運(yùn)籌學(xué)第11章等候線模型

1、第第11章章 等候線模型等候線模型 回想一下上一次稱不得不等候的情形回想一下上一次稱不得不等候的情形：在超市的收銀臺(tái)等候，在銀行等候出納：在超市的收銀臺(tái)等候，在銀行等候出納員，或者是在快餐店等候服務(wù)員。在類似員，或者是在快餐店等候服務(wù)員。在類似上述需要排隊(duì)的情況下，把時(shí)間用于等待上述需要排隊(duì)的情況下，把時(shí)間用于等待是令人非常不快的。然而增加更多的收銀是令人非常不快的。然而增加更多的收銀員、銀行出納員或服務(wù)生并不總是改變服員、銀行出納員或服務(wù)生并不總是改變服務(wù)水平的最經(jīng)濟(jì)的策略。因此，各行各業(yè)務(wù)水平的最經(jīng)濟(jì)的策略。因此，各行各業(yè)需要采取相應(yīng)的措施，把等待時(shí)間控制在需要采取相應(yīng)的措施，把等待時(shí)間控

2、制在顧客所能容忍的限度內(nèi)。顧客所能容忍的限度內(nèi)。 人們已經(jīng)設(shè)計(jì)建立了一些模型來(lái)幫助管人們已經(jīng)設(shè)計(jì)建立了一些模型來(lái)幫助管理者理解等候線的運(yùn)作，并幫助他們做出更理者理解等候線的運(yùn)作，并幫助他們做出更好的決策。等候線用管理科學(xué)的術(shù)語(yǔ)來(lái)講也好的決策。等候線用管理科學(xué)的術(shù)語(yǔ)來(lái)講也稱隊(duì)列，與等候線相關(guān)的知識(shí)體系稱為排隊(duì)稱隊(duì)列，與等候線相關(guān)的知識(shí)體系稱為排隊(duì)論。論。20世紀(jì)初，丹麥的一個(gè)電話工程師世紀(jì)初，丹麥的一個(gè)電話工程師A.K.阿朗開(kāi)始對(duì)打電話時(shí)發(fā)生的阻塞和等待時(shí)間阿朗開(kāi)始對(duì)打電話時(shí)發(fā)生的阻塞和等待時(shí)間進(jìn)行研究。之后，排隊(duì)論的發(fā)展已經(jīng)日趨復(fù)進(jìn)行研究。之后，排隊(duì)論的發(fā)展已經(jīng)日趨復(fù)雜，并廣泛的運(yùn)用到等候線情

3、形中。雜，并廣泛的運(yùn)用到等候線情形中。 等候線模型包括一些數(shù)學(xué)公式以及可用于確定等等候線模型包括一些數(shù)學(xué)公式以及可用于確定等候線運(yùn)行參數(shù)（績(jī)效指標(biāo)）的關(guān)系式。相關(guān)的一些運(yùn)候線運(yùn)行參數(shù)（績(jī)效指標(biāo)）的關(guān)系式。相關(guān)的一些運(yùn)行參數(shù)如下：行參數(shù)如下：(1)系統(tǒng)中沒(méi)有任何個(gè)體的概率；系統(tǒng)中沒(méi)有任何個(gè)體的概率；(2)等候線中等待個(gè)體的平均數(shù)；等候線中等待個(gè)體的平均數(shù)；(3)系統(tǒng)中個(gè)體的平均數(shù)（等候線中個(gè)體的平均數(shù)加上系統(tǒng)中個(gè)體的平均數(shù)（等候線中個(gè)體的平均數(shù)加上接收服務(wù)的個(gè)體的數(shù)目）；接收服務(wù)的個(gè)體的數(shù)目）；(4)一個(gè)個(gè)體在等候線中所花費(fèi)的平均時(shí)間；一個(gè)個(gè)體在等候線中所花費(fèi)的平均時(shí)間；(5)一個(gè)個(gè)體在系統(tǒng)中花

4、費(fèi)的平均時(shí)間（等候時(shí)間加上一個(gè)個(gè)體在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間（等候時(shí)間加上服務(wù)時(shí)間）；服務(wù)時(shí)間）；(6)一個(gè)個(gè)體到達(dá)以后不得不等待以接受服務(wù)的概率；一個(gè)個(gè)體到達(dá)以后不得不等待以接受服務(wù)的概率； 管理者具備了以上的信息，才能更好的做出使期管理者具備了以上的信息，才能更好的做出使期望服務(wù)水平與所花費(fèi)的成本相平衡的決策。望服務(wù)水平與所花費(fèi)的成本相平衡的決策。11.1等候線系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)等候線系統(tǒng)的結(jié)構(gòu) 為了說(shuō)明等候線系統(tǒng)的基本特征，我們以為了說(shuō)明等候線系統(tǒng)的基本特征，我們以伯格伯格.度姆快餐店的等候線為例。伯格度姆快餐店的等候線為例。伯格.度姆快度姆快餐店出售火腿漢堡、奶酪漢堡、法式油炸食品餐店出售火腿漢堡

5、、奶酪漢堡、法式油炸食品、軟包裝飲料和攪拌牛奶，同時(shí)還有一些特色、軟包裝飲料和攪拌牛奶，同時(shí)還有一些特色食品和甜點(diǎn)可供選擇。雖然伯格食品和甜點(diǎn)可供選擇。雖然伯格.度姆快餐店度姆快餐店希望能為每位顧客提供即時(shí)的服務(wù)，但是很多希望能為每位顧客提供即時(shí)的服務(wù)，但是很多時(shí)候，到達(dá)的顧客遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于伯格時(shí)候，到達(dá)的顧客遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于伯格.度姆快餐店度姆快餐店的服務(wù)人員所能接待的人數(shù)。因此，顧客們不的服務(wù)人員所能接待的人數(shù)。因此，顧客們不得不排隊(duì)，以等候所點(diǎn)快餐并取走所點(diǎn)的食品得不排隊(duì)，以等候所點(diǎn)快餐并取走所點(diǎn)的食品。 伯格伯格.度姆快餐店擔(dān)心，它目前所用的顧客度姆快餐店擔(dān)心，它目前所用的顧客服務(wù)方式正導(dǎo)致過(guò)長(zhǎng)的等

6、候時(shí)間。管理層已經(jīng)服務(wù)方式正導(dǎo)致過(guò)長(zhǎng)的等候時(shí)間。管理層已經(jīng)提出要求，需要對(duì)等候線進(jìn)行研究，以開(kāi)發(fā)一提出要求，需要對(duì)等候線進(jìn)行研究，以開(kāi)發(fā)一個(gè)能夠減少等待時(shí)間、提高服務(wù)質(zhì)量的最佳服個(gè)能夠減少等待時(shí)間、提高服務(wù)質(zhì)量的最佳服務(wù)方式。務(wù)方式。 一般的排隊(duì)過(guò)程可以這樣描述：顧客為了一般的排隊(duì)過(guò)程可以這樣描述：顧客為了獲得某種服務(wù)而到達(dá)服務(wù)臺(tái)；若因服務(wù)臺(tái)在忙獲得某種服務(wù)而到達(dá)服務(wù)臺(tái)；若因服務(wù)臺(tái)在忙，不能立即獲得服務(wù)而又被允許排隊(duì)等待，則，不能立即獲得服務(wù)而又被允許排隊(duì)等待，則加入等待隊(duì)列，獲得服務(wù)之后離開(kāi)系統(tǒng)。但實(shí)加入等待隊(duì)列，獲得服務(wù)之后離開(kāi)系統(tǒng)。但實(shí)際的排隊(duì)系統(tǒng)千差萬(wàn)別，為了對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行際的排隊(duì)系統(tǒng)

7、千差萬(wàn)別，為了對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究，有必要按照排隊(duì)系統(tǒng)的幾個(gè)主要特征加研究，有必要按照排隊(duì)系統(tǒng)的幾個(gè)主要特征加以分類。這幾個(gè)主要特征就是：輸入過(guò)程；服以分類。這幾個(gè)主要特征就是：輸入過(guò)程；服務(wù)機(jī)構(gòu)；排隊(duì)規(guī)則。務(wù)機(jī)構(gòu)；排隊(duì)規(guī)則。 1. 輸入過(guò)程輸入過(guò)程輸入過(guò)程即顧客達(dá)到的規(guī)律，顧客的到達(dá)或者輸入過(guò)程即顧客達(dá)到的規(guī)律，顧客的到達(dá)或者獨(dú)立于其他任何因素，或者和某個(gè)因素獨(dú)立于其他任何因素，或者和某個(gè)因素(例如例如系統(tǒng)中的隊(duì)列長(zhǎng)度，系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間系統(tǒng)中的隊(duì)列長(zhǎng)度，系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間)有關(guān)；有關(guān)；刻畫(huà)輸入過(guò)程需要了解以下幾方面的內(nèi)容：刻畫(huà)輸入過(guò)程需要了解以下幾方面的內(nèi)容：（1）顧客或?yàn)閱蝹€(gè)達(dá)到，或?yàn)槌膳竭_(dá)。例

