正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果分析

1、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 對于單因素或兩因素試驗(yàn)， 因其因素少 ，試驗(yàn)的設(shè)計(jì) 、實(shí)施與分析 都比較簡單 。但在實(shí)際工作中 ，常常需要同時(shí)考察 3 個或 3 個以 上的試驗(yàn)因素 ，若進(jìn)行全面試驗(yàn) ，則試驗(yàn)的規(guī)模將很大 ，往往因 試驗(yàn)條件的限制而難于實(shí)施 。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)就是安排多因素試驗(yàn) 、 尋求最優(yōu)水平組合 的一種高效率試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的概念及原理1.1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本概念正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是利用正交表來安排與分析多因素試驗(yàn)的一種 設(shè)計(jì)方法。 它是由試驗(yàn)因素的全部水平組合中， 挑選部分有代表性的 水平組合進(jìn)行試驗(yàn)的， 通過對這部分試驗(yàn)結(jié)果的分析了解全面試驗(yàn)的 情況，找出最優(yōu)的水平組合。例如：設(shè)計(jì)

2、一個三因素、 3 水平的試驗(yàn)A 因素，設(shè)A、A?、A33個水平；B因素，設(shè)B、B2、B33個水平；C因素，設(shè)G、G、G 3個水平，各因素的水平之間全部可能組合有 27 種 。全面試驗(yàn)：可以分析各因素的效應(yīng) ，交互作用， 也可選出最優(yōu)水 平組合。但全面試驗(yàn)包含的水平組合數(shù)較多 （圖示的 27 個節(jié)點(diǎn)），工 作量大 ，在有些情況下無法完成 。若試驗(yàn)的主要目的是尋求最優(yōu)水平組合，則可利用正交表來設(shè)計(jì) 安排試驗(yàn)。全面試驗(yàn)法示意圖三因素、三水平全面試驗(yàn)方案qA已G畑GsfI E砂心4GA?C.ACr 畑G衛(wèi)具e8G正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本特點(diǎn)是：用部分試驗(yàn)來代替全面試驗(yàn)，通過對部 分試驗(yàn)結(jié)果的分析，了解全面試

3、驗(yàn)的情況。正因?yàn)檎辉囼?yàn)是用部分試驗(yàn)來代替全面試驗(yàn)的，它不可能像全 面試驗(yàn)?zāi)菢訉Ω饕蛩匦?yīng)、交互作用一一分析；當(dāng)交互作用存在時(shí)， 有可能出現(xiàn)交互作用的混雜。雖然正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)有上述不足，但它能 通過部分試驗(yàn)找到最優(yōu)水平組合 ，因而很受實(shí)際工作者青睞。如對于上述3因素3水平試驗(yàn)，若不考慮交互作用，可利用正交 表L9（34）安排，試驗(yàn)方案僅包含9個水平組合，就能反映試驗(yàn)方案包含27個水平組合的全面試驗(yàn)的情況，找出最佳的生產(chǎn)條件1.2 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原理正交設(shè)計(jì)就是從選優(yōu)區(qū)全面試驗(yàn)點(diǎn)（水平組合）中挑選出有代表 性的部分試驗(yàn)點(diǎn)（水平組合）來進(jìn)行試驗(yàn)。上圖中標(biāo)有試驗(yàn)號的九個“ （） ”就是利用正交表L

4、9（34）從27個試驗(yàn)點(diǎn)中挑選出來的9個試 驗(yàn)點(diǎn)。即：(1)AiBG(2)A2BG(3)A3BGA iBC2(5)A2B2C3(6)A3E2C1A iBG(8)A2B3C1(9)A3B3C2以上選擇，保證了 A因素的每個水平與B因素、C因素的各個水 平在試驗(yàn)中各搭配一次。對于A B、C 3個因素來說， 是在27個 全面試驗(yàn)點(diǎn)中選擇9個試驗(yàn)點(diǎn)，僅是全面試驗(yàn)的三分之一。從上圖中可以看到，9個試驗(yàn)點(diǎn)在選優(yōu)區(qū)中分布是均衡的，在 立方體的每個平面上，都恰是3個試驗(yàn)點(diǎn)；在立方體的每條線上也恰 有一個試驗(yàn)點(diǎn)。9 個試驗(yàn)點(diǎn)均衡地分布于整個立方體內(nèi)，有很強(qiáng)的代表性，能夠比較全面地反映選優(yōu)區(qū)內(nèi)的基本情況1.3 正

