上海市復(fù)旦大學(xué)附中高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷 含解析

1、2021-2021學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附中高一上期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題每題4分，共44分14分用列舉法表示集合=24分命題“假設(shè)x2=1，那么x=1的否命題是34分函數(shù)y=的定義域?yàn)?4分集合A=1，2，3，4，B=1，2，那么滿足AC=BC的集合C有個(gè)54分x，yR+，且x+4y=1，那么xy的最大值為64分集合P=x，Q=x|x+12x3x40，那么PQ=74分不等式a2x2+2a2x40對(duì)一切xR恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是84分假設(shè)關(guān)于x不等式ax2+bx+c0的解集為，那么關(guān)于x不等式cx2bx+a0的解集為94分在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類，記為k，即k=

2、5n+k|nZ，k=0，1，2，3，4給出如下四個(gè)結(jié)論：20211； 33； Z=01234；“整數(shù)a，b屬于同一類的充要條件是“ab0其中，正確結(jié)論的是104分某物流公司方案在其停車庫(kù)附近租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)p萬(wàn)元與倉(cāng)庫(kù)到停車庫(kù)的距離x公里成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)k萬(wàn)元與倉(cāng)庫(kù)到停車庫(kù)的距離x公里成正比如果在距離停車庫(kù)18公里處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用p和k分別為4萬(wàn)元和144萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)到停車庫(kù)的距離x=公里114分設(shè)aR，假設(shè)x0時(shí)均有a1x1x2ax10，那么a=二、選擇題每題4分，共16分124分三國(guó)時(shí)期趙爽在?勾股方圓圖注?中對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)

3、表述為如下圖，我們教材中利用該圖作為“的幾何解釋A如果ab，bc，那么acB如果ab0，那么a2b2C對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有a2+b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立D如果ab，c0那么acbc134分設(shè)x取實(shí)數(shù)，那么fx與gx表示同一個(gè)函數(shù)的是Afx=x，gx=Bfx=，gx=Cfx=1，gx=x10Dfx=，gx=x3144分是成立的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件154分在關(guān)于x的方程x2ax+4=0，x2+a1x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為A4a4Ba9或a7Ca2或a4D2a4三、解答題共6大

4、題，總分值60分168分解關(guān)于x的方程：x2+|2x3|=2178分設(shè)關(guān)于x的不等式：1解此不等式；2假設(shè)2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍1810分P=，Q=x|x22x+1m20，其中m0，全集U=R假設(shè)“xUP是“xUQ的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍1910分現(xiàn)有A，B，C，D四個(gè)長(zhǎng)方體容器，A，B的底面積均為x2，高分別為x，y；C，D的底面積均為y2，高分別為x，y其中xy現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)那么：每人從四種容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝問(wèn)先取者在未能確定x與y大小的情況下有沒(méi)有必勝的方案？假設(shè)有的話，有幾種？2010分定義實(shí)數(shù)a，b間的計(jì)算法那么如下：ab=1計(jì)算231；2對(duì)xzy的任

5、意實(shí)數(shù)x，y，z，判斷等式xyz=xyz是否恒成立，并說(shuō)明理由；3寫(xiě)出函數(shù)y=1xx2x的解析式，其中2x2，并求函數(shù)的值域2114分實(shí)數(shù)a，b，c滿足abc1求證：0；2現(xiàn)推廣如下：把的分子改為一個(gè)大于1的正整數(shù)p，使得0對(duì)任意abc都成立，試寫(xiě)出一個(gè)p并證明之；3現(xiàn)換個(gè)角度推廣如下：正整數(shù)m，n，p滿足什么條件時(shí)，0對(duì)任意abc都成立，請(qǐng)寫(xiě)出條件并證明之2021-2021學(xué)年上海市復(fù)旦大學(xué)附中高一上期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題每題4分，共44分14分用列舉法表示集合=1，2，3，4考點(diǎn)：集合的表示法專題：集合分析：由，那么必有，解出即可解答：解：由，那么必有，a=1，3，2，4

