材料力學(xué)壓桿穩(wěn)定習(xí)題解

1、第九章壓桿穩(wěn)定習(xí)題解習(xí)題9-1在§ 9-2中已對兩端球形鉸支的等截面細(xì)長壓桿，按圖a所示坐標(biāo)系及撓度曲線形狀，導(dǎo)出了臨界應(yīng)力公式二2EIPer 二 i 2。試分析當(dāng)分別取圖b,c,d所示坐標(biāo)系及撓曲線形狀時，壓桿在Fcr作用下的撓曲線微分方程是否與圖a情況下的相同，由此所得 Fer公式又是否相同。解：撓曲線微分方程與坐標(biāo)系的y軸正向規(guī)定有關(guān)，與撓曲線的位置無關(guān)。因為（b）圖與（a）圖具有相同的坐標(biāo)系，所以它們的撓曲線微分方程相同，都是Elw" - -M（x）。（ c）、（d）的坐標(biāo)系相同，它們具有相同的撓曲線微分方程:Elw = M （x），顯然，這微分方程與（a）的微分方

2、程不同。臨界力只與壓桿的抗彎剛度、長度與兩端的支承情況有關(guān)，與坐標(biāo)系的選取、撓曲線的位置等因素?zé)o關(guān)。因此，以上四種情形的臨界力具有相同的公式，即:PerEI習(xí)題9-2圖示各桿材料和截面均相同，試問桿能承受的壓力哪根最大，哪根最?。▓D 所示桿在中間支承處不能轉(zhuǎn)動）？解：壓桿能承受的臨界壓力為：巳一y。由這公式可知，對于材料和截面相冋的壓桿,（兒1）2它們能承受的壓力與原壓相的相當(dāng)長度T的平方成反比，其中，為與約束情況有關(guān)的長度系數(shù)。(a) .-l =1 5 = 5m(b) T 77 7 = 4.9m(c) 7 =0.5 9 = 4.5m(d) 屮=2 2=4m(e) Jl =1 8 =8m(f)

3、 T =0.7 5= 3.5m (下段)；= 0.5 5 = 2.5m (上段) 故圖e所示桿Fcr最小，圖f所示桿Fcr最大。習(xí)題9-3圖a,b所示的兩細(xì)長桿均與基礎(chǔ)剛性連接，但第一根桿（圖a）的基礎(chǔ)放在彈性地基上，第二根桿（圖b）的基礎(chǔ)放在剛性地基上。試問兩桿的臨界力是否均為2eimin(2)2解：臨界力與壓桿兩端的支承情況有關(guān)。臨界力計算公式不同。:二 El min2（2.1）"=2，因此，不能用El min“苛來計算臨界力。?為什么？并由此判斷壓桿長因數(shù)是否可能大于2。螺旋千斤頂（圖c）的底座對絲桿（起頂桿）的穩(wěn)定性有無影響？校核絲桿穩(wěn)定性時,把它看作下端固定（固定于底座上）

4、、上端自由、長度為丨的壓桿是否偏于安全？因為（a）的下支座不同于（b）的下支座，所以它們的（b）為一端固定，一端自由的情況，它的長度因素亠=2，其臨界力為：巳-。但是，（a）為一端彈簧支座，一端自由的情況，它的長度因素為了考察（a）情況下的臨界力，我們不妨設(shè)下支座（B）的轉(zhuǎn)動剛度C=M =20旦，®l且無側(cè)向位移，則：令 FcL 二 k2，得：w" k2w = k2、El微分方程的通解為：w = Asin kx - Bcoskx -由邊界條件：x=0， w = 0， w 二= Fcr ； x = l， w =-C CF d.F 6解得：A cr ， B = - ，cr si

5、n kl 一、coskl 、CkCkc整理后得到穩(wěn)定方程：kl tanklC 20EI /l用試算法得：kl =1.496故得到壓桿的臨界力:Fcr = (1.496)22二 2EI2(2.1l)因此，長度因素 可以大于2。這與彈性支座的轉(zhuǎn)動剛度 C有關(guān)，C越小，則值越大。 當(dāng)C > 0時，：。螺旋千斤頂?shù)牡鬃c地面不是剛性連接，即不是固定的。它們之間是靠摩擦力來維持相 對的靜止。當(dāng)軸向壓力不是很大，或地面較滑時，底座與地面之間有相對滑動，此時，不能 看作固定端；當(dāng)軸向壓力很大，或地面很粗糙時，底座與地面之間無相對滑動，此時，可以看作是固定端。因此，校核絲桿穩(wěn)定性時，把它看作上端自由，下