5、交表及其基本性質(zhì)1.3.1 正交表由于正交設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)和分析試驗(yàn)結(jié)果都要用正交表，因此， 我們先對正交表作一介紹。下表是一張正交表，記號為L8（27），其中“ L”代表正交表；L 右下角的數(shù)字“ 8”表示有8行，用這張正交表安排試驗(yàn)包含8個處 理（水平組合）;括號內(nèi)的底數(shù)“ 2”表示因素的水平數(shù)，括號內(nèi) 2 的指數(shù)“ 7”表示有7列，用這張正交表最多可以安排7個2水平因 素。L8（27）正交表試驗(yàn)號列a123456711111111211L222231221122412222L1521212126212212172211221822L21L2常用的正交表已由數(shù)學(xué)工作者制定出來，供進(jìn)行正交設(shè)計(jì)時(shí)

6、選用2水平正交表除L8（27）外，還有L4（23）、Li6（215）等;3水平正交表有L9（34）、L27（213）,等。1.3.2 正交表的基本性質(zhì)1.3.2.1 正交性(1)任一列中，各水平都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)相等例：L8(27)中不同數(shù)字只有1和2,它們各出現(xiàn)4次；L9(34) 中不同數(shù)字有 1、2和 3，它們各出現(xiàn) 3次。(2)任兩列之間各種不同水平的所有可能組合都出現(xiàn),且對出現(xiàn)的次數(shù)相等例：Lb(27)中(1, 1), (1,2), (2, 1), (2, 2)各出現(xiàn)兩次； L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3),(2, 1), (2, 2),(2, 3),

7、(3, 1), (3, 2), (3, 3)各出現(xiàn) 1 次。即每個因素的一個水平與另一因素的各個水平所有可能組合次數(shù)相等, 表明任意兩列各 個數(shù)字之間的搭配是均勻的。1.3.2.2 代表性一方面：( 1 )任一列的各水平都出現(xiàn), 使得部分試驗(yàn)中包括了所有因素的 所有水平；(2)任兩列的所有水平組合都出現(xiàn),使任意兩因素間的試驗(yàn)組合為全面試驗(yàn)。另一方面：由于正交表的正交性, 正交試驗(yàn)的試驗(yàn)點(diǎn)必然均衡地分布在全 面試驗(yàn)點(diǎn)中, 具有很強(qiáng)的代表性。 因此,部分試驗(yàn)尋找的最優(yōu)條件與 全面試驗(yàn)所找的最優(yōu)條件,應(yīng)有一致的趨勢。1.3.2.3 綜合可比性(1) 任一列的各水平出現(xiàn)的次數(shù)相等；(2) 任兩列間所有

8、水平組合出現(xiàn)次數(shù)相等，使得任一因素各水 平的試驗(yàn)條件相同。這就保證了在每列因素各水平的效果中， 最大限 度地排除了其他因素的干擾。從而可以綜合比較該因素不同水平對試 驗(yàn)指標(biāo)的影響情況。根據(jù)以上特性，我們用正交表安排的試驗(yàn)，具有均衡分散和 整齊可比的特點(diǎn)。所謂均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素水平組合在 全部水平組合中的分布是均勻的 。整齊可比是指每一個因素的各水平間具有可比性。因?yàn)檎槐碇?每一因素的任一水平下都均衡地包含著另外因素的各個水平，當(dāng)比較某因素不同水平時(shí)，其它 因素的效應(yīng)都彼此抵消。如在 A B、C 3 個因素中，A因素的3個水平A1、A2、A3條件下各有B、C的3 個不同水平

9、，即：B1C1BiC2B1C3Ai環(huán)2A2B2C3A3B2C1BqCq氏0在這9個水平組合中，A因素各水平下包括了 BC因素的3個水 平，雖然搭配方式不同，但 B、C皆處于同等地位，當(dāng)比較 A因素不 同水平時(shí)，B因素不同水平的效應(yīng)相互抵消，C因素不同水平的效應(yīng) 也相互抵消。所以A因素3個水平間具有綜合可比性。同樣，B、C 因素3個水平間亦具有綜合可比性。正交表的三個基本性質(zhì)中，正交性是核心，是基礎(chǔ)，代表性和綜合可比性是正交性的必然結(jié)果。1.4 正交表的類別1 、等水平正交表 各列水平數(shù)相同的正交表稱為等水平正交 表。如L4（2 3）、L8（27）、Li2（2 11）等各列中的水平為2,稱為2水