8、）顧客或?yàn)閱蝹€(gè)達(dá)到，或?yàn)槌膳竭_(dá)。例如到醫(yī)院就診大部分為單個(gè)到來(lái)的顧客，但也如到醫(yī)院就診大部分為單個(gè)到來(lái)的顧客，但也不排除成批病人的情況，有時(shí)成批的可看作單不排除成批病人的情況，有時(shí)成批的可看作單個(gè)的情形來(lái)處理。個(gè)的情形來(lái)處理。（2）顧客或來(lái)自有限的總體，或來(lái)自無(wú)限的）顧客或來(lái)自有限的總體，或來(lái)自無(wú)限的總體。前者為顧客源有限的情況，如工廠內(nèi)?？傮w。前者為顧客源有限的情況，如工廠內(nèi)停機(jī)待修的機(jī)器；后者為顧客源無(wú)限的情況，如機(jī)待修的機(jī)器；后者為顧客源無(wú)限的情況，如就診病人可視為總體是無(wú)限的。就診病人可視為總體是無(wú)限的。 （3）相繼顧客到達(dá)間隔時(shí)間的分布，這）相繼顧客到達(dá)間隔時(shí)間的分布，這是輸入過(guò)程

9、最主要的特征。常見(jiàn)的兩種分布是輸入過(guò)程最主要的特征。常見(jiàn)的兩種分布有定長(zhǎng)分布和負(fù)指數(shù)分布。如在自動(dòng)裝配線有定長(zhǎng)分布和負(fù)指數(shù)分布。如在自動(dòng)裝配線上裝配的各部件就必須按確定的時(shí)間間隔到上裝配的各部件就必須按確定的時(shí)間間隔到達(dá)裝配點(diǎn)，定期運(yùn)行的班車、班輪、班機(jī)的達(dá)裝配點(diǎn)，定期運(yùn)行的班車、班輪、班機(jī)的到達(dá)間隔時(shí)間也都是定長(zhǎng)分布。但一般到商到達(dá)間隔時(shí)間也都是定長(zhǎng)分布。但一般到商店購(gòu)物的顧客、到醫(yī)院診病的病人、通過(guò)路店購(gòu)物的顧客、到醫(yī)院診病的病人、通過(guò)路口的車輛等，它們到達(dá)間隔時(shí)間一般都服從口的車輛等，它們到達(dá)間隔時(shí)間一般都服從負(fù)指數(shù)分布。負(fù)指數(shù)分布。 （4）顧客的到達(dá)一般是相互獨(dú)立的，就）顧客的到達(dá)一般

10、是相互獨(dú)立的，就是說(shuō)，以前的到達(dá)情況對(duì)以后顧客的到來(lái)沒(méi)是說(shuō)，以前的到達(dá)情況對(duì)以后顧客的到來(lái)沒(méi)有影響，否則就是有關(guān)聯(lián)的。本章主要討論有影響，否則就是有關(guān)聯(lián)的。本章主要討論相互獨(dú)立的情形。相互獨(dú)立的情形。 2.排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則首先指的是顧客是否可以排隊(duì)，若排隊(duì)規(guī)則首先指的是顧客是否可以排隊(duì)，若可以排隊(duì)，服務(wù)臺(tái)按什么次序?yàn)轭櫩头?wù)?？梢耘抨?duì)，服務(wù)臺(tái)按什么次序?yàn)轭櫩头?wù)。就顧客是否可以排隊(duì)，又可分為兩種情況：就顧客是否可以排隊(duì)，又可分為兩種情況：（1）損失制，顧客到達(dá)時(shí)，如所有服務(wù)臺(tái)）損失制，顧客到達(dá)時(shí)，如所有服務(wù)臺(tái)都正被占用，在這種情形下顧客隨即離去，都正被占用，在這種情形下顧客隨即離去，這

11、種情形稱為即時(shí)制或稱損失制。如打電話這種情形稱為即時(shí)制或稱損失制。如打電話時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)方占線，即掛斷，即為損失制；時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)方占線，即掛斷，即為損失制； （2）等待制，顧客到達(dá)時(shí)，如所有服務(wù)）等待制，顧客到達(dá)時(shí)，如所有服務(wù)臺(tái)都正被占用，顧客則排隊(duì)等候的稱為等待臺(tái)都正被占用，顧客則排隊(duì)等候的稱為等待制。如到理發(fā)店理發(fā)，機(jī)器發(fā)生故障待修都制。如到理發(fā)店理發(fā)，機(jī)器發(fā)生故障待修都是等待制。等待制又可分為隊(duì)長(zhǎng)（或等待時(shí)是等待制。等待制又可分為隊(duì)長(zhǎng)（或等待時(shí)間）有限制的與無(wú)限制的兩種情況。如理發(fā)間）有限制的與無(wú)限制的兩種情況。如理發(fā)店若只能容店若只能容8個(gè)顧客排隊(duì)等候，則為隊(duì)長(zhǎng)有限個(gè)顧客排隊(duì)等候，則為隊(duì)長(zhǎng)有

12、限制的情況；火車站的售票廳可以容納很多人制的情況；火車站的售票廳可以容納很多人排隊(duì)買票，則視為隊(duì)長(zhǎng)無(wú)限制的情況。若超排隊(duì)買票，則視為隊(duì)長(zhǎng)無(wú)限制的情況。若超過(guò)一定等待時(shí)間，顧客即離去，為等待時(shí)間過(guò)一定等待時(shí)間，顧客即離去，為等待時(shí)間有限制的情形；若堅(jiān)持接受服務(wù)后再離去，有限制的情形；若堅(jiān)持接受服務(wù)后再離去，則為無(wú)限制的情形。，這是最通常的情形，則為無(wú)限制的情形。，這是最通常的情形，也是本章要討論的情形。也是本章要討論的情形。 先到先服務(wù)（先到先服務(wù)（FCFS），即按到達(dá)次序接），即按到達(dá)次序接受服務(wù)，這是最通常的情形，也是本章要討受服務(wù)，這是最通常的情形，也是本章要討論的情形。論的情形。 后到先

13、服務(wù)（后到先服務(wù)（LCFS），如倉(cāng)庫(kù)中存放），如倉(cāng)庫(kù)中存放的厚鋼板就是后入先出的，在情報(bào)系統(tǒng)中，的厚鋼板就是后入先出的，在情報(bào)系統(tǒng)中，最后到達(dá)的信息往往是最有價(jià)值的，因而常最后到達(dá)的信息往往是最有價(jià)值的，因而常被首先分析或采用。被首先分析或采用。 隨機(jī)服務(wù)（隨機(jī)服務(wù)（SIRO），指服務(wù)臺(tái)從等待的），指服務(wù)臺(tái)從等待的顧客中隨機(jī)地選取一個(gè)進(jìn)行服務(wù)，而不管到顧客中隨機(jī)地選取一個(gè)進(jìn)行服務(wù)，而不管到達(dá)的先后。如電話交換臺(tái)接通呼喚的電話就達(dá)的先后。如電話交換臺(tái)接通呼喚的電話就是這種服務(wù)方式。是這種服務(wù)方式。 有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)（有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)（PR），如醫(yī)院對(duì)于?。?，如醫(yī)院對(duì)于病情嚴(yán)重的患者將給予優(yōu)先治療，加

14、急電報(bào)或情嚴(yán)重的患者將給予優(yōu)先治療，加急電報(bào)或特快專遞優(yōu)先發(fā)出。特快專遞優(yōu)先發(fā)出。 3.服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu) 服務(wù)機(jī)構(gòu)的特征主要包括以下幾方面：服務(wù)機(jī)構(gòu)的特征主要包括以下幾方面：服務(wù)臺(tái)數(shù)目；在多個(gè)服務(wù)臺(tái)時(shí)，是串聯(lián)還是服務(wù)臺(tái)數(shù)目；在多個(gè)服務(wù)臺(tái)時(shí)，是串聯(lián)還是并聯(lián)；服務(wù)時(shí)間的概率分布。如自動(dòng)沖洗汽并聯(lián)；服務(wù)時(shí)間的概率分布。如自動(dòng)沖洗汽車的裝置對(duì)每輛汽車沖洗車的裝置對(duì)每輛汽車沖洗(服務(wù)服務(wù))的時(shí)間就是的時(shí)間就是確定的，服從定長(zhǎng)分布，但大多數(shù)情形的服確定的，服從定長(zhǎng)分布，但大多數(shù)情形的服務(wù)時(shí)間是隨機(jī)的。常見(jiàn)的服務(wù)時(shí)間分布有：務(wù)時(shí)間是隨機(jī)的。常見(jiàn)的服務(wù)時(shí)間分布有：（1）定長(zhǎng)分布）定長(zhǎng)分布(D)；（；（2）指數(shù)

