機(jī)械能守恒定律與動(dòng)量守恒定律的比較及應(yīng)用

1、機(jī)械能守恒定律與動(dòng)量守恒定律的比較及應(yīng)用湖南省祁東縣育賢中學(xué)張安國(guó)高中物理力學(xué)中涉及兩個(gè)守恒定律，即動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，掌握這兩個(gè)守恒定律，對(duì)物理概念和物理規(guī)律的理解能更進(jìn)一步。這兩個(gè)定律表示的是機(jī)械運(yùn)動(dòng)不同本質(zhì)的規(guī)律，有相似和相異之處。一、相似之處1兩個(gè)定律都是用“守恒量”來(lái)表示自然界的變化規(guī)律，研究對(duì)象均為物體系，運(yùn)用“守恒量”表示物體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化規(guī)律是物理研究的重要方法。2兩個(gè)守恒定律均是在一定條件下才能成立，他們都是用運(yùn)動(dòng)的初、末兩個(gè)狀態(tài)的守恒量相等來(lái)表示物體系的規(guī)律特征，因此他們的表達(dá)式是相似的，并且均有多種形式。3運(yùn)用守恒定律解題要注意其整體性（不是其中一個(gè)物體）、相

2、對(duì)性（表達(dá)式中的速度和其他有關(guān)物理量必須對(duì)應(yīng)同一個(gè)參考系）、同時(shí)性（物體系內(nèi)各物體的動(dòng)量和機(jī)械能都是對(duì)應(yīng)同一時(shí)刻的）、階段性（滿足條件的各個(gè)過(guò)程的始末量均守恒）。列方程時(shí)，只需考 慮運(yùn)動(dòng)的初狀態(tài)和末狀態(tài)，不必考慮中間過(guò)程細(xì)節(jié)。4.兩個(gè)定律都可用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，用理論論證。動(dòng)量守恒定律是將動(dòng)量定理應(yīng)用于相互作 用的物體，在不受外力的條件下可推導(dǎo)出來(lái)；機(jī)械能守恒定律是將動(dòng)能定理應(yīng)用于物體系（物體和地球組成系統(tǒng)），在只有重力做功的條件下可推導(dǎo)出來(lái)。二、相異之處1守恒量不同。動(dòng)量守恒定律的守恒量是動(dòng)量，機(jī)械能守恒定律的守恒量是機(jī)械能。因此他們所表征的守恒規(guī)律是有本質(zhì)區(qū)別的。動(dòng)量守恒時(shí)，機(jī)械能可能守恒，也可能

3、不守恒，反之亦然。2守恒條件不同。動(dòng)量守恒定律的適用條件是系統(tǒng)不受外力（或系統(tǒng)在某一方向不受 外力）；或系統(tǒng)所受的合外力為零； 或系統(tǒng)所受的合外力遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的內(nèi)力。機(jī)械能守恒定 律適用的條件是只有重力做功；或只有重力做功， 其他力不做功；或雖除重力的功外， 還有其他力做功，但這些力做功的代數(shù)和為零。3 .表達(dá)式不同。動(dòng)量守恒定律的表達(dá)式是一個(gè)矢量式，不論是附氣+%叫三叫才+翩刑;，還是乩 5，或者邛、=-站 均是矢量式。對(duì)于在同一直線上運(yùn)動(dòng)的物體系，只要規(guī)定正方向，動(dòng)量守恒定律可表示為標(biāo)量式；對(duì)于不在同一直線上運(yùn)動(dòng)的物體，可進(jìn)行正交分解后，列出兩個(gè)標(biāo)量式表示動(dòng)量守恒。在高中階段，動(dòng)量守恒定律的

4、應(yīng)用只限于一維的情況。機(jī)械守恒定律的表達(dá)式為標(biāo)量式，一般可表示為J = 兒 八亠，或者二",或者丄r （將系統(tǒng)分成a, b兩部分來(lái)研究）。例1下列關(guān)于機(jī)械能守恒的說(shuō)法中，正確的是A. 做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能一定守恒B. 做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能不可能守恒C. 如果物體不受摩擦力和介質(zhì)阻力的作用，其機(jī)械能一定守恒D. 如果物體只發(fā)生動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，其機(jī)械能一定守恒分析與解本題是單純判斷四種情形下物體的機(jī)械能是否守恒，這要求我們能正確把 握機(jī)械能守恒的條件。機(jī)械能是否守恒，取決于是否有重力以外的力做功，很明顯，從A,B, C三個(gè)選項(xiàng)中，我們并不能肯定除重力外其他力的做功情況，

5、也就不能肯定在這三種情 形下物體的機(jī)械能是否守恒，故不能選擇選項(xiàng)A, B, G若物體只發(fā)生動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)換，很顯然物體的機(jī)械能是守恒的，故應(yīng)選擇選項(xiàng)Db點(diǎn)評(píng) 判斷物體的機(jī)械能是否守恒，關(guān)鍵要抓住守恒的條件，不能僅憑物體做什么運(yùn) 動(dòng)，或不受什么力來(lái)判斷。例2在質(zhì)量為M的小車中掛有一個(gè)單擺，擺球的質(zhì)量為m，小車（和擺球一起）以恒定的速度V沿光滑水平面運(yùn)動(dòng)，與位于正對(duì)面的質(zhì)量為m的靜止木塊發(fā)生碰撞（如圖 1所示），碰撞的時(shí)間極短，在此碰撞過(guò)程中，下列可能發(fā)生的情況是A.小車、木塊、擺球的速度都發(fā)生變化，分別變?yōu)閂i、V2、V3,滿足B.擺球的速度不變，小車和木塊的速度分別變?yōu)関i, V2,滿足廠