10、平正交 表；Lg（3 4）、L27（31'）等各列水平為3，稱為3水平正交表。2 、混合水平正交表各列水平數(shù)不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。如Ls（4 X 24）表中有一列的水平數(shù)為4,有4列水平數(shù)為2。也就是說該表可以安排一個4水平因素和4個2水平因素。再 如Li6（44 X 23） , Li6（4 X 212）等都混合水平正交表。2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本程序?qū)τ诙嘁蛩卦囼?yàn)，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是簡單常用的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，其設(shè)計(jì)基本程序如圖所示。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本程序包括試驗(yàn)方案 設(shè)計(jì)及試驗(yàn)結(jié)果分析兩部分。2.1 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定試驗(yàn)指標(biāo) 試驗(yàn)設(shè)計(jì)前必須明確試驗(yàn)?zāi)康模?/p>

11、即本次試驗(yàn)要解決什么問題。試驗(yàn)?zāi)康拇_定后，對試驗(yàn)結(jié)果如何衡量,列試驗(yàn)方案即需要確定出試驗(yàn)指標(biāo)。試驗(yàn)指標(biāo)可為定量指 標(biāo)，也可為定性指標(biāo)。試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)流程般為了便于試驗(yàn)結(jié)果的分析，定性指標(biāo)可按相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)打分或模糊數(shù)學(xué)處理進(jìn)行數(shù)量化，將定性指標(biāo)定量化(2)選因素、定水平，列因素水平表根據(jù)專業(yè)知識、以往的研究結(jié)論和經(jīng)驗(yàn)，從影響試驗(yàn)指標(biāo)的諸多 因素中，通過因果分析篩選出需要考察的試驗(yàn)因素。 一般確定試驗(yàn)因 素時(shí)，應(yīng)以對試驗(yàn)指標(biāo)影響大的因素、 尚未考察過的因素、尚未完全 掌握其規(guī)律的因素為先。試驗(yàn)因素選定后，根據(jù)所掌握的信息資料和 相關(guān)知識，確定每個因素的水平，一般以2-4個水平為宜。對主要考 察的試驗(yàn)因

12、素，可以多取水平，但不宜過多(W 6),否則試驗(yàn)次數(shù)驟 增。因素的水平間距，應(yīng)根據(jù)專業(yè)知識和已有的資料，盡可能把水平 值取在理想?yún)^(qū)域。四因素、三水平的試驗(yàn)因素水平表水平試驗(yàn)因素ABCD123(3)選擇合適的正交表正交表的選擇是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的首要問題。確定了因素及其水平 后，根據(jù)因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇合適的正交 表。正交表的選擇原則是在能夠安排下試驗(yàn)因素和交互作用的前提下,盡可能選用較小的正交表，以減少試驗(yàn)次數(shù)般情況下，試驗(yàn)因素的水平數(shù)應(yīng)等于正交表中的水平數(shù)； 因素個數(shù)（包括交互作用）應(yīng)不大于正交表的列數(shù); 數(shù)）=E （每列水平數(shù)一 1）+1等水平正交表 L a （/）例：選

13、擇一 4個3水平因素試驗(yàn)的正交表可以選用L9（34）或L27（313）（A）不考察因素間的交互作用，宜選用L9 （ 34）課堂練習(xí)：選擇一 5個3水平因子及一個2水平因子試驗(yàn)的正交表5L12(2 X 3 )(4)表頭設(shè)計(jì)表頭設(shè)計(jì)，就是把試驗(yàn)因素和要考察的交互作用分別安排到 正交表的各列中去的過程。在不考察交互作用時(shí)，各因素可隨機(jī)安排在各列上；若考 察交互作用，就應(yīng)按所選正交表的交互作用列表安排各因素與交互作 用，以防止設(shè)計(jì)“混雜”。例：不考察交互作用，可將因素(A)、(B)和(C)、( D)依次安 排在L9(34)的第1、2、3、4列上，見下表所示。表頭設(shè)計(jì)列號1234因素ABCD(5)編制試

14、驗(yàn)方案，按方案進(jìn)行試驗(yàn)，記錄試驗(yàn)結(jié)果。把正交表中安排各因素的列(不包含欲考察的交互作用列)中的 每個水平數(shù)字換成該因素的實(shí)際水平值，便形成了下表中的正交試驗(yàn) 方案。下表說明：試驗(yàn)號并非試驗(yàn)順序，為了排除誤差干擾，試驗(yàn)中可隨機(jī)進(jìn)行；安排試驗(yàn)方案時(shí)，部分因素的水平可采用隨機(jī)安排試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果表試驗(yàn)號因素試驗(yàn)結(jié)果ABCD111112122231333421235223162312731328321393321作業(yè)1、正交表有哪些類型？它們的核心性質(zhì)是什么？2、寫出正交表的表達(dá)式，并簡述正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本程序3、不考慮交互作用，設(shè)計(jì)一個 4 水平的 3 因素正交試驗(yàn)方案 極差分析方差分析2.2 試

