復(fù)雜邏輯推理問題

1、標(biāo)準(zhǔn)中級奧數(shù)教程復(fù)雜邏輯推理問題【知識要點和基本方法】i. 邏輯推理問題在近年來的許多競賽試題中，常常會見到這樣的一類題目，沒有或很少給岀什么數(shù)量關(guān)系；他們的解決方法主要不是依靠數(shù)學(xué)概念、法則、 公式進(jìn)行運算，較少用到專門的數(shù)學(xué)知識，而是根據(jù)條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，進(jìn)行合理的推理，做岀正確的判斷，最終找到問題的答 案，這就是邏輯推理問題（詳見例題）2邏輯推理問題的條件一般說來都具有一定的隱蔽性和迷惑性命且沒有一定的解題模式。因此，要正確解決這類問題，不僅需要始終抱 地靈活的頭腦，更需要遵循邏輯思維的基本規(guī)律-同一律、矛盾律和排中律。（1）“矛盾律”制的是在邏輯推理過程中，對同一結(jié)論的推理不能

2、自相矛盾。（2）“排中律”值的是在邏輯推理過程中，一個思想或為真或為假，不能既不真或為假，不能既不真也不假。（3）“同一律”指的是在邏輯推理過程中，同一對象的內(nèi)涵必須是確定的，在進(jìn)行判斷和推理的過程中，每一概念都必須在同一意義下使用，不許偷換。3. 邏輯推理問題拮據(jù)的方法一般有：（1）列表畫圖法。（2）假設(shè)推理法。（3）枚舉篩選法。下面將通過例題來學(xué)習(xí)上述提岀的三個規(guī)律和三種解決邏輯推理的方法?！纠}精講】（一）列表畫圖法例1 一次網(wǎng)球邀請賽，來自湖北，廣西，江蘇，北京，上海的五名運動員相遇在一起，據(jù)了解：（1）王平僅與另外兩名運動員比賽過；（2）上海運動員和另外三名運動員比賽過；（3）李兵沒

3、有和廣西運動員比賽過；（4）江蘇運動員和凌華比賽過；（5）廣西，江蘇，北京的三名運動員相互之間都比賽過；（6）趙林僅與一名運動員比賽過。問：張俊是哪個省市的運動員？分析：“趙林僅與一名運動員比賽過”，說明趙林只比賽過1場，由（2）、（ 5）可得知上海、廣西、江蘇、北京運動員至少都比賽過 2場或 以上，趙林只能是湖北運動員；由（3）、（5）知李兵不是廣西運動員，也不是江蘇、北京運動員， 李兵只能是上海運動員；又由（2）、（3）、（6）知，趙林（湖北）與李兵（上海）比賽過，李兵（上海）與趙林（湖北）、江蘇、北京運動員比賽過，可以知道 王平肯定是廣西運動員；由（4）知凌華不是江蘇運動員， 只能是北京

4、運動員（如下表）；據(jù)此采用列表法如下（用“X”表示否定，用“”表示肯定）：湖北廣西江蘇北京上海王平XX李兵XXXXV凌華XX趙林VXXXX張俊XX例2. A、E、C、D、E五個球隊進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩個隊之間都要比賽一場），進(jìn)行到中途，發(fā)現(xiàn)A、E、C、D比賽過的場次分別是4、3、2、1。問這時E隊賽過幾場？ E隊和那幾個隊賽過？分析：用平面上的點表示A、E、C、D、E隊，兩隊比賽過，用兩點連線表示；沒有比賽過，則不連線，據(jù)此畫出圖9 1,其理由如 下：A賽過4場，A與E、C、D、E均連線；E賽過三場，除與A賽過，還賽過2場，因為D只賽過1場（和A隊賽），因此E只能和C、D賽過；這樣正好符合C賽過

5、2場，D賽過1場?？梢钥闯鲞@時E隊和A、E兩隊賽過。說明 用圖表示所研究對象及其關(guān)系，是討論邏輯問題的另一個重要手段。用點表示所研究的對象，用連線表示對象之間的某種關(guān)系。充 分利用圖形的直觀性，便于說明問題。（二）假設(shè)推理法例3有四人打橋牌（牌中不含大、小王牌，每人共13張牌），已知某一人手中的牌如下： 紅桃、黑桃、方塊、梅花四種花色的牌都有； 各種花色的牌，張數(shù)不同； 紅桃和黑桃合起來共6張； 紅桃和方塊和起來有5張； 有兩張主牌（將牌） 。試問這手牌以什么花色為主牌？解 由于主牌不外乎四種花色之一，因此可以采用假設(shè)法。先假設(shè)紅桃為主牌。依題意，紅桃為兩張，則黑桃為4張，方塊為3張。一共有1

