概率習(xí)題答案5

1、第五章數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識5.1數(shù)理統(tǒng)計的基本概念習(xí)題一已知總體X服從0,上的均勻分布(冰知),X1,X2,?,Xn為X的樣本，則().(A)1n刀i=1nX- X2是一個統(tǒng)計量；(B)1 n刀i=1nXE(X)是一個統(tǒng)計量；(C)X1+X2是一個統(tǒng)計量；(D)1 n刀i=1nXi2D(X)是一個統(tǒng)計量解答：應(yīng)選(C).由統(tǒng)計量的定義：樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)稱為該樣本的統(tǒng)計量(A)(B)(D)中均含未知參數(shù)習(xí)題2觀察一個連續(xù)型隨機(jī)變量，抽到 100株 豫農(nóng)一號”玉米的穗位(單位：cm),得到如下表中所 列的數(shù)據(jù).按區(qū)間70,80),80,90),?,150,160),將100個數(shù)據(jù)

2、分成9個組，列出分組數(shù)據(jù)計 表(包括頻率和累積頻率),并畫出頻率累積的直方圖.解答：分組數(shù)據(jù)統(tǒng)計表組序號12345組限 組中值 組頻率組頻率% 累計頻率%70807533380908599129010095131325100110105161661110120115262667組序號6789組限組中值組頻率組頻率%累計頻 率%1201301252020871301401357794140150145449815016015522100頻率直方圖見圖(a),累積頻率直方圖見圖(b).習(xí)題3測得20個毛坯重量(單位：g),列成如下簡表:毛坯重量185187192195200202205206頻數(shù)1

3、1111211毛坯重量20720821021421521621822'頻數(shù)21112121將其按區(qū)間183.5,192.5）,?,219.5,228.5）組，列出分組統(tǒng)計表，并畫出頻率直方圖解答：分組統(tǒng)計表見表組序號12345組限組中值組頻數(shù) 組頻率/%183.5,192.5192.5,201.5201.5,210.5210.5,219.5219.5,228.518819720621522432861151040305頻率直方圖見下圖習(xí)題4某地區(qū)抽樣調(diào)查 200個居民戶的月人均收入，得如下統(tǒng)計資料:月人均收入（百元）5-66-77-88-99-1010-1111-12合計戶數(shù)18357

4、624191414200求樣本容量n,樣本均值X",樣本方差 S2.解答：對于抽到的每個居民戶調(diào)查均收入，可見n=200.這里，沒有給出原始數(shù)據(jù)，而是給出了整理過的資料（頻率分布）,我們首先計算各組的 組中值”然后計算X和S2的近似值：月人均收入（百元）5-66-77-88-99-1010-1111-12合計組中值ak5.56.57.58.59.510.511.5-戶數(shù)fk18357624191414200X" =1 nXkakfk=1200(5.5>?+8+.5 為4)=7.945,S2 1 n1 X k(a-X "2fk=1 n-1X kak2fkX =

5、1199(5.52 18+?+11.52 >4)-7.945266.040-63.123025=2.917175.習(xí)題5設(shè)總體X服從二項分布 B(10,3100),X1,X2,?,Xn為來自總體的簡單隨機(jī)樣本,X" =1 nXi=1nX與 Sn2=1 nXi=1 n(X-X "2分別表示樣本均值和樣本二階中心矩，試求E(X ),E(S2).解答：由 XB(10,3100),得E(X)=10 >3100=310,D(X)=10 3100>97100=2911000,所以E(X -)=E(X)=310,E(S2)=n-1 nD(X)=291(n-1)1000n

6、.習(xí)題6設(shè)某商店100天銷售電視機(jī)的情況有如下統(tǒng)計資料日售出臺數(shù)k23456合計天數(shù)fk2030102515100求樣本容量n,經(jīng)驗分布函數(shù) Fn(x).解答：(1) 樣本容量n=100;(2) 經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)=0,x<20.20,2< x<30.50,3 < x<40.60,4 < x<50.85,5 < x<61,x > 6.習(xí)題7設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),概率密度為f(x),X1,X2,?,Xn為來自總體X的一個樣本，記X(1)=min1 < i < n(Xi),X(n)=max1 < i <