15、驗(yàn)結(jié)果分析 分清各因素及其交互作用的主次順序，分清哪個是主要因素， 哪個是次要因素； 判斷因素對試驗(yàn)指標(biāo)影響的顯著程度； 找出試驗(yàn)因素的優(yōu)水平和試驗(yàn)范圍內(nèi)的最優(yōu)組合，即試驗(yàn)因素 各取什么水平時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)最好； 分析因素與試驗(yàn)指標(biāo)之間的關(guān)系，即當(dāng)因素變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo) 是如何變化的。找出指標(biāo)隨因素變化的規(guī)律和趨勢，為進(jìn)一步 試驗(yàn)指明方向；了解各因素之間的交互作用情況； 估計(jì)試驗(yàn)誤差的大小。3 正交試驗(yàn)的結(jié)果分析3.1 直觀分析法極差分析法 計(jì)算簡便，直觀，簡單易懂，是正交試驗(yàn)結(jié)果分析最常用方法。以下說明極差分析過程1 計(jì)算Kjnv kjm|Rj極差分析法一R法?-O因素主次2 判斷優(yōu)水平4優(yōu)組合R

16、j為第j列因素的極差，反映了第j列因素水平波動時(shí)，試驗(yàn)指 標(biāo)的變動幅度。R越大，說明該因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響越大。根據(jù) R大小，可以判斷因素的主次順序。Km為第j列因素m水平所對應(yīng)的試驗(yàn)指標(biāo)和，kjm為Kjm平均值。 由kjm大小可以判斷第j列因素優(yōu)水平和優(yōu)組合。3.1.1不考察交互作用的試驗(yàn)結(jié)果分析（1）確定試驗(yàn)因素的優(yōu)水平和最優(yōu)水平組合分析A因素各水平對試驗(yàn)指標(biāo)的影響。根據(jù)正交設(shè)計(jì)的特性，對 A1、A2、A3來說，三組試驗(yàn)的試驗(yàn) 條件是完全一樣的（綜合可比性），可進(jìn)行直接比較。如果因素 A對 試驗(yàn)指標(biāo)無影響時(shí)，那么 km kA2、kA3應(yīng)該相等，不相等時(shí)說明，A 因素的水平變動對試驗(yàn)結(jié)果有影

17、響。根據(jù)kAi、kA2、kA3的大小可以判斷A1、A2、A3對試驗(yàn)指標(biāo)的影響 大小。kA值愈接近要求值的水平是 A因素的優(yōu)水平。同理，可以計(jì)算并確定B、C D因素的優(yōu)水平。四個因素的優(yōu)水平組合為試驗(yàn)的最優(yōu)水平組合例1:分析下表中溫度、時(shí)間、加堿量對轉(zhuǎn)化率影響試驗(yàn)中各 條件的最優(yōu)值和最佳的工藝條件。轉(zhuǎn)化率試驗(yàn)數(shù)據(jù)表因試驗(yàn)號溟度時(shí)間加試峻結(jié)果水平1134轉(zhuǎn)化率（溝1i（8cr）叩0分）g13121(301?)2（1汨分）2（巧）2543i（sor）3（1引分）3(7)33341理分2(6%)35352簞匸）3（皿分）3(7耐14?62C85T?)3( 16024273(901?)1(90 分)3(

18、7%)25783(9 0*C)20分）36293（乃0分）2(啊1(54（2）確定因素的主次順序根據(jù)極差R的大小，可以判斷各因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響主次。比 較各R值大小，R值愈大的表示因素對指標(biāo)的影響大，因素越重要， R值愈小因素的影響較小。（3）繪制因素與指標(biāo)趨勢圖以各因素水平為橫坐標(biāo)，試驗(yàn)指標(biāo)的平均值（6）為縱坐標(biāo)，繪制因素與指標(biāo)趨勢圖。由因素與指標(biāo)趨勢圖可以更直觀地看出試驗(yàn)指 標(biāo)隨著因素水平的變化而變化的趨勢，可為進(jìn)一步試驗(yàn)指明方向。以上即為正交試驗(yàn)極差分析的基本程序與方法極差R:表示該因素在其取值范圍內(nèi)試驗(yàn)指標(biāo)變化的幅度。R = max(Ki)- min ( Ki)例2:根據(jù)轉(zhuǎn)化率試驗(yàn)結(jié)

