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文檔簡介

1、第一章 信號及其頻譜分析測試工作的直接目的是為了獲得物理對象的狀態(tài),或者運(yùn)動特征信息,而信息是蘊(yùn)含于信號之中的。工程應(yīng)用中信息的分離與識別與信號分析與處理技術(shù)的水平密切相關(guān)。因此,學(xué)習(xí)有關(guān)信號的一些基礎(chǔ)知識是十分必要的。第一節(jié) 信號及其分類測試技術(shù)的主要任務(wù)就是利用測量系統(tǒng)或裝置精確地測量出各種被測物理量或被測參量。一般地說, 被測參量有三個(gè)特征, 即物理特征、量值特征、和時(shí)變特征, 分別反映被測參量的物理性質(zhì)、量值大小、和隨時(shí)間變化的情況。能否足夠精確地完成一次測量, 除和測量裝置的特性有關(guān)外, 和被測參量的這三個(gè)特征也是密切相關(guān)的。被測參量的物理性質(zhì)、量值大小對測量的影響較易理解, 而被測

2、參量的時(shí)變特征對測量的影響較為復(fù)雜, 本章將首先講述有關(guān)被測參量時(shí)變特征的基本概念和理論。 被測參量和信號是常見的兩個(gè)術(shù)語, 它們即有關(guān)系又有區(qū)別。被測信號只涉及被測參量的量值特征和時(shí)變特征而不涉及其物理特征。由于本章是對被測參量的時(shí)變特征作一般性討論,與被測參量的物理特征無關(guān), 所以,一般情況下將使用(被測)信號這個(gè)術(shù)語。 信號可從不同的角度進(jìn)行分類。例如按信號波形的形態(tài)可分為連續(xù)時(shí)間信號與離散時(shí)間信號,并簡稱為連續(xù)信號與離散信號。 連續(xù)信號:若在所討論的時(shí)間間隔內(nèi),對于任意時(shí)間值(除若干不連續(xù)點(diǎn)之外)都可給出確定的函數(shù)值,此信號稱為連續(xù)信號。連續(xù)信號的幅值可以是連續(xù)的,也可以是離散的(只取

3、某些規(guī)定值)。對于時(shí)間和幅值都是連續(xù)的信號又稱為模擬信號。見圖1-1a所示。 離散信號:離散信號在時(shí)間上是離散的,只在某些不連續(xù)的規(guī)定瞬時(shí)給出函數(shù)值,而在其它時(shí)間沒有定義,見圖1-1b所示。圖1-1 連續(xù)信號與離散信號 a) 連續(xù)信號 b) 離散信號 對于連續(xù)信號, 按其隨時(shí)間變化的不同又可分成如圖1-2 所示的各種信號。其中動態(tài)信號是指幅值隨時(shí)間變化的信號而靜態(tài)信號是指幅值隨時(shí)間不變或變化非常緩慢的信號。 確定性信號: 它可以用明確的教學(xué)關(guān)系來描述,對于指定的某一時(shí)刻可以確定一相應(yīng)的函數(shù)值,例如圖1-3所示的幾種信號。確定性信號又分為周期信號和非周期信號。 圖1-3 確定性信號a)準(zhǔn)周期信號

4、b)瞬態(tài)信號c)簡諧信號d)復(fù)雜周期信號 周期信號: 包括簡單周期信號和復(fù)雜周期信號。簡單周期信號即指簡諧信號,而復(fù)雜周期信號是由和基頻成整數(shù)倍的簡諧信號組合而成的周期信號。 非周期信號: 包括準(zhǔn)周期信號和瞬態(tài)信號。準(zhǔn)周期信號是由一些不同頻率的簡諧信號合成的信號,組成它的簡諧分量中總會有其中兩個(gè)信號的頻率比值為無理數(shù)。復(fù)雜周期信 號的各簡諧分量中任意兩個(gè)分量的頻率比都是有理數(shù),這是準(zhǔn)周期信號與復(fù)雜周期信號的區(qū)別之處。瞬態(tài)信號是持續(xù)時(shí)間較短的各種脈沖函數(shù)或者衰減函數(shù)。 隨機(jī)信號: 具有隨機(jī)特點(diǎn),每次觀測的結(jié)果都不相同,無法用精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述,更不能由此準(zhǔn)確預(yù)測未來的結(jié)果,而只能用概率統(tǒng)計(jì)的

