二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)

1、精品文檔. 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地， 形如2yaxbxc（ abc， ， 是常數(shù)，0a）的函數(shù)， 叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)0a，而 bc， 可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù)2yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式，x 的最高次數(shù)是2abc， ， 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c 是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：2yax 的性質(zhì)：a 的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。2. 2yaxc 的性質(zhì)：上加下減。3. 2ya xh的性質(zhì)：左加右減。4.2ya

2、 xhk 的性質(zhì)：a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)0a向上00，y軸0 x時(shí)，y隨 x 的增大而增大；0 x時(shí)，y隨x的增大而減小；0 x時(shí)，y有最小值00a向下00，y軸0 x時(shí)，y隨 x 的增大而減小；0 x時(shí)，y隨x的增大而增大；0 x時(shí)，y有最大值0a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)0a向上0c，y軸0 x時(shí)，y隨 x 的增大而增大；0 x時(shí)，y隨x的增大而減?。? x時(shí)，y有最小值 c 0a向下0c，y軸0 x時(shí)，y隨 x 的增大而減??；0 x時(shí)，y隨x的增大而增大；0 x時(shí)，y有最大值 c a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)0a向上0h，x=h xh時(shí)，y隨 x 的增大而增

3、大；xh時(shí)，y隨x 的增大而減??；xh時(shí)，y有最小值00a向下0h，x=h xh時(shí)，y隨 x 的增大而減?。粁h時(shí)，y隨x 的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)0a向上hk，x=h xh時(shí)，y隨 x 的增大而增大；xh時(shí)，y隨x 的增大而減?。粁h時(shí)，y有最小值k精品文檔. 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式2ya xhk ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)hk，； 保持拋物線2yax 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到hk，處，具體平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下

4、 (k0)】平移 |k|個(gè)單位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移” 概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”方法二：cbxaxy2沿y軸平移 :向上（下）平移m個(gè)單位，cbxaxy2變成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿軸平移： 向左（右）平移m個(gè)單位，cbxaxy2變成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）四、二次函數(shù)2ya xhk與2yaxbxc的比較從解析式上看，2ya xhk 與2yaxbxc是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即22424

5、bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，五、二次函數(shù)2yaxbxc圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)2yaxbxc 化為頂點(diǎn)式2()ya xhk，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖. 一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0a向下hk，x=h xh時(shí)，y隨 x 的增大而減小；xh時(shí)，y隨x 的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k精品文檔. 0c，、以及0c，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2hc，、與 x 軸的交點(diǎn)10 x ，20 x ，（若與 x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）. 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與

6、y軸的交點(diǎn) . 六、二次函數(shù)2yaxbxc的性質(zhì)1. 當(dāng)0a時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為2bxa，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2424bacbaa，當(dāng)2bxa時(shí)，y隨 x 的增大而減?。?當(dāng)2bxa時(shí)，y隨 x 的增大而增大； 當(dāng)2bxa時(shí)，y有最小值244acba2. 當(dāng)0a時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為2bxa，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2424bacbaa，當(dāng)2bxa時(shí)，y隨 x的增大而增大；當(dāng)2bxa時(shí)，y隨 x 的增大而減小；當(dāng)2bxa時(shí)，y有最大值244acba七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a ，b， c 為常數(shù)，0a） ；2. 頂點(diǎn)式：2()ya xhk （ a ，h，k為常數(shù)，0a

7、） ；3. 兩根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是拋物線與x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x 軸有交點(diǎn)，即240bac時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 . 八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)2yaxbxc中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然0a 當(dāng)0a時(shí)，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當(dāng)0a時(shí)，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結(jié)起來(lái)，a決定了

8、拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a 確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸 在0a的前提下，當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè) 在0a的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；當(dāng)0b時(shí)，02ba，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)總結(jié)起來(lái)，在a 確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸abx2在y軸左邊則0ab，在y軸的右側(cè)則

9、0ab3. 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng)0c時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x 軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；精品文檔. 當(dāng)0c時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0； 當(dāng)0c時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來(lái)，c 決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與x

10、 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程20axbxc是二次函數(shù)2yaxbxc 當(dāng)函數(shù)值0y時(shí)的特殊情況 . 圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)240bac時(shí)，圖象與x 軸交于兩點(diǎn)1200a xb x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的兩根這兩點(diǎn)間的距離2214bacabxxa. 當(dāng)0時(shí)，圖象與x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)0時(shí)，圖象與x 軸沒(méi)有交點(diǎn) . 1當(dāng)0a時(shí)，圖象落在x 軸的上方，無(wú)論x 為任何實(shí)數(shù)，都有0y；2當(dāng)0a時(shí)，圖象落在x 軸的下方，無(wú)論x 為任何實(shí)數(shù)，

11、都有0y2. 拋物線2yaxbxc 的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 ，)c ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)2yaxbxc 中 a ，b， c 的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a ，b， c 的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 下面以0a時(shí)為例，揭示二次函數(shù)和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：十一、函數(shù)的應(yīng)用二次