19、果計(jì)算極差 R,并分析影響轉(zhuǎn)化率因素的主次順序加堿量解例：計(jì)算的k值和R值如下表:4148S1R20溫度時(shí)間溫度對轉(zhuǎn)化率影響結(jié)果以上計(jì)算后分析得到下面的試驗(yàn)結(jié)論 各條件的最優(yōu)值：溫度 3（ 90C）, 時(shí)間2（ 120分鐘）,加堿量2（6%。 最佳工藝條件是以上三個最優(yōu)水平 的組合。對轉(zhuǎn)化率影響最大的因素是溫度，其 次是加堿量，時(shí)間的影響最小。附1多指標(biāo)正交試驗(yàn)極差分析對于多指標(biāo)試驗(yàn)，方案設(shè)計(jì)和實(shí)施與單指標(biāo)試驗(yàn)相同，不同在于 每做一次試驗(yàn)，都需要對考察指標(biāo)一一測試，分別記錄。試驗(yàn)結(jié)果分 析時(shí)，也要對考察指標(biāo)一一分析，然后綜合評衡，確定出優(yōu)條件。（1）試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)指標(biāo)X、Y、Z挑因素，選

20、水平，列因素水平表（見下表）選正交表、設(shè)計(jì)表頭、編制試驗(yàn)方案。下表為四因素三水平試驗(yàn)，不考慮交互作用，選L9（ 34）安排試驗(yàn)試驗(yàn)號因素試驗(yàn)結(jié)果ABCDXYZ111112122231333421235223162312731328321393321試驗(yàn)號試驗(yàn)因素ABCDxyz11(28)1(0.05)3(80)2(155)24.82.13.5212(0.075)1(70)1(150)22.53.83.7313(0.10)2(75)3(160)23.62.03.042(32)12123.82.83.05223322.41.72.26231219.32.72.873(36)11318.42.53.

21、08322219.02.02.79333120.72.33.6K170.967.060.267.0K265.563.966.463.1K358.163.667.964.4xk123.622.320.122.3k221.821.322.121.0k319.421.222.621.5極差R4.31.12.61.3K17.97.49.08.9K27.27.56.86.8K36.87.06.16.2yk12.62.53.03.0k22.42.52.32.3k32.32.32.02.1極差R0.40.21.00.9K110.29.59.510.3K28.08.68.79.0K39.39.49.38.2z

22、k13.43.23.23.4k22.72.92.93.0k33.13.13.12.7極差R0.70.30.30.7(2) 試驗(yàn)結(jié)果分析計(jì)算各因素各水平下每種試驗(yàn)指標(biāo)的數(shù)據(jù)和以及平均值，并計(jì)算極差R。根據(jù)極差大小列出各指標(biāo)下的因素主次順序。試驗(yàn)指標(biāo)：主次順序優(yōu)化水平組合XACDBA3B3G DYCDABA1B2G DZADBCA2B2CD初選優(yōu)化工藝條件：根據(jù)各指標(biāo)不同水平平均值確定各因素 的優(yōu)化水平組合。綜合平衡確定最優(yōu)工藝條件。以上三指標(biāo)單獨(dú)分析出的優(yōu)化條件 不一致，必須根據(jù)因素的影響主次，綜合考慮，確定最佳工藝條件。例：如下表數(shù)據(jù)， 對于因素A,其對X影響大小排第一位，此時(shí) 取A;其對Z影

23、響也排第一位，取 A;而其對Y影響排次要第三位， 為次要因素，因此A可取A或A,但取A時(shí)，Z比取A減小了 14.8%， 而X增加了 12%且由Y指標(biāo)看，取A比A的丫值高，故A因素取 A。同理可分析B取B2，C取G, D取D3。優(yōu)組合為A2B2GD.KK2K3X23.621.819.4Y2.62.42.3Z3.42.73.1附2混合型正交表試驗(yàn)設(shè)計(jì)與極差分析試驗(yàn)設(shè)計(jì)與結(jié)果分析同前，不同的是將極差 R進(jìn)行調(diào)整，用調(diào)整后的R進(jìn)行比較。水平魏2345678折算系S數(shù)(0.71 (0.52 0.45).40.37 0.35 0.343.1.2考察交互作用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)(1) 交互作用在多因素試驗(yàn)中，不僅因素

24、對指標(biāo)有影響，而且因素之間的聯(lián)合搭配也對指標(biāo)產(chǎn)生影響。因素間的聯(lián)合搭配對試驗(yàn)指標(biāo)產(chǎn)生的影響作 用稱為交互作用。因素之間的交互作用總是存在的， 這是客觀存在的 普遍現(xiàn)象，只不過交互作用的程度不同而異。 一般地，當(dāng)交互作用很 小時(shí)，就認(rèn)為因素間不存在交互作用。 對于交互作用，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)引起 高度重視。在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，表示A、B間的交互作用記作AX B,稱為1級 交互作用；表示因素 A B、C之間的交互作用記作 AX BX C,稱為2 級交互作用；依此類推，還有 3級、4級交互作用等。(2) 交互作用的處理原則試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，交互作用一律當(dāng)作因素看待，這是處理交互作用問題的總原則。作為因素，各級交互作用都可

