數(shù)學物理方程111(xmsunn2013)

1、數(shù)學物理方程與特殊函數(shù) （東南大學數(shù)學系 王元明編）2013級工學院課程講解教師：孫小妹 電子郵箱： 手機號碼辦公地址：逸夫樓B座402 第一第一章：一些典型方程和定解條件的推導章：一些典型方程和定解條件的推導u1.1 基本方程的建立基本方程的建立 u1.2 初值條件與邊界條件初值條件與邊界條件u1.3 定解問題的提出定解問題的提出參考書目參考書目 閆桂峰閆桂峰. 數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法. 北京理工大學出版社北京理工大學出版社,2009。李元杰李元杰. 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù). 高等教育出版社高等教育出版社,2009。D. Bleecker,

2、G. Csordas，李俊杰李俊杰 譯譯，基礎偏微分方程基礎偏微分方程。課程內容課程內容 貝貝塞塞爾爾函函數(shù)數(shù)特特殊殊函函數(shù)數(shù)勒勒讓讓德德函函數(shù)數(shù)研究數(shù)學物理方程的建立、求解方法和解的物理意義的分研究數(shù)學物理方程的建立、求解方法和解的物理意義的分析析Green 方方程程的的導導出出和和定定解解問問題題分分離離變變量量法法數(shù)數(shù)學學物物理理方方程程行行波波法法基基本本解解法法積積分分變變換換法法函函數(shù)數(shù)法法1.1 基本方程的建立基本方程的建立通過幾個不同的物理模型推導出數(shù)學物理方程中三種典通過幾個不同的物理模型推導出數(shù)學物理方程中三種典型方程：型方程：波動方程、熱傳導方程、波動方程、熱傳導方程、L

3、aplace方程。方程。例1 弦的振動方程（弦的振動方程（一維波動方程一維波動方程）問題提出： 考察一根均勻柔軟的長為L的細弦，平衡時沿ox軸繃緊，除受不隨時間而變的張力作用與弦本身的重力外，不受外力影響。給定弦的一個初始位移和初始速度，弦作橫向振動，確定弦上各點的運動規(guī)律。設弦在xu平面內振動，在某一時刻t，弦的瞬時狀態(tài)如圖1-1，此時x點弦的位移為u(x,t).考察原長為dx的一小段弦（x,x+dx）.問題分析：sgd)( dxxT M x+d dx圖1-1假設條件：（1）橫向振動：全部運動在一個平面上，且弦上的點沿垂直于x軸的方向運動。（2）微小振動：12 xudxdxxuds 21（3

4、）弦柔軟、均勻. 張力 沿切線方向,密度 為常數(shù)；)(xT 受力分析：垂直方向：22),(sinsinttxudsgdsTT水平方向：coscosTT（1.1）利用假設條件，可得1cos, 1cos（1）,),(tansinxtxu（2）xtdxxu),(tansindxds （3）可得dxttxugdxxtxuxtdxxuT22),(),(),(（1.2）又利用dxxtxuxtxuxtdxxu22),(),(),(可得TgttxuxtxuT2222),(),(省略，令張力較大時，弦振動速度變化很快，22tu比g大很多，所以可以把Ta 2得到一維波動方程：g22222),(),(xtxuatt

5、xu（1.3）注注1 1：如果弦上還受到一個與振動方向相同的外力，且外力密如果弦上還受到一個與振動方向相同的外力，且外力密度為度為F(x,t)，外力可以是壓力、重力、阻力，外力可以是壓力、重力、阻力，則則22( , )sinsinu x tFdsTTgdsdst 22222( , ),uuaf x ttx弦的弦的強迫振動強迫振動方程為方程為( , )( , )F x tf x t 其其中中稱稱為為自自由由項項. . 非非齊齊次次方方程程齊齊次次方方程程；,0,0 ff注注2 2：類似的可導出二維波動方程（例如薄膜振動）類似的可導出二維波動方程（例如薄膜振動）或三維波動方程（聲波在空氣中傳播）或

6、三維波動方程（聲波在空氣中傳播）, ,它它們們的形的形式為式為),()(2tzyxfuuuauzzyyxxtt 2, ,ttxxyyuauufx y t 2021-12-16例例 2. 傳輸線方程傳輸線方程 待研究物理量: 電流強度 i (x,t),電壓 v (x,t)xR xL xG xC iii vvv R 每一回路單位的串每一回路單位的串聯(lián)電阻聯(lián)電阻,L 每一回路單位的串每一回路單位的串聯(lián)電感，聯(lián)電感，C 每單位長度的分路每單位長度的分路電容，電容，G 每單位長度的分路每單位長度的分路電導，電導，xxx2021-12-16Kirchhoff 第一,二定律tixLixRvvvvxGtvxC