15、分布）指數(shù)分布(M)；（；（3）k階愛(ài)爾朗分布階愛(ài)爾朗分布(Ek)；（；（4）一般分布）一般分布(G)。 本章主要利用負(fù)指數(shù)分布的服務(wù)時(shí)間：本章主要利用負(fù)指數(shù)分布的服務(wù)時(shí)間：負(fù)指數(shù)分布具有如下的概率密度函數(shù)和分布負(fù)指數(shù)分布具有如下的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)：函數(shù)：( ),( )1xxf xeF xe ，假設(shè)服務(wù)臺(tái)對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間假設(shè)服務(wù)臺(tái)對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間t服從負(fù)指數(shù)服從負(fù)指數(shù)分布，即分布，即F(t)=e-t；則對(duì)于每一顧客的平均服務(wù)時(shí)間則對(duì)于每一顧客的平均服務(wù)時(shí)間為為1/ ，而，而自然代表服務(wù)率。自然代表服務(wù)率。11.1.1排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示 上述排隊(duì)系統(tǒng)的特征可以有許許多多的

16、組合，上述排隊(duì)系統(tǒng)的特征可以有許許多多的組合，從而形成不同的排隊(duì)模型，這就需要有一個(gè)排隊(duì)模從而形成不同的排隊(duì)模型，這就需要有一個(gè)排隊(duì)模型的符號(hào)表示方法，簡(jiǎn)明地表示出主要特征，在型的符號(hào)表示方法，簡(jiǎn)明地表示出主要特征，在1971年關(guān)于排隊(duì)論符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化會(huì)議上決定年關(guān)于排隊(duì)論符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化會(huì)議上決定,現(xiàn)在國(guó)際現(xiàn)在國(guó)際通用的形式是通用的形式是: XYZABC式中式中 X相繼顧客到達(dá)間隔時(shí)間的概率分布；相繼顧客到達(dá)間隔時(shí)間的概率分布； Y服務(wù)時(shí)間的概率分布；服務(wù)時(shí)間的概率分布； Z服務(wù)臺(tái)數(shù)目；服務(wù)臺(tái)數(shù)目； A排隊(duì)系統(tǒng)容量，即可容納的最大顧客數(shù)；排隊(duì)系統(tǒng)容量，即可容納的最大顧客數(shù)； B顧客源中顧客總體的數(shù)目；

17、顧客源中顧客總體的數(shù)目； C服務(wù)規(guī)則。服務(wù)規(guī)則。 表示相繼到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的各種表示相繼到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的各種分布的符號(hào)是：分布的符號(hào)是： M負(fù)指數(shù)分布負(fù)指數(shù)分布(M是是Markov的字頭，的字頭，因?yàn)樨?fù)指數(shù)分布具有無(wú)記憶性，即因?yàn)樨?fù)指數(shù)分布具有無(wú)記憶性，即Markov性性) D確定型確定型(Deterministic) Ekk階愛(ài)爾朗階愛(ài)爾朗(Erlang)分布分布 G一般一般(General)服務(wù)時(shí)間的分布服務(wù)時(shí)間的分布 例如，例如，MM1/FCFS表示相繼到表示相繼到達(dá)間隔時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布達(dá)間隔時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布, 服務(wù)時(shí)間為負(fù)指服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布數(shù)分布, 單服務(wù)臺(tái)，系統(tǒng)容量

18、無(wú)限，顧客源單服務(wù)臺(tái)，系統(tǒng)容量無(wú)限，顧客源數(shù)目無(wú)限，先到先服務(wù)的模型；數(shù)目無(wú)限，先到先服務(wù)的模型；MMC/N/ m /FCFS則為相繼到達(dá)間隔時(shí)間與服務(wù)則為相繼到達(dá)間隔時(shí)間與服務(wù)時(shí)間均為負(fù)指數(shù)分布時(shí)間均為負(fù)指數(shù)分布,C個(gè)服務(wù)臺(tái)，系統(tǒng)容量個(gè)服務(wù)臺(tái)，系統(tǒng)容量為為N，顧客源數(shù)目為，顧客源數(shù)目為m，先到先服務(wù)的模型，先到先服務(wù)的模型。并約定，如略去后三項(xiàng)，即指。并約定，如略去后三項(xiàng)，即指XYZFCFS的情形，如略去第六項(xiàng)，則為的情形，如略去第六項(xiàng)，則為先到先服務(wù)先到先服務(wù)FCFS的情形。的情形。 解排隊(duì)問(wèn)題的目的，是研究排隊(duì)系統(tǒng)解排隊(duì)問(wèn)題的目的，是研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率，估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參運(yùn)行的

19、效率，估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是否合理、數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是否合理、研究設(shè)計(jì)及改進(jìn)措施等。所以必須確定用研究設(shè)計(jì)及改進(jìn)措施等。所以必須確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，優(yōu)以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，優(yōu)化排隊(duì)問(wèn)題須首先求出這些數(shù)量指標(biāo)。這化排隊(duì)問(wèn)題須首先求出這些數(shù)量指標(biāo)。這些指標(biāo)通常有：些指標(biāo)通常有： N(t): t時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)，又稱系時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)，又稱系統(tǒng)狀態(tài)或隊(duì)長(zhǎng)；統(tǒng)狀態(tài)或隊(duì)長(zhǎng)； Nq(t): t時(shí)刻隊(duì)列中的顧客數(shù)，又稱排時(shí)刻隊(duì)列中的顧客數(shù)，又稱排隊(duì)長(zhǎng)；隊(duì)長(zhǎng)； 以上兩個(gè)指標(biāo)及其它一些指標(biāo)均為隨機(jī)以上兩個(gè)指標(biāo)及其它一些指標(biāo)均為隨機(jī)變量，

20、且與時(shí)刻變量，且與時(shí)刻t有關(guān)，即為瞬態(tài)隨機(jī)變量，有關(guān)，即為瞬態(tài)隨機(jī)變量，因?yàn)榉€(wěn)態(tài)（與所處時(shí)刻無(wú)關(guān)）是關(guān)注的情形因?yàn)榉€(wěn)態(tài)（與所處時(shí)刻無(wú)關(guān)）是關(guān)注的情形，而且大部分排隊(duì)系統(tǒng)在運(yùn)行一段時(shí)間后，而且大部分排隊(duì)系統(tǒng)在運(yùn)行一段時(shí)間后，會(huì)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)，即穩(wěn)態(tài)。所以本章關(guān)會(huì)達(dá)到統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)，即穩(wěn)態(tài)。所以本章關(guān)注以下穩(wěn)態(tài)運(yùn)行指標(biāo)：注以下穩(wěn)態(tài)運(yùn)行指標(biāo)： N: 系統(tǒng)中的顧客數(shù)或隊(duì)長(zhǎng)，其均值為系統(tǒng)中的顧客數(shù)或隊(duì)長(zhǎng)，其均值為L(zhǎng)，即平均隊(duì)長(zhǎng)；，即平均隊(duì)長(zhǎng)； Nq: 排隊(duì)長(zhǎng)，其均值為排隊(duì)長(zhǎng)，其均值為L(zhǎng)q，即平均排隊(duì)，即平均排隊(duì)長(zhǎng)；長(zhǎng)； T：顧客逗留時(shí)間，其均值為：顧客逗留時(shí)間，其均值為W，即平，即平均逗留時(shí)間；均逗留時(shí)

21、間； Tq：顧客等待時(shí)間，其均值為：顧客等待時(shí)間，其均值為Wq，即，即平均等待時(shí)間；平均等待時(shí)間； n:系統(tǒng)顧客數(shù)為系統(tǒng)顧客數(shù)為n時(shí)的平均到達(dá)率時(shí)的平均到達(dá)率(以單以單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)表示位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)表示)，一般情形時(shí)，一般情形時(shí)， n為常數(shù)，令其為為常數(shù)，令其為 :顧客的平均到達(dá)率；顧客的平均到達(dá)率； n:系統(tǒng)顧客數(shù)為系統(tǒng)顧客數(shù)為n時(shí)服務(wù)臺(tái)平均服務(wù)率時(shí)服務(wù)臺(tái)平均服務(wù)率(以單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)的顧客數(shù)表示以單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)的顧客數(shù)表示)，對(duì)于不同，對(duì)于不同的的n，若，若n為常數(shù)，令為為常數(shù)，令為 :服務(wù)臺(tái)平均服務(wù)服務(wù)臺(tái)平均服務(wù)率；率； Pn: 系統(tǒng)內(nèi)有系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)顧客的概率。個(gè)顧客的概率。

