(完整word版)高中數(shù)學圓錐曲線試題(含答案),推薦文檔

1、第1頁/共 20 頁理 數(shù)圓錐曲線1. （2014 大綱全國,9,5 分）已知雙曲線 C 的離心率為 2,焦點為 Fi、F2,點 A 在 C 上若|FiA|=2|F2A|,則第2頁/共 20 頁cos / A2Fi=()丄 _L 返 返A(chǔ).；B. C. | D.答案1.A嚴 A-|再 A|6解析1.由題意得 解得 |F2A|=2a,|FiA|=4a,C又由已知可得=2,所以 c=2a,即|FiF2|=4a,療 A|切圻耳曲叩仝 i 邑哎_ cos /2Fi=王巧 桿月 =2 * 2E如 =4.故選 A.2. （2014 大綱全國,6,5 分）已知橢圓 C:廠+ =1（ab0）的左、右焦點為 F

2、i、F2,離心率為：，過F2的直線 l 交 C 于 A、B 兩點若 AFB 的周長為 4 ，則 C 的方程為（）ITTTItTX VXX FX VrirtrA. + =1 B. +y2=1 C.： ：+ - =1DJ + =1答案2.A解析2.由題意及橢圓的定義知X /+=1,選 A.3. (2014 重慶,8,5 分)設(shè) F1、F2分別為雙曲線-=1(a0,b0)9P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1| |PF2|=tab,則該雙曲線的離心率為 (459A. B. CD.3答案3.B的左、右焦點，雙曲線上存在一點） c=1,2=2,C的方程為第3頁/共 20 頁解析駁設(shè)|PFd=m

3、,|PF2|=n,依題意不妨設(shè) mn0,于是9m + ti rn-nm- n= ?m=3n455 a=n,b= n?c=1n, e=，選 B.x y0k9,則曲線 一 =1 與曲線-=1 的（）答案4.A解析4. / 0k0,25-k0.又 25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,它們的焦距相等，故選 A.2X5. （2014 福建,9,5 分）設(shè) P,Q 分別為圓 x2+（y-6）2=2 和橢圓丨+y2=1 上的點，則 P,Q 兩點間的最大距離是（）A.5 B. +C.7+ D.6答案5.Df1、fflt 一 n 舍去L3J4. （2014 廣東,4,5 分）若實數(shù) k 滿足A.焦距相

4、等B.實半軸長相等C.虛半軸長相等D.離心率相等WM 與 -=1 均表示雙曲線第4頁/共 20 頁解析5.設(shè) Q（Jcos0,sin 圓心為，M,由已知得 M（0,6）,貝 U|MQ|=第5頁/共 20 頁=.I -I：X卩.6.（2014 山東,10,5 分）已知 ab0,橢圓 C1的方程為：+=1,雙曲線 C2的方程為：=1,C1J3與 C2的離心率之積為，則 C2的漸近線方程為A.x 土 - y=0B.x y=0答案6.A-r vC.x 2y=0D.2x y=0解析6.設(shè)橢圓r-e1e2=，所C1和雙曲線J/-臚?C2的離心率分別為4， 即e1禾口 e2,貝 U e1=,e2= = .因

5、為故雙曲線的漸近線方程為b_Vjy= x= - x,即 x-y=0._ry7.（2014 天津,5,5 分）已知雙曲線八打=1（a0,b0）的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,雙曲線的一個焦點在直線 I 上,則雙曲線的方程為（A. _ 21】=1 B. & =1C.25 100=13衛(wèi) 3/D.I00-25=1故|PQ|max=5+=6第6頁/共 20 頁答案9. D答案7.A解析7.由題意得=2 且 c=5.故由 c2=a2+b2，得 25=a2+4a2,則 a2=5,b2=20,從而雙曲線方程為X2尸5五日.8.（2014 山東青島高三第一次模擬考試，10）如圖，從點發(fā)出的光