7、 n(Xi),試求X(1)和X(n)各自的分布函數(shù)和概率密度.解答：設(shè)X(1)的分布函數(shù)和概率密度分別為F1(x)和f1(x), X(n)的分布函數(shù)和概率密度分別為Fn(x)和 fn(x),貝UFn(X)=PX(n) < x=PX1 n) < x=PX1W xPX2 < xPXnW x=F(x)n,fn(x)=F ' n(x)=nF(x)1f(x),F1(x)=PX(1) < x=PX(1)>x=1-PX1>x,X2>x, ?,Xn>x=1-PX1>xPX2>x ?PXn>x=1-1-PX1 < x1-PX2w x

8、?1-PX n< x=1-1-F(x) n,F' 1(x)=f1(x)=n-F(x) n-1f(x).習(xí)題8設(shè)總體X服從指數(shù)分布 e(入),X1,X是容量為2的樣本，求X(1), X(2)的概率密度.解答：f(x)=入入 x,x>00其它，F(xiàn)(x)=1-e-入 x,x>00,x > 0,X(2)的概率密度為f(2)(x)=2F(x)f(x)=2-入 X(e-入 x),x>0(其它,又X(1)的概率密度為f(1)(x)=21- F(x)f(x)=2-2瓜 x,x>0,其它.習(xí)題9設(shè)電子元件的壽命時間X(單位：h)服從參數(shù)入=0.0015勺指數(shù)分布，今獨(dú)

9、立測試n=6元件，記錄它們的失效時間，求：(1) 沒有元件在800h之前失效的概率；(2) 沒有元件最后超過 3000h的概率解答：(1) 總體 X 的概率密度 f(x)=(0.0015)e-0.0015x,x>00,其它，分布函數(shù) F(x)=1-e-0.0015x,x>00,其它，沒有元件在800h前失效=最小順序統(tǒng)計量 X(1)>800,有PX(1)>800=PX>8006=1-F(800)6=exp(-0.0015 800>6)=exp(-7.2)0.000747.(2) 沒有元件最后超過 3000h=最大順序統(tǒng)計量X(6)<3000PX(6)&

10、lt;3000=PX<30006=F(3000)6=1-exp-0.0015 300)06=1-exp-4.560.93517.習(xí)題10設(shè)總體X任意，期望為 卩方差為(T 2若至少要以95%的概率保證I X"-小<0.1 c問樣本 容量n應(yīng)取多大？解答：因當(dāng)n很大時，X-N(卩,c 2r于是P I X"-門 <0.1 c =P-Q.1 c <X" <卩 +0.1 c"(0.1 c-©(0.1 cc /n)=2 (0停)0.95,則 (0.1 n) > 0.975表得 (1.96)=0.975因 (x非減，故

11、0.1 n > 1.96,n > 384故樣本容量至少取385才能滿足要求.5.2常用統(tǒng)計分布習(xí)題1對于給定的正數(shù) a(0<a<1)，設(shè)za, x a2(n),ta(n),Fa(n1,r分別是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，x 2(n),t(n)F(n 1,n2)分布的上a分位點(diǎn)，則下面的結(jié)論中不正確的是().(A)z1-a(n)=-za(n);(B) x-1 n)=-x a2(n);(C)t1-a( n)=-ta( n);(D)F1-a( n1, n2)=1Fa( n2, n1).解答：應(yīng)選(B).因為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和 t分布的密度函數(shù)圖形都有是關(guān)于y軸對稱的，而2布的密度大于等于零，所

12、以(A)和(C)是對的.(B)是錯的對于F分布，若FF(n 1,n2),則1-a=PF>F1-a( n1,n 2)=P 1F <1F1-a( n1, n2)=1-P1F>1F1-a( n1,n2) 由于1FF(n2,n 1),所以P1F>1F1-a( n1, n2)=P1F>Fa( n2, n1)=a,即 F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1)故(D)也是對的.習(xí)題2(1)2設(shè)總體XN(0,1),X1,X2,?,Xn為簡單隨機(jī)樣本，問下列各統(tǒng)計量服從什么分布(1) X1-X2X32+X42;解答：因為 Xi N(0,1),i=1,2,?,n,所以：X1-X2