6、3張牌，梅花只能為4張，與黑桃張數(shù)相同，矛盾。其次架設(shè)方塊為主牌。依題意，方塊為兩張，則紅桃為3張，黑桃也為3張，矛盾。再假設(shè)梅花為主牌。因為主牌為兩張，所以黑桃、紅桃，方塊應(yīng)總共為11張，但根據(jù)條件、知，這三種花色的總和應(yīng)少于11張，又出現(xiàn)矛盾。所以只能是黑桃為主牌，此時紅桃4張，方塊1張，梅花6張。說明 推理的方法很多，如果題目中所涉及的情況只有有限種，我們可以先假設(shè)一個前提正確，以此為起點，如果推理導(dǎo)致矛盾，說明假 設(shè)的前提不正確，再重新提出一個假設(shè)，直至得到符合要求的結(jié)論為此。這種方法叫做“假設(shè)推理法”或“假設(shè)淘汰法”。這就是例4所用的方法。例 4.在一所公寓里有一人被殺害了，在現(xiàn)場共

7、有甲、乙、丙三人。已知這三人中，一個是主犯，一個是從犯，一個與案件無關(guān)，警察從現(xiàn) 場的人的口中得到下列證詞： 甲不是主犯； 乙不是從犯； 丙不是與案犯無關(guān)的人。這三條證詞中， 提到的名字都不是說話者本人， 三條證詞不一定分別出自三人之口， 但至少有一條是與案件無關(guān)的人講的， 經(jīng)過調(diào)查證實， 只有與案件無關(guān)的人說真話，問主犯是誰？解 由于“證詞中提到的名字都不是說話者本人” ，因此這三條證詞至少出自兩人之口。又由“只有與案件無關(guān)的人說了實話” ，所以這三 條證詞中至少有一條是與案件 無關(guān)的人講的真話。下面我們先對“只有一條是與案件無關(guān)的人講的真話”進(jìn)行假設(shè)。假設(shè)是真，、是假話，則甲與丙都是與案件

8、無關(guān)的人，或者甲與乙都是從犯，這與已知矛盾。假設(shè)是真話，、是假話，同上面情況類似，仍與已知矛盾。假設(shè)是真話，、是假話，則三人全是罪犯，也與已知矛盾。這說明三條證詞中應(yīng)有兩條是與案件無關(guān)的人講的真話。假設(shè)是假話，、是真話，則、應(yīng)出自與案件無關(guān)的人甲之口，但是假話，又推出甲是主犯，矛盾。假設(shè)是假話，、是真話，其結(jié)果與前一假設(shè)類似，仍然矛盾。所以只有是假話，、是真話。此時可知：丙是與案件無關(guān)的人，甲是從犯，乙是主犯。說明 “假設(shè)推理法”特別對解決“真假話”問題尤為有效。當(dāng)然用假設(shè)推理法解決問題，不僅限于上面的幾種情況，請看下面的例題。例5在一次戰(zhàn)役中，甲方俘虜了乙方10 0名官兵，一天甲方告知乙方的

9、10 0名俘虜：明天會以一種特別的方式釋放這10 0名俘虜中的一些人，這10 0名俘虜將被排成一列，他們的頭上將隨機的被戴上一頂黑色或白色的帽子。每個人都只能看見前面所有人的帽子的 顏色，但不能看到后面及自己頭上帽子的顏色。甲方軍官將從隊伍最后一個人開始逐一詢問同樣一個問題： “請說出泥頭上帽子的顏色” ，如果回答正確，該俘虜將無條件獲得釋放，如果 回答錯誤將被終身監(jiān)禁。當(dāng)然，每一個俘虜除能看到前面所有人的帽子顏色外，他還可以聽到后面俘虜所回答的帽子顏色（最后一名俘虜除外）。作為這100名俘虜?shù)闹笓]官將設(shè)計一個最好的策略告訴他的部下，在明天的“測試”中，使盡可能多的同伴獲得釋放。 請問：被虜方