25、以安排在能考察交互作用 的正交表的相應(yīng)列上，它們對試驗(yàn)指標(biāo)的影響情況都可以分析清楚， 而且計(jì)算非常簡單。但交互作用又與因素不同，表現(xiàn)在： 用于考察交互作用的列不影響試驗(yàn)方案及其實(shí)施； 一個交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有( m-1) 列。表頭設(shè)計(jì)時(shí)，交互作用所占列數(shù)與因素的水平 m有關(guān)，與交互作 用級數(shù) p 有關(guān)。2水平因素的各級交互作用均占 1 列；對于 3水平因素，一級交 互作用占兩列，二級交互作用占四列，”，可見， m和p越大，交 互作用所占列數(shù)越多。例：對一個 25因素試驗(yàn)，表頭設(shè)計(jì)時(shí)，如果考慮所有各級交互作 用，那么連同因素本身，總計(jì)應(yīng)占列數(shù)為：C 5 + c 5 +c/

26、+C54 +C55 = 5+10+10+5+1= 31,那么此試驗(yàn)必選L32 (25)正交表進(jìn)行設(shè)計(jì)。一般對于多因素試 驗(yàn)，在滿足試驗(yàn)要求的條件下， 要有選擇地、 合理地考察某些交互作 用。綜合考慮試驗(yàn)?zāi)康?、專業(yè)知識、以往的經(jīng)驗(yàn)及現(xiàn)有試驗(yàn)條件等多 方面情況進(jìn)行交互作用選擇。一般原則是： 忽略高級交互作用 有選擇地考察一級交互作用。 通常只考察那些作用效果較明顯 的，或試驗(yàn)要求必須考察的。 試驗(yàn)允許的條件下，試驗(yàn)因素盡量取 2水平。(3) 有交互作用的試驗(yàn)表頭設(shè)計(jì)表頭設(shè)計(jì)時(shí)，各因素及其交互作用不能任意安排，必須嚴(yán)格按交 互作用列表進(jìn)行安排。這是有交互作用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的一個重要特點(diǎn), 也是關(guān)鍵的一

27、步。在表頭設(shè)計(jì)中，為了避免混雜，那些主要因素，重點(diǎn)要考察的因素，涉及交互作用較多的因素，應(yīng)該優(yōu)先安排，次要因素，不涉及交 互作用的因素后安排。所謂混雜，就是指在正交表的同列中，安排了兩個或兩個以上的 因素或交互作用，這樣，就無法區(qū)分同一列中這些不同因素或交互作 用對試驗(yàn)指標(biāo)的影響效果。(4) 有交互作用的正交設(shè)計(jì)在實(shí)際研究中，有時(shí)試驗(yàn)因素之間存在交互作用。對于既考察因 素主效應(yīng)又考察因素間交互作用的正交設(shè)計(jì)， 除表頭設(shè)計(jì)和結(jié)果分析 與前面介紹略有不同外，其它基本相同。1、右表是一正交試驗(yàn)方案和結(jié)果表，請用極差分析法對試驗(yàn)結(jié)果 進(jìn)行分析，確定各因素對指標(biāo)丫的影響大小和優(yōu)水平，明確最優(yōu)的工K141

28、8914902921925藝組合。K2445915927908904能將試驗(yàn)中由于試驗(yàn)條件改變引起的數(shù)據(jù)波動同試驗(yàn)誤差引起的數(shù) 據(jù)波動區(qū)分開來，也就是說，不能區(qū)分因素各水平間對應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果 的差異究竟是由于因素水平不同引起的，還是由于試驗(yàn)誤差引起的， 無法估計(jì)試驗(yàn)誤差的大小。此外，各因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響大小無法 給以精確的數(shù)量估計(jì)，不能提出一個標(biāo)準(zhǔn)來判斷所考察因素作用是否 顯著。為了彌補(bǔ)極差分析的缺陷，可采用方差分析。321 正交試驗(yàn)結(jié)果的方差分析方差分析基本思想是將數(shù)據(jù)的總變異分解成因素引起的變異和誤 差引起的變異兩部分，構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，作F檢驗(yàn)，即可判斷因素作用 是否顯著。（1）偏差平方和分

