數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)2

1、數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)二2 微分方程實(shí)驗(yàn)2.2 基本實(shí)驗(yàn)1. 微分方程穩(wěn)定性分析對(duì)于一般的二元微分方程組 (1)稱代數(shù)方程組 (2)的實(shí)根x1=x10,x2=x20為微分方程(1)的平衡點(diǎn)，記作P0(x10,x20)。對(duì)于一般方程，可以考慮函數(shù)在平衡點(diǎn)(x10,x20)處展開(kāi)，因此微分方程與線性方程 (3)有相同的平衡點(diǎn)。令 (4)對(duì)于(1)平衡點(diǎn)為(0,0)p= -tr(A)=-2;q=det(A)=1;由于p<0,則(0,0)是不穩(wěn)定的。對(duì)于(2)平衡點(diǎn)為(0,0)p=-tr(A)=-1;q=det(A)=2;由于p<0,則(0,0)是不穩(wěn)定的。對(duì)于(3)平衡點(diǎn)為(0,0)p=-tr(A

2、)=0;q=det(A)=2;由于p=0,則(0,0)是不穩(wěn)定的。 x與y的關(guān)系圖對(duì)于(4)平衡點(diǎn)為(0,0)p=-tr(A)=3;q=det(A)=2;由于p>0,q>0,則(0,0)是穩(wěn)定的。2. 種群增長(zhǎng)模型得到N滿足的微分方程為 (5)令得到則方程有平衡解令，則平衡解N1是穩(wěn)定的。,則平衡解N2是不穩(wěn)定的。3. 單種群開(kāi)發(fā)模型(1)令得到兩個(gè)平衡點(diǎn)則x0是穩(wěn)定的，x1是不穩(wěn)定的；當(dāng)畫(huà)出的線族圖如下:(2)令， (5)則平衡點(diǎn)是y=g(x)與直線y=Ex交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從g(x)的數(shù)學(xué)表達(dá)式中可以看出，其定點(diǎn)坐標(biāo)為(N/2,hm)。hm=Nr/4,當(dāng)h>hm時(shí)，無(wú)平衡點(diǎn)，并

3、優(yōu)于橫有dx/dt<0,從而x(t)下降，最后導(dǎo)致無(wú)魚(yú)可捕，因而最大的捕撈量為hm=Nr/4，令其與(5)式中的h相等。得到穩(wěn)定狀態(tài)下最優(yōu)捕撈率為。4. Compertz模型單種群開(kāi)發(fā)方程如下：令得到兩個(gè)平衡點(diǎn)則x0是不穩(wěn)定的，x1是穩(wěn)定的。令當(dāng)時(shí)，魚(yú)量x必>0。則是g(x)的極大值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)則最大持續(xù)產(chǎn)量此時(shí)則捕撈強(qiáng)度其中g(shù)(x)曲線如下：5. 有限資源競(jìng)爭(zhēng)模型 (6)知平衡點(diǎn)為1)對(duì)于平衡點(diǎn)P0所以P0點(diǎn)是不穩(wěn)定的2)對(duì)于平衡點(diǎn)P1若，則p>0,q>0，則P1是穩(wěn)定的。3)對(duì)于平衡點(diǎn)P2若，則p>0,q>0，則P2是穩(wěn)定的。綜上所述(1) 若，對(duì)于平衡

4、點(diǎn)P2是穩(wěn)定的，當(dāng)(2) 若，對(duì)于平衡點(diǎn)P1是穩(wěn)定的，當(dāng)(3) 對(duì)于線性方程組在平面上表示兩條直線l1和l21)當(dāng)，對(duì)應(yīng)的曲線如下：直線l1和l2將平面分成三個(gè)區(qū)域：在I區(qū)域：在II區(qū)域：在III區(qū)域：從圖中看出當(dāng)2)當(dāng)，對(duì)應(yīng)的曲線如下：直線l1和l2將平面分成三個(gè)區(qū)域：在I區(qū)域：在II區(qū)域：在III區(qū)域：從圖中看出當(dāng)6. 蝴蝶效應(yīng)與混沌解(1)建立微分方程組的外部函數(shù)(lorenz.m)function xdot=lorenz(t,x)xdot=-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3);再調(diào)用ode45()求解，