13、 N(0,2), X1-X22 N(0,1), X32+X42 x 2(2),故 X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422 t(2).習(xí)題2(2)2.設(shè)總體XN(0,1),X1,X2,?,Xn為簡單隨機(jī)樣本，問下列各統(tǒng)計量服從什么分布(2) n-1X1X22+X32+ ?+Xn2;解答：因為 Xi N(0,1),刀i=2nXix 2(-1),所以n-1X1X22+X32+?+Xn2=X1 刀 i=2nXi2/(n -1)t(n-1).習(xí)題2(3)2.設(shè)總體XN(0,1),X1,X2,?,Xn為簡單隨機(jī)樣本，問下列各統(tǒng)計量服從什么分布(3) (n3-1)刀 i=13Xi2/

14、刀 i=4nXi2.解答：因為刀 i=13Xi2x 2(3),刀 i=4nXx 2(-3),所以：(n3-1)刀 i=13Xi2/ 刀 i=4nXi2=刀 i=13Xi2/3 刀 i=4nX)F(3,n-3).習(xí)題3設(shè)X1,X2,X3,X4是取自正態(tài)總體 XN(0,22)的簡單隨機(jī)樣本，且Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,則a二？,b=?寸，統(tǒng)計量 Y服從分布，其自由度是多少？解答：解法一 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,令 丫仁a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4),貝UY=Y12+Y22,為使 Yx 2(2)必有 Y1 N(0,1),Y2 N(0,

15、1),因而E(Y1)=0,D(Y1)=1, E(Y2)=0,D(Y2)=1,注意到 D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4,由D(Y1)=Da(X1-2X2)=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2)=a(4+4 X)=20a=1,D(Y2)=Db(3X3-4X4)=bD(3X3-4X4)=b(9D(X3)+16D(X4)=b(4 9+16 X4)=100b=1,分別得a=120,b=1100.這時Yx 2(2)自由度為n=2.解法二 因XiN(0,22)且相互獨(dú)立，知X1-2X2=X1+(-2)X2 N(0,20), 3X3-4X4=3X3+(-4)X4 N(0,100

16、),故 X1-2X220 N(0,1),3X3-4X4100 N(0,1),為使Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2 x 2(2),必有 X1-2X21/a N(0,1),3X3-4X41/b N(0,1),與上面兩個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量比較即是1a=20,1b=100,即 a=120,b=1100.習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量 X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(0,32). X1,X2,?,X9和Y1,Y2,?,Y9是分別取自總體 X和Y的簡單隨機(jī)樣本，試證統(tǒng)計量T=X1+X2+ ?+X9Y12+Y22+ ?+Y92服從自由度為9的t分布解答：首先將Xi,Yi分別除以3,使之化

17、為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)令 X i=Xi3,Y ' i=Yi3,i=1?29,則X' 丫 N(0,1),Y 人 N(0,1);再令 X' =X 1+X'?2X' 9則 X'N(0,9),X 'VN(0,1),Y' 2=Y' 12+Y' ?+Y+ 92Y'x 2(9).因此T=X1+X2+?+X9Y12+Y22+?+Y92=X1' +X2'?+X9' Y' 12+Y' ?+ 92=X' Y' 2=X'/3Y' 2/t(9),注意到X' ,Y &

18、#39;相互獨(dú)立習(xí)題5設(shè)總體XN(0,4),而X1,X2,?,X15為取自該總體的樣本，問隨機(jī)變量Y=X12+X22+ ?+X1022(X112+X122+ ?+X152)服從什么分布？參數(shù)為多少？解答：因為 Xi2 N(0,1),故 Xi24 x 2(1),i=1,2?,15,而X1,X2,?,X15獨(dú)立，故X12+X22+?+X1024 x 2(10),X112+X122+X1524 x 2(5),所以X12+X22+ ?+X1024/10X112+X122+ ?+X1524/5=X12+X22+ ?+X1022(X112+X122+?+X152)=Y習(xí)題6證明：若隨機(jī)變量 X服從F(n1

19、,n2)的分布，貝U(1)Y=1X 服從 F(n2,n1)分布；(2)并由此證明 F1-a (n 1,n2)=1F a (n2,n1).解答：(1) 因隨機(jī)變量X服從F(n 1,n2),故可設(shè)X=U/n1V/n2,其中U服從x 2(n 1),V艮從x 2(n2)且 U與V相互獨(dú)立，設(shè)1X=V/n2U/n1,由F分布之定義知Y=1x=V/n2U/n1,服從 F(n2,n1).(2) 由上側(cè)a分位數(shù)和定義知PX> F1 a (n 1,n2)=- a ,P1X < 1F (n 1,n2)=k,即 PY< 1F 1-a (n1,n2)=-1 a ,1PY>1F1- a (n1,

