《彈性力學(xué)》試題參考答案

1、彈性力學(xué)試題參考答案（答題時間：100分鐘）一、填空題（每小題4分）1最小勢能原理等價于彈性力學(xué)基本方程中： 平衡微分方程 ， 應(yīng)力邊界條件 。2一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足： 平衡微分方程 ，相容方程（變形協(xié)調(diào)條件） 。3等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中， 的物理意義是 桿端截面上剪應(yīng)力對轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩M 。4平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，Airy應(yīng)力函數(shù)在邊界上值的物理意義為 邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩 。5彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為： ，。二、簡述題（每小題6分）1試簡述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在彈性力學(xué)分析中的作用。圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換

2、為分布不同但靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計。作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。2圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)的分離變量形式。題二（2）圖（a） （b）3圖示矩形彈性薄板，沿對角線方向作用一對拉力P，板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量E、泊松比 m 已知。試求薄板面積的改變量。 題二（3）圖設(shè)當(dāng)各邊界受均布壓力q時，兩力作用點(diǎn)的相對位移為。由得，設(shè)板在力P作用下的面積改變?yōu)?，由功的互等定理有：將代入得：顯然，與板的形狀

3、無關(guān)，僅與E、l有關(guān)。4圖示曲桿，在邊界上作用有均布拉應(yīng)力q，在自由端作用有水平集中力P。試寫出其邊界條件（除固定端外）。題二（4）圖（1）；（2）（3） 5試簡述拉甫（Love）位移函數(shù)法、伽遼金（Galerkin）位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想，并指出各自的適用性Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想：（1）變求多個位移函數(shù)或為求一些特殊函數(shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。（2）變求多個函數(shù)為求單個函數(shù)（特殊函數(shù)）。適用性：Love位移函數(shù)法適用于求解軸對稱的空間問題； Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對稱的空間問題。三、計算題1圖示半無限平面體在邊

4、界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P，設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為 ） （13分）題三（1）圖解：很小，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。將應(yīng)力函數(shù)代入，可求得應(yīng)力分量： ； ； 邊界條件：（1）； 代入應(yīng)力分量式，有 或 （1）（2）取一半徑為r 的半圓為脫離體，邊界上受有：，和M = Pd由該脫離體的平衡，得將代入并積分，有 得 （2）聯(lián)立式（1）、（2）求得：，代入應(yīng)力分量式，得； ； 。結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處可適用。2圖示懸臂梁，受三角形

5、分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程求出，并檢驗該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。（12分） 題三（2）圖解：（1）求橫截面上正應(yīng)力任意截面的彎矩為，截面慣性矩為，由材料力學(xué)計算公式有 （1）（2）由平衡微分方程求、平衡微分方程： 其中，。將式（1）代入式（2），有積分上式，得利用邊界條件：，有 即 （4）將式（4）代入式（3），有 或 積分得利用邊界條件：，得：由第二式，得將其代入第一式，得 自然成立。將代入的表達(dá)式，有 （5）所求應(yīng)力分量的結(jié)果： （6）校核梁端部的邊界條件：（1）梁左端的邊界（x = 0）：， 代入后可見：自然滿足。（2）梁右端的邊界（x =

6、 l）：可見，所有邊界條件均滿足。檢驗應(yīng)力分量是否滿足應(yīng)力相容方程：常體力下的應(yīng)力相容方程為將應(yīng)力分量式（6）代入應(yīng)力相容方程，有，顯然，應(yīng)力分量不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（6）并不是該該問題的正確解。3一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為l，抗彎剛度EI為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k。梁受有均勻分布載荷q作用，如圖所示。試：（1）構(gòu)造兩種形式（多項式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)；（2）用最小勢能原理或Ritz法求其多項式形式的撓度近似解（取1項待定系數(shù)）。 （13分）題二（3）圖解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為 多項式函數(shù)形式 三角函數(shù)形式此時有：即滿足梁的端部邊界條件。 梁的總勢能為取

