于30dB，采樣頻率Fs=1000Hz。假設(shè)一個信號，其中f1=30Hz,f2=100Hz,f3=270Hz。試將原信號與經(jīng)過該濾波器濾波后輸出信號進(jìn)行比較。該濾波器的通帶范圍為100200Hz，過渡帶寬為50Hz，因此，通帶邊界頻率為100和200Hz，阻帶邊界頻率為50和250Hz。%Samp6_9Fs=1000; %采樣頻率wp=100 200*2/Fs; %通帶邊界頻率（歸一化頻率）（6-20式）ws=50 250*2/Fs; %阻帶邊界頻率（歸一化頻率）（6-20式）Rp=1;Rs=3

10、0;Nn=128; %通帶波紋和阻帶衰減以及繪制頻率特性的數(shù)據(jù)點數(shù)N,Wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs);%求得數(shù)字濾波器的最小階數(shù)和歸一化截止頻率b,a=cheby1(N,Rp,Wn); %按最小階數(shù)、通帶波紋和截止頻率設(shè)計數(shù)字濾波器figure(1)H,f=freqz(b,a,Nn,Fs); %求得濾波器的頻率特性subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H);xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅/dB');grid on;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(ang

11、le(H)xlabel('頻率/Hz');ylabel('相位/o');grid on;figure(2)f1=30;f2=100;f3=270; %輸入信號的三種頻率成分N=100; %輸入信號的數(shù)據(jù)點數(shù)dt=1/Fs;n=0:N-1;t=n*dt; %時間序列x=sin(2*pi*f1*t)+0.3*cos(2*pi*f2*t)+0.1*sin(2*pi*f3*t); %輸入信號subplot(2,1,1),plot(t,x),title('輸入信號') %繪制輸入信號y=filtfilt(b,a,x); %對輸入信號進(jìn)行濾波subplot(

12、2,1,2),plot(t,y) %繪制輸出信號ylim(-0.2 0.3)title('輸出信號'),xlabel('時間/s')圖 所設(shè)計濾波器的頻率特性上圖：幅頻特性；下圖：相頻特性圖 所設(shè)計濾波器的輸入和輸出信號由上圖可看出，在100200Hz為通帶，其衰減小于1dB；在50Hz以下和250Hz以上，其衰減大于30dB，完全符合濾波器的設(shè)計要求。下圖表明濾波器的相位為非線性。將30Hz、100Hz和270Hz的合成振動輸入濾波器后，可以看到完全濾除了在阻帶范圍內(nèi)的30Hz和270Hz的振動，起到了濾波效果?！纠?】設(shè)計一個帶通Chebyshev II型濾

13、波器，設(shè)計參數(shù)與例5相同。假設(shè)一個信號，其中f1=10Hz,f2=100Hz。試將原信號與通過該濾波器的輸出信號進(jìn)行比較。采樣頻率為1000Hz。%Samp6_10Fs=1000; %采樣頻率wp=100 200*2/Fs;ws=50 250*2/Fs; %通帶和阻帶邊界頻率（歸一化頻率）（6-20式）Rp=1;Rs=30;Nn=128; %通帶波紋和阻帶衰減以及繪制頻率特性的數(shù)據(jù)點數(shù)N,Wn=cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs); %求取數(shù)字濾波器的最小階數(shù)和歸一化截止頻率b,a=cheby2(N,Rs,Wn); %按最小階數(shù)截止頻率和阻帶衰減設(shè)計數(shù)字濾波器figure(1)H,f=f

14、reqz(b,a,Nn,Fs); %按傳遞函數(shù)系數(shù)、數(shù)據(jù)點數(shù)和采樣頻率求頻率特性subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H);xlabel('頻率/Hz');ylabel('振幅/dB');grid on;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)xlabel('頻率/Hz');ylabel('相位/o');grid on;figure(2)f1=10;f2=100; %輸入信號的頻率成分N=500; %輸入信號的數(shù)據(jù)點數(shù)dt=1/Fs;n=0:N-1;t

15、=n*dt; %時間序列x=sin(2*pi*f1*t)+0.8*cos(2*pi*f2*t); %輸入信號subplot(2,1,1),plot(t,x),title('輸入信號') %繪制輸入信號y=filtfilt(b,a,x); %對輸入信號進(jìn)行濾波，輸出為y.subplot(2,1,2),plot(t,y) %繪制輸出信號波形title('輸出信號'),xlabel('時間/s')圖 所設(shè)計濾波器的頻率特性上圖：幅頻特性；下圖：相頻特性圖 所設(shè)計濾波器的輸入和輸出信號可以看出，100200Hz之間為通帶，其衰減不大于1dB；在50Hz以

16、下和250Hz以上，衰減大于30dB，完全符合濾波器的設(shè)計要求。但在阻帶內(nèi)有振蕩，這是Chebyshev II型濾波器的特點。當(dāng)濾波器輸入10Hz和100Hz兩種信號的合成時，濾波器可以濾除處于阻帶內(nèi)的10Hz的低頻信號，達(dá)到濾波的目的。【例7】設(shè)計一個帶阻橢圓濾波器，阻帶頻率從100Hz200Hz,通帶波紋小于1dB,阻帶衰減為50dB,兩邊過渡帶寬為50Hz,采樣頻率1000Hz。假設(shè)一個信號，其中f1=50Hz,f2=200Hz,f3=270Hz。試將原信號與通過該濾波器的輸出信號進(jìn)行比較。%Samp6_11Fs=1000; %采樣頻率ws=100 200*2/Fs;wp=50 250*

17、2/Fs; %通帶和阻帶邊界頻率（歸一化頻率）Rp=1;Rs=50;Nn=512; %通帶波紋和阻帶衰減以及繪制頻率特性的數(shù)據(jù)點數(shù)N,Wn=ellipord(wp,ws,Rp,Rs); %求取數(shù)字濾波器的最小階數(shù)和歸一化截止頻率b,a=ellip(N,Rp,Rs,Wn,'stop'); %按最小階數(shù)、截止頻率、通帶波紋和阻帶衰減設(shè)計濾波器figure(1)H,f=freqz(b,a,Nn,Fs); %按傳遞函數(shù)系數(shù)、數(shù)據(jù)點數(shù)和采樣頻率求得濾波器的頻率特性subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H);xlabel('頻率/Hz');y

18、label('振幅/dB');grid on;subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H)xlabel('頻率/Hz');ylabel('相位/o');grid on;figure(2)f1=50;f2=200;f3=270; %輸入信號的頻率成分N=100; %輸入信號的數(shù)據(jù)點數(shù)dt=1/Fs;n=0:N-1;t=n*dt;%時間序列x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t); %輸入信號subplot(2,1,1),plot(t,x),title('輸入信號') %繪制輸入信號y=filtfilt(b,a,x); %