格林公式及其在曲線積分求解中的應(yīng)用

1、南昌工程學(xué)院數(shù)分選講課程設(shè)計(jì)題 目 格林公式及其在曲線積分求解中的應(yīng)用 課 程 名 稱 數(shù)分選講 系 院 理學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí) 2012級(jí)1班 學(xué) 生 姓 名 魏志輝 學(xué) 號(hào) 2012101316 指 導(dǎo) 教 師 禹海雄 設(shè)計(jì)起止時(shí)間： 2015年6月11日至 2015年6月15日 什么是曲線積分？1. 設(shè)L為xOy平面上的一條光滑的簡單曲線弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一點(diǎn)列M1,M2,M3,Mn 把L 分成 n個(gè)小弧段Li的長度為ds，又Mi(x,y)是L上的任一點(diǎn)，作乘積f(x,y)i*ds,并求和即 f(x,y)i*ds，記=max(ds) ，若 f(x,

2、y)i*ds的極限在當(dāng)0的時(shí)候存在，且極限值與L的分法及Mi在L的取法無關(guān)，則稱極限值為f(x,y)在L上對(duì)弧長的曲線積分，記為：f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被積函數(shù)，L叫做積分曲線，對(duì)弧長的曲線積分也叫第一類曲線積分。2. 曲線積分的類別:曲線積分分為：對(duì)弧長的曲線積分 （第一類曲線積分） 對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分（第二類曲線積分） 兩種曲線積分的區(qū)別主要在于積分元素的差別；對(duì)弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素ds；例如：對(duì)L的曲線積分f(x,y)*ds 。對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分的積分元素是坐標(biāo)元素dx或dy，例如：對(duì)L的曲線積分P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是對(duì)弧長的曲線積分由

3、于有物理意義，通常說來都是正的，而對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分可以根據(jù)路徑的不同而取得不同的符號(hào)33。3. 兩種曲線積分的聯(lián)系：對(duì)弧長的曲線積分和對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分是可以互相轉(zhuǎn)化的，利用弧微分公式ds=1+(dy/dx)2*dx; 或者ds=1+(dx/dy)2*dy;這樣對(duì)弧長的曲線積分都可以轉(zhuǎn)換成對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分了。 在數(shù)學(xué)中，曲線積分或路徑積分是積分的一種。積分函數(shù)的取值沿的不是區(qū)間，而是特定的曲線，稱為積分路徑。曲線積分有很多種類，當(dāng)積分路徑為閉合曲線時(shí)，稱為環(huán)路積分或圍道積分。 在曲線積分中，被積的函數(shù)可以是標(biāo)量函數(shù)或向量函數(shù)。積分的值是路徑各點(diǎn)上的函數(shù)值乘上相應(yīng)的權(quán)重（一般是弧長，在積分函

4、數(shù)是向量函數(shù)時(shí)，一般是函數(shù)值與曲線微元向量的標(biāo)量積）后的黎曼和。帶有權(quán)重是曲線積分與一般區(qū)間上的積分的主要不同點(diǎn)。物理學(xué)中的許多簡單的公式（比如說 ）在推廣之后都是以曲線積分的形式出現(xiàn)（ ）。曲線積分在物理學(xué)中是很重要的工具，例如計(jì)算電場(chǎng)或重力場(chǎng)中的做功，或量子力學(xué)中計(jì)算粒子出4. 格林公式【定理】設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成,函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有 (1) cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 其中是的取正向的邊界曲線. 公式(1)叫做格林(green)公式. 【證明】先證 假定區(qū)域的形狀如下(用平行于軸的直線穿過區(qū)域,與區(qū)域邊界曲線的交點(diǎn)至

5、多兩點(diǎn)) 易見,圖二所表示的區(qū)域是圖一所表示的區(qū)域的一種特殊情況,我們僅對(duì)圖一所表示的區(qū)域給予證明即可. 另一方面,據(jù)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分性質(zhì)與計(jì)算法有 因此 再假定穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于軸的直線與的的邊界曲線的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn),用類似的方法可證 綜合有 當(dāng)區(qū)域的邊界曲線與穿過內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸( 軸或軸 )的任何直線的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn)時(shí),我們有 5., 若曲線積分在開區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān),那它僅與曲線的起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān).假設(shè)曲線的起點(diǎn)為,終點(diǎn)為,可用記號(hào) 或 來表示,而不需要明確地寫出積分路徑. 顯然,這一積分形式與定積分非常相似, 事實(shí)上,我們有下列重要定理 【定理一】設(shè)是一個(gè)單連通的開區(qū)域,函數(shù),

