二次根式的概念和性質(zhì)分享資料

1、二次根式二次根式1. 1.二次根式的概念二次根式的概念1 正數(shù)有正數(shù)有兩個(gè)兩個(gè)平方根且平方根且互為相反數(shù)互為相反數(shù)； 0 0有一個(gè)平方根就是它本身有一個(gè)平方根就是它本身0 0； 負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)沒(méi)有沒(méi)有平方根。平方根。1、平方根的性質(zhì)：、平方根的性質(zhì)：1、16的平方根是的平方根是什么什么?16的算術(shù)平方根是什么？的算術(shù)平方根是什么？2、0的平方根是的平方根是什么？什么？0的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根是什么？是什么？3、7有沒(méi)有平方根？有沒(méi)有算術(shù)平方根？有沒(méi)有平方根？有沒(méi)有算術(shù)平方根？正數(shù)和正數(shù)和0都有算術(shù)平方根；都有算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根。2試一試試一試 ：說(shuō)出下列各式的意義；1

2、16,81,0,0.04;49觀察：觀察：上面幾個(gè)式子中，被開(kāi)方數(shù)的特點(diǎn)？被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù) 2 2、 表示什么？表示什么？a表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根0:a即3a (a0)表示非負(fù)數(shù)表示非負(fù)數(shù) a 的算術(shù)平方根，的算術(shù)平方根， 形如形如 a (a0)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式。 它必須具備如下它必須具備如下特點(diǎn)特點(diǎn)： 1、根根指指數(shù)數(shù)為為 2； 2、被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。、被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。 想想一一想想： 1010 、 - -5 5 、3 38 8 5 5 3 3 、 ( (- -2 2) )2 2 a a (a(a0 0、a a2 2+0.1+0.1 、 - -a a (a(a

3、0 0是不是二次根式？是不是二次根式？ 1. 1.二次根式的概念二次根式的概念4注意：注意：為了方便起見(jiàn)，我們把為了方便起見(jiàn)，我們把一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根也叫做二次根式也叫做二次根式。如。如13,2 是不是是不是二次根式二次根式?1a 思考：思考：不是不是,它是它是二次根式二次根式的代數(shù)式的代數(shù)式.定義：定義： 像像 , , 這樣表示的算術(shù)這樣表示的算術(shù)平方根，且根號(hào)內(nèi)含有字母的代數(shù)式叫做平方根，且根號(hào)內(nèi)含有字母的代數(shù)式叫做二二次根式。次根式。25002a3bs5(0).a a 形如的式子叫做二次根式2. a可以是數(shù)可以是數(shù),也可以是式也可以是式.3. 形式上含有二次根號(hào)形式上含

4、有二次根號(hào)4. a0, 0 a5.既可表示開(kāi)方運(yùn)算既可表示開(kāi)方運(yùn)算,也可表示運(yùn)算的結(jié)果也可表示運(yùn)算的結(jié)果.1.表示表示a的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根( ( 雙重非負(fù)性雙重非負(fù)性) )6例例1 : 判斷判斷，下列各式中那些是二次根式？下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04. 0,5.83,04. 0,2a,a定義：式子定義：式子 叫做二次根式叫做二次根式. . )0( aa不要忽略不要忽略其中a叫做被開(kāi)方式被開(kāi)方式。7求下列二次根式中字母的取值范圍：求下列二次根式中字母的取值范圍： 11a a2112 233a求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被

5、開(kāi)方數(shù)被開(kāi)方數(shù)零；零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。8練習(xí)：練習(xí)： x取何值時(shí)取何值時(shí),下列二次根式有意義下列二次根式有意義?xx3)2(1) 1 (1x0 x為全體實(shí)數(shù)x0 xxx1)4(4)3(23)5(x0 x21)6(x0 x求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開(kāi)方數(shù)大于等于零被開(kāi)方數(shù)大于等于零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。12a 1(7)1 2a3(8)| 4xx910正數(shù)正數(shù)0沒(méi)有沒(méi)有x2x2 113x125x 1xx303xx得：由25052xx得：由01001x

6、xxx且得：由12題型題型:確定二次根式中被開(kāi)方數(shù)所含字母的取值范圍確定二次根式中被開(kāi)方數(shù)所含字母的取值范圍.1 1. . 當(dāng)當(dāng) _時(shí)，時(shí)， 有意義。有意義。xx3 3. 3.求下列二次根式中字母的取值范圍求下列二次根式中字母的取值范圍x x3 31 15 5x x解得解得 - 5x- 5x3 3解：解： 0 0 x x- -3 30 05 5x x說(shuō)明：二次根式被開(kāi)方數(shù)說(shuō)明：二次根式被開(kāi)方數(shù)不小于不小于0，所以求二次根，所以求二次根式中字母的取值范圍常轉(zhuǎn)式中字母的取值范圍常轉(zhuǎn)化為不等式（組）化為不等式（組） 334aa44a有意義的條件是有意義的條件是 . .2.+132(3)_1x 2(1