29、解：總偏差平方和=各列因素偏差平方和 +誤差偏差平方和sg = sg因素SS空列（誤差）（2）自由度分解：dfT = df因素df空列（誤差）(3)方差匸MB因素因累(4)構(gòu)造魔計(jì)量二F因素AfS磐(5)列方差分析表，作礪驗(yàn)若計(jì)算出的F值Fo>Fa，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該因素或交互作用對 試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若 Fo?Fa，則認(rèn)為該因素或交互作用對試驗(yàn)結(jié) 果無顯著影響。(6)正交試驗(yàn)方差分析說明由于進(jìn)行F檢驗(yàn)時(shí)，要用誤差偏差平方和 SS及其自由度dfe,因 此，為進(jìn)行方差分析，所選正交表應(yīng)留出一定空列。當(dāng)無空列時(shí)，應(yīng) 進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，以估計(jì)試驗(yàn)誤差。誤差自由度一般不應(yīng)小于2，dfe很小，F(xiàn)檢

30、驗(yàn)靈敏度很低，有 時(shí)即使因素對試驗(yàn)指標(biāo)有影響，用 F檢驗(yàn)也判斷不出來。為了增大dfe，提高F檢驗(yàn)的靈敏度，在進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)之前， 先將各因素和交互作用的方差與誤差方差比較， 若MS( MS交)V2MS, 可將這些因素或交互作用的偏差平方和、自由度并入誤差的偏差平方和、自由度，這樣使誤差的偏差平方和和自由度增大， 提高了 F檢驗(yàn) 的靈敏度。L(34)正交表處理號第1列第3列第4列試驗(yàn)結(jié)果yi(A)第2列11111y121222y231333y342123y452231y562312y673132y783213y893321y9因素重復(fù)1重復(fù)2重復(fù)3Aiyly2y3A2y4y5y6A3y7y8y9

31、SS= - (y1 y2 y3)2 - (y4 y5 y6)23 (y7y8y9)2和yl+y2+y3 Ky4+y5+y6 K2y7+y8+y9 K32(y1 y2 y9)1 2 3（修正項(xiàng)）分析第1列因素時(shí)，其它列暫不考慮，將其看做條件因素9單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料格式 j（卅）正交表及計(jì)算表格表頭設(shè)計(jì)AB試驗(yàn)''數(shù)據(jù)列號12,kXi2試驗(yàn)號,Xi1 1X12,X22 1X22XnXn2KjK11K12,K21K22,K2knct2T X iJi =1nnKmkQ= X2ii =1KikSS=Qr - CTKii2K122K212Kik2SSSS SS ,SS總偏差平方和:列偏差平

32、方和:ij2i =1X i ）（j 二 1 ,，k ）試驗(yàn)總次數(shù)為n,每個因素水平數(shù)為 m個，每個水平作r次重復(fù) r = n/m n df=m-l , m為因素水平個數(shù)當(dāng)血=2時(shí)，SS-CKy-K./ (j=lr2r. k)總自由度：因素自由度：3.2.2不考慮交互作用等水平正交試驗(yàn)方差分析 下表是一三因素三水平正交試驗(yàn)方案和結(jié)果分析表, 試對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析口試驗(yàn)方案及結(jié)果分析表處理號ABC空列試驗(yàn)結(jié)果111116.25212224.97313334.54421237.53522315.54623125.57313211.48321310.9933218.95Kj15.7625.1822

33、.6520.74K2j18.5721.4121.4521.87Kj31.2518.9921.4822.97248.3430.1Kij2634.03513.0285344.8478.3Kj2458.39460.1040976.5527.6Kj2360.62461.396 2(1) 計(jì)算計(jì)算各列各水平的K值計(jì)算各列各水平對應(yīng)數(shù)據(jù)之和 Kij、Kj、Kj及其平方Kj?、Kj、 Kj2。計(jì)算各列偏差平方和及自由度 毎丿壬和-CCT = 11 = 11=477,86n 9=|(248,38-344.84+ 976.56)-477.86 = 45.4同理，SSff=&. 49, 550. 31 S

34、S&=0- 83 (空列)自由度：計(jì)算方差:df aVbB=SS.422 .7dfSS Bdf6 . 4923 . 23SS c =0 . 31df c20 . 155VeSSdf0 . 8320 . 415(2) 顯著性檢驗(yàn)根據(jù)以上計(jì)算，進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，列出方差分析表，結(jié)果見下表方差分析表變異來源平方和自由度均方F值Fa顯著水平A45.40222.7079.6F0.05(2,4) =6.94*B6.4923.2411.4F0.01(2,4)=18.0*0.3120.16誤差e0.8320.41誤差e°1.1440.285總和53.03U XO.SOOfl0.55000-60