5、方法來描述它的規(guī)律,所以此種信號稱為隨機(jī)信號,也稱為非確定性信號。第二節(jié) 信號的時(shí)域描述與頻域描述 我們直接觀測或記錄的信號一般是隨時(shí)間變化的物理量,即以時(shí)間作為獨(dú)立變量,稱為信號的時(shí)間域描述,簡稱時(shí)域描述。信號的時(shí)域描述只能反映信號的幅值隨時(shí)間變化的特征,除簡諧波外一般不能明確揭示信號的頻率組成成分。為了研究信號的頻率結(jié)構(gòu)和各頻率成分的幅值大小、相位關(guān)系,應(yīng)對信號進(jìn)行頻譜分析,所謂頻譜分析就是對復(fù)雜時(shí)變信號按諧波進(jìn)行展開的過程。經(jīng)過這樣的分析變換后就可對信號做頻率域描述或簡稱頻域描述了。簡單地說,時(shí)域描述是指描述信號的坐標(biāo)圖中橫坐標(biāo)為時(shí)間 t,頻域描述時(shí)的橫坐標(biāo)則為頻率 f或圓頻率。 測試工

6、作中,儀表直接顯示或記錄的信號多數(shù)為時(shí)域信號,例如圖1-4 所示的周期方波信號。對這種時(shí)域描述方法大家是熟悉的, 下面就以該信號為例說明其頻域描述方法。 由付里葉級數(shù)對周期方波信號展開,得到: (1-1)中。 可見該周期方波是由無窮多個(gè)幅值和頻率不等,相角為零的正弦波疊加而成。圖1- 5直觀地展示了信號時(shí)域、頻域兩種描述間的關(guān)系。 在信號分析中, 將組成時(shí)間信號的各頻率成分找出來, 加以排列, 即為信號的頻譜。因?yàn)槊恳粋€(gè)頻率成分都以幅值大小和相位來表示,故以頻率為橫坐標(biāo),分別以幅值和相位為縱坐標(biāo)來表示頻譜。也就是說一個(gè)信號的頻域描述需用幅頻譜和相頻譜同時(shí)描述。在圖1-5 的時(shí)域描述中示出了該周

7、期方波的時(shí)間域波形; 頻域描述中示出了幅頻譜和相頻譜及相互間的關(guān)系。若將圖1-4 的周期方波沿時(shí)間坐標(biāo)左移, 請考慮一下其頻域描述將發(fā)生怎樣的變化。 信號在不同域中的描述,只是為了在解決不同問題時(shí),以使所研究的信號特征更為突出。例如在工程中為了評定機(jī)器的振動烈度,需要振動速度的均方根值來作為判據(jù)。這時(shí)的速度信號應(yīng)該選用時(shí)域描述。又如在機(jī)器的故障診斷中,為了尋找振源需要對信號進(jìn)行 頻譜分析,即頻域描述。另外, 頻譜分析的概念和方法在設(shè)計(jì)測量系統(tǒng)、選擇測量儀器和完成不失真測量等方面都有重要意義。時(shí)域描述直觀地反映信號隨時(shí)間變化的情況。頻域描述則反映信號的組成成分。同一信號無論選用那一種描述方法都含

8、有同樣的信息量,即只是兩種描述方法的相互轉(zhuǎn)換而并不增加新的信息。 圖1-5 周期方波信號的圖形描述 a) 時(shí)域和頻域描述 b) 1、3、5次諧波的疊加波形第三節(jié) 周期信號的頻譜分析 一、周期信號 周期信號的任意一個(gè)函數(shù)值都是依一定的時(shí)間間隔周而復(fù)始出現(xiàn)的,是無始無終的信號,它滿足下列關(guān)系式 (1-2)式中,為周期(正的常數(shù))。 如圖1-6 所示,由于周期信號是每隔一定的時(shí)間,按相同規(guī)律重復(fù)變化,因此,它在一個(gè)周期內(nèi)的特性可表征全時(shí)間域的特性。 二、周期信號的頻譜 由于簡單周期信號的頻譜一目了然, 所以這里討論的是對復(fù)雜周期信號的頻譜分析。采用的數(shù)學(xué)工具是付里葉級數(shù)。 1. 三角形式的付里葉級數(shù)