6、A=1，2，3，4故答案為：1，2，3，4點(diǎn)評(píng)：此題考查了集合的列舉法、整數(shù)的整除性質(zhì)，屬于根底題24分命題“假設(shè)x2=1，那么x=1的否命題是假設(shè)x21，那么x1考點(diǎn)：四種命題間的逆否關(guān)系專題：簡(jiǎn)易邏輯分析：直接利用命題的否命題的定義，寫(xiě)出結(jié)果即可解答：解：命題的否命題是同時(shí)對(duì)條件與結(jié)論進(jìn)行否認(rèn)命題“假設(shè)x2=1，那么x=1的否命題是：假設(shè)x21，那么x1；故答案為：假設(shè)x21，那么x1；點(diǎn)評(píng)：此題考查命題的否命題的定義，根本知識(shí)的考查34分函數(shù)y=的定義域?yàn)?，11，2考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：由式子有意義需使分母和根號(hào)有意義，可得x的范圍，寫(xiě)成集合的形式可得函

7、數(shù)的定義域解答：解：要使函數(shù)的表達(dá)式有意義，x須滿足：，即x2，11，2，故定義域?yàn)椋?，11，2，故答案為：2，11，2，點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)的定義域問(wèn)題，注意分母和根號(hào)的特點(diǎn)，此題屬于根底題44分集合A=1，2，3，4，B=1，2，那么滿足AC=BC的集合C有4個(gè)考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算；子集與真子集專題：集合分析：根據(jù)AC=BC，得到符合條件的集合C的個(gè)數(shù)即為集合3，4的子集的個(gè)數(shù)，求出即可解答：解：由條件AC=BC可知：BBC=ACCBCACA，那么符合條件的集合C的個(gè)數(shù)即為集合3，4的子集的個(gè)數(shù)，共4個(gè)故答案為：4點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解此題關(guān)鍵54分x，yR+

8、，且x+4y=1，那么xy的最大值為考點(diǎn)：根本不等式專題：計(jì)算題分析：變形為x與4y的乘積，利用 根本不等式求最大值解答：解：，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=時(shí)取等號(hào)故應(yīng)填點(diǎn)評(píng)：考查利用根本不等式求最值，此為和定積最大型64分集合P=x，Q=x|x+12x3x40，那么PQ=考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算專題：集合分析：先求出不等式的解集即為集合P，根據(jù)數(shù)軸標(biāo)根法求出x+12x3x40的解集，即求出集合Q，由交集的運(yùn)算求出PQ解答：解：由得，解之1x2，即P=1，2，根據(jù)數(shù)軸標(biāo)根法，解x+12x3x40得：，即Q=，所以PQ=故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，以及無(wú)理不等式、高次不等式的解法，數(shù)軸標(biāo)根法是解高次

9、不等式的重要方法74分不等式a2x2+2a2x40對(duì)一切xR恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，2考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題；二次函數(shù)的性質(zhì)專題：計(jì)算題分析：當(dāng)a2=0，a=2時(shí)不等式即為40，對(duì)一切xR恒成立，當(dāng)a2時(shí) 利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出a滿足的條件并計(jì)算，最后兩局部的合并即為所求范圍解答：解：當(dāng)a2=0，a=2時(shí)不等式即為40，對(duì)一切xR恒成立 當(dāng)a2時(shí)，那么須 即2a2 由得實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，2故答案為：2，2點(diǎn)評(píng)：此題考查不等式恒成立的參數(shù)取值范圍，考查二次函數(shù)的性質(zhì)注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行討論84分假設(shè)關(guān)于x不等式ax2+bx+c0的解集為，那么關(guān)于x不等式cx2bx+a0的解集

10、為考點(diǎn)：一元二次不等式的解法專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：由得到ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為2和，利用根與系數(shù)關(guān)系得到系數(shù)的比，變形后得到的值，由此求出方程cx2bx+a=0的兩根，那么不等式cx2bx+a0的解集可求解答：解：不等式ax2+bx+c0的解集為，2，+，a0，且，2為方程ax2+bx+c=0的兩根=，2=，c=a，cx2bx+a0可轉(zhuǎn)化為，x2x+10，即xx20，解得x2，即不等式cx2bx+a0的解集為故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，容易出錯(cuò)的地方是忽略c的符號(hào)94分在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類，記

11、為k，即k=5n+k|nZ，k=0，1，2，3，4給出如下四個(gè)結(jié)論：20211； 33； Z=01234；“整數(shù)a，b屬于同一類的充要條件是“ab0其中，正確結(jié)論的是考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用專題：壓軸題；新定義分析：對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析：2021÷5=4021；3÷5=12，整數(shù)集中的數(shù)被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，故Z=01234；從正反兩個(gè)方面考慮即可得答案解答：解：2021÷5=4021，20211，故正確；3=5×1+2，33，故錯(cuò)誤；因?yàn)檎麛?shù)集中的數(shù)被5除的數(shù)可以且只可以分成五類，故Z=01234，故正確；整數(shù)a，b屬于同一“類，整數(shù)a，b被