7、iii )()( 00RitiLxvGvtvCxi微分形式兩端對兩端對x微分微分兩端對兩端對t微分微分*C相減相減GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi )()(22222222 傳輸線方程2222222211xvLCtvxiLCti 高頻傳輸，G=0, R=0高頻傳輸線方程與一維波動方 程 類 似2021-12-16 如果空間某物體內各點處的溫度不同，則熱量就從如果空間某物體內各點處的溫度不同，則熱量就從溫度較高點處到溫度較低點處流動，這種現(xiàn)象叫溫度較高點處到溫度較低點處流動，這種現(xiàn)象叫熱傳導。熱傳導。 考慮物體考慮物體G 內的熱傳導問題。函數(shù)內的熱傳導問題。函數(shù)u(x

8、,y,z,t) 表表示物體示物體G 在位置在位置 M(x,y,z) 以及時刻以及時刻 t 的溫度。通過的溫度。通過對任意一個小的體積元對任意一個小的體積元V內的熱平衡問題的研究，建內的熱平衡問題的研究，建立方程。立方程。假設：假設：假定物體內部沒有熱源，物體假定物體內部沒有熱源，物體的熱傳導系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的熱傳導系數(shù)為常數(shù)，即是各向同性的，物體的密度以及比熱是常數(shù)。的，物體的密度以及比熱是常數(shù)。SVM S n 熱場熱場 例 5. 熱傳導方程2021-12-16SVM S n 熱場熱場傅立葉實驗定律傅立葉實驗定律: :物體在無窮小時段物體在無窮小時段d dt內沿法線方向內沿法線方向n流

9、過一個無窮小面積流過一個無窮小面積d dS的熱量的熱量d dQ與時間與時間d dt, ,面積面積d dS, ,物體溫度沿物體溫度沿曲面曲面d dS法線方向的方向導數(shù)成正法線方向的方向導數(shù)成正比比. .即即dSdtnukdQdSdtnuk)(負號的產生是由于熱量的流向與溫度梯度的正向方向相反2021-12-16從時刻從時刻 到時刻到時刻 經過曲面經過曲面S 流入流入?yún)^(qū)區(qū)域域V 的熱量為的熱量為1t2t211ttSuQkdS dtn 21txyztVkukukudVdtxyz 高斯公式高斯公式2021-12-16 210ttxyztVcukukukudVdtxyz 流入熱量使物體內溫度變化，在時間

10、間隔流入熱量使物體內溫度變化，在時間間隔 中物體中物體溫度從溫度從 變化到變化到 所需吸收熱量為所需吸收熱量為12 ,t t1( , , , )u x y z t2( , , ,)u x y z t 221, , , , ,dVQcu x y z tu x y z tV 比熱比熱密度密度2211ttttVVuucdt dVcdV dttt 由于所考察的物體內部沒有熱源由于所考察的物體內部沒有熱源, , 根據(jù)能量守恒定律根據(jù)能量守恒定律可得可得21,QQ 即即2021-12-16由于時間由于時間 , , 和區(qū)域和區(qū)域 V 都是任意選取的都是任意選取的, ,并且并且被積函數(shù)連續(xù)被積函數(shù)連續(xù), ,

11、于是得于是得1t2t xyzuckukukutxyz ( (非均勻的各向同性體的熱傳導方程非均勻的各向同性體的熱傳導方程) )對于均勻的各向同性物體，對于均勻的各向同性物體， k為常數(shù)，記為常數(shù)，記2kac 則得齊次熱傳導方程則得齊次熱傳導方程: :2222222uuuuatxyz 三維熱傳導方程三維熱傳導方程2021-12-16若物體內部有熱源若物體內部有熱源 F(x,y,z,t), , 則熱傳導方程為則熱傳導方程為 2222222, , ,uuuuafx y z ttxyz其中其中 , , ,.Ffx y z tc 2021-12-16在上述熱傳導方程中在上述熱傳導方程中, , 描述空間坐

12、標的獨立變量描述空間坐標的獨立變量為為 , , 所以它們又稱為三維熱傳導方程所以它們又稱為三維熱傳導方程. . 當考當考察的物體是均勻細桿時察的物體是均勻細桿時, , 如果它的側面絕熱且在同如果它的側面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同一截面上的溫度分布相同, , 則可以得到一維熱傳導則可以得到一維熱傳導方程方程 , ,x y z222uuatx 22222uuxyuat 類似類似, , 如果考慮一個薄片的熱傳導如果考慮一個薄片的熱傳導, , 并且薄片的并且薄片的側面絕熱側面絕熱, , 可以得到二維熱傳導方程可以得到二維熱傳導方程2021-12-16 當我們考察氣體的擴散當我們考察氣體的擴散,

13、,液體的滲透液體的滲透, , 半導體半導體材料中的雜質擴散等物理過程時材料中的雜質擴散等物理過程時, , 若用若用 表示所擴表示所擴散物質的濃度散物質的濃度, , 則濃度所滿足的方程形式和熱傳導則濃度所滿足的方程形式和熱傳導方程完全相同方程完全相同. . 所以熱傳導方程也叫所以熱傳導方程也叫擴散方程擴散方程. .u2021-12-16波動方程 聲波、電磁波、桿的振動；熱傳導方程 物質擴散時的濃度變化規(guī)律, 長海峽中潮汐波的運動， 土壤力學中的滲透方程;Laplace方程 穩(wěn)定的濃度分布, 靜電場的 電位, 流體的勢.總總 結：結：2021-12-16222220uuatx2220uuatx 2