9、 在數(shù)學(xué)上, 凡滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)x(t)都可展成三角形式的付里葉級數(shù),即:丟失= 圖1-6 復(fù)雜周期信號 式中靜態(tài)分量或直流分量為 (1-4)余弦分量的幅值為 a0改為an (1-5)正弦分量的幅值為 (1-6)式中 周期; 基波圓頻率; 基波頻率; 。 令則式可寫為 (1-7a) 或,令則式可寫為 (1-7b) 比較式(1-3)和(1-7)可得展成余眩時(shí),展成正眩時(shí), (1-8) 式(1-3)表明,在滿足狄利赫利條件的情況下, 任何周期函數(shù)都可分解成靜態(tài)分量及許多正、余弦分量,即周期信號是由許多個(gè)不同頻率的簡諧信號迭加而成的。 由式(1-5)、(1-6)和(1-8)可知,各分量的幅

10、值及相角都是的函數(shù)。若以圓頻率或頻率為橫坐標(biāo)、幅值 或相角為縱坐標(biāo),繪制成如圖1-7所示的線圖,則稱為頻譜。其中或圖稱為幅值譜。該圖直觀地表示出各頻率分量的相對大小。圖中各豎線段稱為譜線, 分別代表著各頻率分量的幅值。連接 圖1-7 復(fù)雜周期信號的頻譜示意圖各譜線頂點(diǎn)的曲線(如圖1-7中 (a)幅值譜 (b)相位譜 虛線所示) 稱為包絡(luò)線,它反映了各分量幅值的變化情況。由于是整數(shù)序列,相鄰頻率的間隔或,,即各頻率成分都是或的整數(shù)倍。通常把頻率為或的一次諧波分量稱為基頻或基波,頻率為等分量分別稱為二次諧波、 三次諧波等。同理,還可畫出各分量的相位對頻率或的線圖,該圖稱為相位頻譜或簡稱相位譜。幅值

11、譜和相位譜的例子如圖1-7所示。 綜上所述,周期信號的譜線只會出現(xiàn)在 0,或等離散頻率點(diǎn)上,這種頻譜稱為離散譜,它完全揭示了信號的頻率結(jié)構(gòu)。 例1-1 求圖1-8中周期性方波信號的頻譜。 解 在的一個(gè)周期中可表示為 圖 1-8 周期性方波信號 顯然, 該函數(shù)滿足, 是奇函數(shù)。根據(jù)式(1-4)、(1-5)和(1-6)可計(jì)算出各付里葉系數(shù)為若希望展成式(1-7b)的形式, 根據(jù)式(1-8)得則 丟失=周期性方波信號的頻譜如圖1-9所示。各偶次諧波恰好落在幅頻譜的零值點(diǎn)上,所以它的頻譜只包含奇次諧波。幅值以的速度遞減。 圖 1-9 周期方波信號的頻譜圖 2.指數(shù)形式的付里葉級數(shù) 付里葉級數(shù)也可寫成指

12、數(shù)的形式,下面由三角函數(shù)形式的付里葉級數(shù)間接導(dǎo)出指數(shù)形式的付里葉級數(shù)。 根據(jù)歐拉公式 則式(1-3)可寫作 (1-9)令則 (1-10) 將上式中第一個(gè)指數(shù)項(xiàng)中用代替,則有 于是可以得到x(t)的指數(shù)形式的付里葉級數(shù),即若將式(1-5)和(1-6)代入式(1-10)得由式(1-8)和(1-10)可以看出 與其它系數(shù)之間的關(guān)系為 (1-13) 同樣可畫出指數(shù)形式表示的信號的頻譜。因?yàn)橐话闶菑?fù)函數(shù), 所以稱這種頻譜為復(fù)數(shù)頻譜。又因?yàn)?,可以畫出復(fù)數(shù)的幅值譜和復(fù)數(shù)相位譜,如圖1-10a、b所示。若為實(shí)數(shù)時(shí),可用的正負(fù)表示的,因此常把幅值譜和相位譜合畫在一張圖上,見圖1-10c所示。 由于(1-11)

13、中不僅包括正頻率項(xiàng),而且含有負(fù)頻率項(xiàng)。因此,頻譜相對于縱軸左右對稱。 比較圖1-9和圖1-10可知,這兩種頻譜表示的方法實(shí)質(zhì)上是相同的,其不同之點(diǎn)只在于圖 1-9中每條譜線代表一個(gè)分量的幅值,而圖1-10中每條譜線代表一個(gè)分量幅值的一半。 在圖1-10出現(xiàn)的負(fù)頻率是由于將寫成指數(shù)形式時(shí),從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)自然分成和兩項(xiàng),從而引入了項(xiàng)。因此,負(fù)頻率的出現(xiàn)完全是數(shù)學(xué)運(yùn)算的結(jié)果,沒有任何物理意義。 三、周期信號的對稱性質(zhì)與付里葉系數(shù)的關(guān)系 為了在求周期信號頻譜時(shí)避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算,下面簡要地介紹有關(guān)周期信號的性質(zhì)與付里葉系數(shù)的關(guān)系。 若周期函數(shù) x(t) 是實(shí)函數(shù),而且它的波形滿足某種對稱性質(zhì),則在其付里

