2018版高中數(shù)學(xué)小問題集中營專題5.2疑難點(diǎn)與球體有關(guān)的組合體問題

1、問題2疑難點(diǎn) 與球體有關(guān)的組合體問題一、問題的提出有球體有關(guān)的組合體問題是每年必考的內(nèi)容，幾何體的內(nèi)切球，外接球問題都是高考中的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中必須對重、難點(diǎn)進(jìn)行突破二、問題的探源1 .正方體的內(nèi)切球a球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為ri=，過在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面如圖（1）.2 .球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對角面有2=亠|，如圖 .3 .長方體的外接球長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直1 徑，若長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長為a,b,c,則過球心作

2、長方體的對角面有球的半徑為3=空,a2+b2+c2,如圖（3）.正方體棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為 2R=3a.5.正四面體的外接球正四面體的棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為 2R=a.三、問題的佐證【典型例題】在三棱錐S - ABC中，底面ABC是直角三角形，其斜邊AB = 4,SC_平面ABC,且SC =3，則三棱錐的外接球的表面積為（）A.25二 B.2OC.16二 D.13：【答案】A【解析】根據(jù)已知，可將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，如下圖:則三棱錐的外接球就是這個(gè)長方體的外接球， 由于AB =4, SC = 3，且ABC是直角三角形,面ABC，.長方體的對角線長為AC2BC2SC AB2SC2

3、-.4232-5，三棱錐的外接552球的半徑R， 三棱錐的外接球的表面積為425二，故選24A.考向 1 球的內(nèi)接正方體問題【例 1】已知正方體棱長為4，則正方體外接球的體積為【答案】32.3n【解析】設(shè)外接球半徑為r，2424242-4,3，r =2-、3.V二上3=32込n.考向 2 球內(nèi)切于正方體問題【例 2】將棱長為 2 的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為B.于【答案】A【解析】選止由題意純此球罡正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的複長罡相等的，故可得球的直徑為2,故半徑為1,其體積是考向 3 球的內(nèi)接正四面體問題【例 3】正四面體的棱長為，其外接的體積

4、與內(nèi)切球的體積之比是【答案】27【解析】正四面體的棱長為，其外接球的半徑為，其內(nèi)切球的半徑為所以412sc_平3故填 27.考向 4.球的內(nèi)接圓錐問題【例 4】球的一個(gè)內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為_【解析】如圖所示，設(shè)球半徑為r,則球心到該圓錐底面的距離是43球體積為 gnr,該圓錐的體積和此球體積的比值為38n932.答案:考向 5球的內(nèi)接直棱柱問題【例 5】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）2A. naD72B3na11C.亍nD. 5na2解析：選B由題意知該三棱柱為正三棱拄且側(cè)棱與

5、底面邊長相等，均為瓦如團(tuán)，戸為三棱林上底面的中心，。為球卜，易知“u 訐尸力加匕孑町所以球的半徑創(chuàng)滿足用=佶扌+寸=石臨r2,于是圓錐的底面半徑為該圓錐的體積為xnX冗3 - 8-X四、問題的解決5與球體有關(guān)的切、接問題要注意，一般要過球心并計(jì)算半徑即可得出球體的表面積和體積。1三棱錐P - ABC中，PC_平面ABC，且AB二BC = CA二PC = 2，則該三棱錐的外接球的表面積2= 4sin60一3又PC_平面ABC PC _ CM2 2 216PM =PC CM =43平面 ABD 丄平面 BCD,求三棱錐A-BCD外接球的表面積 _ .【答案】16：【解析】取BD的中點(diǎn)E，連接AE、

6、CE，取CE的三等分點(diǎn)為O，使得CO = 2OE，則O為等邊三角形A. 13B.4二 C.16二3D.28二3【答案】D【解析】作ABC的外接圓，過點(diǎn)C 作外接圓的直徑CM 連接 PM 貝 U PM 為三棱錐 P-ABC 的外接球的直徑,二28，即PM2二2R23AB二AD& BD =2-、3,底面BCD為等邊三角形，且是（ ）如圖所示.s =4 二R2二亜，故選D.BCD的中心，由于平面 ABD _平面 BCD,且平面ABD 平面BCD = BD,CE BD,則平面CE -7平面ABD，由于AB2AD2=BD2,. ABD為直角三角形，E為.：ABD的外心， 貝U OA = OB=：

7、OD,又OB=OC=OD,O為三棱錐A-BCD外接球的球心，球的半徑0C =?2-、3=2，三棱錐322A - BCD外接球的表面積為S球=4二2 =16二.3.已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為12，則這個(gè)球的表面積為【答案】6二【解析】設(shè)正方體的樓長為廠貝證方體的表面積為2 J正方體的表面積為12- 2 = 12,解得邁一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在-仙上述方體時(shí)對角線等于球的直徑，即屁5 R普4 .劉徽(約公元 225 年一 295 年)是魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一，他的杰作九章算術(shù)注和海島算經(jīng)是中國寶貴的古代數(shù)學(xué)遺產(chǎn) 解立方，得兩壍堵.斜解壍堵

8、，其一為陽馬，一為鱉臑.”劉徽注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬, 其形有似鱉肘，故以名云.”其實(shí)這里所謂的“鱉臑(biendo)”，就是在對長方體進(jìn)行分割時(shí)所產(chǎn)生的四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐 .如圖，在三棱錐A-BCD中，AB垂直于平面BCD，AC垂直于CD，且AB = BC = CD =1，則三棱錐A -BCD的外接球的球面面積為【答案】3：【解析】由條件知道AB垂直于平面BCD，AC垂直于CD，故 AB 垂直于CD，從而得到CD垂直于面ABC故三角形ABD和三角形ACD都是直角三角形，則外接球球心在AD的中點(diǎn)上，記作 O 點(diǎn),BDhJ2, ADf；3,R3.表面積是4二R2=4二?3=

9、3；24故結(jié)果為：3二.九章算術(shù)商功中有這樣一段話：斜則球的表面積為45 .點(diǎn)P是底邊長為 2 3,高為 2 的正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，MN是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，則PMPN的取值范圍是（)A. 0,2B.0,3C. 0,4D. 2,2【答案】C【解析】選C由題意知內(nèi)切球的半徑為b設(shè)球心為 5 則而頁二（西+ 而八（兩+ 而）=POPO*+av=|p5|=-i,且 iwaiw 詰；而兩血4.【方法結(jié)論】解決與球有關(guān)的切、接問題的方法（1）一般要過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過線作截面將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之 間的關(guān)系.（2）若球面上四點(diǎn)P, A,B, C中PA PB PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方 體確定直徑解決外接問題【技能方法