20、n2)=1 a 故PY>1F1- a (n 1,n2)= a,而 PY> Fa (n2, n1)= a.又Y為連續(xù)型隨機(jī)變量，故PY> 1F1- a (n 1,n2)=從而F a (n2,n 1)=1F1 a (n1,n2),即 F1- a (n1,n2)=1F a (n2,n 1).習(xí)題7查表求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)：u0.4,u0.2,u0.1與u0.05.解答：u0.4=0.253,u0.2=0.8416,u0.1=1.28,u0.05=1.65.習(xí)題8查表求分布的上側(cè)分位數(shù)：x 0.952(5)x 0.052(5)x0.992(10與 x 0.012(10).解答：

21、1.145,11.071,2.558,23.209.習(xí)題9查表求F分布的上側(cè)分位數(shù)：F0.95(4,6),F0.975(3,7與F0.99(5,5).解答：0.1623,0.0684,0.0912.習(xí)題10查表求 t 分布的下側(cè)分位數(shù)：t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)與 t0.005(10).解答：2.353,3.365,1.415,3.169.5.3抽樣分布習(xí)題1已知離散型均勻總體 X,其分布律為X246pi1/31/31/3取大小為n=54的樣本，求：(1) 樣本平均數(shù) X落于4.1到4.4之間的概率；(2) 樣本均值X超過4.5的概率.解答：卩=E(X)=13 X (

22、2+4+6)=4,(T 2=E(X2)E(X)2=13 (22+42+66)-42=83,所以卩 X_ =卩=4,X_ 2=(T 2n=8/354=481X =29.令Z=X" -42/9,則n充分大時，Z近似N(0,1).(1)P4.1<X <4.4=P4.1-42/9<Z<4.4-42/9"(1.8 (0.45)=0.964-0.6736=0.2905.(2)PX >4.5=PZ>4.5-42/9=1- PZ< 2.25"-(2.25)=10.9878=0.0122.習(xí)題2設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N(10,32),X1,

23、X2,?,X6是它的一組樣本，設(shè)X" =16 刀 i=16Xi.(1)寫出X所服從的分布；(2)求X>11的概率解答：(1) X N(10,326),即 X N(10,32).(2) PX >11=1- PX"< 11=(111032)1 (0,8165)-1(0.82)=0.2061.習(xí)題3設(shè)X1,X2,?,Xn是總體X的樣本，X" =1nEi=1nXi,分別按總體服從下列指定分布求E(X",D(X ".(1)X服從0-1分布b(1,p);(2)*X服從二項分布 b(m,p);(3) X服從泊松分布 P(入);(4)X服從均

24、勻分布 Ua,b;(5)X服從指數(shù)分布e(入).解答：(1) 由題意，X的分布律為：PX=k=Pk(1-P)1-k(k=0,1).E(X)=p,D(X)=p(1-p).所以E(X - )=E(1 n 刀 i=1nXi)=1n 刀 i=1 nE(Xi)=np=p,D(X" )=D(1 n 刀 i=1nXi)=1 n2 刀 i=1 nD(X1)=?ng(1-p)=1 np(1-p).(2) 由題意，X的分布律為：PX=k=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2, ?,m).同(1)可得E(X ")=mp,D(X ")=1 nmp(1-p).(3) 由題意，X的分布

25、律為：PX=k=入 kk!e 入(入 >0,k=0,1?2,E(X)=入，D(X)=入.同(1)可得E(X )=入，D(X )=1n 入.由 E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212,同(1)可得E(X")=a+b2,D(X )=(b-a)212n.(5)由 E(X)=1 入，D(X)=1 張2(1)可得D(X" )=1 入，D(X - )=1 n 入 2.習(xí)題4某廠生產(chǎn)的攪拌機(jī)平均壽命為5年，標(biāo)準(zhǔn)差為1年，假設(shè)這些攪拌機(jī)的壽命近似服從正態(tài)分布，求：(1) 容量為9的隨機(jī)樣本平均壽命落在4.4年和5.2年之間的概率；(2) 容量為9的隨機(jī)樣本平均壽命小于6年的概