14、葉級數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn),留下的各項(xiàng)系數(shù)的表示也變得比較簡單。 例1-2 求圖1-11所示周期性三角波的頻譜。 圖1-11 周期性三角波 解 x(t)的一個(gè)周期中可表示為 信號波形對于縱軸是對稱的,且滿足即是偶函數(shù)。 因?yàn)橹械谋环e函數(shù)為偶函數(shù), 而中的為為奇函數(shù), 于是各付里葉系數(shù)為 所以 展開的付里葉級數(shù)中不含有正弦項(xiàng),只含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。 通過對被積函數(shù)奇偶特性的分析, 根據(jù)定積分的性質(zhì)可以得出周期信號對稱性和付里葉系數(shù)的關(guān)系如下: (1) 波形以橫軸為中心線時(shí),直流分量或常值分量為零,即; (2) 波形對稱縱軸或偶函數(shù)時(shí),; (3) 波形相對于縱坐標(biāo)反對稱或奇函數(shù)時(shí),。 例1-3 圖1-

15、12為周期性矩形脈沖信號,脈沖寬度為,幅值為,其周期為。此信號在一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)學(xué)表示及圖形如下, 試求其頻譜。 解 1.展成三角形式的付里葉級數(shù)由圖可知該周期矩形脈沖信號是偶函數(shù),故其三角形式的付里葉級數(shù)為 圖1-12 周期矩形脈沖信號 系數(shù)為 設(shè) 則 式中為抽樣函數(shù)或采樣函數(shù) (1-14)則周期矩形信號的三角形式付里葉級數(shù)為 , 或 (1-15) (2) 展成指數(shù)形式的付里葉級數(shù) 由式(1-12)可得 (1-16)所以 對式 (1-15), 如果給定或就可以求出直流分量、基波與各次諧波分量的幅值,它們?yōu)椋?因?yàn)槭菍?shí)數(shù),通常將幅值譜和相位譜合畫在一幅圖上,如圖1-13a所示。同樣,對式(1-1

16、6)也可畫出復(fù)數(shù)頻譜,如圖1-13b所示。由以上分析可知, 復(fù)雜周期信號的頻譜具有以下三個(gè)共同特點(diǎn): 1) 頻譜是由一根根離散的 圖1-13 周期矩形脈沖信號頻譜示意圖譜線組成的; 2) 每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上,不存在非整數(shù)的頻率分量; 3) 各諧波分量的幅值隨諧波次數(shù)或頻率的增高而減小。 有時(shí)也把這三個(gè)特點(diǎn)概括成:離散性、諧波性、和收斂性。 第四節(jié) 非周期信號的頻譜分析 上節(jié)討論周期信號的付里葉級數(shù),并得到了它的離散頻譜。本節(jié)將上述付里葉分析方法推廣到非周期信號中去,由此導(dǎo)出付里葉變換。 現(xiàn)仍以周期矩形信號為例,由圖1-14 可見,當(dāng)周期增大時(shí),則相鄰譜線之間間隔 減小,即譜線變

17、密。若周期無限增大,則譜線間隔變?yōu)闊o限小,即趨于零值。這樣離散的頻譜變成了連續(xù)的頻譜。由式(1-12)可看出,隨周期增大,振幅值 也相應(yīng)的變小,周期趨于無限大時(shí),則振幅值趨于零。 這就是說按第二節(jié)所表示的譜線將失去應(yīng)有的意義。但從物理概念上考慮,既然成為一個(gè)信號,必然含有一定的能量,無論信號怎樣分解,其所含能量是不變的。所以不管周期大到什么程度,頻譜的分布依然存在?;蛘邚臄?shù)學(xué)角度看,在極限情況下,無限多的無窮小量之和,仍可等于一有限值,此有限值的大小取決于信號的能量。 根據(jù)上述原因,對非周期信號,引入一個(gè)新的概念來表示頻譜,即頻譜密度函數(shù)。以下從付里葉級數(shù)出發(fā)推導(dǎo)出付里葉變換,并說明頻譜密度函

