《圓的證明與計(jì)算》專題講解

1、圓的證明與計(jì)算專題講解圓的有關(guān)證明圓中的重要定理：(1)圓的能義:主要是用來證明四點(diǎn)共圓.(2)垂徑定理:主要是用來證明一一弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.(3)三者之間的關(guān)系任理：主要是用來證明一一弧相等、線段相等、圓心角相等.(4)圓周角性質(zhì)泄理及其推輪：主要是用來證明一一直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質(zhì)定理:主要是用來證明一一垂直關(guān)系.(6)切線的判定聚理：主要是用來證明直線是圓的切線.(7)切線長(zhǎng)定理：線段相等、垂直關(guān)系、角相等.2.圓中幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相 轉(zhuǎn)化這在圓中的證明和訃算中經(jīng)常用到.知識(shí)點(diǎn)一：判定切線的方法：(1若切

2、點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉(zhuǎn)化：平行轉(zhuǎn)化：直徑轉(zhuǎn)化：中線轉(zhuǎn)化等：有時(shí)可通過計(jì)算結(jié)合相似、勾 股定理證垂直：(2)若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線泄理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線：總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑(過圓上一點(diǎn))；直線與半 徑的關(guān)系是互相垂直。任證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，要善于進(jìn)行由此及 彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線-例：方法一:若直線1過上某一點(diǎn)A,證明I是OO的切線，只需連OA,證明OA _L 1就行了， 簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于如何證明兩線垂直.例1如圖，在ZABC中，AB=

3、AC,以AB為直徑的00交BC于D,交AC于E, B為 切點(diǎn)的切 線交0D延長(zhǎng)線于F.求證：EF與OO相切.例2如圖，已知：AB是的直徑，點(diǎn)C在)0上，且ZCAB=30°, BD=0B, D在AB的延長(zhǎng)線上.求證：DC是00的切線例3如圖，AB是0。的直徑，CD ± AB, ji OA2=OD - OP.求證：PC是OO的切線.方法二若直線1與沒有已知的公共點(diǎn)，又要證明1是OO的切線，只需作OA _L 1, A 為垂足，證明OA是QO的半徑就行了，簡(jiǎn)稱：“作垂直；證半徑”（一般用于函數(shù)與幾何綜合 題）例 1 ：已矢口 ：如圖'AC, BD 與 OO 切于 A、B,且

4、 AC BD,若 ZCOD=90°.求證：CD是00的切線.知識(shí)點(diǎn)二：與圓有關(guān)的計(jì)算計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常與勾股泄理、垂徑壓理與三角形的全等、相似等知識(shí) 的結(jié) 合，形式復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇左理進(jìn)行線段或者角度 的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的 關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：（1）構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影泄理”基本圖研究線段（已知 任 意兩條線段可求其它所有線段長(zhǎng)）：射影左理：所謂射影，就是正投影。其中，從一點(diǎn)到一條直線所作垂線的垂足

5、，叫做這點(diǎn)在這條直 線上的正投影。一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線 段在這直線 上的正投影。由三角形相似的性質(zhì)：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。公式RtA ABC中,ZBAC=90c.AD是斜邊BC上的高，則有射影左理如下：(1)(AD)2;=BD DC.(2)(AB)2;=BD - BC,(3)(AC)2;=CD - BC。等積式(4)ABXAC=BCXAD(可用而積來證明) 構(gòu)造垂徑泄理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑； 構(gòu)造勾股立理模型(已知線段長(zhǎng)度)： 構(gòu)造三角函數(shù)(已知有角度的情

6、況)；(6)找不到，找相似(2)方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)英中的相等關(guān) 系建立方程，解決問題。(3)建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的 問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進(jìn)而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān) 系。例講解：例題1 ： 中，以M為直徑作00交汕于Q點(diǎn)，狐CF二CB,過C作府的垂線，垂足為例/上的延長(zhǎng)線交腫于ZZ(1)求證：為00的切線：(2)連BF交AP于E,若於6,或2,求一一的值。例題2：直角梯形彳固刃中，次5%。，力8二業(yè)肝C月萬為直徑的圓交氏于伐連&加交 于F. 求證：G?

7、為V9。的切線例題3：如圖，初為直徑，丹為切線，點(diǎn)Q在00上，AC/OP. (1)求證：FC為00的切線。(2)過。點(diǎn)作加，E為垂足，連初交龐于G CQ3,威4,求一一的值。例題4(2009調(diào)考):如圖，已知月龐中，以邊瞪為直徑的00與邊M交于點(diǎn)以點(diǎn)FE為的中點(diǎn)，處為磁的角平分線，且護(hù)_L應(yīng)；(1)求證：EQ與QO相切：(2)若及三8.求比的長(zhǎng)家庭練習(xí)：1 .如圖，應(yīng)/I力比以AB為直徑作。交AC于點(diǎn)D,為垂足.(1)求證：DF為00的切線：(2)若DF=3, OO的半徑為5,求tailZfiAC的值.2 .如圖，為QO的直徑，C. D為00上的兩點(diǎn)，交直線AB于 點(diǎn)& F為垂足.(1

8、)求證：EF為00的切線；(2)若AC=6,砥5,求sinE的值.3 如圖，AB為00的直徑，半徑0C _L D為AB延長(zhǎng)線上，過D作直線BC的垂線一點(diǎn)，過D作的切線，石為防點(diǎn)，連結(jié)CE交AB于點(diǎn)F.(1)求證：屏加：(2)連結(jié) A& 若 OF BF=3,求 tanZA 的值.4 如圖，RtAABC中，ZC=90°, BD平分ZABC,以AB上一點(diǎn)0為圓心過反D兩點(diǎn) 作00, 00交AB于點(diǎn)一點(diǎn)E, EF ± AC于點(diǎn)E（1）求證：OO與AC相切；（2）若 EF=3f BC=4,求 tanZA 的值.5 .如圖，等腰ZVIBC中以AB為直徑作00交BC于點(diǎn)D, DE

9、± AC于E （1）求證：為。0的切線：（2）若脂4$AE=1,求 cosZAQ 的值.6 .如圖，BD為00的直徑，A為的中點(diǎn)，AD交BC于點(diǎn)E, F為BC延長(zhǎng)線上一 點(diǎn)，且 FD=FE.（1）求證：DF為0。的切線：（2）若 AE=2, DE=4, ABDF 的面積為 8 丁 5'求 tanZQF 的值.7、如圖，AB是OO的直徑，M是線段OA上一點(diǎn)，過M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N,交BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,直線CT交EN于點(diǎn)F,且ZECF=ZE.（1） 求證：CF是00的切線：（2）設(shè)OO的半徑為1，且/山氏氐求AM的長(zhǎng).8、如圖，AB是00的直徑，BC ± AB,過點(diǎn)C作。的切線CE,點(diǎn)D是CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn), 連結(jié) AD, RAD+BC=CD （2） 求證：AD是00的切線：（2）設(shè)0E交AC于F.若應(yīng)三3,華2求線段BC的長(zhǎng).9、如圖，A4砥中，AB=BC,以AB為直徑的0。交AC于點(diǎn)D,且CD二BD（3） 求證：BC是00的切線；（2）已知點(diǎn)M、N分別是AD. CD的中點(diǎn)，BM延長(zhǎng)線交00于E,石吟!£分別交BD、DV 的延長(zhǎng)線于H. F,若DH=2,求法的長(zhǎng).10、如圖，AB是半00上的直徑，E是匿的中點(diǎn)