7、：，有，代入總勢能計算式，有由，有代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為4已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)的應(yīng)力分量為：，試求經(jīng)過該點(diǎn)的平面上的正應(yīng)力。 （12分）解：由平面方程，得其法線方向單位矢量的方向余弦為， 彈性力學(xué)課程考試試卷學(xué)號： 姓名： 工程領(lǐng)域： 建筑與土木工程題號一二三四五總分得分考試時間：120分鐘 考試方式：開卷 任課教師：楊靜 日期：2007年4月28日一、簡述題（40分）1. 試敘述彈性力學(xué)兩類平面問題的幾何、受力、應(yīng)力、應(yīng)變特征，并指出兩類平面問題中彈性常數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 2. 彈性力學(xué)問題按應(yīng)力和位移求解，分別應(yīng)滿足什么方程？3. 寫出直角坐標(biāo)下彈性力學(xué)平面問題的基本方程和

8、邊界條件？4. 寫出彈性力學(xué)按應(yīng)力求解空間問題的相容方程。5. 求解彈性力學(xué)問題時，為什么需要利用圣維南原理？ 6. 試敘述位移變分方程和最小勢能原理，并指出他們與彈性力學(xué)基本方程的等價性? 7. 試判斷下列應(yīng)變場是否為可能的應(yīng)變場？（需寫出判斷過程），。 8. 試寫出應(yīng)力邊界條件：（1）（）圖用極坐標(biāo)形式寫出；（2）（）圖用直角坐標(biāo)形式寫出。 （）圖 （）圖二、計算題（15分）已知受力物體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為：， ，。試求作用在過此點(diǎn)的平面上的沿坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量，以及該平面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。 三、計算題（15分）圖示矩形截面懸臂梁，長為，高為，在左端面受力作用。不計體力，試求梁的應(yīng)力分量

9、。（試取應(yīng)力函數(shù)）四、計算題（15分）圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P，設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（試取應(yīng)力函數(shù)） 五、計算題（15分）如圖所示的懸臂梁，其跨度為。抗彎剛度為，在自由端受集中力作用。試用最小勢能原理求最大撓度。（設(shè)梁的撓度曲線） 彈性力學(xué)試題（答題時間：120分鐘） 班級 姓名 學(xué)號 題號一二三總 分（1）（2）（3）（4）得分一、填空題（每小題4分）1用最小勢能原理求解時所假設(shè)的位移試函數(shù)應(yīng)滿足： 。2彈性多連體問題的應(yīng)力分量應(yīng)滿足 ， ， ， 。3拉甫（Love）位移函數(shù)法適用 空間問題；伽遼

10、金（Galerkin）位移函數(shù)法適用于 空間問題。4圣維南原理的基本要點(diǎn)有 ， ， 。5有限差分法的基本思想為： ， 。二、簡述題（每小題5分）1試比較兩類平面問題的特點(diǎn)，并給出由平面應(yīng)力到平面應(yīng)變問題的轉(zhuǎn)換關(guān)系。2試就下列公式說明下列問題：（1）單連體問題的應(yīng)力分量與材料的彈性常數(shù)無關(guān)；（2）多連體彈性力學(xué)問題中應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無關(guān)的條件。式中：均為解析函數(shù)；均為單值解析函數(shù)。3試列寫圖示半無限平面問題的邊界條件。題二（3）圖4圖示彈性薄板，作用一對拉力P。試由功的互等定理證明：薄板的面積改變量與板的形狀無關(guān)，僅與材料的彈性模量E、泊松比 m 、兩力P作用點(diǎn)間的距離l有關(guān)。 題二（4）圖5

11、下面給出平面問題（單連通域）的一組應(yīng)變分量，試判斷它們是否可能。 6等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足： 式中：G為剪切彈性模量；K為桿件單位長度扭轉(zhuǎn)角。試說明該方程的物理意義。三、計算題1 圖示無限大薄板，在夾角為90°的凹口邊界上作用有均勻分布剪應(yīng)力q。已知其應(yīng)力函數(shù)為： 不計體力，試求其應(yīng)力分量。 （13分）題三（1）圖2圖示矩形截面桿，長為l，截面高為h，寬為單位1，受偏心拉力N，偏心距為 e，不計桿的體力。試用應(yīng)力函數(shù)求桿的應(yīng)力分量，并與材料力學(xué)結(jié)果比較。 （12分） 題三（2）圖3圖示簡支梁，其跨度為l，抗彎剛度EI為常數(shù)，受有線性分布載荷q作用。試求：（1）用