5、輸入：t,x=ode45(lorenz,0,100,0 0 1e-10);plot(x(:,1),x(:,2);axis(-1 50 -20 20 );xlabel('x1'),ylabel('x2')x1與x2的關(guān)系圖如下：x2與x3的關(guān)系圖如下：x1與x3的關(guān)系圖如下：(1) 令s=10，r=10，b=8/3，初始點(diǎn)為(0 0 10-10)x1與x2的關(guān)系圖如下：x2與x3的關(guān)系圖如下：x1與x3的關(guān)系圖如下：(2) 令s=5，r=28，b=8/3 初始點(diǎn)為(0 0 10-10)x1與x2的關(guān)系圖如下：x2與x3的關(guān)系圖如下：x1與x3的關(guān)系圖如下：(3)

6、令s=10，r=28，b=10 初始點(diǎn)為(1 1 10-10)x1與x2的關(guān)系圖如下：x2與x3的關(guān)系圖如下：x1與x3的關(guān)系圖如下：2.3 加分實(shí)驗(yàn) 餐廳廢物的堆肥優(yōu)化問(wèn)題1 問(wèn)題分析堆肥是利用微生物的分解作用將有機(jī)廢物轉(zhuǎn)化成無(wú)害穩(wěn)定形式的生物化學(xué)過(guò)程，要提高堆肥產(chǎn)量方法之一就是通過(guò)增強(qiáng)細(xì)菌的生長(zhǎng)繁殖能力以提高分解率。細(xì)菌群體的增長(zhǎng)一般要經(jīng)歷延滯期，加速生長(zhǎng)其、對(duì)數(shù)生長(zhǎng)期、減數(shù)生長(zhǎng)期、穩(wěn)定期、加速死亡期和對(duì)數(shù)死亡期。另外，對(duì)數(shù)生長(zhǎng)期培養(yǎng)基中所有養(yǎng)分都過(guò)剩，細(xì)菌可以充分繁殖，其倍增速率恒定，取決于底物濃度、溫度、水活度、供氧量。對(duì)于當(dāng)前該餐廳來(lái)說(shuō)底物濃度由每天的剩余食物、蔬菜葉和碎紙屑決定。碎

7、紙屑是吸收水分的調(diào)理劑，微菌呼吸所需要的溶解氧由蔬菜提供，水活度可以通過(guò)測(cè)定相對(duì)濕度來(lái)決定，其關(guān)系式是：相對(duì)濕度：B=P/P0*100%水活度：aw=P/P0其中P為該容易蒸汽壓，P0為純水蒸汽壓在這個(gè)堆肥系統(tǒng)中，可供微菌消耗的營(yíng)養(yǎng)底物和溶解氧都是有限的，他們的消耗會(huì)對(duì)微菌生長(zhǎng)率產(chǎn)生重要影響，一種微菌消耗營(yíng)養(yǎng)底物的速度和底物濃度之間的關(guān)系式為：ds/dt=-KmSX/(Ks+s),式中，ds/dt表示為底物的有效消耗率，x表示為微濃度，Km表示為最大有效系數(shù)，在高濃度營(yíng)養(yǎng)底物中最大的物料消耗率(物質(zhì)質(zhì)量/微菌一天的質(zhì)量)；Ks表示為半速系數(shù)(質(zhì)量/體積)，S表示為有限底物的濃度(質(zhì)量/體積)微

8、菌生長(zhǎng)過(guò)程是一個(gè)生物化學(xué)過(guò)程，其生長(zhǎng)率和五毒之間滿足公式：K=Ae(Ea/RT)，式中K表示為反應(yīng)速度常數(shù)，T表示為反應(yīng)的絕對(duì)溫度，R表示氣體常數(shù)，Ea表示反應(yīng)活化能，A表示頻率分子。我們知道，各種微菌都有一個(gè)最適生長(zhǎng)溫度，如果溫度控制在最適值是微菌生長(zhǎng)速率最高。微菌生長(zhǎng)對(duì)水活度也有一定的要求，與微菌最高生長(zhǎng)速率相對(duì)應(yīng)的有一最適水活度，優(yōu)化堆肥以為這盡可能少的時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)處高質(zhì)量的肥料，參數(shù)的優(yōu)化依賴于所應(yīng)用的系統(tǒng)。2 模型的建立假設(shè)每天投入的肥料比是任意的，僅僅取決于當(dāng)天的情況，首先從已知數(shù)據(jù)中得到經(jīng)驗(yàn)最佳比例，由于假設(shè)各次堆肥后肥料質(zhì)量相同，因此堆肥時(shí)間較短就對(duì)應(yīng)了較好的肥料配比，將12組數(shù)

