由牛頓萊尼茲公式知ppt課件

1、由牛頓萊布尼茲公式知: 計算定積分( )baf x dx 因用湊微分法計算不定積分時自始至終沒有引入新變量, 故用湊微分法計算定積分時, 也應自始至終不改變積分限. 下面舉例說明.6.4 6.4 定積分的計算方法定積分的計算方法一一.湊微分法湊微分法第五章知求函數(shù)的原函數(shù)(即不定積分)的方法有湊微分法、換元法和分部積分法. 因而在一定條件下, 也可用這幾種方法來計算定積分 .的關鍵在于求出(x)在a, b上的一個原函數(shù)F(x); 而由例例11 11 計算計算120(1)1xx dx1211222001 1(1)(1)2xx dxxdx解32211 2(1)02 3x350 (2)sinsinI

2、xxdx33222211(11 )(10 ) (2 21)333532sinsinsin(1 sin)xxxx解因32cossinxx3322220sinsinsinsinxdxxdx552222224sinsin0555xx2233220 cossincossinIxxdxxxdx故3232cossin0,)2cossin,2xxxxxx(1) 在,上單調(diào)連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù);(2) ()= a, ()= b, 那么( )( ( )( )baf x dxftt dt二二.換元積分法換元積分法定理定理8 8 若若(x)(x)在在a, ba, b上連續(xù)上連續(xù), , 而而 x = x =(t) (t

3、) 又滿足又滿足證證 設設F(x)是是(x)的一個原函數(shù)的一個原函數(shù), ( )( )F xf x即 ( )( )( )baf x dxF bF a故 ( ) ( )( )dFtFttdt而 ( )( )ftt ( ) ( )( )Ftftt是的一個原函數(shù),且 ( )( )ftt dt( ) ( )( )baf x dxftt dt此式稱為定積分的換元公式.(3) 求出 ( )( ) ( ) ( ) ftttFt的一個原函數(shù) ( )Ft ( ) ( )( )( )FFF bF a 在應用換元公式計算定積分時, 應注意以下幾個問題:(1) 所選擇的代換式x=(t)必須滿足定理中的兩個條件;(2)

4、換元積分的關鍵是換限.記住“上限對上限,下限對下限”;求不定積分那樣把 (t)還原成 x 的函數(shù), 而只須直接將 t 的上、下限代入相減即可.后,不必象例例12 12 當當 a 0a 0時時, , 計算計算0(1) 1adxx2 (0),2,xtttxdxtdt解令則有且012(1)2ln(1)10aadtttt0,0,xtxa ta002 11aadxtdttx故2ln(1)aa22 sin ,cos ,cosxataxatdxatdt解 令有0,0;,2xtxa t且220 (2)aax dx222200coscoscosat atdtatdt220aax dx2201cos22tadt2

5、221(2sin2 )044atta注注1 1 由幾何意義知由幾何意義知, , 此定積分此定積分即為圓220 aax dx222xya在第象限的面積.性質(zhì)性質(zhì)1 1 設設(x)(x)在在 a, aa, a上連續(xù)上連續(xù), , 那么那么02( ),( )( )0,( )aaaf x dxf xf x dxf x當為偶函數(shù)時當為奇函數(shù)時證證 00( )( )( )aaaaf x dxf x dxf x dx因 (1)若為(x)偶函數(shù), 則有(x)=( x) 令x = t, 那么 d x = d t, 且00( )() ()aaf x dxft dt從而00( )( )( )aaaaf x dxf x

6、 dxf x dx00( )( )aaf t dtf x dx (2)若為(x)奇函數(shù), 則有(x)=( x) 令x = t, 那么 d x = d t, 且00( )() ()aaf x dxft dt00( )( )aaf t dtf x dx 從而00( )( )( )0aaaaf x dxf x dxf x dx 02( )af x dx注注2 2 利用此結(jié)論可簡化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的利用此結(jié)論可簡化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分的計算定積分的計算. .例例13 13 計算計算2742122221(arctan ) cos2(1) (2)(1)5xxxdxdxxx解 (1)

7、 被積函數(shù)為奇函數(shù). 則原式= 0.112222102(1)(1)dxdxxx令x = tanu, 那么 2secdxudu0,0,1,4xuxu且(2) 被積函數(shù)為偶函數(shù), 故12422410112sec(1)secdxuduxu2402cos udu224(1)secxu例例14.14.設設241,0( ) ,(2).1,101cosxxexf xf xdxxx 求解 設x = t +2, 那么 t = x2, d x = d t1,1,4,2xtxt 且401(1cos2 ) 22u d u411(2sin2 )(1)022 2uu4211(2)( )f xdxf t dt0210( )

8、( )f t dtf t dt4111tan222e2021011costdttedtt202210211()22cos2tdtedtt性質(zhì)性質(zhì)2 2 設設(x)(x)在在0, 10, 1上連續(xù)上連續(xù), , 那么那么2200(1)(sin )(cos )fx dxfx dx ,22xttx dxdt 則證令有, ,xttx dxdt 令證則有022002(sin )(cos )(cos )fx dxft dtfx dx 0,022xtxt且0,0 xtxt且00(2)(sin )(sin )2xfx dxfx dx00(sin )() sin()xfx dxt ft dt 00(sin )(s

9、in )2xfx dxfx dx00(sin )(sin )fx dxxfx dx00(sin )(sin )ft dttft dt三三.分部積分法分部積分法定理定理9 9 若若u = u(x)u = u(x)及及v = v(x)v = v(x)在在a, ba, b上有連續(xù)導數(shù)上有連續(xù)導數(shù), , 那么那么bbaabudvuvvdua證證 因因d(uv) = udv + vdu, d(uv) = udv + vdu, 兩邊積分得兩邊積分得().bbbbaaaabudvd uvvduuvvdua注注3 3bbaabudvuvvdua.bbaabuv dxuvu vdxa注注4 4 用分部積分法計算

10、定積分用分部積分法計算定積分, ,因沒有引入新的變量因沒有引入新的變量, ,故故在計算過程中自始至終均不變限在計算過程中自始至終均不變限,u ,u 、 v v的選擇與不定積的選擇與不定積分的分部積分法相同分的分部積分法相同. .例例15 15 計算計算10(1)arctanxxdx112001 arctanarctan2xxdxxdx解122011arctanarctan 02xxx dx1120011821dxdxx212012 41xdxx1111arctan082242x20 (2)sinxexdx2200sinsinxxexdxxde解220sincos0 xxexexdx220cosxexde2220cossin0 xxeexexdx2201sinxeexdx2201 sin(1)2xexdxe故例例