6、線，沿平行于拋物線y=x的對稱軸方向射向此拋物線上的點 ，經(jīng)拋物線反射后，穿過焦點射向 拋物線上的點，再經(jīng)拋物線反射后射向直線上的點.，經(jīng)直線反射后又回到點；，則等于（）A.B.C.D.答案8. B解析8.由題意可得拋物線的軸為軸，所以所在的直線方程為在拋物線方程中，令可得.，即 - 從而可得m,-,因為經(jīng)拋物線反射后射向直線:上的點 ，經(jīng)直線反射后又回到點,所以直線的方程為.1,故選 B.9.（2014 安徽合肥高三第二次質(zhì)量檢測，4） 下列雙曲線中，有一個焦點在拋物線準線上的是（）D.5/-20= 1第7頁/共 20 頁解析9.因為拋物線的焦點坐標為，準線方程為，所以雙曲線的焦點在軸c2r

7、n2!)上，雙曲線的焦點在 軸且為 滿足條件故選 D.力221JT10. (2014 江西，15,5 分)過點 M(1,1 )作斜率為 二 的直線與橢圓 C：+=1(ab0)相交于 A,B 兩點，若 M 是線段 AB 的中點，則橢圓 C 的離心率等于答案10.解析10.設(shè) A(X1,y1),B(X2,y2),則門 + =1 ,xl y八+ =1.耳詵 護刀+兀、兩式相減并整理得二廠I蘭 2把已知條件代入上式得，二=-兒x,11. (2014 湖南,15,5 分)如圖，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的邊長分別為 a,b(a0)經(jīng)過 C,F 兩點則=_.答案11.1+、a解析11.|OD|

8、=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故 C - ,F -,第8頁/共 20 頁又拋物線 y2=2px(p0)經(jīng)過 C、F 兩點,第9頁/共 20 頁b=a2+2ab, .v -2:-1=0,b又- 1, .4 =1+近./12.(2014 安徽,14,5 分)設(shè) FI,F2 分別是橢圓 E:x2+=1(0b1)的左、右焦點，過點 Fi的直線交橢圓E 于 A,B 兩點若|AF1|=3|F1B|,AF2x軸，則橢圓 E 的方程為 _ .3，松小曲負答案12.x2+y2=1解析12.不妨設(shè)點 A 在第一象限，:慮吐軸, A(c2b(其中 c2=1-b2,0b0). r %上33 丿，代入

9、x2+=1 得 913.(2014浙江,16,4分)設(shè)直線x-3y+m=0(m豐0)與雙曲線-=1(a0,b0)的兩條漸近線分別交于點 A,B.若點 P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是答案13. ittrt buram十“則線段 AB 的中點為 M由題意得 PML AB,kpM=-3,得 a2=4b2=4c2-4a2故 e2=14. (2014 天津薊縣第二中學高三第一次模擬考試,答案14. y=3a-I25?工+ =1,又ULULil JU又/ |AF1|=3|F1|,由眄=3 殲得 pl3y2=1.75 e=12)拋物線 +12y=0 的準線方程是從而有方故橢圓第10

10、頁/共 20 頁解析14.拋物線的標準方程為：.，由此可以判斷焦點在y 軸上，且開口向下，且 p=6 ,所以其準線方程為y=3.15. (2014 大綱全國，21,12 分)已知拋物線 C:y2=2px(p0)的焦點為 F,直線 y=4 與 y 軸的交點為 P,與 C 的交點為Q,且|QF|= |PQ|.(I)求 C 的方程；(n)過 F 的直線 I 與 C 相交于 A、B 兩點若 AB 的垂直平分線 I與 C 相交于 M、N 兩點且 A、M、B、 N 四點在同一圓上，求 I 的方程.答案15.查看解析8-沁識“解析15.(I)設(shè) Q(x0,4),代入 y2=2px 得 X0=. P 所以 |