9、據(jù)按其堆肥日期及完全堆肥時(shí)間分成三組，魅族中的較優(yōu)比例見(jiàn)下表：分組每組中的最短天數(shù)比例1-4No.4: 26203:82:05_8No.5:3379:28:09-12No.9:4982:44:9營(yíng)養(yǎng)底物和氧氣是細(xì)菌生長(zhǎng)的兩種底物，物耗公式為： (7)i=1時(shí)代表營(yíng)養(yǎng)底物中可降解的有機(jī)物，i=2時(shí)代表氧氣。1） 在高濃度底物中，物料的轉(zhuǎn)化過(guò)程很迅速，進(jìn)一步增加底物濃度就不再引起底物轉(zhuǎn)化率的提高，可假設(shè)，則(7)式簡(jiǎn)化為： (8)這是關(guān)于底物濃度的零級(jí)反應(yīng)，消去X得到： (9 )積分后得 (10) 2)在低濃度底物中，可假設(shè)，則(7)式可簡(jiǎn)化為： (11)消去X得： (12)： (13)3)當(dāng)Si

10、=Ksi, i=1,2 時(shí)有：dS1=Km1/Km2*dS2 下面的步驟就和1相同了3 結(jié)果分析：由上面的計(jì)算可知，當(dāng)SKs時(shí)，簡(jiǎn)化方程(10)且Km1=Ae(-Ea/RT)，其中R=8.31L/(mol*K), Ea=51.3KJ/molT=25° C=298K時(shí)， Km=12克底物/(克微菌*天)可確定：A=12e(51.3*1000/8.31*298)當(dāng)T=49° C=322K時(shí)， 可得: Km1=A*e(51.3*1000/8.31*322)=55.7不同微生物的耗氧速度不同，這里可取86，經(jīng)過(guò)單位換算，可估算出Km2=86*0.001*24*223/22.4=20

11、.548 從而Km1/Km2=55.7/20.548=2.711下面從一只數(shù)據(jù)中選取幾組典型的數(shù)來(lái)定性說(shuō)明(10)式在不同情況下的物理意義，設(shè)廢物漿中含有40%的有機(jī)揮發(fā)性物質(zhì)，有機(jī)物的降解為66%，并設(shè)蔬菜葉中含有25%的氧氣A）對(duì)于第二組數(shù)據(jù)：S1(0)=112*40%*66%=22.704 S2(0)=79*25%=19.75,S1(t)=2.711S2(t)-23.974,當(dāng)S1(t)=8.84,這表明在此情形下廢物漿中所含有的可降解的有機(jī)物可以完全被降解，氧氣的量是充足的。B)對(duì)第五組數(shù)據(jù)：S1(0)=20.856 S2(0)=7, S1(t)=2.711S2(t)+1.879, 在

12、時(shí)間足夠的情況下， S2(t)=0,S1(t)=1.879, 這表明氧氣的量是不充足的，廢物漿中所含可降解的有機(jī)物最多只能有S1(0)-S1(¥)/S1(0)=91%被降解由此我們可以確定出廢物漿和蔬菜也得最優(yōu)比例關(guān)系，最優(yōu)情況是在某個(gè)時(shí)刻t0有S1(t0)=S2(t0)=0,即廢物漿中可降解的有機(jī)物和蔬菜葉所提供的氧氣分別利用完。設(shè)堆肥原料中廢物漿的量為x，蔬菜葉的量為y，則由S1(t0)=S2(t0)=0 可得：S1(0)-2.711S2(0)=0,故有x*40%*66%=2.711*y*25%，從而得到x:y=2.567:1 對(duì)及S=Ks 的兩種情況，可用類似的方法進(jìn)行分析。4 實(shí)施建議1） 堆肥過(guò)程中，每隔一段時(shí)間添加一定量的新鮮廢物，并從堆肥倉(cāng)中排出等量的液體，使?fàn)I養(yǎng)底物的濃度保持在一定水平之上，促進(jìn)微菌大量繁殖。2） 堆肥過(guò)程中要