26、率。解答：(1 )由題意知 X N(5,1 n),n=9,則標(biāo)準(zhǔn)化變量Z=X"-51/9=X -51/3N(0,1).而P4.4<X <5.2=P4.4-51/3<X -51/3<5.2-51/3=P- 1.8<Z<0.6"(0.6)-1.8)=0.7257-0.0359=0.6898(2) PX"<6=PX - -51/3<6-51/3=PZ<3"(3)=0.9987.習(xí)題5設(shè)X1,X2,?,X16及Y1,Y2,?,Y25分別是兩個獨(dú)立總體 N(0,16)和N(1,9)的樣本，以 X"和丫

27、分別表示兩個樣本均值，求P I X"-Y "I >1.解答：X"N(0,1616), Y"N(1,925), X"-Y "N(-1,1+925)，即X"-Y N(-1,3425) 標(biāo)準(zhǔn)化變量 X"-Y "，令Z=X"-Y "34/5N(0,1)，所以P I X"-Y "I >1=1-P I X"-Y "I < 1=1-P-1< X-Y"< 1 =1-P0< X-Y" +134/5 <

28、234/5"-(1.715)+ (0) =1-0.9569+0.5=0.5431.習(xí)題6假設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N(20,32),樣本X1,?,X25來自總體X,計算P刀 i=116X-刀 i=1725Xi < 182.解答：令丫1藝i=116Xi,Y2=刀i=1725Xi,由于X1,?,X25相互獨(dú)立同正態(tài)分布 N(20,32),因此有Y1 與 Y2 相互獨(dú)立，且 Y1 N(320,122), Y2 N(180,92),Y1-Y2 N(140,152),P刀 i=116X-E i=1725Xi < 182=P丫丫2W 182,=PY1-Y2- 14015W 2.8 &q

29、uot;(2.8)=0.997.習(xí)題7從一正態(tài)總體中抽取容量為n=16的樣本，假定樣本均值與總體均值之差的絕對值大于2的概率為0.01,試求總體的標(biāo)準(zhǔn)差.解答：設(shè)總體XN(卩,(T 2樣本均值為X ,則有X_-卩 /n=X (T T4N(0,1).因為P I X"-卩 I >2=P I X"-/4>8(T =2PZ>8(T =2-(8 c )=0.01,所以 (8 c )=0.995.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得8c =2.575從而c =82.5753.11.習(xí)題8設(shè)在總體N(卩,c中)抽取一容量為16的樣本，這里 卩,c均為未知.求PS2/ c 2< 2

30、.041其中S2為樣本方差；(2)求D(S2).解答：(1) 因為是正態(tài)總體，根據(jù)正態(tài)總體下的統(tǒng)計量分布可知(n-1)S2 c x 2(-1).這里n=16,于是PS2/ c 2< 2.041=P(15S2 c 2< 15X 2.041) =1-P15S2 c 2>30.615查分布表可得)=1-0.01=0.99.(2) 因為(n-1)S2 cx 2(d),又知D(n-1)S2 c 2)=2(-1),所以D(S2)= c 4-n)2D(n-1)S2 c 2)= c 41疋?2(n-1)=2n-1 c 4=215 c4(因為 n=16).習(xí)題9設(shè)總體XN(y ,16),X1,

31、X2?,X10為取自該總體的樣本，已知 PS2>a=0.1,求常數(shù)a.解答：因為(n-1)S2 c2 x 2(n1),n=10, c =4所以PS2>a=P9S216>916a=0.1.查自由度為9的分布表得，916a=14.684,所以a26.105.習(xí)題10設(shè)X1,X2,?,Xn和Y1,Y2,?,Yn分別取自正態(tài)總體XN(卩1, 丫N(卩2,(T 2)且相互獨(dú)立，問以下統(tǒng)計量服從什么分布？(1)(n-1)(S12+S22) (T 2;(2)n(X -Y >( 0 2)2S12+S22.解答：由(n-1)S12 c x 2(-1), (n-1)S22 c x 2(-1

32、),由 x 2(的可加性(n-1)(S12+S22)(x (2(-1).X -Y N(卩1卩2,2 c 2標(biāo)準(zhǔn)化后(X二丫 >(卩-1卩2) cN(0,1),故有(X -Y X 卩1卩 2)22 cx 2(1),又由(n-1)(S12+S22) cx 2(2-2),注意F分布定義(X -Y -)-(卩-1 2)21 n2 c 2/H()nS12+S22) c 2/2(n=n(X -Y (山 2)2S1習(xí)題11分別從方差為 20和35的正態(tài)總體中抽取容量為8和10的兩個樣本，求第一個樣本方差不小于第二個樣本方差的兩倍的概率解答：用S12和S22分別表示兩個樣本方差，由定理知F=S12/ c