6、端為具有一定轉(zhuǎn)動剛度的彈性支座較合適。這種情況，.2，算出來的臨界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、長度為丨的壓桿”算出來的臨界力要小。譬如，設(shè)轉(zhuǎn)動剛度C = M = 20旦，®lP +212則： 出二 p =1.1025，Pcr固端=1.1025Pcr,彈簧。因此，校核絲桿穩(wěn)定性時，把它看Pcr彈簧2作下端固定（固定于底座上）、上端自由、長度為丨的壓桿不是偏于安全，而是偏于危險。習(xí)題9-4試推導(dǎo)兩端固定、彎曲剛度為EI，長度為丨的等截面中心受壓直桿的臨界應(yīng)力Pcr的歐拉公式。Per，水平反力為0,約束反力偶矩兩端相等,用Me表示，下標(biāo)e表示端部end的意思。若取下截

7、離體為研究對象,解:設(shè)壓桿向右彎曲。壓桿處于臨界狀態(tài)時，兩端的豎向反力為則M e的轉(zhuǎn)向為逆轉(zhuǎn)。v"PcLv(x)二EI匹，令kEI上述微分方程的通解為:Mev = Asi n kx Bcoskx巳邊界條件：x = 0 ； v = 0 :0 = Asi n 0 B cosOMe ；PT ；Me。Per x=0v =0 : 0 = Akcos0 - Bksin0 ； A=0。把A、B的值代入（a）得:邊界條件： x=L ； v=0: 0 = Me (1 -coskL)，Per1 - cos kL = 0M x=0v=0 : 0 e ksi n kL sin kL = 0巳以上兩式均要求：

8、kL =2n二，（n =0,1,3,）2兀2其最小解是：kL = 2二，或k。故有：kL2Pcr，因此:(0.5L)2EI2EI2。Pcr - (0.5L)習(xí)題9-5長5m的10號工字鋼，在溫度為 0°C時安裝在兩個固定支座之間，這時桿不受 力。已知鋼的線膨脹系數(shù) 二=125 1O（°C）J，E =210GPa。試問當(dāng)溫度升高至多少 度時，桿將喪失穩(wěn)定性？解：'-一亠習(xí)題9-6兩根直徑為d的立柱，上、下端分別與強(qiáng)勁的頂、底塊剛性連接，如圖所示。試 根據(jù)桿端的約束條件，分析在總壓力F作用下，立柱可能產(chǎn)生的幾種失穩(wěn)形態(tài)下的撓曲線形狀，分別寫出對應(yīng)的總壓力F之臨界值的算式

9、（按細(xì)長桿考慮），確定最小臨界力PCr的算式。解：在總壓力F作用下，立柱微彎時可能有下列三種情況：（a）每根立柱作為兩端固定的壓桿分別失穩(wěn)：（b ）兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在自身平面內(nèi)失穩(wěn) 失穩(wěn)時整體在面內(nèi)彎曲，則 1，2兩桿組成一組合截面。（c ）兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在面外失穩(wěn)故面外失穩(wěn)時Pcr最小:二3 Ed 4巳128I2內(nèi)失穩(wěn)而引起毀壞,習(xí)題9-7圖示結(jié)構(gòu)ABCD由三根直徑均為d的圓截面鋼桿組成，在 B點(diǎn)鉸支，而在 A點(diǎn)和C點(diǎn)固定，D為鉸接點(diǎn)，丄=10二。若結(jié)構(gòu)由于桿件在平面 ABCD內(nèi)彈性失穩(wěn)而喪失承載能d力，試確定作用于結(jié)點(diǎn) D處的荷載F的臨界值

10、。解：桿DB為兩端鉸支-1 ,桿DAM DC為一端鉸 支一端固定，選取。此結(jié)構(gòu)為超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)桿DB失穩(wěn)時結(jié)構(gòu)仍能繼續(xù)承載，直到桿AD及 DC也失穩(wěn)時整個結(jié)構(gòu)才喪失承載能力，故 習(xí)題9-8圖示鉸接桿系A(chǔ)BC由兩根具有相同截面和同樣材料的細(xì)長桿所組成。若由于桿件在平面ABC叢 試確定荷載F為最大時的二角（假設(shè) °"：2）。解：要使設(shè)計合理，必使 AB桿與BC桿同時失穩(wěn),即:習(xí)題9-9下端固定、上端鉸支、長丨=4m的壓桿，由兩根10號槽鋼焊接而成，如圖所示, 并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中實(shí)腹式 b類截面中心受壓桿的要求。已知桿的材料為 Q235鋼，強(qiáng) 度許用應(yīng)力二=170MPa，試求

