函數(shù)的凸性與拐點實用教案

1、如(1)和(2)式中的不等號改為嚴格(yng)不等號,則相應(yīng)定義1設(shè) f 為區(qū)間 I上的函數(shù)若對于 I 上的任意12,(0,1),xx 兩點和任意實數(shù)總有兩點和任意實數(shù)總有1212(1)()(1) (), (1)fxxf xf x則稱 f 為 I上的一個(y )凸函數(shù). 反之如果總有則稱 f 為 I 上的一個(y )凹函數(shù).1212(1)()(1) (), (2)fxxf xf x的函數(shù)稱為嚴格凸函數(shù)和嚴格凹函數(shù).第1頁/共31頁第一頁，共32頁。2()yx 由此可得在，上為嚴格的凸函數(shù)，由此可得在，上為嚴格的凸函數(shù)，很明顯，若 f (x)為(嚴格(yng)的凸函數(shù), 那么 f (x)就引理

2、f (x)為區(qū)間(q jin) I上的凸函數(shù)的充要條件是：有有中中的的任任意意三三點點對對于于,321xxxI 32212132()()()()(3)f xf xf xf xxxxx .0上的嚴格凹函數(shù)上的嚴格凹函數(shù)， yx 為為為(嚴格(yng) 凹函數(shù)，反之亦然.第2頁/共31頁第二頁，共32頁。213(1).xxx從而(cng r)有 因為(yn wi) f (x)為 I 上的凸函數(shù)，所以 213()(1)f xfxx13()(1) ()f xf x3221133131()().xxxxf xf xxxxx 312321213() ()() ()() (),xxf xxxf xxxf x

3、證,1323xxxx 設(shè)設(shè)（必要性）于是1x2x3xOyx 第3頁/共31頁第三頁，共32頁。整理(zhngl)后即為 (3) 式.即322212() ()() ()xxf xxxf x321213() ()() (),xxf xxxf x213(1),xxx由于必要性的證明是可逆的，從而(cng r)得到 （充分性）對于任意 13,(0,1).xx 設(shè)設(shè)32212132()()()().f xf xf xf xxxxx 則第4頁/共31頁第四頁，共32頁。1313(1)()(1) (),fxxf xf x所以(suy) f 為 I 上的凸函數(shù).同理可證 f 為 I 上的凸函數(shù)的充要條件是：對

4、于(duy) 123,Ixxx中的任意三點有中的任意三點有313221213132()()()()()(). (4)f xf xf xf xf xf xxxxxxx注 (4) 式與 (1) 式是等價的. 所以有些(yuxi)課本將 (4) 式 作為凸函數(shù)的定義. ( 參見下圖 )第5頁/共31頁第五頁，共32頁。詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麥 ) 1x2x3xyx1( )f x2( )f x3( )f xO第6頁/共31頁第六頁，共32頁。121, n 必必有有1111()()().nnnnfxxf xf x12121()()() ,nnxxxff xf xf xnn

5、 對于凹函數(shù)，請讀者(dzh)自行寫出相應(yīng)的定理.1, 01,nixxI 條條件件是是：任任給給1,2, ,in1,in 特別取則特別取則這是著名的詹森不等式 .由數(shù)學(shxu)歸納法不難證明：f 為 I 上的凸函數(shù)充要 第7頁/共31頁第七頁，共32頁。(5) 式是凸函數(shù)最常用(chn yn)的不等式 .即：1111()(5)nniiiifxf xnn例 1 設(shè) f 為開區(qū)間 (a, b) 上的凸函數(shù), 那么(n me)它在下面(xi mian)舉例說明凸函數(shù)的內(nèi)在性質(zhì).證012, 0,xa bhh對于任意的（）使對于任意的（）使上處處連續(xù).(a, b) 中每一點的左、右導(dǎo)數(shù)存在. 特別是

6、在 (a,b)第8頁/共31頁第八頁，共32頁。000()()( ),( )(0,)f xhf xF hF hbxh 令令則則在在0.( , ),xa bxx上遞增 取由引理又得上遞增 取由引理又得00000()()()(),(0,).f xf xf xhf xhbxxxh 01002012()()()().f xhf xf xhf xhh 00102,xxhxhb由引理得到(d do)第9頁/共31頁第九頁，共32頁。0().fx 同理可證存在同理可證存在這就證明(zhngmng)了F(h)有下界. 所以00000()()lim( )lim().hhf xhf xF hfxh 存在存在注 開