18、數(shù)的物理意義。設(shè)有一個(gè)周期信號 ,它的復(fù)數(shù)頻譜,如圖1-14所示。將展成指數(shù)形式的付里葉級數(shù)為 圖1-14 從周期信號的離散頻譜到非周期信號的連續(xù)頻譜其頻譜 兩邊乘以得到 (1-17) 當(dāng)重復(fù)周期時(shí),原來的周期性矩形脈沖信號變成了非周期的瞬態(tài)信號, 譜線間隔,而離散的頻率變成了連續(xù)變化的頻率。在這種極限情況下,但是,可望不趨于零,而趨于有限值,且變成一個(gè)連續(xù)函數(shù),通常記作或即 在這個(gè)量中,反映單位頻帶的頻譜值頻譜密度函數(shù),或簡稱為頻譜函數(shù)。如果以的幅值為高, 以間隔為寬畫出一個(gè)小矩形, 如圖1-14c 所示,則該小矩形的面積等于頻率處頻譜值。這樣式(1-17) 在非周期信號的情況下變成 即 (

19、1-18) 同樣,付里葉級數(shù) 因?yàn)樽V線間隔,上式可改寫為在周期趨近于無限大的極限情況下,上式各量應(yīng)作如下改變:于是,付里葉級數(shù)變成積分形式,得 (1-19)式(1-18)、(1-19)是用周期信號的付里葉級數(shù)通過極限的方法導(dǎo)出的非周期信號的表達(dá)式,稱為付里葉變換。通常式(1-18)稱為付里葉正變換,式(1-19)稱為付里葉逆變換,兩者互稱為付里葉變換對,通常表示為 將代入式(1-18)、(1-19) 則有 (1-20) (1-21)因此就避免了在付里葉變換中出現(xiàn)常數(shù)因子而使公式簡化。 一般是實(shí)變量的復(fù)函數(shù),可寫為 其中是的模,它代表信號中各頻率分量的相對大小。是的相位函數(shù),它表示信號中各頻率分

20、量之間的相位關(guān)系。習(xí)慣上也把與曲線分別稱為非周期信號的幅值頻譜與相位頻譜。由例1-4 可知,它們都是頻譜的連續(xù)函數(shù),在形狀上與相應(yīng)的周期信號頻譜包絡(luò)線相同。 上面的討論中是利用周期信號取極限變成非周期信號的方法,由周期信號的付里葉級數(shù)推導(dǎo)出付里葉變換,從離散頻譜演變?yōu)檫B續(xù)頻譜。這一過程還可以反過來進(jìn)行,亦即由非周期信號演變成周期信號,從連續(xù)頻譜引出離散頻譜。這說明了周期信號與非周期信號,付里葉級數(shù)與付里葉變換,離散頻譜與連續(xù)頻譜在一定條件下可互相轉(zhuǎn)化統(tǒng)一起來。 需要指出的是,前面推導(dǎo)付里葉變換時(shí)并未遵循數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格步驟。從理論上講, 付里葉變換也應(yīng)該滿足一定的條件才能存在。付里葉變換存在的充分

21、條件是在無限區(qū)間內(nèi)滿足絕對可積條件,即要求積分收斂 。嚴(yán)格的推導(dǎo)請參閱數(shù)學(xué)專著。 例1-4 求圖1-15所示矩形沖擊信號的頻譜。 解 根據(jù)式1-18 得故因 ;即 圖1-15 矩形沖擊信號所以 就表示了頻譜密度函數(shù)值和相角隨頻率的變化情況。 圖1-16 矩形沖擊信號 非周期信號的頻譜是連續(xù)頻譜, 并且頻譜密度函數(shù)的值隨頻率的增高而減小, 即也具有收斂性。 在以上頻譜分析的基礎(chǔ)上,下面介紹測試實(shí)踐中在設(shè)計(jì)、選擇傳感器或者測試系統(tǒng)時(shí)經(jīng)常遇到的一個(gè)問題,即如何確定被測信號的頻率范圍。 無論是周期還是非周期信號, 都可以利用頻譜分析的方法分解成一系列的諧波分量, 即任一確定性信號都可看成是一系列諧波分

22、量的和或積分。由于信號的頻譜都具有收斂性, 所以說信號的能量基本上是由低頻段各諧波信號的能量組成或者說頻率越高的諧波分量對信號構(gòu)成的影響就越小。上述基本概念,是理解和分析后面問題的基礎(chǔ)。測試前利用這一概念,可初步估算被測信號的頻率范圍,以作為設(shè)計(jì)測量系統(tǒng)或(和)選擇測量儀器的依據(jù)。處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)也可利用這一概念, 根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果利用圖解法或頻譜分析儀可直接求出各諧波分量或頻譜圖。 由以前的頻譜分析可知, 一般情況下, 信號的頻率范圍是 0= 。顯然, 任何一個(gè)測量系統(tǒng)或儀器都不可能在如此大的頻率范圍內(nèi)正常工作。測試實(shí)踐中是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來選取一個(gè)信號的頻率范圍,然后在根據(jù)信號的這個(gè)頻率范圍來設(shè)計(jì)或選擇