33、 12S22/ c 22=S12/20S22/35=1.75S12F28-1,10-1)=F(7,9).又設(shè)事件 A=S12> 2S22,下面求 PS12> 2S22，因PS12> 2S22=PS12S22 > 2=PS12/20S22/35 > 2 X 3520=PF > 3.5.查F分布表得到自由度為n1=7,n2=9的F分布上a分布點(diǎn)Fa(n=7,n2=9)有如下數(shù)值：F0.05(7,9)=3.29,F0.025(7,9)=4.20,因而 F0.05(7,9)=3.29<3.5<F0.025(7,9)=4.20,即事件 A 的概率介于 0.

34、025 和 0.05 之間, 故0.025 < PS12> 2S22 < 0.05.總習(xí)題解答習(xí)題1設(shè)總體X服從泊松分布.一個容量為10的樣本值為1,2,4,3,3,4,5,6,4,8,計算樣本均值，樣 本方差和經(jīng)驗分布函數(shù).解答:樣本的頻率分布為 x "=4,s2=3.6.經(jīng)驗分布函數(shù)為F10(x)=0,x <11/10,1 < x<22/10,2 < x<34/10,3 < x<47/10,4 < x<58/10,5 < x<69/10,6 < x<71 ,x > 8.習(xí)題2A廠

35、生產(chǎn)的某產(chǎn)種電器的使用壽命服從指數(shù)分布，參數(shù)入未知為此，抽查了 n件電器，測量其使用壽命，試確定本問題的總體、樣本及樣本的分布解答：總體是這種電器的使用壽命，其概率密度為f(x)= dx,x>00,x w未知知)，樣本X1,X2,?,Xn是n件某種電器的使用壽命，抽到的n件電器的使用壽命是樣本的一組觀察值樣本X1,X2,?,Xn相互獨(dú)立，來自同一總體X,所以樣本的聯(lián)合密度為f(x1,x2, ?,xn)=入-me (x1+x2+xn),x1,x2,?,xn>00,其它.習(xí)題3設(shè)總體X在區(qū)間a,b上服從均勻分布，求：(1) 來自X的簡單隨機(jī)樣本 X1,X2, ?,Xn的密度f(x1,x

36、2, ?,xn);(2) Y=maxX1,X2, ?,Xn的密度 fY(x);Z=minX1,X2, ?,Xn的密度 fZ(x).解答：(1) X的密度為f(x)=1b-a,x (a,b)0,其它，由于X1,X2, ?,Xn獨(dú)立且與 X同分布，所以有 f(x1,x2, ?,xn)= n i=1 nf(xi)=1(b-a)n,a w x1 w ? wxn w b0,其它.(2) 由題設(shè)X在a,b上服從均勻分布，其分布函數(shù)為F(x)=0,x<ax-ab-a,x a,b1,x>b,由 Y=maxX1,X2, ?,Xn及 Z=minX1,X2, ?,Xn分布函數(shù)的定義FY(x)=F(x)n

37、, FZ(x)=1-1-F(x)n,于是有fY(x)=nFn-1(x)f(x)=n(x-a)n-1(b-a)n,x a,b,fZ(x)=n1-Fn-1(x)n-1?f(x)=n(b-x)n-1(b-a)n,x a,b.習(xí)題4在天平上重復(fù)稱一重量為a的物品，假設(shè)各次稱量的結(jié)果相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N(a,0.2).若以X表示n次稱量結(jié)果的算術(shù)平均值，求使P I X"-a I <0.1 >0.9成立的稱量次數(shù)n的最小值.解答：因為 X" =1nEi=1nX卜N(a,(0.2)2n),所以X"-a0.2/n N(0,1),故P I X"-a I

38、<0.1=P I X"-a0.2/inl <0.10.2/n=2 (n2戸 0.95,即 (n2)0.975,查正態(tài)分布表得 n21.96所以n15.37即n=16.習(xí)題5設(shè)總體XN(20,3),從X中抽取兩個樣本 X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,X15,求概率P I X"-Y "I >0.3.解答：因為X1,X2,?,X10和Y1,Y2,?,Y15獨(dú)立同分布，所以X"N(20,310), 丫一N(20,0.2),于是 X"-Y "N(0,0.5).P I X"-Y "I >0.3=