7、區(qū)間上的凸函數(shù)處處(chch)連續(xù),但不一定處處(chch)可 導(dǎo); 閉區(qū)間上的凸函數(shù)在端點不一定(ydng)連續(xù).第10頁/共31頁第十頁，共32頁。定理(dngl) 6.13 設(shè) f 為區(qū)間 I 上的可導(dǎo)函數(shù), 則下述(i)( );f xI為上的凸函數(shù)為上的凸函數(shù)12(iii),Ixx對于上的任意兩點有對于上的任意兩點有(ii)( );fxI 為上的增函數(shù)為上的增函數(shù)21121()()()().f xf xfxxx 注 (iii) 中的不等式表示(biosh)切線恒在凸曲線的下方.論斷互相(h xing)等價：第11頁/共31頁第十一頁，共32頁。證12, (i)(ii)xxIh 任任取取

8、和和正正數(shù)數(shù)使使1212, , .xxxhI xhI且且22()().hf xf xh 112121()()()()hfff xxxxfxxh f已知是凸函數(shù)，由(4)式已知是凸函數(shù)，由(4)式因為因為令令,0 h11110()()lim()(),hhf xxffxfxh 第12頁/共31頁第十二頁，共32頁。22220()()lim()(),hhf xf xfxfxh所以所以( ).fx 故遞增故遞增211221()()()(),f xf xfxfxxx 第13頁/共31頁第十三頁，共32頁。1212,(ii)(iii,.)x xIxx對對于于任任意意不不妨妨設(shè)設(shè)212112()()( )(

9、).f xf xfxxxx 則則( ),fx 因為遞增 所以因為遞增 所以21121()()()().f xf xfxxx 12012(iii)()1i)xxxxx仍仍設(shè)設(shè)，(01), 則則10010()()()(),(6)f xf xfxxx 20020()()()().(7)f xf xfxxx 第14頁/共31頁第十四頁，共32頁。ABxyO(6)(7)(1) 將式乘以 ，式乘以作和，并注意到將式乘以 ，式乘以作和，并注意到120(1)0,xxx故故01212()(1)()(1) ().f xfxxf xf x我們(w men)在這里再一次強調(diào)， 的切線位于曲線(qxin)的下方. 于相

10、應(yīng)曲線(qxin)段的上方;而它 義是:曲線 y = f (x) 的弦位函數(shù) f 是凸函數(shù)的幾何意 點擊上圖動畫演示第15頁/共31頁第十五頁，共32頁。證 由定理(dngl) 6.13 立即可得.定理(dngl)6.14 設(shè) f (x) 在區(qū)間 I 上二階可導(dǎo)，則 f (x)( )0 ( )0).fxfx我們在定理中列出了凸函數(shù)的三個等價(dngji)性質(zhì). 對理. 于凹函數(shù)也有類似的性質(zhì), 請大家寫出相應(yīng)的定 在區(qū)間I上是凸(凹)函數(shù)的充要條件為：第16頁/共31頁第十六頁，共32頁。(, 0),( )0 ,( ) xfxf x 所以當時為凸函數(shù)；所以當時為凸函數(shù)；(0),( )0,( )

11、.xfxf x 當，時為凹函數(shù)當，時為凹函數(shù)解 因為(yn wi)例 2 ( )arctan.f xx 討討論論函函數(shù)數(shù)的的凹凹凸凸性性區(qū)區(qū)間間222( ),(,).(1)xfxxx 21( ),1fxx (,),x 第17頁/共31頁第十七頁，共32頁。(本例說明：在凸(凹)函數(shù)(hnsh)的條件下，可微函數(shù)(hnsh)的極值(j zh)點與穩(wěn)定點是等價的.)例 3 設(shè)函數(shù)(hnsh) f (x)為 (a, b) 上的可導(dǎo)凸(凹)函數(shù)(hnsh).00 ()0 ( ).fxxf x 那那么么的的充充要要條條件件是是為為的的極極值值點點證 充分性是顯然的(費馬定理). 下面證明必要性.由定理

12、6.13 的 (ii), 是遞增的. 所以()fx 0()0.fx 即即設(shè) f (x)是凸函數(shù), x0 是 f (x) 的穩(wěn)定點, 第18頁/共31頁第十八頁，共32頁。00( )(),( ,);f xf xxa x00( )(),(, ).f xf xxxb00( )(),( , ),()( )f xf xxa bf xf x綜綜上上, ,即即是是的的0( ,)( )0, ( )xa xfxf x 當當時時，是是遞遞減減的的，故故(i)0(, )( )0,( ),xx bfxf x 當時,是遞增的 故當時,是遞增的 故(ii)極小值.第19頁/共31頁第十九頁，共32頁。 注 我們實際上已經(jīng)