10、的指揮官將設(shè)計一個什么樣的策略，使盡可能多的同伴（俘虜）獲得釋放，最多能釋放多少個俘虜？分析 10 0名俘虜全部被釋放是不可能的，因為第一位被詢問者，他的全部信息時看到前面9 9名俘虜頭上帽子的顏色，據(jù)此，他無法 確定他頭上帽子的顏色。 （黑色或白色）。但從倒數(shù)第二人開始，他們所獲得的信息比最后一人的信息多了一條，即除能看清前面所有人頭 上的帽子顏色外，還會聽到后面同伴所報出的自己頭上帽子的顏色。如果有一種策略，確保后面同伴所報帽子顏色是正確的話，那么，這 種策略對該人應(yīng)能確保它所報自己頭上帽子顏色的正確性。非?？上驳兀斆鞯闹笓]官想出了這樣一個“釋放”策略，使除最后一人（即 第一個被詢問者）

11、外，其余所有的俘虜，運用這個策略，均能準(zhǔn)確地推出自己頭上帽子顏色。這樣，除第一個被詢問者（即排在排尾的人） 外其余的人都能獲釋：共99人獲釋。說來十分奇妙，這個策略只是建立在一個十分簡單的互相之間的“約定”之上。解 排在最后的一名俘虜（即第一個被詢問者絕頂聰明而又富于自我犧牲精神的軍官）可以看到前面99人頭上所戴帽子的顏色， 由于99是奇數(shù)，它是兩種不同顏色帽子數(shù)的和，因此，必有一色帽子數(shù)為奇數(shù)（例如白色），那么，這個約定就是：第一位被詢問者就報他所看到的該色帽子數(shù)為奇數(shù)的顏色（即為白色） 。這個約定每一位被俘者人人皆知。那么，只要依照這個約定，除最后一位軍官外其 余的人（從第1位到第99位）

12、均能準(zhǔn)確推出自己頭上帽子的顏色。不妨假設(shè)最后一位軍官所報自己頭上帽子顏色為“白色” （注意：這意味著，他所看到前面99個同伴頭上白色帽子總數(shù)為奇數(shù)） ，于 是第99位俘虜依共同約定可以這樣分析：1.若他（第9 9位俘虜）所看到前面9 8人頭上白色帽子數(shù)是奇數(shù)，那么，他自己頭上帽子顏色不會是白色（因為奇數(shù)+1=偶數(shù)），否則，第10 0位俘虜所看到的白色帽子數(shù)為偶數(shù)（=奇數(shù)+1），按規(guī)則他不應(yīng)報“白色”，而應(yīng)該報“黑色” ！2. 若他（第 99位俘虜）所看到的前面 98 人頭上白色帽子數(shù)是偶數(shù)，依據(jù)他后面的軍官（第 100位）所報的“白色” ，按約定知，自 己頭上所戴帽子顏色應(yīng)該為白色！進(jìn)而考慮第

13、 98 位俘虜?shù)膱笊?. 若第 98位俘虜聽到第 99位俘虜報“黑色”（自然也聽到第 100位報“白色”），他將觀察他所看到的前面 97人中白色帽子的奇偶性： 若白色帽子數(shù)為奇數(shù)， 則他頭上所戴帽子顏色應(yīng)為黑色， 而不是白色（否則第 100 位俘虜所見白帽數(shù)為偶數(shù)） ；若所見白帽數(shù)為偶數(shù)， 則第 98位應(yīng)報“白色” （理由同學(xué)們細(xì)想一想，為什么？）4. 若第 98位俘虜聽到第 99 位俘虜報“白色” 。此時，他觀察前 97 人白帽子數(shù)的奇偶性：若他所見白帽數(shù)為奇數(shù)，而他后面的第 99 位報的是“白色” ，因為第 100 位報“白色” ，因此，他應(yīng)報“白色” ；若他所見到前面 97人中白帽數(shù)為

