最新數(shù)值分析復(fù)習(xí)與思考題資料

1、精品文檔精品文檔第二章復(fù)習(xí)與思考題1什么是拉格朗日插值基函數(shù)？它們是如何構(gòu)造的？有何重要性質(zhì)？答：若n次多項式lj x （j =0,1，n）在n 1個節(jié)點x。：為：:：冷上滿足條件j,k =0,1,n,則稱這n 1個n次多項式I。X丄x ,，In x為節(jié)點Xo,X1，Xn上的n次拉格朗日插值以lk x為例，由lk x所滿足的條件以及l(fā)k x為n次多項式，可設(shè)I k x = A X - X。.1 IX - XkX - Xk 1 X - Xn ，其中A為常數(shù)，利用Ik xk =1得1=AXk-XoXk-XkXk-Xk1Xk-Xn，1Xk -X。Xk - XkXk -Xk1Xk - XnL(x)二

2、X _X。X _xk j X - xk 1 X - 焉(兀X。)八(兀Xk4 Ixk Xk* r(xk Xnj=。j-*X _ XjXk _Xjn對于 lj x （i 二。,1，,n），有 v Xjklj x 二 xk k 二。,1，n，特別當 k 二。時，有i=。n- li X = 1 i £2什么是牛頓基函數(shù)？它與單項式基0X,，Xnf有何不同？答：稱"-1,x-X。，X-X。X -X1，,X -X。！X -Xnd；為節(jié)點X。，為，,Xn 上的牛頓基函數(shù)，利用牛頓基函數(shù)，節(jié)點x。，/，,xn上的n次牛頓插值多項式 巳x可以表示為Pn X =a。 a1 x x。an x

3、x。x其中ak = f k°,x1,，xk !k =。,1，n與拉格朗日插值多項式不同，牛頓插值基函數(shù)在增加節(jié)點時可以通過遞推逐步得到高次的插值多項式，例如Pk 1 X = Pk X ak 1 x-x。 X - Xk ,其中ak i是節(jié)點Xo,X!，Xki上的k 1階差商，這一點要比使用單項式基 1,x,xn 方便得多3什么是函數(shù)的n階均差？它有何重要性質(zhì)？答： 稱 f &0, Xk L -f-Xkf X0 為函數(shù) f X 關(guān)于點 Xo, Xk的一階均差，xk 一 X0f Xo,Xi, Xk丄f X" Xkf Xo，Xl 為f X 的二階均差.一般地，稱Xk %Xo

4、"，Xnf X。，Xn,XnL f Xo,Xi,一為f X的n階均差.Xn _ Xn均差具有如下基本性質(zhì):(1) n階均差可以表示為函數(shù)值f X。，f Xi , f Xn的線性組合，即nXo,Xi,Xnj=0f (Xj )Xj Xo Xj XjXj Xj 1Xj Xn該性質(zhì)說明均差與節(jié)點的排列次序無關(guān)，即均差具有對稱性f X0, X1,Xn 1 =f Xi,X2, ,XnL fXo,Xi，Xnl(3)若f x在a,b上存在n階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點Xo,Xi/ ,Xna,b 1， 則n階均差與n階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為4寫出n 1個點的拉格朗日插值多項式與牛頓均差插值多項式，它們有何異同?答：給定區(qū)間

5、a,b I上 n 1a Xo叮X叮叮Xn _ b上的函數(shù)值丫)二f Xj (i =0,1，n)，則這n V個節(jié)點上的拉格朗日插值多項式為nLn x i；» yk x ,k =ok =0,1, n., n X - Xi 其中 lk(x)= 口 U (Xk Xj j "k這n 1個節(jié)點上的牛頓插值多項式為Pn X =ao y X Xo 廠 亠 an X Xox x.,其中ak = f lx°,Xi， 入k =0,1，,n為f x在點x°,Xi，Xk上的k階均差.由插值多項式的唯一性，Ln x與Pn x是相同的多項式，其差別只是使用的基底不同，牛頓插值多項式具

6、有承襲性，當增加節(jié)點時只需增加一項，前面的工作依然有效， 因而牛頓插值比較方便，而拉格朗日插值沒有這個優(yōu)點5插值多項式的確定相當于求解線性方程組Ax = y，其中系數(shù)矩陣 A與使用的基函數(shù)有關(guān).y包含的是要滿足的函數(shù)值Yo，yi/ ,yn T.用下列基底作多項式插值時，試描述矩陣A中非零元素的分布(1)單項式基底；(2)拉格朗日基底；(3)牛頓基底答： 若使用單項式基底，則設(shè) Pn x二a0飛必川“心乂，其中a01a1/' ,an為待 定系數(shù)，利用插值條件，有'a。乜必 + +anX； = y°ao - aiXi -anX：.a。+印人 + +anX： =yn因此，求

7、解Ax = y的系數(shù)矩陣A為1Xo1為 A =1Xn為范德蒙德矩陣XonX1nXn(2)若使用拉格朗日基底，則設(shè)Ln x =a°lo x 叭 x a.ln x，其中 L x 為 拉格朗日插值基函數(shù)，利用插值條件，有”aolo(x° )+a1(Xo+an(xo )=y°aolo X1a*1 %an 為二 Iaolo Xna1 Xnan Xn 二 y.由拉格朗日插值基函數(shù)性質(zhì)，求解 Ax =y的系數(shù)矩陣 A為10 00 1 0 A =I A< A Ji A J A0 0 1為單位矩陣(3)若使用牛頓基底,則設(shè) Pn x 二 a。 a! X X。F：；川 an X