23、測試系統(tǒng)和儀器。如果這個(gè)范圍選擇的合適,最后顯示或記錄的信號就具有足夠的精度。確定信號頻率范圍的經(jīng)驗(yàn)方法如下: (1) 復(fù)雜周期信號時(shí):,其中,為周期; (2) 瞬態(tài)非周期信號時(shí): 頻率范圍為0n ,其中n = 45 , 為瞬態(tài)信號的持續(xù)時(shí)間。 按照由上面給出的n 值所確定的信號頻率范圍進(jìn)行測量, 可滿足機(jī)械工程中一般測試目的中對測量結(jié)果的精度要求。還有其它影響測量精度的原因, 這些將在以后介紹。 周期信號的基波頻率是1/T, 當(dāng)n取7時(shí), 就意味著忽略了7次以上的各高次諧波, 記錄的波形是7 次諧波及其以下各次諧波和直流分量的疊加。對于非周期信號, 其主要頻率為f1/。顯然, 當(dāng)要完成更高精

24、度的測量時(shí), 在確定信號頻率范圍時(shí)可選取較大的n值。第五節(jié) 信號的相關(guān)分析一、信號的幅值表示1. 均值、方差、均方值信號的均值是函數(shù)在整個(gè)時(shí)間坐標(biāo)上的積分平均,即: (1-69) T觀測時(shí)間。其物理含義是表達(dá)了信號變化的中心趨勢。信號的方差是去除均值后的均方值,即: (1-70)方差是信號幅值相對于均值分散程度的一種表示,其物理含義是偏離均值的波動分量的強(qiáng)度。信號均方值是樣本函數(shù)平方的均值,即: (1-71)其物理含義是表達(dá)了信號的平均功率或能量。均方值的正平方根稱為均方根值,又稱有效值。它也是信號平均能量的一種表達(dá)。 (1-72)均值、方差和均方值之間的關(guān)系: (1-73) 二、信號的相關(guān)分

25、析1.相關(guān) 應(yīng)用極為廣泛的一種時(shí)域分析方法(1)自相關(guān)函數(shù)的定義信號的自相關(guān)函數(shù)(或)定義為:與做時(shí)移后的函數(shù)的乘積后再做積分平均運(yùn)算,即: (1-79)注:T表示信號長度。實(shí)際應(yīng)用中總是取有限長度信號。例1-4求正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)。解:根據(jù)定義,有 (對于三角函數(shù)可以將T理解為周期)結(jié)論:1、正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù),在有最大值1/2;2、它保留了原正弦函數(shù)的頻率信息,但丟掉了共同的初始相位信息;(3)自相關(guān)函數(shù)能夠撿出信號中的周期成分。通過自相關(guān)分析課堂實(shí)驗(yàn)可以完成以下學(xué)習(xí)內(nèi)容: 解釋算法,體會變量的作用和意義; 讀入第12列數(shù)據(jù),驗(yàn)證例1-4的兩條結(jié)論;用第6列數(shù)據(jù)展示其撿出

26、周期信號的功能。3.信號的互相關(guān)函數(shù)(1)互相關(guān)函數(shù)的定義信號、的互相關(guān)函數(shù)定義為: (1-81)2) 在處出現(xiàn)峰值,峰值偏離原點(diǎn)的位置反映了兩信號相互錯開多長時(shí)間,其相關(guān)程度最高,如圖(1-27)所示; 相關(guān)分析可實(shí)現(xiàn)同頻成分的檢測,感官上就是波形相似性的度量,函數(shù)值的大小表示這些同頻成分在信號中所占的功率大小。4.信號相關(guān)分析在工程中的應(yīng)用1) 管道漏損位置探測 圖1-28為探測地下輸油管漏損位置的示意圖。若是聲波沿管道傳播的速度,在輸油管兩側(cè)表面放置2個(gè)傳感器,因它們的位置距離漏損處不等,則應(yīng)力波傳至兩傳感器就有時(shí)差,采集兩振動信號,,得到最大值對應(yīng)的,則泄漏點(diǎn)距中心的距離為 圖1-28