14、偶數(shù)，依據(jù)同樣推算，第 98 位此時應(yīng)報“黑色” 。依此類推，第97位，第96位、第1位，均可依據(jù)他們各自所聽到后面的報色情況及所見到的前面同伴頭上白帽數(shù)的奇偶性準(zhǔn) 確推斷出自己頭上帽子的顏色！這樣，除了排在最后一位被俘者（軍官）實在無法確定自己頭上帽子顏色外（雖然，他的判斷正確概率有50%） ，其余在他前面的 99位同伴，都可按照他所制訂的“約定”全部獲釋！（三）枚舉篩選法例 6 桌上放了 8 張背向上的撲克牌，牌放置的位置如圖 9-2所示。現(xiàn)已知： 每張牌都是a、K、Q、J中的某一張； 這 8 張牌中至少有一張 Q； A 只有一張； 所有的 Q 都夾在兩張 K 之間； 至少有一張 K 夾在

15、兩張 J 之間； 至少有兩張 K 相鄰； J與Q互補相鄰，A與K也互不相鄰。你知道這 8 張牌個是什么牌嗎？解 為了便于說明8張牌的位置，我們將其編號，如圖9-3,根據(jù)條件、，Q的位置有4種可能：（1） 3和6同時為Q; （2） 3為Q; （ 3）6為Q; （4） 4位Q。下面分別對這4種情況進(jìn)行討論：（1）3和6同時為Q。則2、4、5、7或2、4、8為K，但這兩種情況都不能滿足條件，排除。（2）3為Q。則2、4為K,由條件，A只能在5、7、8的位置上，且6不能為K，又由條件，則1必須是K，同樣不能滿足條件，排 除。（3）6為Q,則4、8或5、7為K，若4、8為K，不能滿足條件，若5、7為K，

16、不能滿足條件，若5、7為K，由條件，3必須為K，則2、4應(yīng)為J （條件），但這與條件不符，排除。（4） 只能4為Q,此時1、6為K，5、7為J，8為K?，F(xiàn)只剩下2、3個位置，根據(jù)要求可知，3為A，2為J.說明 這里為了解決問題的方便，把問題分為不重復(fù)，不遺漏的有限種情況。然后對各種情況一一枚舉，逐個檢驗，淘汰非解，最終達(dá)到 解決整個問題的目的。這就是教學(xué)中經(jīng)常用到的“枚舉篩選法” 。下面的例題又是“枚舉篩選法” 。下面的例題又是“枚舉篩選法”的一個 應(yīng)用題。例 7 某個家庭先有四個家庭成員。他們的年齡各不相同，他們的年齡總和是129歲，而其中三個人的年齡是平方數(shù)。若倒退 15年，這四人仍有三人

17、的年齡是平方數(shù)。你知道他們各自的年齡嗎？解 根據(jù)條件可知四人的年齡都應(yīng)在 15歲到 129歲之間，并且有三人的年齡是 15至129之間的平方數(shù)，所以應(yīng)對 15至129之間的平方數(shù) 進(jìn)行枚舉與篩選。設(shè)四個人的現(xiàn)有年齡分別為 a2、b2、c2和d （a、b、c、d都是自然數(shù)），有a2+b2+c2+d=129 且 a2>15, b 2>15,c 2>15,d > 15因此，對于a2、b2、c2來說，可能出現(xiàn)的數(shù)字是：16，25，36，49，64，81, 100, 121。因為15年前仍有3人的年齡是平方數(shù)，所以在a2、b2、c2中至少有兩個減去15后仍然是平方數(shù)。在上述8個平

18、方數(shù)種不難發(fā)現(xiàn)，只有16 - 15=1 , 64 - 15 = 49 符合條件，故 a2 = 16 , b2 = 64。此時，c2+d = 129 - 16 - 64 = 49，將49分解成兩個都大于等于 15,且其中之一為平方數(shù)的自然數(shù)，只有c2 = 25 , d = 24，這樣，d-15 = 9，恰好是平方數(shù)。由此得到四人的年齡分別為： 16歲、 24歲、 25歲和 64歲?！菊n后練習(xí)題】1 地理課上，老師拐出一張沒有注明省份名稱的中國地圖，其中有五個省分別編上了1-5號。讓大家寫出每個編號是哪一省。 A 答： 2號是陜西， 5 號是甘肅; B 答： 2 號是湖北， 4 號是山東; C 答