11、壓桿的許可荷載。解：查型鋼表得：習(xí)題9-10如果桿分別由下列材料制成：（1 ）比例極限；P =220MPa，彈性模量E =190GPa的鋼；（2）二P =490MPa， E =215GPa，含鎳 3.5%的鎳鋼；（3）_，P = 20MPa， E = 11GPa 的松木。試求可用歐拉公式計算臨界力的壓桿的最小柔度。解：（1）（2） （3）習(xí)題9-11兩端鉸支、強(qiáng)度等級為 TC13的木柱，截面為150mnX 150mm的正方形，長度 l 3.5m，強(qiáng)度許用應(yīng)力二=10MPa。試求木柱的許可荷載。解：由公式（9-12a ）:習(xí)題9-12圖示結(jié)構(gòu)由鋼曲桿 AB和強(qiáng)度等級為TC13的木桿BC組成。已知

12、結(jié)構(gòu)所有的連接 均為鉸連接，在 B點(diǎn)處承受豎直荷載 F =1.3kN，木材的強(qiáng)度許用應(yīng)力二10MPa。試 校核BC桿的穩(wěn)定性。解：把BC桿切斷，代之以軸力 N,則由公式（9 12b）得：因為二: Gst，所以壓桿BC穩(wěn)定。習(xí)題9-13 一支柱由4根80 mm 80mm 6mm的角鋼組成（如圖）， 并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求。支柱的兩端為鉸支，柱長l =6m，壓力為450kN。若材料為Q235鋼， 強(qiáng)度許用應(yīng)力刁=170MPa，試求支柱橫截面 邊長a的尺寸。解:450xW34X9.397X10-4= 119.7xlO6Pall97MPa(查表:凡=9.?9?x10,九=

13、57/5X10"3 m4)b二嶄cr訶二竺= 112 = 0.704一，查表得： = 77.5-: - :.廠 J 廠-:一川J(彳一厶)xl0°J(53-57.35)x10 X106 = 221 9+； 2(219+n)=1914=9-39*10"mm習(xí)題9-14某桁架的受壓弦桿長 4m,由綴板焊成一體，并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿的要求，截面形式如圖所示，材料為Q235鋼，匚=170MPa。若按兩端鉸支考慮，試求桿所能承受的許可壓力。解：由型鋼表查得 125x125x10 角鋼：a旦二空嚴(yán)82.5得 .' I: :：-查表： <

14、 :上故二一二二: :1=二【習(xí)題9-15圖示結(jié)構(gòu)中，BC為圓截面桿，其直徑 d =80mm ； AC邊長a=70mm的正方形 截面桿。已知該結(jié)構(gòu)的約束情況為 A端固定，B、C為球形鉸。兩桿的材料均為 Q235鋼，彈 性模量E =210GPa，可各自獨(dú)立發(fā)生彎曲互不影響。若結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全系數(shù)nst =2.5，試求所能承受的許可壓力。解：BC段為兩端鉸支，-1AB桿為一端固定，一端鉸支，J = 0.7故F =376kN習(xí)題9-16圖示一簡單托架，其撐桿AB為圓截面木桿，強(qiáng)度等 級為TC15b若架上受集度為: -1-的均布荷載作用，AB兩端為柱形鉸，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力I】丨試求撐桿所需的直徑 do

15、解:取m - m以上部分為分離體，由，有= 083x a=7513MPa求出的二與所設(shè)二基本相符，故撐桿直徑選用"19習(xí)題9-17圖示結(jié)構(gòu)中桿.mmmm數(shù). I，穩(wěn)定安全因數(shù)AC與 CD均由Q235鋼制成，C, D兩處均為球鉸。;強(qiáng)度安全因 "- - 。試確定該結(jié)構(gòu)的許可荷載。已知；一 11 mm解：（1）桿CD受壓力Fcd梁BC中最大彎矩 M B2F32m(2)梁BC中(3)桿 CD訶 _1x1*-X10-3(Q235鋼的 p =100)4（由梁力矩平衡得）故，由（2）、（ 3）可知，F(xiàn) =15.5kN習(xí)題9-18圖示結(jié)構(gòu)中，鋼梁 AB及立柱CD分別由16號工字鋼和連成一

16、體的兩根63mm 63mm 5mm角鋼組成，桿 CD符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中實(shí)腹式b類截面中心受壓桿 的要求。均布荷載集度 q =48kN /m。梁及柱的材料均為 Q235鋼，； =170MPa , E =210GPa。試驗算梁和立柱是否安全。解：(1)求多余約束力Fcd把CD干去掉，代之以約束反力Fcd。由變形協(xié)調(diào)條件可知，查型鋼表得：16號工字鋼的I z二1130cm4，Wz二141cm32463mm 63mm 5mml形角鋼的面積：A = 6.143cm ,lz=23.17cm ,iz=1.94cm(2)梁的強(qiáng)度校核Rb =36.8165( kN) (f)AC 段：Q(x) =36.8165 -48x ； M (x) = 36.8165x - 24x2令 Q(x) =36.8165 _48x =0，得：當(dāng) x =0.767m 時,x00.7671233.2334M0.00014.11912.817-22.36712.81714.1190