27、確定輸油管道漏損位置 2)相關(guān)測速圖1-29所示是基于相關(guān)分析的在線測量熱軋鋼帶速度的實(shí)例。光電池 光電轉(zhuǎn)換傳感器。光電池輸出的電信號是反映鋼板表面亮度隨機(jī)信號、。經(jīng)互相關(guān)處理,其的曲線在時(shí)差處出現(xiàn)峰值,說明信號、是僅有時(shí)差的非常相似的信號。熱軋鋼帶的運(yùn)動速度為。原理示意圖相關(guān)值顯示延時(shí)讀出圖1-17 利用相關(guān)分析法進(jìn)行相關(guān)測速5.相關(guān)系數(shù)函數(shù)信號、本身的取值大小將導(dǎo)致其相關(guān)函數(shù)值的大小受影響,于是不同的成對信號的相關(guān)程度做比較時(shí)就不具有可比性。為了避免這一現(xiàn)象而將相關(guān)函數(shù)作歸一化處理,引入無量綱的相關(guān)系數(shù)函數(shù)。 互相關(guān)系數(shù)函數(shù)定義: (1-83)取值區(qū)間是-1,1。的值與、相關(guān)程度的關(guān)系如下

28、:1),說明、完全相關(guān); 補(bǔ)充:,兩信號變化規(guī)律相同,但相位相反;2),說明、完全不相關(guān);3),說明、部分相關(guān)。延伸問題: 三角函數(shù)的正交性 不同頻率三角函數(shù)的積分等于零; 傅氏變換和相關(guān)分析的關(guān)系都是基于三角函數(shù)正交性原理的算法; 相關(guān)分析的應(yīng)用范圍和價(jià)值 解決測速等工程技術(shù)問題,但更重要的是用于認(rèn)識事物間的聯(lián)系和行為規(guī)律。第六節(jié) 數(shù)字信號的處理與應(yīng)用 實(shí)際應(yīng)用中一般是通過信號采集設(shè)備得到模擬信號的離散數(shù)據(jù)序列,然后根據(jù)具體的信號處理任務(wù)使用計(jì)算機(jī)對數(shù)字信號實(shí)施各種運(yùn)算。 (請參閱第六章)1 離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform,簡稱DFT) 已知在連續(xù)信號條

29、件下的FT式為 工程實(shí)際中,實(shí)測信號難以解析表達(dá)和長度無限性使得該式不具備可操作性。則相應(yīng)的DFT為 (1-6-1)x(n) 長度為N的時(shí)域離散信號;X(k) 離散頻域信號,稱為信號x(n)的頻譜。簡諧信號的頻譜與泄漏 設(shè)有一數(shù)字信號x(n),每個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)為100,幅值為1。 當(dāng)信號的截?cái)嚅L度N取定值、數(shù)字頻率k為變量時(shí),X(k)表示信號x(n)在頻率點(diǎn)k上對應(yīng)的幅值,那么可將信號的幅值看作是信號頻率k的函數(shù)。根據(jù)公式(1-6-1)可做出信號的幅值譜。圖118 正弦信號不同截?cái)鄺l件下的幅值譜 (a) 時(shí)域波形及7個(gè)周期截?cái)嗪?.3個(gè)周期的簡諧信號截?cái)啵?(b) 整周期截?cái)鄷r(shí)簡諧信號的DF

30、T幅值譜; (c) 非整周期截?cái)鄷r(shí)簡諧信號的有泄漏DFT幅值譜;一維DFT分析存在的問題:某些簡諧分量的非整周期截?cái)鄬?dǎo)致: N/2個(gè)離散的頻率不能準(zhǔn)確表達(dá)部分簡諧分量的實(shí)際頻率值,即給出的頻率值存在誤差并伴隨虛假頻率成分的展示; 頻譜泄漏將導(dǎo)致顯著的頻率誤差、幅值誤差。任意譜線表示的工程頻率計(jì)算 設(shè): 采樣時(shí)間為,數(shù)據(jù)長度為,任意數(shù)字頻率為,則待求工程頻率為: 例如:已知數(shù)據(jù)采集卡的采樣時(shí)間 ,DFT采用1980個(gè)數(shù)據(jù),請問第16根譜線代表的實(shí)際頻率是多少?解答:根據(jù)題意有2、DFT應(yīng)用頻譜分析在機(jī)械、電信、生物醫(yī)學(xué)等許多工程領(lǐng)域有重要而廣泛的應(yīng)用。圖1-19,圖1-20給出的是車用發(fā)動機(jī)的