8、 X。xx.,由插值條件，有a0 * ai (X0 - 冷)+ * an (x0 - 冷 J (x0 - xn)=y0a° +c(X! X0 )+an(X! X0廠區(qū))= yya° y Xn -x° an Xn -X0 Xn - Xn=y.a0 = y0a° pg x° )=% a° y Xn -X0 產(chǎn) 亠 an Xn -X0 Xn - Xnl=yn故求解Ax二y的系數(shù)矩陣 A為1X1 - X0X2 -XXn -X01A = 1J為下三角矩陣6用上題給出的三種不同基底構(gòu)造插值多項式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，試按工作量由低到高給出排序答：

9、若用上述三種構(gòu)造插值多項式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，則工作量由低到高分別為拉格朗日基底，牛頓基底，單項式基底7給出插值多項式的余項表達式，如何用它估計截斷誤差？答：設(shè)fnx在a,bl上連續(xù)，fn1x在 a,b內(nèi)存在，節(jié)點a玄X0Xn弐b， Ln x是滿足條件Ln Xj二yj, j = 0,1，n的插值多項式，則對任何X - a,b 1 插值余項n 1 % 十(x)n 1!這里：W ab 且與 x 有關(guān)， n 1 X = X - X° X - X1 x - Xn 若有max f L權(quán))=M n卑，則Ln (x逼近f (x )的截斷誤差(n +1 !8埃爾米特插值與一般函數(shù)插值區(qū)別是什么？什

10、么是泰勒多項式？它是什么條件下的 插值多項式？答：一般函數(shù)插值要求插值多項式與被插函數(shù)在插值節(jié)點上函數(shù)值相等，而埃爾米特插值除此之外還要求在節(jié)點上的一階導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等稱Pn(X )= f(X。)+ f '(X。'(X X。)+ f ' X0)(x Xo )n!為f x在點Xo的泰勒插值多項式，泰勒插值是一個埃爾米特插值，插值條件為P# lx。)= f gx。)k = 0,1，,n，泰勒插值實際上是牛頓插值的極限形式，是只在一點x0處給出n - 1個插值條件得到的n次埃爾米特插值多項式.9為什么高次多項式插值不能令人滿意？分段低次插值與單個高次多項式插值相比有

11、 何優(yōu)點？答：對于任意的插值結(jié)點，當n時，Ln x不一定收斂于f x，如對龍格函數(shù)做高次插值時就會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，因而插值多項式的次數(shù)升高后，插值效果并不一定能令人滿意分段低次插值是將插值區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上進行低次插值，這樣在整個插值區(qū)間，插值多項式為分段低次多項式，可以避免單個高次插值的振蕩現(xiàn)象10三次樣條插值與三次分段埃爾米特插值有何區(qū)別？哪一個更優(yōu)越？請說明理由答：三次樣條插值要求插值函數(shù)S x C2 a,b 1，且在每個小區(qū)間Xj,Xj上是三次多項式，插值條件為S Xj 二 yj, j 二。,1, ,n .三次分段埃爾米特插值多項式Ih x是插值區(qū)間a,b 1上的分段三

12、次多項式，且滿足Ih X C1 a,b 1，插值條件為I h Xk = f Xk，I h Xk 二 f Xk ,(k =0,1,n).分段三次埃爾米特插值多項式不僅要使用被插函數(shù)在節(jié)點處的函數(shù)值，而且還需要節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值，且插值多項式在插值區(qū)間是一次連續(xù)可微的三次樣條函數(shù)只需給出節(jié)點處的函數(shù)值，但插值多項式的光滑性較高，在插值區(qū)間上二次連續(xù)可微，所以相比之下，三次樣 條插值更優(yōu)越一些11. 確定n 1個節(jié)點的三次樣條插值函數(shù)需要多少個參數(shù)？為確定這些參數(shù)，需加上什么條件？答：由于三次樣條函數(shù) S x在每個小區(qū)間上是三次多項式， 所以在每個小區(qū)間l-xj, Xj 上要確定4個待定參數(shù)，n 1個節(jié)

13、點共有n個小區(qū)間，故應(yīng)確定 4n個參數(shù)，而根據(jù)插值條 件，只有4n -2個條件，因此還需要加上2個條件，通?？稍趨^(qū)間la,b丨的端點a = x0, b二xn 上各加一個邊界條件，常用的邊界條件有3種：已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即S Xo = fo， S Xn = fn (2) 已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)值，即S Xo 二 fo“，S “Xn = fn“，特殊情況為自然邊界條件S Xo = 0 , S Xn =0 (3) 當f X是以Xn - Xo為周期的周期函數(shù)時， 要求S X也是周期函數(shù)，這時邊界條件 就滿足Sx o =SXn -o，S Xo o 二S Xn -o， S Xo o 二 S Xn -o這時S x稱為周期樣條函數(shù)12. 判斷下列命題是否正確？(1) 對給定的數(shù)據(jù)作插值，插值函數(shù)個數(shù)可以任意多(2) 如果給定點集的多項式插值是唯一的，則其多項式表達式也是唯一的(3) li x(i -o,1/ ,n)是關(guān)于節(jié)點Xj(i=o,1，n)的拉格朗日插值基函數(shù)，則對任何次n數(shù)不大于n的多項式P x都有、Tj x P冬二P xi =o(4) 當f X為連續(xù)函數(shù)，節(jié)點Xi(i =o,1，n)為等距節(jié)點，構(gòu)造拉格朗日插值多項式Ln x，則n越大Ln x越接近f x .(5) 同上題，若構(gòu)造三次樣條