14、2220uuxy 一維齊次波方程：一維齊次波方程：一維齊次熱方程：一維齊次熱方程：二維二維Laplace方程：方程：2021-12-16 描述某系統(tǒng)或某過程初始狀況的條件稱為。描述邊界上的約束情況的條件稱為 2021-12-16.0)(0)(齊次初始條件且xx)(),(00 xuxuttt )(),(xx 初始位移、初始速度分別為 ,稱波動方程的初值條件波動方程的初值條件. .l 弦振動問題弦振動問題l 熱傳導方程熱傳導方程)(0 xut 稱為熱傳導方程的初值條件熱傳導方程的初值條件. .一、初值問題2021-12-16 不同類型的方程，相應初值條件的個數(shù)不同。 初始條件給出的應是整個系統(tǒng)的初

15、始狀態(tài)，而非 系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài)。 泊松方程與laplace方程不提初值條件注注意意注注意意2021-12-16 例例. .長為 l 兩端固定的弦，初始時刻將弦的中點拉起 hhut 0hulx 2/( )( )xu02llh lxxllhlx xlhut2l ),(220 ,20正確寫法正確寫法2021-12-161.2 1.2 初值條件與邊界條件初值條件與邊界條件二、邊界條件l 弦振動問題0axu0),(tau（1）固定端，邊界條件為或（2）自由端，邊界條件為0axxuT即0axxu（3）彈性支承端，邊界條件為axaxkuxuT或0axuxu2021-12-161.2 1.2 初值條件與

16、邊界條件初值條件與邊界條件（2）物體與周圍介質處于絕熱狀態(tài)，則邊界條件為0Snul 熱傳導問題),(tzyxf),(tzyxfuS（1）邊界上的溫度為則邊界條件為，（3）物體內部與周圍介質通過邊界有熱量交換，SSuuknuk)(11則邊界條件為即SSuunu12021-12-16（I I）第一類邊界條件）第一類邊界條件1Suf *（IIII）第二類邊界條件）第二類邊界條件2Sufn （IIIIII）第三類邊界條件）第三類邊界條件3Suufn 從數(shù)學角度看，邊值問題有三種類型：2021-12-16微分方程:含有自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程常微分方程：未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程

17、.偏微分方程: 未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程 , , ,0(1)xyxxxyfx yu u uuu , ,0nndud uFx udxdx *2021-12-16例如例如xyxuuuy 221xyuu 0 xxyyuu都是偏微分方程都是偏微分方程, ,2021-12-16偏微分方程的階偏微分方程的階: : 方程中未知函數(shù)的偏導的最方程中未知函數(shù)的偏導的最高階數(shù)高階數(shù)是二階偏微分方程是二階偏微分方程是三階偏微分方程是三階偏微分方程. .0 xxyyuu 例例: :37xxyyyuxuuy 2021-12-16線性偏微分方程線性偏微分方程: : 對于未知函數(shù)及其所有偏導對于未知函數(shù)及其所有偏導數(shù)來

18、說都是線性的，且方程中的系數(shù)都僅依賴于數(shù)來說都是線性的，且方程中的系數(shù)都僅依賴于自變量（或者為常數(shù)）自變量（或者為常數(shù)）非線性偏微分方程非線性偏微分方程: :不是線性的偏微分方程不是線性的偏微分方程例例21xxyyyuxyuu 是二階線性偏微分方程是二階線性偏微分方程是非線性偏微分方程是非線性偏微分方程 221,0 xyxuuuuxu 2021-12-16 n個自變量的二階線性偏微分方程個自變量的二階線性偏微分方程, ,一般形式為一般形式為,11(2)ijinnijx xixi jia ub ufug 這里這里 和和 都是關于自變量都是關于自變量 的函數(shù)。的函數(shù)。如果如果 ，則稱方程為，則稱方

19、程為齊次齊次的；否則稱為的；否則稱為非齊次非齊次的。的。,ijia bfgix0g 本課程的主要研究對象：本課程的主要研究對象：2021-12-16若函數(shù)具有所需的各階連續(xù)偏導數(shù)，且使得方程變?yōu)楹愕仁剑瑒t此函數(shù)為該方程的古典解。初值條件和邊值調節(jié)都稱為定解條件，與方程結合構成一個定解問題。只包含初值條件，沒有邊界條件的定解問題稱為初值問題（Cauchy 問題）；沒有初值條件只有邊界條件的定解問題稱為邊值問題；既有初值條件又有邊界條件的定解問題稱為混合問題。2021-12-16 )(|)( )(|)0,( 0002xuxxutxuautttxxtt 弦振動的Cauchy問題 )( )(|)0,( 002xxutxuautxxt 2021-12-16 ), ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 熱傳導方程的混合問題熱傳導方程的混合問題波動方程的混合問題波動方程的混合問題 0, 0)0( )(),()0,0( 0002lxxx