11、PQ|=，|QF|= +X0= +P 8_58_由題設(shè)得- + =!,解得 p=-2(舍去)或 p=2.所以 C 的方程為 y2=4x.(5 分)(n)依題意知 I 與坐標軸不垂直，故可設(shè) I 的方程為 x=my+1(m豐0).代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0.設(shè) A(X1,y1),B(x2,y2),則 y1+y2=4m,y1y2=-4.故 AB 的中點為 D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).丄又 I的斜率為-m,所以 I的方程為 x=- 一 y+2m2+3.將上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0.4_設(shè) M(x3,y3),N

12、(x心),則 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). (10 分)第11頁/共 20 頁丄由于 MN 垂直平分AB,故 A、M、B、N四點在同一圓上等價于|AE|=|BE|= -：|MN|,從而!|AB|2+|DE|2=即 4(m2+1)2+化簡得 m2-仁 0,解得 m=1 或 m=-1.所求直線 I 的方程為 x-y-1=0 或 x+y-1=0.(12 分)2Xx y16. (2014 四川,20,13 分)已知橢圓 CJ+=1(ab0)的焦距為 4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.(I)求橢圓 C 的標準方程；(n)設(shè) F 為橢圓 C 的左焦點,T 為直線 x=-

13、3 上任意一點，過 F 作 TF 的垂線交橢圓 C 于點 P,Q.(i) 證明：OT 平分線段 PQ(其中 O 為坐標原點);I 舊(ii) 當帆創(chuàng)最小時，求點 T 的坐標.解得 a2=6,b2=2,xJ所以橢圓 C 的標準方程是+ =1.(n)(i)由(I)可得,F 的坐標是(-2,0),設(shè) T 點的坐標為(-3,m)./w-0則直線 TF 的斜率 kTF= =-m.故 MN 的中點為EM用,|MN|=|y3-y4|=itr|MN|2, 皿丫4(JW+1)(2/ji +1)in答案16.查看解析解析16.(I)由已知可得 (10 分)第12頁/共 20 頁丄當 m0 時，直線 PQ 的斜率

14、kpQ=；,直線 PQ 的方程是 x=my-2.當 m=0 時，直線 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式.第13頁/共 20 頁設(shè) P(xi,yi),Q(X2,y2),將直線 PQ 的方程與橢圓 C 的方程聯(lián)立，得消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判別式 =16m2+8(m2+3)0.2,y1y2=所以 PQ 的中點 M 的坐標為 I 肘+ 3 W + 3 丿.jtr所以直線 OM 的斜率 kM=- rrrt又直線 OT 的斜率 koT=-所以點 M 在直線 OT 上, 因此 OT 平分線段 PQ.(ii)由(i)可得,|TF|= -117. (2014 廣東

15、,20,14 分)已知橢圓 C:：+ =1(ab0) 的一個焦點為(廠,0),離心率為(1)求橢圓 C 的標準方程若動點 P（xo,yo）為橢圓 C 外一點且點 P 到橢圓 C 的兩條切線相互垂直，求點 P 的軌跡方程4fti亦匚3所以 yi+y2=xi+x2=m(yi+y2)_4=-12加 3TF=T旳+1，即 m=1時，等號成立，此時當且僅當 m2+仁izn“最小時，T 點的坐標是(-3,1)或(-3,-1).rr卜訥取得最小值.所以當?shù)?4頁/共 20 頁答案17.查看解析解析17.(1)由題意知 c=、，e= =, a=3,b2=a2-c2=4,故橢圓 C 的標準方程為+I=1.設(shè)兩切

16、線為 11,12,1當 11丄 X 軸或 11/X由時,12/X軸或 12丄X軸，可知 P（3,2）.2當 11與 x 軸不垂直且不平行時，X0工土設(shè) 11的斜率為 k,且 k豐0 則 12的斜率為-,11的方程為JCV整理得(9k2+4)x2+18(yo-kxo)kx+9(yo-kxo)2-36=O,直線 11與橢圓相切， 即,9(y0-kx0)2k2-(9k2+4) (y0-kx)2-4=0, ( -9)k2-2x0yk+ -4=0,k是方程（-9）x2-2x0yx+ -4=0 的一個根，I同理，-是方程（-9）x2-2xy0X+-4=0 的另一個根（n止.k女丿=，整理得 +兒=13,其