22、 此外，還有忙期此外，還有忙期(Busy Period)及平均忙及平均忙期等一些指標(biāo)，指服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)繁忙的時(shí)間期等一些指標(biāo)，指服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)繁忙的時(shí)間長(zhǎng)度，它關(guān)系到服務(wù)員的工作強(qiáng)度。忙期和長(zhǎng)度，它關(guān)系到服務(wù)員的工作強(qiáng)度。忙期和一個(gè)忙期中平均完成服務(wù)顧客數(shù)都是衡量服一個(gè)忙期中平均完成服務(wù)顧客數(shù)都是衡量服務(wù)機(jī)構(gòu)效率的指標(biāo)。在即時(shí)制或排隊(duì)有限制務(wù)機(jī)構(gòu)效率的指標(biāo)。在即時(shí)制或排隊(duì)有限制的情形，還有由于顧客被拒絕而使企業(yè)受損的情形，還有由于顧客被拒絕而使企業(yè)受損失的損失率等，這些都是很重要的指標(biāo)。失的損失率等，這些都是很重要的指標(biāo)。 11.1.2 單列等候線單列等候線 在伯格在伯格.度姆快餐店目前所實(shí)行的運(yùn)

23、作方式中，度姆快餐店目前所實(shí)行的運(yùn)作方式中，首先由一名服務(wù)生接受一位顧客的點(diǎn)餐，計(jì)算總費(fèi)首先由一名服務(wù)生接受一位顧客的點(diǎn)餐，計(jì)算總費(fèi)用，向顧客收取餐費(fèi)，然后上菜。為第一位顧客上用，向顧客收取餐費(fèi)，然后上菜。為第一位顧客上菜之后，這名服務(wù)生就可以為下一位等待中的顧客菜之后，這名服務(wù)生就可以為下一位等待中的顧客服務(wù)。這種運(yùn)作方式就是一個(gè)單列等候線模型的例服務(wù)。這種運(yùn)作方式就是一個(gè)單列等候線模型的例子。每位進(jìn)入伯格子。每位進(jìn)入伯格.度姆快餐店的顧客都必須通過(guò)這度姆快餐店的顧客都必須通過(guò)這一條渠道（一個(gè)接收點(diǎn)餐和上餐的工作臺(tái)）以進(jìn)行一條渠道（一個(gè)接收點(diǎn)餐和上餐的工作臺(tái)）以進(jìn)行點(diǎn)餐、付款，然后取食品。當(dāng)

24、到達(dá)的顧客人數(shù)很多點(diǎn)餐、付款，然后取食品。當(dāng)?shù)竭_(dá)的顧客人數(shù)很多，以至于工作人員不能及時(shí)提供服務(wù)時(shí)，顧客們就，以至于工作人員不能及時(shí)提供服務(wù)時(shí)，顧客們就會(huì)形成一條等候隊(duì)伍，等待這個(gè)點(diǎn)餐和上菜的工作會(huì)形成一條等候隊(duì)伍，等待這個(gè)點(diǎn)餐和上菜的工作臺(tái)為其提供服務(wù)。有關(guān)伯格臺(tái)為其提供服務(wù)。有關(guān)伯格.度姆快餐店的單列等候度姆快餐店的單列等候線如圖線如圖11-1所示。所示。 11.1.3 達(dá)到間隔分布達(dá)到間隔分布 為等候線確定到達(dá)過(guò)程，主要包括確為等候線確定到達(dá)過(guò)程，主要包括確定在某個(gè)給定時(shí)間段內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)目的概定在某個(gè)給定時(shí)間段內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)目的概率分布。對(duì)于有些等候線情形來(lái)說(shuō)，顧客率分布。對(duì)于有些等候線情形

25、來(lái)說(shuō)，顧客的到達(dá)具有隨機(jī)性和獨(dú)立性，我們也不能的到達(dá)具有隨機(jī)性和獨(dú)立性，我們也不能預(yù)測(cè)新的顧客會(huì)在什么時(shí)候到達(dá)。在這種預(yù)測(cè)新的顧客會(huì)在什么時(shí)候到達(dá)。在這種情況下，管理科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，顧客的到達(dá)情況下，管理科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，顧客的到達(dá)規(guī)律可以用泊松概率分布來(lái)很好地進(jìn)行描規(guī)律可以用泊松概率分布來(lái)很好地進(jìn)行描述。述。 泊松概率函數(shù)可以計(jì)算出在某個(gè)泊松概率函數(shù)可以計(jì)算出在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)，有時(shí)間段內(nèi)，有x位顧客到達(dá)的概率。該位顧客到達(dá)的概率。該概率函數(shù)如下：概率函數(shù)如下： ,(0,1,2.)!xxeP xxx式中，式中， x-在此時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的人數(shù)在此時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的人數(shù); -每個(gè)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的平均人數(shù)；每個(gè)時(shí)間

26、段內(nèi)到達(dá)的平均人數(shù)； e=2.718 28e-的值可以利用計(jì)算器或通過(guò)書(shū)末附錄的值可以利用計(jì)算器或通過(guò)書(shū)末附錄B計(jì)計(jì)算得出。算得出。(11-1)0.750.75( )!xxxeeP xxx4724. 0! 075. 0)0(75. 075. 00ee 假設(shè)伯格假設(shè)伯格. .度姆快餐店已經(jīng)對(duì)相關(guān)的度姆快餐店已經(jīng)對(duì)相關(guān)的顧客到達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，并得知平均每顧客到達(dá)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，并得知平均每小時(shí)到達(dá)的顧客人數(shù)為小時(shí)到達(dá)的顧客人數(shù)為4545人。也就是說(shuō)，人。也就是說(shuō)，平均平均1 1分鐘內(nèi)到達(dá)人數(shù)為分鐘內(nèi)到達(dá)人數(shù)為=45=45名顧客名顧客/60/60分鐘分鐘=0.75=0.75名顧客名顧客/ /分鐘。

27、因此，我們可以分鐘。因此，我們可以利用下面的泊松概率函數(shù)計(jì)算利用下面的泊松概率函數(shù)計(jì)算1 1分鐘內(nèi)有分鐘內(nèi)有x x為顧客到達(dá)的概率：為顧客到達(dá)的概率： 從而，從而，1 1分鐘內(nèi)有分鐘內(nèi)有0 0為、為、1 1位和位和2 2位顧客到位顧客到達(dá)的概率分別為：達(dá)的概率分別為：3543. 04724. 075. 075. 0! 175. 0) 1 (75. 075. 01ee1329. 024724. 05625. 0! 275. 0)2(75. 02e可見(jiàn)，可見(jiàn)，1分鐘內(nèi)沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為分鐘內(nèi)沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為0.472 4， 有有1位顧客到達(dá)的概率為位顧客到達(dá)的概率為0.354 3，有有2位顧

28、客到達(dá)的概率為位顧客到達(dá)的概率為0.132 9.表表11-1表表示偶爾一分鐘內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)的概率。示偶爾一分鐘內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)的概率。 表表 11-1 1分鐘內(nèi)到達(dá)伯格分鐘內(nèi)到達(dá)伯格.度姆快餐店度姆快餐店的顧客人數(shù)概率分布的顧客人數(shù)概率分布 到達(dá)顧客數(shù)到達(dá)顧客數(shù) 概率概率 0 0.472 40 0.472 4 1 0.354 3 1 0.354 3 2 0.132 9 2 0.132 9 3 0.033 2 3 0.033 2 4 0.006 2 4 0.006 2 5 0.001 0 5 0.001 0 在第在第11.2節(jié)和第節(jié)和第11.3節(jié)中，我們將要討節(jié)中，我們將要討論到等待線模型，其中伯

29、格論到等待線模型，其中伯格.度姆快餐店的度姆快餐店的顧客到達(dá)人數(shù)是用泊松分布描述的。在實(shí)顧客到達(dá)人數(shù)是用泊松分布描述的。在實(shí)際應(yīng)用中，我們要記錄幾天或幾個(gè)星期內(nèi)際應(yīng)用中，我們要記錄幾天或幾個(gè)星期內(nèi)每個(gè)時(shí)間段的實(shí)際到達(dá)人數(shù)，并將觀察到每個(gè)時(shí)間段的實(shí)際到達(dá)人數(shù)，并將觀察到的到達(dá)人數(shù)概率分布與泊松概率分布相比的到達(dá)人數(shù)概率分布與泊松概率分布相比較，以確定由泊松概率分布計(jì)算得出的值較，以確定由泊松概率分布計(jì)算得出的值是否是實(shí)際到達(dá)人數(shù)分布的合理的近似值是否是實(shí)際到達(dá)人數(shù)分布的合理的近似值。 tet1)(服務(wù)時(shí)間11.1.4服務(wù)時(shí)間分布服務(wù)時(shí)間分布 服務(wù)時(shí)間是指從服務(wù)開(kāi)始，某位顧客在服務(wù)服務(wù)時(shí)間是指從服