13、證明，對于可微凸函數(shù)，其極0()( )( )f xf xf x若若是是的的一一個個極極值值，則則僅僅有有惟惟一一的的極值(j zh)，并且是極小值.證 應(yīng)當注意，這里并沒有(mi yu)假設(shè)函數(shù) f (x) 的可微 ( )( , )f xa b設(shè)是區(qū)間上的一個嚴格凸函數(shù)，設(shè)是區(qū)間上的一個嚴格凸函數(shù)，例 4此下面這個(zh ge)例題自然就產(chǎn)生了.值總是極小值, 可微凹函數(shù)的極值總是極大值. 因 性，所以例 2 的方法就失效了.第20頁/共31頁第二十頁，共32頁。102( ) f xxxx因為嚴格凸,所以當時,因為嚴格凸,所以當時,01200120()()()().f xf xf xf xxx

14、xx 0120 ()() ()()0.f xf xf xf x( )f x又因是嚴格凸的，所以又因是嚴格凸的，所以0120()()0,()()0,f xf xf xf x0().f x所以是極小值所以是極小值0()f x由于是極值,因此由于是極值,因此120, x xx當充分接近時,有當充分接近時,有第21頁/共31頁第二十一頁，共32頁。對于任意因為 f (x0) 是極小值，所以0(, ),xxb 10()().f xf x 又因為 f(x0) 是嚴格(yng)凸函數(shù)，所以100100()()( )()0,f xf xf xf xxxxx0 ( )().f xf x 即即同理可證：對于任意仍

15、有 f (x0) f (x) .0( ,),xa x 10(,),xxx 存在使得第22頁/共31頁第二十二頁，共32頁。00()() ()()f xf xf xf x和和同時成立, 矛盾(modn).所以極值點惟一.設(shè) f (x) 有另一極小值 . 根據(jù)以上討論，把 ()f x x 和 x0 分別看作極值點時, 有第23頁/共31頁第二十三頁，共32頁。均為正數(shù)(zhngsh).1( )ln1 ,( )0,fxxfxx( )0f xx 所所以以在在時時為為嚴嚴格格凸凸的的. .由由詹森不等式1( ( )( )( ),33abcff af bf c3(), ,a b cacbabca b ca

16、 b c 證明不等式其中證明不等式其中例 5( )ln ,f xxx 設(shè)則設(shè)則證第24頁/共31頁第二十四頁，共32頁。1lnln.333abcabcabca b c 即又因3,3abcabc 故有31lnln().33abcabcabca b c 再由對數(shù)函數(shù)(du sh hn sh)是嚴格增的，就證得3().a b cabcabca b c 第25頁/共31頁第二十五頁，共32頁。.11qpbqapab ( )ln . ( )0,( )f xxfxf x 設(shè)因故是設(shè)因故是0 x 上上1111()()pqpqfabf af bpqpq.lnln1ln1abbqapqp 11.pqababpq

17、即即的嚴格(yng)凹函數(shù)，所以有110,0,0,0,1.abpqqp設(shè)設(shè)求求證證例 6 第26頁/共31頁第二十六頁，共32頁。( )Myf x 點為曲線的拐點.點為曲線的拐點.圖中所示的M 是一個(y )拐點.(0, 0)arctan; yx 例例如如點點是是曲曲線線的的一一個個拐拐點點 而而cos, 0 ,2yxk 余余弦弦曲曲線線的的所所有有拐拐點點為為00( )(,()yf xM xf x 設(shè)曲線在點處有穿過設(shè)曲線在點處有穿過定義2曲線的切線，并且(bngqi)切線的兩側(cè)分別Z.k 其中其中M0 xxyO 是嚴格(yng)凸和嚴格(yng)凹的，這時稱第27頁/共31頁第二十七頁，共

18、32頁。0( )()0.yf xfx 曲曲線線的的拐拐點點的的必必要要條條件件是是00( )(),(),fxUxUx 若若在在的的符符號號相相反反 那那么么00(,()( ).xf xf x是的一個拐點是的一個拐點下面(xi mian)兩個定理是顯然的.000( ),()f xxxf x若在點二階可導(dǎo) 則(為若在點二階可導(dǎo) 則(為定理6.1500( )().f xxUx 設(shè)設(shè)在在點點可可導(dǎo)導(dǎo)，在在二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)定理6.16第28頁/共31頁第二十八頁，共32頁。00,()( )xf xyf x 應(yīng)應(yīng)當當注注意意：若若( (是是曲曲線線的的一一個個0 .fx拐點,那么在點的導(dǎo)數(shù)不一定存在 比如拐點,那么在點的導(dǎo)數(shù)不一定存在 比如30,yxx函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)不存在函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)不存在但根據(jù)定義2,3.yx 的一個拐點的一個拐點點(0, 0) 卻是曲線-2-1O12-11xy第29頁/共31頁第二十九頁，共32頁。復(fù)習(fx)思考題1. 兩個(lin )凸函數(shù)的乘積是否是凸函數(shù) ? 2. 兩個(lin )凸函數(shù)的復(fù)合是否是凸函數(shù) ? 3. 任選一個凸函數(shù), 利用詹森不等式構(gòu)造出新的 不等