2021版一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版：高考達(dá)標(biāo)檢測（四十三）,,圓錐曲線綜合問題——定點(diǎn)、定值、探索性問題

1、2021版一輪復(fù)習(xí)理數(shù)通用版：高考達(dá)標(biāo)檢測（四十三）,圓錐曲線綜合問題定點(diǎn)、定值、探索性問題 高考達(dá)標(biāo)檢測（四.） 圓錐曲線的綜合問題 定點(diǎn)、定值、探索性問題 1.圓 如圖，已知橢圓 c： ： x2a 2 y2b 2 1(a b 0) 的離心率是32，其中一個(gè)頂點(diǎn)為 為 b(0,1) (1) 求橢圓 c 的方程； (2)設(shè) 設(shè) p ，q 是橢圓 c 上異于點(diǎn) b 的任意兩點(diǎn)，且 bp bq. 試問：直線 pq 是否恒過一定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由. 解：(1) 設(shè)橢圓 c 的半焦距為 c. 依題意，得 b 1 ， 且 且 e 2 c2a 2 a2 1a 2 34 ， 得 解

2、得 a 2 4 ， 圓 所以橢圓 c 的方程為 x24 y 2 1. (2) 直線 pq 恒過定點(diǎn) 法一：線 易知，直線 pq 的斜率存在，設(shè)其方程為 y kx m ，p(x 1 ， ，y 1 ) ，q(x 2 ， ，y 2 ) ， 線 將直線 pq 的方程代入 x 2 4y 2 4 ， 去 消去 y ，整理得 (1 4k 2 )x 2 8kmx 4m 2 4 0. 則 則 x 1 x 2 8km1 4k 2 ，x 1 x 2 4m2 41 4k 2 . 為 因?yàn)?bp bq ，且直線 bp ，bq 的斜率均存在， 所以 y1 1x 1y 2 1x 21 ， 整理得 x 1 x 2 y 1 y

3、 2 (y 1 y 2 ) 1 0. 為 因?yàn)?y 1 kx 1 m ，y 2 kx 2 m ， 以 所以 y 1 y 2 k(x 1 x 2 ) 2m ，y 1 y 2 k 2 x 1 x 2 mk(x 1 x 2 ) m 2 . 將 代入 ，整理得(1 k 2 )x 1 x 2 k(m 1)(x 1 x 2 ) (m 1) 2 0. 將 代入 得 ，整理得 5m 2 2m 3 0. 得 解得 m 35 或或 m 1( 舍去) 線 所以直線 pq 恒過定點(diǎn) è èæ æø øö ö0 ， 35. 法二：線 直線

4、bp ，bq 的斜率均存在，設(shè)直線 bp 的方程為 y kx 1. 線 將直線 bp 的方程代入 x 2 4y 2 4 ，消去 y ，得 (1 4k 2 )x 2 8kx 0. 得 解得 x 0 或 或 x 8k1 4k 2 . 設(shè) 設(shè) p(x 1 ， ，y 1 ) ，所以 x 1 8k1 4k 2 ，y 1 kx 1 1 1 4k 21 4k 2 ， 以 所以 p è è ç çæ æø ø÷ ÷ö ö 8k1 4k 2 ， 1 4k 21 4k 2. 以 1k 點(diǎn)替換點(diǎn)

5、p 坐標(biāo)中的 k ，可得 q è è ç çæ æø ø÷ ÷ö ö8kk 2 4 ， k2 4k 2 4. 線 從而，直線 pq 的方程是y 1 4k 21 4k 2k 2 4k 2 4 1 4k 21 4k 2x 8k1 4k 28kk 2 4 8k1 4k 2. 線 依題意，若直線 pq 過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必定在 y 軸上 令 在上述方程中，令 x 0 ，解得 y 35 . 線 所以直線 pq 恒過定點(diǎn) è èæ æø &#

6、248;ö ö0 ， 35. 2 已知橢圓 c： ： x2a 2 y2b 2 1(a b 0) 的離心率為32為 ，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為 2. (1) 求橢圓 c 的方程； ； (2)設(shè) 設(shè) a ，b 為橢圓 c 上任意兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 oa ob. 求證：原點(diǎn) o 到直線ab 的距離為定值，并求出該定值 解：(1) 由題意知，e ca 32， ， b 2 c 2 2 ， 又 又 a 2 b 2 c 2 以 ，所以 a 2 ，c 3 ，b 1 ， 圓 所以橢圓 c 的方程為 x24 y 2 1. (2) 證明：當(dāng)直線 ab 的斜率不存在時(shí)，直線 ab 的方程為 x