30、務(wù)開(kāi)始，某位顧客在服務(wù)臺(tái)所花費(fèi)的時(shí)間。對(duì)于伯格臺(tái)所花費(fèi)的時(shí)間。對(duì)于伯格.度姆快餐店而言，服度姆快餐店而言，服務(wù)時(shí)間是從顧客開(kāi)始向服務(wù)生點(diǎn)餐開(kāi)始，并持續(xù)務(wù)時(shí)間是從顧客開(kāi)始向服務(wù)生點(diǎn)餐開(kāi)始，并持續(xù)到顧客拿到所點(diǎn)的食品為止。服務(wù)時(shí)間通常不是到顧客拿到所點(diǎn)的食品為止。服務(wù)時(shí)間通常不是固定的。在伯格固定的。在伯格.度姆快餐店，每位顧客所點(diǎn)的食度姆快餐店，每位顧客所點(diǎn)的食品數(shù)目和品種有很大的不同。點(diǎn)餐少的顧客可能品數(shù)目和品種有很大的不同。點(diǎn)餐少的顧客可能在幾秒鐘內(nèi)完成，但點(diǎn)餐多的顧客的可能要花在幾秒鐘內(nèi)完成，但點(diǎn)餐多的顧客的可能要花2分分鐘甚至更長(zhǎng)的時(shí)間才能完成。鐘甚至更長(zhǎng)的時(shí)間才能完成。 管理科學(xué)學(xué)家們

31、發(fā)現(xiàn)，如果服務(wù)時(shí)間的概率管理科學(xué)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，如果服務(wù)時(shí)間的概率分布可以用指數(shù)概率分布來(lái)表示，那么可以用公分布可以用指數(shù)概率分布來(lái)表示，那么可以用公式計(jì)算等候線運(yùn)作所需的有用信息。利用指數(shù)概式計(jì)算等候線運(yùn)作所需的有用信息。利用指數(shù)概率分布來(lái)計(jì)算服務(wù)時(shí)間小于或等于時(shí)間長(zhǎng)度率分布來(lái)計(jì)算服務(wù)時(shí)間小于或等于時(shí)間長(zhǎng)度t時(shí)的時(shí)的概率如下：概率如下：其中，其中，-每個(gè)時(shí)間段內(nèi)可接受服務(wù)的個(gè)每個(gè)時(shí)間段內(nèi)可接受服務(wù)的個(gè)體的均值；體的均值；e=2.718 28。 假設(shè)伯格假設(shè)伯格.度姆快餐店已經(jīng)研究了接受度姆快餐店已經(jīng)研究了接受點(diǎn)餐和上菜的過(guò)程，并發(fā)現(xiàn)每個(gè)服務(wù)生平點(diǎn)餐和上菜的過(guò)程，并發(fā)現(xiàn)每個(gè)服務(wù)生平均每小時(shí)能為均每

32、小時(shí)能為60位顧客提供點(diǎn)餐服務(wù)。在位顧客提供點(diǎn)餐服務(wù)。在此基礎(chǔ)上，可以得出平均服務(wù)率為此基礎(chǔ)上，可以得出平均服務(wù)率為=60名名顧客顧客/60分鐘分鐘=一名顧客一名顧客/分鐘。例如，當(dāng)分鐘。例如，當(dāng)=1時(shí)，我們可以用式（時(shí)，我們可以用式（11-3）來(lái)計(jì)算在）來(lái)計(jì)算在0.5分分鐘內(nèi)、鐘內(nèi)、1分鐘內(nèi)分鐘內(nèi)以及以及2分鐘內(nèi)可以處理一個(gè)點(diǎn)餐要求的概率分鐘內(nèi)可以處理一個(gè)點(diǎn)餐要求的概率。計(jì)算分別如下：。計(jì)算分別如下：1 0.5(0.511 0.60650.3935Pe 服務(wù)時(shí)間分鐘）1 1.0(1.011 0.36790.6321Pe 服務(wù)時(shí)間分鐘）1 2.0(2.011 0.13530.8647e 服務(wù)時(shí)

33、間分鐘） 因此，我們可以得出結(jié)論：因此，我們可以得出結(jié)論：0.5分鐘內(nèi)分鐘內(nèi)能處理一個(gè)點(diǎn)餐要求的概率為能處理一個(gè)點(diǎn)餐要求的概率為0.393 5，1分分鐘內(nèi)能處理一個(gè)點(diǎn)餐要求的概率為鐘內(nèi)能處理一個(gè)點(diǎn)餐要求的概率為0.632 1，2分鐘內(nèi)能處理一個(gè)點(diǎn)餐要求的概率為分鐘內(nèi)能處理一個(gè)點(diǎn)餐要求的概率為0.864 7。 本章所述的幾個(gè)等候線模型中，我們假本章所述的幾個(gè)等候線模型中，我們假定服務(wù)時(shí)間的概率分布服從指數(shù)分布。在定服務(wù)時(shí)間的概率分布服從指數(shù)分布。在實(shí)踐中，我們應(yīng)該收集相關(guān)的實(shí)際服務(wù)時(shí)實(shí)踐中，我們應(yīng)該收集相關(guān)的實(shí)際服務(wù)時(shí)間的數(shù)據(jù)，以確定由指數(shù)分布得出的值是間的數(shù)據(jù)，以確定由指數(shù)分布得出的值是否是實(shí)

34、踐中服務(wù)時(shí)間的合理近似值。否是實(shí)踐中服務(wù)時(shí)間的合理近似值。11.1.5 穩(wěn)態(tài)運(yùn)行穩(wěn)態(tài)運(yùn)行 當(dāng)伯格當(dāng)伯格.度姆快餐店早上開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)，度姆快餐店早上開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)，店里沒(méi)有顧客。漸漸地，營(yíng)業(yè)開(kāi)始正?；虻昀餂](méi)有顧客。漸漸地，營(yíng)業(yè)開(kāi)始正?；虺史€(wěn)定狀態(tài)。我們將開(kāi)始或起始階段成為呈穩(wěn)定狀態(tài)。我們將開(kāi)始或起始階段成為過(guò)渡（瞬時(shí)）階段。當(dāng)系統(tǒng)正常或穩(wěn)態(tài)運(yùn)過(guò)渡（瞬時(shí)）階段。當(dāng)系統(tǒng)正?；蚍€(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，過(guò)渡（瞬時(shí)）階段結(jié)束。等候線模行時(shí)，過(guò)渡（瞬時(shí)）階段結(jié)束。等候線模型描述了等候線的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行參數(shù)。型描述了等候線的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行參數(shù)。11.2 到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布的單列等候線模型

35、數(shù)分布的單列等候線模型(M/M/1 ) 在本節(jié)中，為了確定標(biāo)準(zhǔn)在本節(jié)中，為了確定標(biāo)準(zhǔn)MM1/模模型（即型（即MM1/模型）的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行數(shù)模型）的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行數(shù)據(jù)，我們將引進(jìn)一些相關(guān)的公式。如果顧客據(jù)，我們將引進(jìn)一些相關(guān)的公式。如果顧客到達(dá)服從泊松分布，并且服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)到達(dá)服從泊松分布，并且服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，則我們就可以應(yīng)用這些公式。因?yàn)樯戏植迹瑒t我們就可以應(yīng)用這些公式。因?yàn)樯鲜黾僭O(shè)符合第述假設(shè)符合第11.1節(jié)中討論的伯格節(jié)中討論的伯格.度姆快餐度姆快餐店問(wèn)題，因此，我們將解釋如何應(yīng)用這些公店問(wèn)題，因此，我們將解釋如何應(yīng)用這些公式來(lái)確定伯格式來(lái)確定伯格.度姆快餐店的運(yùn)行參數(shù)，并度姆快餐店的運(yùn)行

36、參數(shù)，并據(jù)此為管理層提供有益的決策信息。據(jù)此為管理層提供有益的決策信息。11.2.111.2.1運(yùn)行參數(shù)運(yùn)行參數(shù) 我們可以用下述公式來(lái)計(jì)算到達(dá)服從我們可以用下述公式來(lái)計(jì)算到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布的單列泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布的單列等候線的運(yùn)行參數(shù)，其中，等候線的運(yùn)行參數(shù)，其中， -每個(gè)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的平均數(shù)（平每個(gè)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的平均數(shù)（平均到達(dá)率）；均到達(dá)率）； -每個(gè)時(shí)間段內(nèi)服務(wù)的平均數(shù)（平每個(gè)時(shí)間段內(nèi)服務(wù)的平均數(shù)（平均服務(wù)率）；均服務(wù)率）；1. 1. 系統(tǒng)中沒(méi)有任何個(gè)體的概率：系統(tǒng)中沒(méi)有任何個(gè)體的概率： 10（11-411-4）qLLqqLW 1qWW3 3 系統(tǒng)中個(gè)體的