6、在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且【證明】依條件知,對(duì)內(nèi)任意一條以點(diǎn)為起點(diǎn),點(diǎn)為終點(diǎn)的曲線,曲線積分 與路徑無關(guān),僅與的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān),亦即, 確為點(diǎn)的單值函數(shù). 下面證明 由于可以認(rèn)為是從點(diǎn)沿內(nèi)任何路徑到點(diǎn)的曲線積分,取如下路徑,有 類似地可證明 因此 【定理二】設(shè)是單連通的開區(qū)域,在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)為某一函數(shù)全微分的充要條件是 在內(nèi)恒成立. 【證明】顯然,充分性就是定理一 下面證明必要性 若存在使得 ,則 由于 ,在 內(nèi)連續(xù), 則二階混合偏導(dǎo)數(shù)適合等式 從而 【定理三】設(shè)是一個(gè)單連通的開區(qū)域, 函數(shù),在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 若存在二元函數(shù)使得 則 其中,是內(nèi)的任意兩點(diǎn). 【證明

7、】由定理1知,函數(shù) 適合 于是 或 因此 (是某一常數(shù) ) 即 而 這是因?yàn)橛牲c(diǎn)沿任意內(nèi)的路徑回到點(diǎn)構(gòu)成一條封閉曲線,故 因此 【確定的全微分函數(shù)的方法】 因?yàn)?而右端的曲線積分與路徑無關(guān),為了計(jì)算簡便,可取平行于坐標(biāo)軸的直線段所連成的折線作為積分路徑(當(dāng)然折線應(yīng)完全屬于單連通區(qū)域). - 【證明】先證 假定區(qū)域的形狀如下(用平行于軸的直線穿過區(qū)域,與區(qū)域邊界曲線的交點(diǎn)至多兩點(diǎn)) 易見,圖二所表示的區(qū)域是圖一所表示的區(qū)域的一種特殊情況,我們僅對(duì)圖一所表示的區(qū)域給予證明即可. 另一方面,據(jù)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分性質(zhì)與計(jì)算法有 因此 再假定穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于軸的直線與的的邊界曲線的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn),用類

8、似的方法可證 綜合有 當(dāng)區(qū)域的邊界曲線與穿過內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸( 軸或軸 )的任何直線的交點(diǎn)至多是兩點(diǎn)時(shí),我們有 , 同時(shí)成立. 將兩式合并之后即得格林公式 注:若區(qū)域不滿足以上條件,即穿過區(qū)域內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與邊界曲線的交點(diǎn)超過兩點(diǎn)時(shí),可在區(qū)域內(nèi)引進(jìn)一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個(gè)部分區(qū)域,使得每個(gè)部分區(qū)域適合上述條件,仍可證明格林公式成立. 6. 牛頓萊布尼茲公式表示：在區(qū)間上的定積分可以通過它的原函數(shù)在這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的值來表達(dá)而格林公式表示：在平面區(qū)域上的二重積分可以通過沿閉區(qū)域的邊界曲線的曲線積分來表達(dá)這樣，牛頓萊布尼茲公式成為格林公式的特殊情形平面單連通域的概念設(shè)為平面區(qū)域，如

9、果內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于，則稱為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域例如：平面上的圓形區(qū)域，上半平面都是單連通區(qū)域，圓環(huán)形區(qū)域都是復(fù)連通區(qū)域?qū)ζ矫鎱^(qū)域的邊界曲線，規(guī)定的正向如下：當(dāng)觀察者沿的方向行走時(shí)，總在他的左邊例如是邊界曲線及所圍成的復(fù)連通域(圖8)，作為的正向邊界，的正向是逆時(shí)針方向，而的正向是順時(shí)針方向定理1 設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有, (1)其中是的取正向的邊界曲線公式(1)叫做格林公式證 先假設(shè)區(qū)域既是型又是Y型的情形，即穿過區(qū)域且平行坐標(biāo)軸的直線與的邊界曲線的交點(diǎn)恰好為兩點(diǎn)(圖9)設(shè)，因?yàn)檫B續(xù)，所以.另一方面，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分.因此得

10、. (2)類似地，設(shè)，則可證. (3)由于既是型又是型的區(qū)域，(2)(3)同時(shí)成立，二式合并即得公式(1)區(qū)域既是型又是型這樣的要求是相當(dāng)嚴(yán)格的，但是對(duì)于一般情形，即區(qū)域不滿足這個(gè)條件時(shí)，我們可在內(nèi)引進(jìn)輔助線把分成有限個(gè)部分閉區(qū)域，使得每個(gè)部分閉區(qū)域都滿足這個(gè)條件，如圖10，應(yīng)用公式(1)于每個(gè)部分區(qū)域，即可得證因此，一般地對(duì)于由分段光滑曲線圍成的閉區(qū)域公式(1)都成立證畢注 (1) 格林公式中左端二重積分的被積函數(shù)是，而且在內(nèi)偏導(dǎo)連續(xù)這是初學(xué)者容易記錯(cuò)或者忽略的地方右端曲線積分中曲線對(duì)區(qū)域來說都是正向，這也是需要注意的(2) 對(duì)于復(fù)連通區(qū)域，格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域的全部邊界的曲線積分例如對(duì)圖8的復(fù)連通域(陰影部分)格林公式應(yīng)為.其中、是的取正向的閉曲線(3) 格林公式揭示出二重積分與平面曲線積分之間的聯(lián)系，同時(shí)也給出了通過二重積分計(jì)算