6、 -''1 a】C. 擺球的速度不變，小車和木塊的速度均變?yōu)関,滿足' 1 ' 1 D. 小車和擺球的速度均變?yōu)?vi,木塊的速度變?yōu)?V2,滿足（M + %）卩二-h W20分析與解本題的四個(gè)選項(xiàng)是單純涉及動(dòng)量守恒定律的問(wèn)題，本題的關(guān)鍵詞是小車“沿光滑水平面運(yùn)動(dòng)”，木塊也置于光滑水平面上，所以系統(tǒng)在水平方向不受外力，碰撞前后系 統(tǒng)的動(dòng)量守恒。另一個(gè)關(guān)鍵詞是“碰撞時(shí)間極短”，因此，小車和木塊碰撞時(shí)，小車和木塊 間的作用力只能使小車和木塊的動(dòng)量發(fā)生變化，而不能使擺球的動(dòng)量發(fā)生變化。因此，列方 程時(shí)，只需列出小車與木塊動(dòng)量守恒的表達(dá)式，考慮到小車和木塊碰撞后可能分離

7、，故有6*7 ;也可能粘合運(yùn)動(dòng)，則有丁o故應(yīng)選擇選項(xiàng) B, Co討論 如將本題改為：在質(zhì)量為M的小車中掛有一個(gè)單擺，擺球的質(zhì)量為mo,擺球偏離豎直位置B角，小車和單擺一起以恒定的速度 V沿光滑水平地面運(yùn)動(dòng)， 然后釋放擺球，與 靜止放在車廂內(nèi)擺線懸掛點(diǎn)正下方的質(zhì)量為m的木塊發(fā)生正撞（如圖2所示），且碰撞時(shí)間極短，那么在擺球和木塊碰撞前的瞬間，如設(shè)擺球相對(duì)于地面的速度為v，小車相對(duì)于地面速度為v'則對(duì)系統(tǒng)能否列出1 _ 'Ll 'T 衣亠-為什么？若擺球和木塊碰撞后，擺球和木塊分離，他們相對(duì)地面的速度分別為Vi, V2，則對(duì)系統(tǒng)能否列出.'' - l .-

8、、 - :- . , ?顯然，擺球在從靜止開(kāi)始擺動(dòng)至和木塊碰撞前的瞬間，系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，且木塊和車廂相對(duì)靜止，他們的速度相同，故有-：+ ；： 碰撞過(guò)程中，因時(shí)間極短，車廂速度不可能改變。因此，有一廠H 一八-,或者' '- o點(diǎn)評(píng) 原題的四個(gè)選項(xiàng)均滿足動(dòng)量守恒，但是要對(duì)這個(gè)物理現(xiàn)象做出正確判斷，還需 綜合考慮題設(shè)條件及各種因素，不能用一種情況掩蓋另一種情況，條件不同，結(jié)論就不同， 原題不考慮擺球的動(dòng)量變化，后面的題不考慮小車的動(dòng)量變化，均因情境相異所致。例3沖擊擺的裝置是一個(gè)用細(xì)線懸掛著的砂箱，其質(zhì)量為從一粒質(zhì)量為 m的彈丸以水平速度v擊中砂箱，彈丸陷入箱內(nèi)，使砂箱

9、擺至某一高度， 設(shè)最大偏角為B （如圖3所示）。 利用這個(gè)裝置便可測(cè)出彈丸的速度。試描述其物理過(guò)程并列出彈丸速度的表達(dá)式。（設(shè)擺長(zhǎng)為L(zhǎng)）分析與解用沖擊擺測(cè)彈丸的速度涉及動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒。彈丸射入砂箱的過(guò)程中， 由于時(shí)間極短，砂箱無(wú)明顯的位移， 所以，該過(guò)程中系統(tǒng)（彈 丸和沙箱）在水平方向不受外力，水平方向動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律，得彈丸射入砂箱后，一起向右擺動(dòng)，線的拉力不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒。由 機(jī)械能守恒定律，得施+啲）'=M -I-（1 cos由上述兩式，可得¥二加+用J?或（1-匚3話點(diǎn)評(píng)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒并不是在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都體現(xiàn)。在彈丸射入砂箱的瞬

10、間，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，但由于彈丸要克服砂的阻力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒；在箱與彈丸擺動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，但外力（擺線的拉力和重力）的沖量不為零，系統(tǒng)的動(dòng)量不守 恒，這是本題求解時(shí)得到的啟示。另外，分析物理過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)量是否守恒、機(jī)械能是否守恒，關(guān)鍵在于此過(guò)程是否滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒的條件，有時(shí)還需將總過(guò)程分為若干分過(guò)程。例4如圖4所示，質(zhì)量為 M內(nèi)壁光滑的半圓槽放在光滑的水平面上，其左側(cè)緊靠臺(tái) 階，槽的半徑為 R。今從槽左側(cè) A點(diǎn)的正上方D點(diǎn)自由釋放一個(gè)質(zhì)量為 m的小球，球恰從 A 點(diǎn)進(jìn)入槽的內(nèi)壁軌道。為使小球沿槽的內(nèi)壁恰好運(yùn)動(dòng)到右端B點(diǎn)，試求D點(diǎn)至A點(diǎn)的高度。分析與解設(shè)D點(diǎn)至A點(diǎn)的高度為h，則小球從D點(diǎn)處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至 B端的過(guò)程可分為三個(gè) 階段：機(jī)械能守恒,第一階段小球從 D點(diǎn)自由下落至A點(diǎn)，只有重力做功,第二階段小球從 A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到半圓槽的最低點(diǎn) O。由于受臺(tái)階的作用，半圓槽仍保持靜止,P 121 空僅重力做功，機(jī)械能守恒，可得第三階段小球從 O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)小球和槽有共同的速度Vb，對(duì)槽和小球jlj i j一觀