37、平均數(shù)：系統(tǒng)中個(gè)體的平均數(shù)：4 4 一個(gè)個(gè)體在等候線中所花費(fèi)的平均時(shí)間：一個(gè)個(gè)體在等候線中所花費(fèi)的平均時(shí)間：5 5 一個(gè)個(gè)體在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間：一個(gè)個(gè)體在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間：2 2等候線中個(gè)體的平均數(shù)：等候線中個(gè)體的平均數(shù)：)(2qL (11-5) (11-5)(11-6)(11-7)(11-8)11 9很明顯，平均到達(dá)率 和平均服務(wù)時(shí)間 的值是決定運(yùn)行參數(shù)的重要因素。通過(guò)式（）可以看出，平均到達(dá)率和平均服務(wù)時(shí)間的比值表示一個(gè)到達(dá)的個(gè)體由于服務(wù)設(shè)施處于被使用的狀態(tài)而不得不等候的概率。因此，通常將看作服務(wù)設(shè)施的利用系數(shù)。0)(nn7 7 系統(tǒng)中同時(shí)有系統(tǒng)中同時(shí)有n n個(gè)個(gè)體的概率：個(gè)個(gè)體的

38、概率：(11-10)(11-10)w6 6 某位剛到達(dá)的個(gè)體必須等待的概率：某位剛到達(dá)的個(gè)體必須等待的概率：(11-9)111 411 10111 411 10只有當(dāng)平均服務(wù)率 大于平均到達(dá)率（即 ）時(shí)，式（） （）所求的運(yùn)行參數(shù)才適用。如果不存在上述情況，則等候線將會(huì)無(wú)限期增長(zhǎng)，因?yàn)榉?wù)設(shè)施沒(méi)有足夠的能力接待新到達(dá)的個(gè)體。因此，必須要求當(dāng) 時(shí)，我們才能利用式（）式（）來(lái)計(jì)算。11.2.2伯格伯格.度姆快餐店問(wèn)題的運(yùn)行參數(shù)度姆快餐店問(wèn)題的運(yùn)行參數(shù) 回顧一下，在伯格回顧一下，在伯格.度姆快餐店的問(wèn)題度姆快餐店的問(wèn)題中，我們已經(jīng)得到一個(gè)平均到達(dá)率中，我們已經(jīng)得到一個(gè)平均到達(dá)率=0.75和一個(gè)平均服

39、務(wù)率和一個(gè)平均服務(wù)率=1。111411 10.因此，在的情況下，可以利用式（） （）來(lái)計(jì)算伯格度姆快餐店的單列等候線的運(yùn)行參數(shù)。75. 0175. 0(41131( 375. 025. 2( 3175. 025. 2(25. 2)75. 01 (175. 0)(250. 0175. 011220wqqqqqWWLWLLLP分鐘）分鐘）位顧客）位顧客）我們可以用式（我們可以用式（11-10）確定系統(tǒng)中任何數(shù)）確定系統(tǒng)中任何數(shù)目顧客的概率。表目顧客的概率。表11-2提供了應(yīng)用式（提供了應(yīng)用式（11-10）得出的概率。）得出的概率。 表11-2 伯格.度姆快餐店的等候線系統(tǒng)中有n位顧客的率顧客人數(shù)顧

40、客人數(shù) 概率概率 0 0.250 00 0.250 0 1 0.187 5 1 0.187 5 2 0.140 6 2 0.140 6 3 0.105 5 3 0.105 5 4 0.079 1 4 0.079 1 5 0.059 3 5 0.059 3 6 0.044 5 6 0.044 5 7 7個(gè)或更多個(gè)或更多 0.133 50.133 5 11.2.3管理者對(duì)等候線模型的應(yīng)用管理者對(duì)等候線模型的應(yīng)用 伯格伯格.度姆快餐店的單列等候線的計(jì)算結(jié)果給出了度姆快餐店的單列等候線的計(jì)算結(jié)果給出了一些關(guān)于等候線運(yùn)作的重要信息。特別值得注意的是一些關(guān)于等候線運(yùn)作的重要信息。特別值得注意的是，顧客們?cè)?/p>

41、點(diǎn)餐前的平均等待時(shí)間為，顧客們?cè)邳c(diǎn)餐前的平均等待時(shí)間為3分鐘，這對(duì)以分鐘，這對(duì)以快速服務(wù)為宗旨的快餐行業(yè)來(lái)說(shuō)，多少有些長(zhǎng)了點(diǎn)?？焖俜?wù)為宗旨的快餐行業(yè)來(lái)說(shuō)，多少有些長(zhǎng)了點(diǎn)。此外，我們還注意到，等待中的顧客平均人數(shù)為此外，我們還注意到，等待中的顧客平均人數(shù)為2.25位，且顧客不得不等待的概率為位，且顧客不得不等待的概率為75%，這也要求我們，這也要求我們必須采取措施來(lái)改善等候線的運(yùn)作。通過(guò)表必須采取措施來(lái)改善等候線的運(yùn)作。通過(guò)表11-2，我，我們知道，在伯格們知道，在伯格.度姆快餐店的系統(tǒng)中，同時(shí)有度姆快餐店的系統(tǒng)中，同時(shí)有7個(gè)或個(gè)或7個(gè)以上顧客等待的概率為個(gè)以上顧客等待的概率為0.1335.這

42、一數(shù)字表明，如果這一數(shù)字表明，如果伯格伯格.度姆快餐店繼續(xù)使用單列等候線運(yùn)作方式，則很度姆快餐店繼續(xù)使用單列等候線運(yùn)作方式，則很可能會(huì)出現(xiàn)較長(zhǎng)的等待隊(duì)伍?？赡軙?huì)出現(xiàn)較長(zhǎng)的等待隊(duì)伍。 如果相對(duì)于公司的服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)講，伯格如果相對(duì)于公司的服務(wù)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)講，伯格.度姆快餐度姆快餐店的運(yùn)作參數(shù)并不令人滿意。因此，快餐店的管理者店的運(yùn)作參數(shù)并不令人滿意。因此，快餐店的管理者應(yīng)當(dāng)考慮采取其他設(shè)計(jì)或計(jì)劃來(lái)改善等候線的運(yùn)作。應(yīng)當(dāng)考慮采取其他設(shè)計(jì)或計(jì)劃來(lái)改善等候線的運(yùn)作。11.2.4改進(jìn)等候線運(yùn)作改進(jìn)等候線運(yùn)作 等候線模型通常會(huì)顯示出哪些運(yùn)作參數(shù)需要改等候線模型通常會(huì)顯示出哪些運(yùn)作參數(shù)需要改善。然而，要就怎樣改變等候

43、線結(jié)構(gòu)來(lái)改善運(yùn)行參善。然而，要就怎樣改變等候線結(jié)構(gòu)來(lái)改善運(yùn)行參數(shù)做出決策，必須依靠分析家的洞察力和創(chuàng)造力。數(shù)做出決策，必須依靠分析家的洞察力和創(chuàng)造力。 考察了等候線模型所提供的運(yùn)行參數(shù)之后，伯考察了等候線模型所提供的運(yùn)行參數(shù)之后，伯格格.度姆快餐店的管理者認(rèn)為有必要改善等候線的度姆快餐店的管理者認(rèn)為有必要改善等候線的運(yùn)作從而減少顧客的等候時(shí)間。為了改善等候線的運(yùn)作從而減少顧客的等候時(shí)間。為了改善等候線的運(yùn)作，分析家們常常側(cè)重于采用提高服務(wù)率的方法運(yùn)作，分析家們常常側(cè)重于采用提高服務(wù)率的方法。一般來(lái)講，要提高服務(wù)率，需要做出下面一兩種。一般來(lái)講，要提高服務(wù)率，需要做出下面一兩種改變：改變： (1

44、)通過(guò)創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)變更或利用新技術(shù)來(lái)提通過(guò)創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)變更或利用新技術(shù)來(lái)提高平均服務(wù)率高平均服務(wù)率。 (2)增加服務(wù)渠道，這樣能夠使更多的顧客得增加服務(wù)渠道，這樣能夠使更多的顧客得到即時(shí)服務(wù)。到即時(shí)服務(wù)。 假設(shè)在考慮方案假設(shè)在考慮方案1時(shí)，伯格時(shí)，伯格.度姆快餐店的管理度姆快餐店的管理者決定雇用一名上菜員來(lái)幫助收銀臺(tái)旁的點(diǎn)餐員。者決定雇用一名上菜員來(lái)幫助收銀臺(tái)旁的點(diǎn)餐員。從點(diǎn)餐員點(diǎn)餐開(kāi)始，顧客開(kāi)始接受服務(wù)。點(diǎn)餐后，從點(diǎn)餐員點(diǎn)餐開(kāi)始，顧客開(kāi)始接受服務(wù)。點(diǎn)餐后，點(diǎn)餐員通過(guò)一個(gè)內(nèi)部通訊系統(tǒng)報(bào)出菜名，然后由上點(diǎn)餐員通過(guò)一個(gè)內(nèi)部通訊系統(tǒng)報(bào)出菜名，然后由上菜員開(kāi)始上菜。點(diǎn)餐完畢后，點(diǎn)餐員處理付款事宜菜員開(kāi)