31、振動實(shí)測信號及其幅值譜。根據(jù)該頻譜可以了解氣缸內(nèi)燃燒、曲軸、凸輪軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動引起的振動頻率和強(qiáng)度,估計(jì)各個(gè)部分對振動的貢獻(xiàn)。從而為改進(jìn)設(shè)計(jì)控制振動和噪聲,或者故障的在線診斷提供依據(jù)。 振動測試系統(tǒng)的硬件組成 圖1-19 實(shí)測發(fā)動機(jī)振動信號圖1-20 實(shí)測發(fā)動機(jī)振動信號的幅值頻譜第七節(jié) 二維DFT譜的概念及應(yīng)用1 二維DFT譜的概念設(shè)簡諧信號的離散序列為 ,周期,表示一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。以下是該信號在3種不同截?cái)嚅L度時(shí)由獲得的幅頻譜: 數(shù)據(jù)長度,包含周期數(shù)個(gè)周期; ,; ,。圖1-21 信號長度與DFT幅值譜從圖中可以看出,除了主譜線以外,其它頻率點(diǎn)上都存在著一系列的非零譜線,即產(chǎn)生了通常意義

32、下的頻譜泄漏。另外還有一種情況就是每個(gè)泄漏譜線的幅值隨著時(shí)域信號截?cái)辔恢玫牟煌兓?,例如頻譜中的3個(gè)具有不同的幅值。 顯然,每根譜線的大小與數(shù)據(jù)長度N和數(shù)字頻率K有關(guān),即有當(dāng)數(shù)字頻率K和數(shù)據(jù)長度N都是變量時(shí),該式在KN平面上定義了一個(gè)二維DFT譜。 圖1-22 近似方波的一維幅頻譜和二維DFT幅值譜圖1-23 強(qiáng)噪聲信號的二維DFT幅值譜2 二維DFT譜的特點(diǎn) 通過對單頻信號及多頻信號在非整周期截?cái)嗲闆r下、含噪聲情況下一維幅值譜、二維譜的對比,可知二維譜具有以下特點(diǎn):(1) 每個(gè)頻率成分的無泄漏幅值將多次出現(xiàn),并且排列在一條直線上。直線的高度表示該頻率成分的幅值;(2) 由局部極大值構(gòu)成的連

33、線代表一個(gè)頻率成分,頻率值可由該直線的方向角確定;(3) 不受泄漏成分的干擾,避免對頻率成分的誤讀誤判。具有一定抗噪能力,在SNR低至 -10dB時(shí),仍然能夠有效判斷信號的頻率結(jié)構(gòu);(4) 需要處理的數(shù)據(jù)量成倍增加。二維DFT譜是一維DFT頻譜的擴(kuò)展,對信號的頻率結(jié)構(gòu)可以展示的更為準(zhǔn)確和完整。3 二維DFT譜的應(yīng)用 這里介紹一個(gè)基于二維DFT頻譜技術(shù)的小客車內(nèi)部噪聲分析實(shí)例。測試過程分別采集怠速、30km/h、60km/h、90km/h、120km/h下的車內(nèi)噪聲數(shù)據(jù),現(xiàn)以30km/h速度下所采集到的數(shù)據(jù)為例,說明二維DFT譜在車內(nèi)噪聲信號頻譜分析中的應(yīng)用。從30km/h速度下所采集到的數(shù)據(jù)中截取5000個(gè)數(shù)據(jù),做二維DFT譜,所得頻譜圖如圖1-24所示。圖1-24 時(shí)速30km時(shí)車內(nèi)噪聲信號的二維DFT圖根據(jù)汽車的三大主要噪聲源可知:頻譜圖中A區(qū)主要是風(fēng)噪頻譜;而B區(qū)為發(fā)動機(jī)噪聲區(qū),其中有一個(gè)幅度最高的“山脊”是發(fā)動機(jī)燃燒過程引起的振動噪聲;相對獨(dú)立的C區(qū)是胎噪,由凹凸不平的路面和輪胎花紋的沖擊形成。信號測試中數(shù)據(jù)采集卡設(shè)置的采樣頻率,由此可計(jì)算單位數(shù)字頻率所代表的實(shí)際頻率。 則發(fā)動機(jī)燃燒頻率為。同理可確定三種噪聲的基本頻率范圍為:風(fēng)噪為026Hz;發(fā)動機(jī)噪聲2644Hz,胎噪76100Hz。 在確定了三種噪聲(風(fēng)噪、發(fā)動機(jī)噪聲、胎噪)頻帶范圍的基礎(chǔ)上就可以分別計(jì)算不同速度下

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