7、)_x2(2)2xx2(7)17xx 31x2x7x14求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：求二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)：被開(kāi)方數(shù)不小于零；被開(kāi)方數(shù)不小于零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。小結(jié)一下小結(jié)一下 ?15做一做做一做: 要使下列各式有意義，字母的取值必要使下列各式有意義，字母的取值必 須滿足什么條件？須滿足什么條件？ 1、 x+3 2、 2-5x 3、 1 x 4、 a2+1 5、 x-3 + 4-x 6、x-1x-2 16非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍然是非負(fù)數(shù)。非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根仍然是非負(fù)數(shù)。 性質(zhì)性質(zhì) 1： a 0 (a0) （雙重非負(fù)性）（

8、雙重非負(fù)性） 引引例例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 則則 a= b= 解：解： a+2 0、|3b-9|0、(4-c) 20， 又又 a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 a= -2 , b= 3 ,c= 4。 2a-b+c=2(-2) -3+4 = -3。 17二次根式的雙重非負(fù)性解析二次根式的雙重非負(fù)性解析經(jīng)常作為隱含條件，是解題的關(guān)鍵經(jīng)常作為隱含條件，是解題的關(guān)鍵例已知，求例已知，求xy的值的值130 xy-+=解：解：，1x-3y+130 xy-+=，1x-3y+x，yxy18初中階段的三個(gè)非負(fù)數(shù)：初中階段的三個(gè)非負(fù)數(shù)：a

9、|a2a(a)200,0|00,0|00,0.abababababab+=+=+=19題型題型:二次根式的非負(fù)性的應(yīng)用二次根式的非負(fù)性的應(yīng)用.1.1.已知：已知： + =0,+ =0,求求 x-y x-y 的值的值. .yx24x2.2.已知已知x,yx,y為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù), ,且且 +3(y-2)+3(y-2)2 2 =0, =0,則則x-yx-y的值為的值為( ( ) ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 A.3 B.-3 C.1 D.-11x解：由題意，得解：由題意，得 x-4=0 x-4=0 且且 2x+y=02x+y=0解得解得 x=4,y=-8x=4,y=-8x-y=4-(-8)=

10、4+ 8 =12x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12D D注意：注意：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0 0，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為0 0。20練習(xí)練習(xí).已知，求已知，求x、y的值的值.223yxx=-+-+x=2，y=3a4.已知已知 ，求，求a的值的值. 4|3|aaa 4343aaaa，即 a- -4=9，則，則 a=1321.,12的值求自然數(shù)為一個(gè)整數(shù)nnn12n = 3，8，11，1222計(jì)算:)0( ,2aaa 想一想想一想 等于什么等于什么?請(qǐng)舉例驗(yàn)證請(qǐng)舉例驗(yàn)證. 02aa= 23225204. 0= = 3520.04性質(zhì)：性質(zhì)：23把下列各數(shù)寫(xiě)成平方的形

11、式：3= ，232522504. 0204. 024利用這個(gè)式子，我們可以把任何一個(gè)非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式。如 4= 。 根據(jù)等式的定義，可得 。)0( ,2aaa)0( ,2aaa我們已經(jīng)得到:24aa面積面積a5271232-32() (0) aaa 2)72(2)312(2)5(2)32(25算一算：算一算： 02 = ； 22 = ； （-2）2 = ； 32 = ； （-3）2 = 。 想一想：想一想： a2 等于什么呢？等于什么呢？ 性質(zhì)性質(zhì) 3：當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， a2 = ； 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， a2 = 。 也就是說(shuō)：也就是說(shuō)： a2 = 。 a-a|a|02

12、233算算一一算算：(1) （-9）2 (2) (1 3 ) 2 (3) 64 (4) (x2+1)2 26試一試試一試1.計(jì)算下列各題計(jì)算下列各題:215(1)(2)2512.若若 ,則則x的取值范圍為的取值范圍為 ( )xx1)1 (2A. x1 B. x1 C. 0 x1 D.一切有理數(shù)一切有理數(shù)3. 與與 是一樣的嗎？是一樣的嗎？你的理由是什么，請(qǐng)小組討論一下。你的理由是什么，請(qǐng)小組討論一下。2a a（ ）2273、二次根式具有哪些性質(zhì)？、二次根式具有哪些性質(zhì)？ 1、什么叫做二次根式？、什么叫做二次根式？ 形如形如 a (a0)的式子叫做二次根式。的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪

13、兩個(gè)形式上的特點(diǎn)？、二次根式有哪兩個(gè)形式上的特點(diǎn)？ （1）根指數(shù)為根指數(shù)為 2； （2）被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。 課堂小結(jié)課堂小結(jié)性性質(zhì)質(zhì) 1： a 0 (a0) （雙雙重重非非負(fù)負(fù)性性） 性質(zhì)性質(zhì) 2：( a )2 = a (a0) 性質(zhì)性質(zhì) 3：當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， a2 = a ； 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)， a2 = -a 。 也就是說(shuō)：也就是說(shuō)： a2 = |a| 。 282aa (0)aa (0)a a 例例2 計(jì)算：計(jì)算：22)15()10() 1 ()22()2(2)2(229例例3 計(jì)算：計(jì)算：|3254|)3253(2302 (0)()aaa aa 2)0( aa)0( aa你的理由是什么？一樣嗎？）與（22aa31補(bǔ)充