45、始上菜。點(diǎn)餐完畢后，點(diǎn)餐員處理付款事宜，上菜員繼續(xù)上菜。按照這一設(shè)計(jì)，伯格，上菜員繼續(xù)上菜。按照這一設(shè)計(jì)，伯格.度姆快餐度姆快餐店的管理者預(yù)測(cè)，平均服務(wù)率可以從現(xiàn)在的每小時(shí)店的管理者預(yù)測(cè)，平均服務(wù)率可以從現(xiàn)在的每小時(shí)60位顧客上升到每小時(shí)位顧客上升到每小時(shí)75位顧客。也就是說(shuō)，改變位顧客。也就是說(shuō)，改變后的系統(tǒng)的平均服務(wù)率為后的系統(tǒng)的平均服務(wù)率為=75位顧客位顧客/60分鐘分鐘=1.25位顧客位顧客/分鐘。在分鐘。在=0.75位顧客位顧客/分鐘且分鐘且=1.25位顧客位顧客/分鐘的情況下，我們可以利用式（分鐘的情況下，我們可以利用式（11-4）式（式（11-10）重新計(jì)算伯格度姆快餐店的等候線

46、的新的運(yùn)）重新計(jì)算伯格度姆快餐店的等候線的新的運(yùn)行參數(shù)。計(jì)算得到的運(yùn)行參數(shù)如表行參數(shù)。計(jì)算得到的運(yùn)行參數(shù)如表11-3所示。所示。 系統(tǒng)中沒(méi)有顧客的概率系統(tǒng)中沒(méi)有顧客的概率等候線中顧客的平均人數(shù)等候線中顧客的平均人數(shù)系統(tǒng)中顧客的平均人數(shù)系統(tǒng)中顧客的平均人數(shù)一位顧客的等候線中花費(fèi)一位顧客的等候線中花費(fèi)的平均時(shí)間的平均時(shí)間分鐘分鐘一位顧客在系統(tǒng)中花費(fèi)的一位顧客在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間平均時(shí)間分鐘分鐘一位到達(dá)的顧客必須等候一位到達(dá)的顧客必須等候的概率的概率系統(tǒng)中有系統(tǒng)中有7位以上（含位以上（含7位）位）顧客的概率顧客的概率表表11-3 平均服務(wù)率上升到平均服務(wù)率上升到=1.25位顧客位顧客/分鐘時(shí)，伯分

47、鐘時(shí)，伯格度姆快餐店系統(tǒng)的運(yùn)行參數(shù)格度姆快餐店系統(tǒng)的運(yùn)行參數(shù) 從表從表11-3中我們可以看出，服務(wù)率的提中我們可以看出，服務(wù)率的提高改善了所有的運(yùn)行參數(shù)。特別地，顧客排高改善了所有的運(yùn)行參數(shù)。特別地，顧客排隊(duì)等候所花費(fèi)的平均時(shí)間從隊(duì)等候所花費(fèi)的平均時(shí)間從3分鐘下降到了分鐘下降到了1.2分鐘；顧客在系統(tǒng)中所花的平均時(shí)間從分鐘；顧客在系統(tǒng)中所花的平均時(shí)間從4分鐘減少到分鐘減少到2分鐘。然而，還沒(méi)有其他的方分鐘。然而，還沒(méi)有其他的方法可以讓伯格度姆的快餐店提高服務(wù)率呢？法可以讓伯格度姆的快餐店提高服務(wù)率呢？如果有，并且每種方法中的平均服務(wù)率如果有，并且每種方法中的平均服務(wù)率都都能確定，則可以利用式（

48、能確定，則可以利用式（11-4）式（式（11-10）來(lái)計(jì)算改變后的運(yùn)行參數(shù)以及等候線系統(tǒng)）來(lái)計(jì)算改變后的運(yùn)行參數(shù)以及等候線系統(tǒng)中的所有改善。我們可以將實(shí)施改進(jìn)方案所中的所有改善。我們可以將實(shí)施改進(jìn)方案所增加的成本與提高的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行比較，從增加的成本與提高的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行比較，從而幫助管理者決定實(shí)行改善方案的服務(wù)改善而幫助管理者決定實(shí)行改善方案的服務(wù)改善策略是否有價(jià)值。策略是否有價(jià)值。 正如前面所提到的，方案正如前面所提到的，方案2可以提供一個(gè)可以提供一個(gè)或多個(gè)額外的服務(wù)梁道。從而可以在同一時(shí)間或多個(gè)額外的服務(wù)梁道。從而可以在同一時(shí)間內(nèi)為多位顧客服務(wù)。下一界討論的主題就是把內(nèi)為多位顧客服務(wù)。下一

49、界討論的主題就是把單列等候線模型擴(kuò)展到多位等候線模型。單列等候線模型擴(kuò)展到多位等候線模型。11.2.5等候線模型的等候線模型的Excel解法解法 在工作表的幫助下，我們可以很容易的實(shí)在工作表的幫助下，我們可以很容易的實(shí)施等候線模型。伯格度姆快餐店單列等候線的施等候線模型。伯格度姆快餐店單列等候線的Excel工作表如圖工作表如圖11-2所示。陰影部分是輸入所示。陰影部分是輸入了公式的單元格，明亮的部分是輸入了數(shù)值的了公式的單元格，明亮的部分是輸入了數(shù)值的單元格。在單元格單元格。在單元格B7和和B8中分別輸入平均到中分別輸入平均到達(dá)率和平均服務(wù)率，然后將等候線相關(guān)運(yùn)行參達(dá)率和平均服務(wù)率，然后將等候

50、線相關(guān)運(yùn)行參數(shù)的公式輸入到單元格數(shù)的公式輸入到單元格C13到到C18中。中。通過(guò)該工作表得到的結(jié)果與我們前面得到的通過(guò)該工作表得到的結(jié)果與我們前面得到的運(yùn)行參數(shù)的值是相同的。我們可以通過(guò)在單運(yùn)行參數(shù)的值是相同的。我們可以通過(guò)在單元格元格B7和和B8輸入不同的平均到達(dá)率和（或）輸入不同的平均到達(dá)率和（或）平均服務(wù)率，來(lái)得出等候線設(shè)計(jì)的變更。如平均服務(wù)率，來(lái)得出等候線設(shè)計(jì)的變更。如此就可以立刻得到等候線的新的運(yùn)行參數(shù)。此就可以立刻得到等候線的新的運(yùn)行參數(shù)。 圖圖11-2所示的工作表是一個(gè)模板，可以所示的工作表是一個(gè)模板，可以用于所有到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從用于所有到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服

51、從指數(shù)分布的單列等候線模型。該工作表及本指數(shù)分布的單列等候線模型。該工作表及本章中提到的其他的一些等候線模型的類似工章中提到的其他的一些等候線模型的類似工作表，可以參見(jiàn)在本書(shū)附帶的作表，可以參見(jiàn)在本書(shū)附帶的CD盤中的內(nèi)容盤中的內(nèi)容。例：某修理店只有一個(gè)修理工，來(lái)修理的顧例：某修理店只有一個(gè)修理工，來(lái)修理的顧客到達(dá)過(guò)程為客到達(dá)過(guò)程為Poisson流，平均流，平均4人人/h；修理；修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6min.試求試求：（：（1）修理店空閑的概率；（）修理店空閑的概率；（2）店內(nèi)恰有）店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率；（個(gè)顧客的概率；（3）店內(nèi)至少有一個(gè)顧客）店內(nèi)至少

52、有一個(gè)顧客的概率；（的概率；（4）在店內(nèi)的平均顧客數(shù)；（）在店內(nèi)的平均顧客數(shù)；（5）每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間；（每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間；（6）等）等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；（待服務(wù)的平均顧客數(shù)；（7）每位顧客平均）每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間；（等待服務(wù)時(shí)間；（8）顧客在店內(nèi)等待時(shí)間）顧客在店內(nèi)等待時(shí)間超過(guò)超過(guò)10min的概率。的概率。4101 . 01526 . 052110p038. 0)521 ()52()1 (333p解解 本例可看成一個(gè)本例可看成一個(gè)M/M/1/排隊(duì)問(wèn)題，其中排隊(duì)問(wèn)題，其中 修理店空閑的概率修理店空閑的概率店內(nèi)恰有店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率個(gè)顧客的概率 4 . 0521