7、 2 55點(diǎn) ，此時(shí)，原點(diǎn) o 到線 直線 ab 的距離為 2 55. 線 當(dāng)直線 ab 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 ab 的方程為 y kx m ，a(x 1 ，y 1 ) ，b(x 2 ，y 2 ) 由î îï ïí íï ïì ì x 24 y 2 1， ，y kx m得 得(1 4k 2 )x 2 8kmx 4m 2 4 0. 則 則 (8km) 2 4(1 4k 2 )(4m 2 4) 16(1 4k 2 m 2 ) 0 ， x 1 x 2 8km1 4k 2 ，x 1 x 2 4m2 41

8、 4k 2 ， 則 則 y 1 y 2 (kx 1 m)(kx 2 m) m2 4k 21 4k 2， ， 由 由 oa ob 得 得 k oa k ob 1 ，即 y 1x 1 y 2x 2 1 ， 以 所以 x 1 x 2 y 1 y 2 5m2 4 4k 21 4k 2 0 ，即 m 2 45 (1 k 2 ) ， 點(diǎn) 所以原點(diǎn) o 到直線 ab 的距離為|m|1 k 2 2 55. 點(diǎn) 綜上，原點(diǎn) o 到直線 ab 的距離為定值 2 55. 3 已知橢圓 c： ： x2a 2 y2b 2 1(a b 0) 的離心率為63點(diǎn) ，以原點(diǎn) o 為圓心，橢圓 c 的長半線 軸長為半徑的圓與直線

9、 2x 2y 6 0 相切 (1) 求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 已知點(diǎn) a ，b 為動(dòng)直線 y k(x 2)(k 0) 與橢圓 c 的兩個(gè)交點(diǎn)，問：在 x 軸上是否存點(diǎn) 在定點(diǎn) e ，使得ea 2 ea ab 為定值？若存在，試求出點(diǎn) 點(diǎn) e 的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由 解： ：(1)由 由 e 63，得 ca 63， ， 即 即 c 63a ， 點(diǎn) 又以原點(diǎn) o 為圓心，橢圓 c 的長半軸長為半徑的圓為 x 2 y 2 a 2 ， ， 線 且該圓與直線 2x 2y 6 0 相切， 以 所以 a |6|2 2 ( ( 2) ) 2 6 ，代入 得 得 c 2 ， 以 所以 b 2

10、 a 2 c 2 2 ， 圓 所以橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x26 y22 1. (2)由 由î îï ïí íï ïì ì x 26 y22 1， ，y k( (x 2) )， ， 得 得(1 3k 2 )x 2 12k 2 x 12k 2 6 0. 設(shè) 設(shè) a(x 1 ， ，y 1 ) ，b(x 2 ， ，y 2 ) ， 以 所以 x 1 x 2 12k 21 3k 2 ，x 1 x 2 12k2 61 3k 2. 設(shè) 根據(jù)題意，假設(shè) x 軸上存在定點(diǎn) e(m,0) ， 得 使得 ea 2 e

11、a ab (ea ab )ea ea eb 為定值， 則 則 ea eb (x 1 m ，y 1 )(x 2 m ，y 2 ) (x 1 m)(x 2 m) y 1 y 2 (k 2 1)x 1 x 2 (2k 2 m)(x 1 x 2 ) (4k 2 m 2 ) ( (3m2 12m 10) )k 2 ( (m 2 6) )1 3k 2， ， 與 要使上式為定值，即與 k 無關(guān)， 需 只需 3m 2 12m 10 3(m 2 6) ，解得 m 73 ， ， 此時(shí)， ea 2 ea ab m 2 6 59 ， 在 所以在 x 軸上存在定點(diǎn) 點(diǎn) e è èæ 

12、30;ø øö ö73 ，0 使得 ea 2 ea ab 為定值，且定值為 59 . 4 已知橢圓 c： ： x2a 2 y2b 2 1(ab0) 的右焦點(diǎn)為 f(1,0) ，且點(diǎn) p è èæ æø øö ö1， ， 32圓 在橢圓 c 上 上， ，o 為 為坐標(biāo)原點(diǎn) (1) 求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 設(shè)過定點(diǎn) t(0,2) 的直線 l 與橢圓 c 交于不同的兩點(diǎn) a ，b ，且 aob 為銳角，求直線l 的斜率 k 的取值范圍； (3) 過橢圓 c 1 ： x2a

13、 2 y 2b 2 53 1 上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn) p ，作圓 o ：x 2 y 2 43 的兩條切線，為 切點(diǎn)分別為 m ，n(m ，n 不在坐標(biāo)軸上) ，若直線 mn 在 在 x 軸、y 軸上的截距分別為 m ，n， ，證明：13m 2 1n 2 為定值 解：(1) 由題意得 c 1 ，所以 a 2 b 2 1 ， 點(diǎn) 又點(diǎn) p è èæ æø øö ö1， ， 32圓 在橢圓 c 上，所以1a 2 94b 2 1 ， 由 得 可解得 a 2 4 ，b 2 3 ， 圓 所以橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24 y23