39、P I X"-Y "I /0.5>0.3/0.5=1-P I X"-Y " I /0.5 < 0.3/0.5=21-(0.3/0.5)=210.6628=0.6744查正態(tài)分布表).習(xí)題6設(shè)總體XN(卩,(T 2假如要以0.9606的概率保證偏差I(lǐng) X"- I <0.1,試問：當(dāng) c 2=0.25 時，樣本容量n應(yīng)取多大？解答：P I X"卩 I <0.1=0.9606,即P I X"卩 I <0.1=P I X"- 0.25/n <0.10.25/n=2 (0.1 n5)2仁0

40、.9606,?(0.1 n0.25)=0.980? n5=2.06? n 106.P I X"卩 I <0.1=0.9606,即P I X"- I <0.1=P I X"-卩 0.25/n <0.10.25/n.習(xí)題7設(shè)X1 和X2 分別為來自正態(tài)總體 N(卩,c的容量為n的兩個簡單隨機(jī)樣本X11,X12,?,X1 n和X21,X22,?,X2n的均值，試確定n,使兩個子樣的均值之差超過c的概率小于0.05.解答：Xi N(卩,c 2n)(i=1,2),X1 和 X2相互獨(dú)立，故有X1 "-X2 N(0,2 c 2n),從而 X1&qu

41、ot;-X2"c /2N(0,1),P( I X1 "-X2 " I >c )=P X1 "-X2 " I c 2/n>n 2=2 t()=21-(n2)<0.05,故 (n2)>0.975查正態(tài)分布表n21.96所以n>7.68,即取n=8.習(xí)題8 設(shè)總體Xf(x)= I x I , I x I <10,其它，X1,X2,?,X50為取自X的一個樣本，試求：(1)X 的數(shù)學(xué)期望與方差；S2的數(shù)學(xué)期望；(3) P I X" I >0.02.解答：卩=E(X)=-1/1x I x I dx=0,

42、(T 2=D(X)=E(X2E(X)2=E(X2)= -1/1x2 I x I dx=12.(1) X" =1 nE i=1nXi( n=50)? E(X" )=E(1 n Ei=1nXi)=1n Ei=1 nE(Xi)=0,D(X " )= c 2n=12n=1100;(2) E(S2)=1 n-1E i=1 n(X-X ")2=1 n-1E E i=1 n(X-X "2=1 n-1E(E i=1nXi2nX ")=1 n-1( E i=1 nD(X1)nD(X ")=1n-1(n?12-n?12 n)=12; P I X

43、" I >0.02=1-P I X" I < 0.02=1-P I X"-卩 D(X ") < 0.02 卩 D(X")=1-P> X1/10 I < 0.2=2-(0.2)=0.8414.習(xí)題9從一正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本，設(shè)樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上的概率為0.02,求總體的標(biāo)準(zhǔn)差.解答：由于X N(卩,c 2r故有0.02=P I X"卩 I >4=P I X"- yc /n>4 c /n2(1 (4 c /n) 噸(12.65 c ),(12.65 c )=

44、0.99,即有 12.65 c =u0.01=2.33|得 c 5.43.習(xí)題10設(shè)X1,?,Xn是取自總體 X的樣本，X",S2分別為樣本均值與樣本方差，假定卩=E(X), c 2=D(X存在，試求 E(X"),D(X ",E(S2).解答：E(X" )=1n E i=1nE(Xi)=1n E i=1nE(X)= y,D(X" )=1 n2 E i=1 nD(Xi)=1 n2 E i=1 nD(X)= c 2n,E(S2)=E(1 n-1( E i=1nXi2nX "2)=1 n-1( E i=1nE(Xi2)nE(X "

45、)=1n-1( E i=1nE(X2-nE(X ")=1n-1( E i=1 n( y 2+-n(2y 2+( c 2n)= c 2.注：本題證明了對于任何存在均值y與方差c2的總體分布，均有E(X " )= y ,E(S2)= c 2.習(xí)題11設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N(卩,(T 2)>0)t,從總體中抽取簡單隨機(jī)樣本X1,?,X2n(n > 2)其樣本均值為X_ =12nEi=12nXi,求統(tǒng)計量 Y=Ei=1 n(Xi+Xn+i -2X _)2的數(shù)學(xué)期望.解答：注意到Xi+Xn+i相互獨(dú)立，同分布 N(2卩,2 c 2則它們可認(rèn)為是取自同一正態(tài)總體 N(2卩