12、5除的余數(shù)相同，從而ab被5除的余數(shù)為0，反之也成立，故“整數(shù)a，b屬于同一“類的充要條件是“ab0故正確故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題為同余的性質(zhì)的考查，具有一定的創(chuàng)新，關(guān)鍵是對(duì)題中“類的題解，屬根底題104分某物流公司方案在其停車庫(kù)附近租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)p萬(wàn)元與倉(cāng)庫(kù)到停車庫(kù)的距離x公里成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)k萬(wàn)元與倉(cāng)庫(kù)到停車庫(kù)的距離x公里成正比如果在距離停車庫(kù)18公里處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用p和k分別為4萬(wàn)元和144萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)到停車庫(kù)的距離x=3公里考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用專題：計(jì)算題；應(yīng)用題；不等式的解法及應(yīng)用分析：由題意，設(shè)Px=m，m，n為常數(shù)，代入x=

13、18，p=4，k=144求出m，n；從而得到P+k=+8x，利用根本不等式求最值解答：解：設(shè)Px=m，m，n為常數(shù)，由x=18時(shí)，p=4，k=144，可得，m=18×4=72，n=8，所以P+k=+8x=848，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=3時(shí)，等號(hào)成立故答案為：3點(diǎn)評(píng)：此題考查了實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力及根本不等式求最值，屬于中檔題114分設(shè)aR，假設(shè)x0時(shí)均有a1x1x2ax10，那么a=考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用分析：分類討論，1a=1；2a1，在x0的整個(gè)區(qū)間上，我們可以將其分成兩個(gè)區(qū)間，在各自的區(qū)間內(nèi)恒正或恒負(fù)，即可得到結(jié)論解答：解：1a=1時(shí)，代入題

14、中不等式明顯不成立2a1，構(gòu)造函數(shù)y1=a1x1，y2=x 2ax1，它們都過(guò)定點(diǎn)P0，1考查函數(shù)y1=a1x1：令y=0，得M，0，a1；考查函數(shù)y2=x2ax1，x0時(shí)均有a1x1x2ax10，y2=x2ax1過(guò)點(diǎn)M，0，代入得：，解之得：a=，或a=0舍去故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解二、選擇題每題4分，共16分124分三國(guó)時(shí)期趙爽在?勾股方圓圖注?中對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如下圖，我們教材中利用該圖作為“的幾何解釋A如果ab，bc，那么acB如果ab0，那么a2b2C對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有a2+b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)

15、成立D如果ab，c0那么acbc考點(diǎn)：根本不等式專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：可將直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)度取作a，b，斜邊為cc2=a2+b2，可得外圍的正方形的面積為c2，也就是a2+b2，四個(gè)陰影面積之和剛好為2ab，可得對(duì)任意正實(shí)數(shù)a和b，有a2+b22ab，即可得出解答：解：可將直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)度取作a，b，斜邊為cc2=a2+b2，那么外圍的正方形的面積為c2，也就是a2+b2，四個(gè)陰影面積之和剛好為2ab，對(duì)任意正實(shí)數(shù)a和b，有a2+b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立應(yīng)選：C點(diǎn)評(píng)：此題考查了根本不等式的性質(zhì)、正方形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力，屬于根底題134分設(shè)x取實(shí)數(shù)

16、，那么fx與gx表示同一個(gè)函數(shù)的是Afx=x，gx=Bfx=，gx=Cfx=1，gx=x10Dfx=，gx=x3考點(diǎn)：判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)專題：常規(guī)題型分析：根據(jù)確定函數(shù)的三要素判斷每組函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，即需要確定每組函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域是否相同，也可只判斷前兩項(xiàng)是否相同即可確定這兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)解答：解：A組中兩函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，gx=|x|x，故A中的兩函數(shù)不為同一個(gè)函數(shù)；B組中兩函數(shù)的定義域均為所有正數(shù)構(gòu)成的集合，對(duì)應(yīng)關(guān)系化簡(jiǎn)為fx=gx=1，故B中的兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；C組中兩函數(shù)的定義域不同，fx的定義域?yàn)镽，gx的定義域?yàn)閤|x1，故C中的兩