35、CO0-6500O.7O0O0.7500C,flfl000 用 5U0o*?oco12應(yīng)刃QAQ巧同12.0 WO21J222Z鈴占DOQQ1W,>OTQ21.000001.222221.50000i.35142,33533乳 0OOE4.000005.4$6679X000019.30001o.eftiio1.0543AT-22-.52027I-M7U2,2797a2丄甜0(55.A13295.423&552141 +1綜挾IM51 翎7.00000272144*3?£5i50.T9S770.?4C76k1D4?5E3CJW3L546611,852752.25132.4

36、3954J,779725.781E0*?1WLO71631.2565k41401.762202J29932M223.463305.145370.766550.9969*1.04742K22427L4369?1.70C982+0«5T2,516253-25?444,門“e心3吧肝1.02773WCMFi.mao1 ”6刃851.9&I40乙呢心3J13U帚例Q90,49381.01425t J8Z391.3S3411” 623561, W363.C36454.?5i51C0.74349£6SS0R005e2U6BI7仁3A13OL5?754LBm52.3&?2

37、12.9244?4.3028110.7W?。旳X1.15471U5459?1.46V6T2.412.859513.7B23120*73477C,85080.939?611.333?1-559531，S45962.51322*806603扇59 J07515C-S4963O.?8m321J393i1-J22£V1.54i>221,826212,Z029?甘3,6056140,3630,65631*132 出1-3T5711.533101.80?4?2d?90a3.738?150.72619D 上 425&C.974611L12U51305V91.52269U795172,

38、15862.5175.fB23因素A高度顯著，因素B顯著，因素C不顯著。因素主次順序A-B-C。（3）優(yōu)化工藝條件的確定本試驗(yàn)指標(biāo)越大越好。對因素 A B分析，確定優(yōu)水平為 A B； 因素C的水平改變對試驗(yàn)結(jié)果幾乎無影響， 可從經(jīng)濟(jì)、操作等角度考 慮取值，選G。優(yōu)水平組合為 ABC。3.2.3 考慮交互作用正交試驗(yàn)方差分析例：用石墨爐原子吸收分光光度法測定鋅錠中的鉛， 為了提高測 定靈敏度，希望吸光度越大越好，現(xiàn)研究影響吸光度的因素，確定最 佳測定條件（1）計(jì)算計(jì)算各列各水平對應(yīng)數(shù)據(jù)之和 &、Kj及（心-Kj）;計(jì)算各列偏差平方和及自由度（見吸光度測定試驗(yàn)方案及結(jié)果分析表）。（2）顯著

39、性檢驗(yàn)根據(jù)方差分析表，因素 B高度顯著，因素 A C及交互作用AX B A X C BX C均不顯著。各因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的主次順序?yàn)椋?B、A、 AX C C、AX B BX C。吸光度測定試驗(yàn)方案及結(jié)果分析表試驗(yàn)號ABAX BCAX CBX C空列吸光度111111112.42211122222.24312211222.66412222112.58521212122.36621221212.4722112212.79822121122.76Kij9.99.4210.2110.2310.2410.1210.19Kj10.3110.79109.989.9710.0910.02K*-0.41-1

40、.370.210.250.270.030.17ss0.0210.2350.00550.00780.00910.00010.0036方差分析表變異來源平方和自由度均方F值臨界值Fa顯著水平A0.021010.0216.82F°.05(1,3) =10.13B0.234610.23576.19F0.01(1,3) =34.12*axb 0.005510.006C0.007810.0082.53AX C0.009110.0092.96BX C0.000110.000誤差e0.003610.004誤差e0.092330.00308總和0.2818和 «1.C.50CQ0.00D.6

41、0000.600.7500oHaooo0,£50C0,90000.9&3011.000051+37089Z i6?945血9,7214J9.36546ID.詁"20.歸皿1.125C31,463201.9215*2.57N55.555565.20 a，S2i521441350弱506E21M6l.XI略2.CJ5863.70301S.S3«3210.12&040*548650.WS20.BS541u ireaK4IS071.80743L：5O?24».>44?77.708450-52B07l,Q6；03U5B8Od曲甜2.17BH2.337354.06C4?6Z仙Q*仍凸予Q4ZC3QKQZbULjwr1 .囂姑22»C?2fO2.723VT3,775?55 劉Y70.555720.SO2E71,0Dr4|.25ZKE75222.0C20I仁弓曬£553?i480. W UU3S39L«5I«92.535'?3.92i*3nr趴朽0.小血1用呼鴦1.51ZO61.12772.474*4乳酣網(wǎng)5 J 174肋0.6I9D50.772740.96-I