14、 1. (2) 設(shè)直線 l 的方程為 y kx 2 ，a(x 1 ， ，y 1 ) ，b(x 2 ， ，y 2 ) ， 由î îï ïí íï ïì ì y kx 2， ，x 24 y23 1， ，得 得(4k 2 3)x 2 16kx 4 0 ， 因?yàn)?16(12k 2 3)0 ，所以 k 2 14 ， 則 則 x 1 x 2 16k4k 2 3 ，x 1 x 2 44k 2 3 . 因?yàn)?aob 為銳角， 以 所以oa ob 0，即 即 x 1 x 2 y 1 y 2 0 ， 以 所以 x

15、1 x 2 (kx 1 2)(kx 2 2)0 ， 所以(1 k 2 )x 1 x 2 2k(x 1 x 2 ) 40 ， 即 即(1 k 2 )44k 2 3 2k 16k4k 2 3 40 ， 得 解得 k 2 43 . 又 又 k 2 14 ， 所以 14 k2 43 ， 解得 2 33k 12 或 12 k2 33. 線 所以直線 l 的斜率 k 的取值范圍為 è èæ æø øö ö 2 33， 12 è èæ æø øö ö

16、12 ， 2 33. (3) 證明：由(1) 知橢圓 c 1 的方程為 x24 3y24 1 ， 設(shè) 設(shè) p(x 0 ， ，y 0 ) ，m(x 3 ， ，y 3 ) ，n(x 4 ， ，y 4 ) ， 為 因?yàn)?m ，n 不在坐標(biāo)軸上，所以 k pm 1k om x 3y 3 ， 線 直線 pm 的方程為 y y 3 x 3y 3 (x x 3 ) ， 得 化簡得 x 3 x y 3 y 43 ， 線 同理可得直線 pn 的方程為 x 4 x y 4 y 43 . 把 把 p 點(diǎn)的坐標(biāo)代入 得î îí íì ì x 3 x 0 y

17、3 y 0 43 ，x 4 x 0 y 4 y 0 43 ， 線 所以直線 mn 的方程為 x 0 x y 0 y 43 . 令 令 y 0 ，得 m 43x 0 令，令 x 0 ，得 n 43y 0 ， 以 所以 x 0 43m ，y 0 43n ， 點(diǎn) 又點(diǎn) p 在橢圓 c 1 上， 所以 è èæ æø øö ö43m2 3 è èæ æø øö ö43n2 4 ，即13m 2 1n 2 34 ，為定值 已知橢圓的兩個(gè)焦為 點(diǎn)為

18、f 1 ( 5 ，0)， ，f 2 ( 5 ，0)， ，m 是橢圓上一點(diǎn)，若mf 1 mf2 0， ，|mf 1 |mf2 | 8. (1) 求橢圓的方程； (2) 直線 l 過右焦點(diǎn) f 2 ( 5 ，0) ( 不與 x 軸重合) 且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) a ，b ，在 x點(diǎn) 軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn) p(x 0, 0) ，使得 pa pb 出的值為定值？若存在，寫出 p 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 解：(1) 由題意知橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)橢圓的方程為 x2a 2 y2b 2 1(a b 0), 則 則 c 5 ，|mf 1 | 2 |mf 2 | 2 (2c) 2 20. 又 又|m

19、f 1 |mf2 | 8， ， (|mf 1 | |mf 2 |) 2 |mf 1 | 2 |mf 2 | 2 2|mf 1 |mf2 | 36 ， 解得|mf 1 | |mf 2 | 6 ，即 2a 6 ， 則 則 a 3 ，b 2 a 2 c 2 4 ， 橢圓的方程為 x29 y24 1. (2) 當(dāng)直線與 x 軸不垂直時(shí) ， 設(shè)直線 l 的方程為 y k(x 5) ， 代入橢圓方程并消元整理得 ，(9k 2 4)x 2 18 5k 2 x 45k 2 36 0. 設(shè) 設(shè) a(x 1 ， ，y 1 ) ，b(x 2 ， ，y 2 ) ， 則 則 x 1 x 2 18 5k24 9k 2 ，x 1 x 2 45k2 364 9k 2， ， y 1 y 2 k 2 (x 1 5)(x 2 5) k 2 x 1 x 2 5(x 1 x 2 ) 5 16k 24 9k 2 ， 所以 pa pb (x 1 x 0 ， ，y 1 )(x 2 x 0 ， ，y 2 ) (x 1 x 0 )(x 2 x 0 ) y