53、10pNP（人）67. 0521521L(min)10)(467. 0hLW店內(nèi)至少有店內(nèi)至少有1個(gè)顧客的概率個(gè)顧客的概率在店內(nèi)的平均顧客數(shù)在店內(nèi)的平均顧客數(shù)每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間每位顧客在店內(nèi)的平均逗留時(shí)間)(267. 052152122人LLq(min)4)(4267. 0hLWq3679. 01011516110eeTP等待服務(wù)的平均顧客數(shù)等待服務(wù)的平均顧客數(shù)每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間顧客在店內(nèi)逗留時(shí)間超過(guò)顧客在店內(nèi)逗留時(shí)間超過(guò)10min的概率的概率11.3 到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布的多列等候線模型數(shù)分布的多列等候

54、線模型(M/M/k ) 一個(gè)多列等候線包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的一個(gè)多列等候線包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的服務(wù)梁道，假設(shè)這些服務(wù)渠道就服務(wù)能力而服務(wù)梁道，假設(shè)這些服務(wù)渠道就服務(wù)能力而言是相同的。在多列系統(tǒng)中，到達(dá)的個(gè)體在言是相同的。在多列系統(tǒng)中，到達(dá)的個(gè)體在單列等候線中等待，然后移動(dòng)到第一個(gè)可用單列等候線中等待，然后移動(dòng)到第一個(gè)可用的梁道接收服務(wù)。圖的梁道接收服務(wù)。圖11-3為伯格度姆快餐店為伯格度姆快餐店的一個(gè)雙梁道示意圖。的一個(gè)雙梁道示意圖。 本節(jié)中，我們將介紹確定多列等候線本節(jié)中，我們將介紹確定多列等候線穩(wěn)態(tài)運(yùn)行參數(shù)的公式。這些公式的應(yīng)用前穩(wěn)態(tài)運(yùn)行參數(shù)的公式。這些公式的應(yīng)用前提為下列條件成立：提為下列

55、條件成立：到達(dá)服從泊松分布；到達(dá)服從泊松分布；各個(gè)梁道的服從時(shí)間服從指數(shù)分布；各個(gè)梁道的服從時(shí)間服從指數(shù)分布；各個(gè)梁道的平均服務(wù)率各個(gè)梁道的平均服務(wù)率相同；相同；到達(dá)者在單列等候先中等候，然后移動(dòng)到到達(dá)者在單列等候先中等候，然后移動(dòng)到第一個(gè)可用的梁道接受服務(wù)。第一個(gè)可用的梁道接受服務(wù)。02101/!kknPknkk （11-1111-11） 02/1 !kqLPkk (11-12)(11-12)11.3.1運(yùn)行參數(shù)運(yùn)行參數(shù) 我們可以用下列公式來(lái)計(jì)算多列等候我們可以用下列公式來(lái)計(jì)算多列等候線的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行參數(shù)線的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行參數(shù),其中其中, 表示系統(tǒng)中的平表示系統(tǒng)中的平均到達(dá)率均到達(dá)率;表示每個(gè)兩道的平

56、均服務(wù)率表示每個(gè)兩道的平均服務(wù)率;k表表示渠道數(shù)示渠道數(shù).1.系統(tǒng)中沒(méi)有任何個(gè)體的概率系統(tǒng)中沒(méi)有任何個(gè)體的概率:2.等候線中個(gè)體的平均數(shù)等候線中個(gè)體的平均數(shù):qLLqqLW1qWW (11-15) (11-15)3.系統(tǒng)中個(gè)體的平均數(shù)系統(tǒng)中個(gè)體的平均數(shù):(11-13)4.一個(gè)個(gè)體在等候線中所花費(fèi)的平均時(shí)間一個(gè)個(gè)體在等候線中所花費(fèi)的平均時(shí)間:(11-14)5.一個(gè)個(gè)體在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間一個(gè)個(gè)體在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間:01!kwkPPkk 0/!nnPPn 0/!nnn kPPk k (對(duì)于對(duì)于nk) （11-17） （對(duì)于（對(duì)于n nk k）（）（11-1811-18）6.某位剛到達(dá)的個(gè)體必

57、須等待的概率某位剛到達(dá)的個(gè)體必須等待的概率:(11-16)7.系統(tǒng)中同時(shí)有系統(tǒng)中同時(shí)有n個(gè)個(gè)體的概率：個(gè)個(gè)體的概率： 因?yàn)橐驗(yàn)闉槊總€(gè)渠道的平均服務(wù)率，所以為每個(gè)渠道的平均服務(wù)率，所以k就就是多列系統(tǒng)的平均服務(wù)率。我們已經(jīng)知道上述公是多列系統(tǒng)的平均服務(wù)率。我們已經(jīng)知道上述公式適用與單列等候線模型，但只有當(dāng)系統(tǒng)的平均式適用與單列等候線模型，但只有當(dāng)系統(tǒng)的平均服務(wù)率大于系統(tǒng)的平均到達(dá)率時(shí)，這些公式才能服務(wù)率大于系統(tǒng)的平均到達(dá)率時(shí)，這些公式才能使用于多列等候線模型的運(yùn)行參數(shù)。也就是說(shuō)，使用于多列等候線模型的運(yùn)行參數(shù)。也就是說(shuō)，對(duì)于多列等候線模型，只有當(dāng)對(duì)于多列等候線模型，只有當(dāng)k時(shí)，才可以時(shí)，才可以應(yīng)

58、用上述公式。應(yīng)用上述公式。 對(duì)于多列等候線，有些運(yùn)行參數(shù)的表達(dá)式比對(duì)于多列等候線，有些運(yùn)行參數(shù)的表達(dá)式比單列等候線的要復(fù)雜。但是，式（單列等候線的要復(fù)雜。但是，式（11-11）式（式（11-18）給出了與單列等候線模型相同的信息。）給出了與單列等候線模型相同的信息。為了幫助簡(jiǎn)化多列等候線模型中的公式的運(yùn)用，為了幫助簡(jiǎn)化多列等候線模型中的公式的運(yùn)用，表表11-4給出了根據(jù)所選定的一些給出了根據(jù)所選定的一些和的值所和的值所計(jì)算出的計(jì)算出的0 的值。表中的數(shù)值都對(duì)應(yīng)著的值。表中的數(shù)值都對(duì)應(yīng)著k的情況，即服務(wù)率足夠處理到達(dá)的顧客。的情況，即服務(wù)率足夠處理到達(dá)的顧客。11.3.2 伯格伯格度姆快餐店問(wèn)題

59、的運(yùn)行參數(shù)度姆快餐店問(wèn)題的運(yùn)行參數(shù) 為了說(shuō)明多列等候線模型，我們?nèi)匀灰詾榱苏f(shuō)明多列等候線模型，我們?nèi)匀灰圆穸饶房觳偷甑牡群蚓€為例。如果管理者伯格度姆快餐店的等候線為例。如果管理者想對(duì)增開(kāi)第二個(gè)點(diǎn)餐工作臺(tái)（以便能同時(shí)為想對(duì)增開(kāi)第二個(gè)點(diǎn)餐工作臺(tái)（以便能同時(shí)為2位顧客提供服務(wù)）的可行性進(jìn)行評(píng)估。假位顧客提供服務(wù)）的可行性進(jìn)行評(píng)估。假設(shè)在單列等候線中排在第一位的顧客首先到設(shè)在單列等候線中排在第一位的顧客首先到達(dá)空閑的服務(wù)生處接受服務(wù)。下面我們來(lái)計(jì)達(dá)空閑的服務(wù)生處接受服務(wù)。下面我們來(lái)計(jì)算這個(gè)雙梁道系統(tǒng)的運(yùn)行參數(shù)：算這個(gè)雙梁道系統(tǒng)的運(yùn)行參數(shù)：P0 =0.4545（見(jiàn)表（見(jiàn)表11-4，其中，其中，/=0.

60、75）22(0.75/1)0.75 10.45450.1227(2 1)!(2 1 0.75)qL 0.750.12270.87271qLL0.12270.16360.75qqLW110.16361.16361qWW21 0.752 1()0.45450.20452!12 1 0.75WP （位顧客）（位顧客）（位顧客）（位顧客）（分鐘）（分鐘）（分鐘）（分鐘）利用式（利用式（11-17）和式（）和式（11-18），我們可以計(jì)算出系），我們可以計(jì)算出系統(tǒng)中有統(tǒng)中有n位顧客的概率。計(jì)算結(jié)果如表位顧客的概率。計(jì)算結(jié)果如表11-5所示。所示。 現(xiàn)在，我們可以將雙梁道系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行參數(shù)現(xiàn)在，我們可以將