46、,2 C的樣本，其樣本均值為1nX i=1 n(Xi+Xn+i)=1 n刀 i=12nXi=2X ".如果記 Zi=Xi+Xn+i,i=1, ?,n,即 Zi(i=1,?,n)是取自 N(2 卩,2 c的)羊本，且Yn-仁 1 n-1 刀 i=1 n(Xi+Xn+i-2X )2=S2(Z),則有 E(S2(Z)=1 n-1E(Y)=2 c 2所以 E(Y)=2(n-1) c 2.習(xí)題12設(shè)有k個正態(tài)總體XiN(卩i, c從第i個總體中抽取容量為ni的樣本Xi1,Xi2, ?,Xini,且各組樣本間相互獨(dú)立，記Xi - =1 nEj=1 niXij(i=1,2?,k),n=n 1+ n

47、2+?+ nk,求 W=c 2Ei=1k Ej=1 ni(Xi-Xi )2 的分布.解答：因為 Ej=1 ni(Xij-Xi - )2 c 2=(n)Si2 cx 2(ni1), 且(ni-1)Si2 c 2(i=1,2,k)相互獨(dú)立，故W=c 2E i=1k E j=1 ni(X-jXi - )2= E i=1k(-1i)Si2(x 2( E i=1k-n),而E i=1k(n-1)= E i=1kn-k=n-k,故W=c 2E i=1k Ej=1 ni(Xji )2x 2他).習(xí)題13已知Xt(n),求證X2F(1,n).解答：設(shè)X=U/Yn,其中UN(0,1),Yx 2(n)且U與Y相互

48、獨(dú)立，于是，U2x 2(1),且U2與Y也相互獨(dú)立，所以X2=U2/(Y n).根據(jù)F變量的構(gòu)成模式知，X2應(yīng)服從F(1,n)分布.習(xí)題14設(shè)X1,X2,?,X9是取自正態(tài)總體 XN(卩,c的樣本，且丫仁 16(X1+X2+ ?+X6), Y2=13(X7+X8+X9), S2=12刀 i=79(X-Y2)2,求證 Z=2(Y1-Y2)S t(2).解答：易知Y1= 16(X1+X2+ ?+X6)N(卩,(T 26),Y2=13(X7+X8+ ?+X9)N(卩,c 23),且 Y1 與 Y2 獨(dú)立，故 Y1-Y2 N(0, c 22)又2S2 c 2=E i=79(XY2)2/ cx 2(2)

49、Y1-Y2 與 2S2c2獨(dú)立，從而(Y1-Y2)/ c 22S2c 2/2=2(YY2)S=Z t(2).習(xí)題15設(shè)X1,?,Xn,Xn+1是取自正態(tài)總體 XNg , c的樣本，Xn =1nX i=1nXiSn=1 n-lE i=1 n(X-Xn J2,試確定統(tǒng)計量 nn+1?Xn+1-Xn_ Sn的分布解答：將統(tǒng)計量改寫成下列形式：nn+1?Xn+1-Xn 一Sn=(Xn+1-Xn_ )/1+1 n c1nSn2 c 2/-n)(*)由于Xn+1與Xi(i=1,?,n)相互獨(dú)立，Xn =1nEi=1 nXN(卩,c 2rXn+1 N(卩,c 2),所以 Xn+1-Xn N(0,(1+1 n

50、) c 2從而(Xn+1-Xn”(1+1n c)0,1),注意到Xn與Sn2相互獨(dú)立，Xn+1也與Sn2相互獨(dú)立，且(n-1)Sn2 cx 2(-1),故由(*)式即得nn+1?Xn+1-Xn 一Snt(n-1).習(xí)題16假設(shè)X1,X2,?,X9是來自總體 XN(0,22)的簡單隨機(jī)樣本，求系數(shù) a,b,c,使Q=a(X1+X2)2+b(X3+X4+X5)2+c(X6+X7+X8+X9)2服從分布，并求其自由度解答：由于X1,X2,?,X9相互獨(dú)立且取自總體 XN(0,22),由正態(tài)分布的線性運(yùn)算性質(zhì)有X1+X2 N(0,8), X3+X4+X5 N(0,12), X6+X7+X8+X9 N(0,16),于是，由 x