17、中 X。工土 3,點 P 的軌跡方程為 x2+y2=13（x 工土 3）.檢驗 P（ 3, 2 滿足上式.綜上，點 P 的軌跡方程為 x2+y2=13.18. （2014 江西,20,13 分）如圖，已知雙曲線 C:-y2=1（a0）的右焦點為 F,點 A,B 分別在 C 的兩條漸近線上,AF 丄 x 軸,AB 丄 OB,BF/ OAQ 為坐標原點）.第15頁/共 20 頁求雙曲線 C 的方程;過 C 上一點 P(xo,yo)(yoM0 的直線 I:-yoy=1 與直線 AF 相交于點 M,與直線 x=相交于點 N.答案18.查看解析解析18.(1)設(shè) F(c,O),因為 b=1,所以 c 八

18、，由(1)知 a= ，則直線 I 的方程為 -yoy=1(yo豐0), 即 y= 一 .直線 l 與直線 x=q 的交點為時|則“ 因為 P(xo,yo)是 C 上一點，貝 U| 硏4(274阿 2 朋所求定值為代鬥=；=VX19. (2014 陜西,2017,13 分)如圖，曲線 C 由上半橢圓 0:+=1(ab0,y 0 和部分拋物線C2：y=-x2+l(yw0 連接而成，G 與 C2的公共點為 A,B,其中 Ci的離心率為1隅C C-2 21又直線 0A 的方程為 y=x，則 A、的,kAB=“又因為 AB 丄 OB 所以. if Ja2=3,=-1,解得直線 OB 的方程為 y=-材

19、x,直線 BF 的方程為 y=尬斶，解得刼 C 上移動時，1 厲鬥恒為定值，并求此定值.故雙曲線 C 的方程為-y2=1.因為直線 AF所以直線 I 與 AF 的交點為Ml3va3-Ju=1,代入上式得(2 蟄 3尸 斗-V，_一 =: = 第16頁/共 20 頁P,Q(均異于點 A,B),若 AP 丄 AQ 求直線 l 的方程.答案19.查看解析解析19.(I)在 Ci,C2的方程中，令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半橢圓 Ci的左右頂點.設(shè) Ci的半焦距為 c,由= 及 a2-c2=b2=1 得 a=2. a=2,b=1.r|T(n)解法一：由(I)知上半橢圓

20、 G 的方程為 +x2=1(y 0).易知，直線 I 與 x 軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為 y=k(x- 1)(k豐0),代入 C 的方程，整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)設(shè)點 P 的坐標為(XP,yP), 直線 I 過點 B, x=1 是方程(*)的一個根.由求根公式得 XP= 從而 yP=*4一肚)點 P 的坐標為1v= -.r 嶼(“同理，由得點 Q 的坐標為(-k-1,-k2-2k).i = (k,-4), =-k(1,k+2).5. z/ APIAQ, b0)右焦點 頂點 B 的坐標為(0,b),連結(jié) BF2并延長交橢圓于點 A,過點 A 作 x 軸的垂線交橢圓

21、于另一.答案20.查看解析解析20.設(shè)橢圓的焦距為 2c,則 Fi(-c,0),F2(c,0).(1)因為 B(0,b),所以 BF2=a.16 199.+,因為 B(0,b),F2(c,0)在直線 AB 上,的左、=1,解得 b2=1.所以點 A 的坐標為連結(jié)FiC.又 BF2= ，故 a=-所以直線解方程組第18頁/共 20 頁沁a+ca+ c又 AC 垂直于 x 軸，由橢圓的對稱性，可得點 C 的坐標為第19頁/共 20 頁21.(2014遼寧,20,12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積 最小時，切點為 P(如圖),雙曲線 GE -=1 過