17、函數(shù)不為同一個(gè)函數(shù)；D組中兩函數(shù)的定義域不同，gx的定義域?yàn)镽，fx的定義域由不等于3的實(shí)數(shù)構(gòu)成，故D中的兩函數(shù)不為同一個(gè)函數(shù)應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)定義域的求解，函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)三要素的認(rèn)識(shí)和把握程度，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于根本的函數(shù)題型144分是成立的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題：簡(jiǎn)易邏輯分析：根據(jù)不等式之間的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論解答：解：當(dāng)時(shí)，成立，即充分性成立，當(dāng)x=10，滿足成立但不成立，即必要性不成立故是成立充分不必要條件，應(yīng)選：A點(diǎn)評(píng)：此題主要考查充分

18、條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵154分在關(guān)于x的方程x2ax+4=0，x2+a1x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為A4a4Ba9或a7Ca2或a4D2a4考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：可以采用補(bǔ)集思想三個(gè)判別式均小于0的條件下取交集后再取補(bǔ)集即可解答：解：假設(shè)關(guān)于x的方程x2ax+4=0，x2+a1x+16=0，x2+2ax+3a+10=0沒(méi)有實(shí)根，那么，解得2a4，那么關(guān)于x的方程x2ax+4=0，x2+a1x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，a2或a4

19、，應(yīng)選C點(diǎn)評(píng)：此題考查了命題與命題的否認(rèn)，屬于根底題三、解答題共6大題，總分值60分168分解關(guān)于x的方程：x2+|2x3|=2考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：直接去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解即可解答：解：或，解之x=2或方程的解為：x=2或；點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的知識(shí)，根本知識(shí)的考查178分設(shè)關(guān)于x的不等式：1解此不等式；2假設(shè)2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍考點(diǎn)：其他不等式的解法專題：計(jì)算題；分類討論；不等式的解法及應(yīng)用分析：1化簡(jiǎn)不等式，得到k2xk2k4，討論k=2，k2，k2，解不等式，即可得到解集；2由條件討論k=2，k2，k2，得到不等式組，解出它們，再求并集即可解答

20、：解：1，即有k2xk2k4，所以當(dāng)k=2時(shí)，不等式的解為R；當(dāng)k2時(shí)，不等式的解為，即解集為：；當(dāng)k2且k0時(shí)，不等式的解為，即解集為：，；2由于，所以k=2符合；結(jié)合1可以得到：，解之2k3；或，解之0k2綜上k0，3點(diǎn)評(píng)：此題考查含參不等式的解法，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題1810分P=，Q=x|x22x+1m20，其中m0，全集U=R假設(shè)“xUP是“xUQ的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷專題：簡(jiǎn)易邏輯分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義和關(guān)系，結(jié)合不等式的關(guān)系，即可得到結(jié)論解答：解：由“xUP是“xUQ的必要不充分

21、條件，可得UPUQ，即PQ，P=x|2x10，Q=x|x22x+1m20=x|1mx1+m，那么，即，解得m9，故實(shí)數(shù)m的取值范圍9，+點(diǎn)評(píng)：此題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，根據(jù)不等式的解法求出集合是解決此題的關(guān)鍵1910分現(xiàn)有A，B，C，D四個(gè)長(zhǎng)方體容器，A，B的底面積均為x2，高分別為x，y；C，D的底面積均為y2，高分別為x，y其中xy現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)那么：每人從四種容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝問(wèn)先取者在未能確定x與y大小的情況下有沒(méi)有必勝的方案？假設(shè)有的話，有幾種？考點(diǎn)：不等式比擬大小專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：當(dāng)xy時(shí)，利用不等式的性質(zhì)可得：x3x2yxy2y3，即ABCD；當(dāng)xy時(shí)，同理可得：y3y2xyx2x3，即DCBA；又x3+y3xy2+x2y0即可得出解答：解：當(dāng)xy時(shí)，那么x3x2yxy2y3，即ABCD；當(dāng)xy時(shí)，那么y3y2xyx2x3，即DCBA；又x3+y3xy2+x2y=x3x2y+y3xy2=xy2x+y0在不知道x，y的大小的情況下，取A，D能夠穩(wěn)操勝券，其他的都沒(méi)有必勝的把握故只有