12、函數(shù)應(yīng)用剎車距離何時(shí)獲得最大利潤(rùn)最大面積是多少0拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0拋物線與 x 軸無(wú)交點(diǎn)一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根. 精品文檔. 二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函數(shù)2)2(22mmxmy的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值是2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)bkxy的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)12bxkxy的圖像大致是（） y

13、 y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x a b c d 3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(guò)(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為35x，求這條拋物線的解析式。4 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線2yaxbxc （a 0）與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1、3，與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是32（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo). 5考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見(jiàn)的作為專項(xiàng)壓軸題?！纠}經(jīng)典】由

14、拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào)例 1.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象與x 軸交于點(diǎn) (-2 ，o)、(x1，0) ，且 1x12，與 y 軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(o，2) 的下方下列結(jié)論： abo ；4a+co，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ) a 1個(gè) b. 2個(gè) c. 3個(gè) d 4 個(gè)答案： d 會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例 2.已知：關(guān)于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一個(gè)根為x=2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的對(duì)稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ) a(2， -3) b.(2，1) c(2，3) d(3 ，2) 答案： c 例 3、已知拋物線y=12x2+x-

15、52（1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸（2）若該拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為a、b，求線段ab的長(zhǎng)【點(diǎn)評(píng)】本題（ 1）是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問(wèn)主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例 4、 “已知函數(shù)cbxxy221的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（c， 2） ，精品文檔. 求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3。 ”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字。（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過(guò)程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第（ 1

16、）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來(lái)的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3”當(dāng)作已知來(lái)用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（c， 2） ” ，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。 解答 （1）根據(jù)cbxxy221的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（c， 2） ，圖象的對(duì)稱軸是x=3，得,3212,2212bcbcc解得.2, 3cb所

17、以所求二次函數(shù)解析式為.23212xxy圖象如圖所示。（2）在解析式中令y=0，得023212xx，解得.53,5321xx所以可以填“拋物線與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+)0 ,5”或“拋物線與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是).0,53(令 x=3 代入解析式，得,25y所以拋物線23212xxy的頂點(diǎn)坐標(biāo)為),25,3(所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為)25,3(等等。函數(shù)主要關(guān)注：通過(guò)不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過(guò)程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問(wèn)題例 5、某產(chǎn)品每件成本10

18、 元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元） ?與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）15 20 30 y（件）25 20 10 若日銷售量y 是銷售價(jià) x 的一次函數(shù)（1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？?此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b則1525,220kbkb解得 k=-1 ，b=40，?即一次函數(shù)表達(dá)式為精品文檔. y=-x+40 （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x 元，所獲銷售利潤(rùn)為w元 w=（x-10 ） （40-x ）=-x2+50 x-400=- （x-25

19、 ）2+225產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25 元，此時(shí)每日獲得最大銷售利潤(rùn)為225 元【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問(wèn)中，?“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)； （2）?問(wèn)的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 6、你知道嗎 ?平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m ，距地面均為1m ，學(xué)生丙、 丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m 、25 m處繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂已知學(xué)生丙的身高是15 m，則學(xué)生丁的

20、身高為( 建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示) ( ) a15 m b1625 m c166 m d167 m 分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案： b 二次函數(shù)單元測(cè)評(píng)一、選擇題1.下列關(guān)系式中，屬于二次函數(shù)的是(x 為自變量 )() a.b.c.d.2. 函數(shù) y=x2-2x+3 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 () a. (1，-4)b.(-1，2)c. (1，2)d.(0，3) 3. 拋物線 y=2(x-3)2的頂點(diǎn)在 () a. 第一象限b. 第二象限c. x 軸上d. y 軸上4. 拋物線的對(duì)稱軸是 () a. x=-2b.x=2c. x=-4d. x=4 5. 已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c

21、的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是() a. ab0，c0b. ab0，c0c. ab0 d. ab0，c4，那么 ab 的長(zhǎng)是() a. 4+mb. mc. 2m-8d. 8-2m 8. 若一次函數(shù) y=ax+b 的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則二次函數(shù)y=ax2+bx 的圖象只可能是 () 精品文檔. 9. 已知拋物線和直線在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=-1，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)是拋物線上的點(diǎn)， p3(x3，y3)是直線上的點(diǎn)，且-1x1x2，x3-1，則 y1，y2，y3的大小關(guān)系是 () a. y1y2y3b. y2y3y1 c. y3

22、y1y2d. y2y1y310.把拋物線的圖象向左平移2 個(gè)單位，再向上平移3 個(gè)單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是 () a.b.c.d.二、填空題11. 二次函數(shù) y=x2-2x+1 的對(duì)稱軸方程是 _. 12. 若將二次函數(shù) y=x2-2x+3 配方為 y=(x-h)2+k 的形式，則 y=_. 13. 若拋物線 y=x2-2x-3 與 x 軸分別交于 a、b 兩點(diǎn)，則 ab 的長(zhǎng)為 _. 14. 拋物線 y=x2+bx+c，經(jīng)過(guò) a(-1，0)，b(3，0)兩點(diǎn)，則這條拋物線的解析式為_. 15. 已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象交 x 軸于 a、b 兩點(diǎn)，交 y 軸于 c 點(diǎn)，且 abc 是直角三角形，請(qǐng)寫