22、點 P 且離心率為.(I)求 C1的方程;答案21.查看解析解析21.(I)設(shè)切點坐標為(xo,yo)(xoO,y00),則切線斜率為-，切線方程為一 y-yo=-(x-xo),即xox+yoy=4,此時，兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S= =.由+ =4 2xoyo知當且僅當 xo=yo=、 時 xoyo有最大值，即 S 有最小值，因此點 P 的坐標為（運，冋2 2 .FL由題意知 9 =3 解得 a2=1,b2=2,故 G 的方程為 x2- =1.2JX y(n)由(i)知 C2的焦點坐標為(-、,0),0),由此設(shè) C2的方程為+=1,其中 b1o.2 2由 P( * J )

23、在 C2上得+ =1,2 1X V解得* =3,因此 C2的方程為& + 3 =1.龍=旳，+、仗M 上二 1顯然，1 不是直線 y=0.設(shè) I 的方程為 x=my+宀，點 A(x1,y1),B(x2,y2),由2/c因為直線 FiC 的斜率為：:亠且 FiC丄 AB丄 邁a2=5c2.故 e2=.因此 e=P 且與 C1有相同的焦點，直線 I 過 C2的右焦點且與C2交于 A,B 兩點，若以線段 AB 為b,直線 AB 的斜率為-：1=-1.又 b2=a2-c2,整理得丈 I 的方程.第20頁/共 20 頁因此得 （m5由 x；=myi,X2=my：2 再得茫?第 i21頁/共 20

24、 頁2rz i、*66?r公x:=ry(y + V3m (”)-$ = 一. 4因i =( ：，一 _Xi,- -！)，；=(：,_ -X2, t - -y2).由題意知 =0,所以 xiX2-：；心；(xi+X2)+yiy2-(yi+y2)+4=0. 將,代入式整理得22.(2012 太原高三月考，20,12 分)已知曲線 C:x2+A=1.(I)由曲線 C 上任一點 E 向 x 軸作垂線，垂足為 F,動點 P 滿足:T=3pt,求 P 點的軌跡方程，并討論其軌 跡的類型；y(n)如果直線 I 的斜率為理至,且過點 M(0,-2),直線 I 與曲線 C 交于 A、B 兩點又人 =-2，求曲線

25、 C 的方程答案22.(I)設(shè) E(X0,y0),P(x,y),則 F(X0,0),快.=3 慶, (xx0,y)=3(x-x0,y-y0),fx0=x._2山 f涉代入曲線 C 中得 x2+W=i 為所求的 P 點的軌跡方程.(2 分)1當入=時,P 點軌跡表示：以(0,0)為圓心，半徑 r=i 的圓;(3 分)2m2-2解得 m=(3 ,- x-心 m+4 皿-i 仁 0,3恵並-i 或 m=-+i.因此直線 I 的方程為憐 lyey- =0 或 x+4第22頁/共 20 頁2當 0入 時,P 點軌跡表示：中心在坐標原點，焦點在 x 軸上的橢圓；（4 分）- 4一3當入時,P 點軌跡表示：

26、中心在坐標原點，焦點在 y 軸上的橢圓;（5 分）4當入0 時,P 點軌跡表示：中心在坐標原點，焦點在 x 軸上的雙曲線.（6 分）（n）由題設(shè)知直線 I 的方程為 y 丸二 X-2，代入曲線 C 中得（入 +2）2-4.t_X+4-入=0,（7 分）令 A（xi,yi）,B（x2,y2）,以上方程有兩解， 2=31（入+2）（4-入）0 且入+2豐0,（8 分）入或入0 且入乂 2,3(4-A) y1X2= 2 =-2 .(10 分) 解得入“4,（11 分）曲線 C 的方程是 x2-=1.（12 分）22.23.（2012 山西大學附中高三十月月考，21 , 12 分）設(shè)橢圓I11的離心率!tr$匚，右焦點到直線的距離：:為坐標原點.2a b1（I）求橢圓的方程；（II）過點：作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于疳:.加兩點，證明：點：1到直線的距離為定值，并求弦 .長度的最小值.答案23. （I）由題意得，-1遼,7 - 二淪：tt 2又 I 閹=xiX2+(yi+2)(y2+2)=3x4第23