19、： 1 號是山東， 5 號是吉林; D 答： 3 號是湖北， 4 號是吉林; E 答： 2 號是甘肅， 3號是陜西。這 5 名同學(xué)每人都只答對了一個省，并且每個編號只有一個人答對，為1-5號各是哪個??？2在甲、乙、丙三人中，有一位老師，一位工人，一位戰(zhàn)士。知道丙比戰(zhàn)士年齡大，甲和工人不同歲，工人比乙年齡小。請判斷三人的 身份。310個好朋友彼此住的很遠(yuǎn)，又沒有電話，只能靠寫信互通消息。這10個人每人知道一件好消息（這 10 個人各自知道的好消息不同） ，為了讓這 10 個人都知道所有好消息，他們至少讓郵遞員送幾封信？4四所小學(xué)，每所小學(xué)兩支足球隊，這 8 支足球隊進(jìn)行友誼賽，規(guī)定本校的兩只球隊

20、不比賽，任兩個隊（除同一個學(xué)校的兩個隊外）賽 一場，且只賽一場，比賽進(jìn)行第一階段后（還沒賽完） ， A 學(xué)校第一隊隊長發(fā)現(xiàn)其他各隊已賽的場所互不相同，問：這時 A 學(xué)校的第二隊 賽了幾場？5. 四位數(shù)abed與9的乘積deba,其中a,b,c,d表示不同的數(shù)字，求原四位數(shù)。6有 A、B、C 三個盒子，一個盒子放著鹽，另外兩個盒子放著白糖，每個盒子上各有一句話：A 盒子上寫著：這里放著白糖B 盒子上寫著：這里放著鹽C盒子上寫著：白糖放在 B盒中這三句話中只有一句是真的，請問鹽放在哪個盒子里？75 個足球隊進(jìn)行循環(huán)比賽，即每兩個隊之間都要賽一場。每場比賽勝者得2 分、負(fù)者得 0 分、打平兩隊各得

21、1 分，比賽結(jié)果各隊得分互不相同。（1）第 1 名的隊沒有平過；（2）第 2 名的隊沒有負(fù)過；（3）第 4 名的隊沒有勝過。 問全部比賽共打平多少場？ 8老師要從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選派兩人去參加某項活動，征求他們的意見，甲說：我服從分配。乙說：如果甲去，那么我就去。 丙說：如果我不去，那么乙也不能去。丁說：我和甲都去，要不都不去。老師要滿足他們的要求，應(yīng)該派誰去？9甲、乙、丙、丁四人對 A 先生的藏書數(shù)量進(jìn)行了一個估計，甲說： A 先生有 500本書；乙說： A 先生至少有 1000 本書；丙說： A 先生 的書不到 2000 本；丁說： A 先生至少有 1 本書。這四人的估計中只有 1

22、人是對的。問 A 先生究竟有多少本書？10共有 4 人進(jìn)行跳遠(yuǎn)、百米、鉛球、跳高四項比賽。規(guī)定每個單項第一名記5 分，單項第二名記 3 分，單項第三名記 2 分，單項第四名記 1 分。每一個單項中四人得分互不相同?？偡值谝幻@得 17 分，其中跳高項得分低于其它項得分；總分第三名獲11 分，其中跳高得分高于其他項得分。問總分第二名的鉛球這項的得分是多少分？11 某工廠為了表揚好人好事核實一件事，廠方找到A、B、C、D四人。A說：“是B做的” B說：“是D做的”，C說：“不是我做的”,D說：“B說的不對”這四人中只有一人說了實話。問：這件好事是誰做的？12在一次射擊練習(xí)中，甲、乙、丙三位戰(zhàn)士打了四發(fā)子彈，全部中靶，其中命中情況如下：（1）每人四發(fā)子彈命中的環(huán)數(shù)各不相同；（2）每人四發(fā)子彈命中的總環(huán)數(shù)均為 17環(huán)；（3）乙有兩發(fā)命中的環(huán)數(shù)分別與甲其中兩發(fā)一樣，乙另外兩發(fā)命中的環(huán)數(shù)與丙其中兩發(fā)一樣；（4）甲與丙只有一發(fā)環(huán)數(shù)相同；（5）每人每發(fā)子彈的最好成績不超過 7 環(huán)。問：甲與丙命中的相同環(huán)數(shù)是幾？13 小趙的計算機密碼是一個五位數(shù)，它由 5個不同的數(shù)字組成小張