(完整word版)高中數(shù)學(xué)概率重點(diǎn)問(wèn)題探討(word文檔良心出品)

1、第1頁(yè)共 8 頁(yè)高中數(shù)學(xué)中古典概率應(yīng)用上之易錯(cuò)處探究、基本概念(1) 分類計(jì)數(shù)原理：N二mi m2亠亠mn(2) 分步計(jì)算原理：N =m1m2mn(3) 排列：一般地，從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素(mn)，按照一定的順序排成一 列，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素(m乞n) 的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)An表示，Am二n(n -1)( n - 2) (n - m i)。(4) 組合：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素(m空n)并成一組，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)， 叫做從n

2、個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)cn表示。(5)必然事件：在一定的條件下必然要發(fā)生的事件。(6)不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件。(7)隨機(jī)事件：在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件(8)在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值A(chǔ)稱為事件A發(fā)生的頻率。n(9)一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)n常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的頻率，記作P(A)，且一次實(shí)驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件，通常此試驗(yàn)中的某一個(gè)事件A由幾個(gè)基本事件組成，如果一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果

3、有n個(gè)，即此實(shí)驗(yàn)由n個(gè)基本事件1組成。而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是-。如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率mP(A廠n(n-1)(n -2) (n -m 1)m!第2頁(yè)共 8 頁(yè)1“有放回摸球”與“無(wú)放回摸球”“有放回摸球”與“無(wú)放回摸球”主要有以下區(qū)別：(1)無(wú)放回摸球主要是指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球時(shí)總數(shù)比前次少一； 而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋內(nèi)，下次再摸球時(shí)袋內(nèi)球的總數(shù)不變。(2)“無(wú)放回摸球”各次抽取不是相互獨(dú)立的，而“有放回摸球”每次是相互獨(dú)立 的。下面通過(guò)一個(gè)例題來(lái)進(jìn)一步的說(shuō)明“無(wú)放回摸球”與“有放回摸球”的區(qū)別。例1袋中有

4、1,2,3,，N號(hào)球各一個(gè)，采用無(wú)放回，有放回的兩種方式 摸球，試求在第k次摸球時(shí)首先摸到一號(hào)球的概率。解：設(shè)Bi為事件“第i次摸到一號(hào)球”(i =1,2,k)。1無(wú)放回摸球若把k次摸出的k個(gè)球排成一排，則從N個(gè)球任取k個(gè)球的每個(gè)排列就是一個(gè)基本 事件，因此基本事件的總數(shù)為以數(shù)碼1,2,，N中任取k個(gè)數(shù)碼的排列數(shù)，n二P,F面求事件Bk包含的基本事件數(shù)m，事件Bk可分兩步完成：先在第k個(gè)位置上排上1號(hào)球，只有一種排法，再在前k -1個(gè)位置排其它N -1個(gè)球，共有P種排法，由乘法原理知，事件Bk包含的基本事件數(shù)為從而2有放回的摸球因?yàn)橛蟹呕孛?，每次袋中都有N個(gè)球，共摸k次，故共有Nk種可能結(jié)果

5、，既基本事件總數(shù)為n = Nk。事件Bk可分為兩步完成：前k -1次未摸到1號(hào)球，共有m = Nk,于是分析：對(duì)于有放回摸球與無(wú)放回摸球題型， 在審題時(shí)一定要注意是有放回還是無(wú)放 回，然后根據(jù)題意來(lái)考慮排列與組合的應(yīng)用，總之，一定要抓住題目的隱含條件與已 知條件的關(guān)系，所要求的問(wèn)題與已知條件之間的連接點(diǎn)，這樣才能夠很快的解決問(wèn)題 而不至于錯(cuò)誤。、重點(diǎn)問(wèn)題剖析k Am =1匯k-J二PN,P(Bk)訐二kN -JP)心直。nNk第3頁(yè)共 8 頁(yè)2“隔板法”隔板法是插空法的一種特殊情況，它的使用非常廣泛，能解決一大類組合問(wèn)題。下 面用一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明它的使用的優(yōu)越性。例2將9個(gè)相同的小球放到六

6、個(gè)不同的盒子里， 每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，有多少種 不同放法。解法一：先在盒子里各放一個(gè)球，再把剩下的3個(gè)球放到6個(gè)盒子里，分三類：3個(gè)球放到一個(gè)盒子里，有C6種放法；3個(gè)球放到兩個(gè)盒子里，球數(shù)分別為2,1,共P62種放法;33個(gè)球放到3個(gè)盒子里，每個(gè)盒子各一個(gè)球，共C；種放法。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,共有C6P62C =56種放法解法二（隔板法）：把6個(gè)盒子看做由平行的7個(gè)隔板組成的，每一個(gè)滿足要求的 放法、相當(dāng)于9個(gè)小球和7個(gè)隔板的一個(gè)排列，其中2個(gè)隔板在兩頭，任何2個(gè)隔板 之間至少有1個(gè)球（既任何2個(gè)隔板不相鄰），把兩頭的2個(gè)隔板拿掉，每一個(gè)滿足要 求的放法還相當(dāng)于再排成一列的9個(gè)小球間8個(gè)空檔

7、中插入5個(gè)隔板，不同的放球方法即插隔板的方法，共有C；=56種。分析：對(duì)于用隔板法解決概率問(wèn)題，一般都是將問(wèn)題的思考角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題 從多向思維向單一思維轉(zhuǎn)化，然后把問(wèn)題的本質(zhì)找出來(lái)進(jìn)行剖析，問(wèn)題自然就很好理 解了。上述解法2應(yīng)用了對(duì)應(yīng)的方法，轉(zhuǎn)化為插空問(wèn)題，計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但不易理解， 等理解透徹后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)隔板法是非常好用的，是具有普適性的方法。但一定要注意 的是應(yīng)用此法的前提是小球是完全相同（不加區(qū)分），盒子是不同的，每個(gè)盒子至少放 一球。例3要從高一年級(jí)8個(gè)班中產(chǎn)生12學(xué)生代表，每個(gè)班至少產(chǎn)生一名代表，則代 表名額的分配的方案至少有多少種？解：這個(gè)問(wèn)題如果用原始的方法來(lái)分析，是比較麻

8、煩的額，但如果轉(zhuǎn)化問(wèn)題的角 度，用“隔板法”來(lái)理解，這個(gè)問(wèn)題就容易解決了。把12個(gè)名額看做12個(gè)相同小球,8個(gè)班看做8個(gè)不同的盒子，用隔板法知道名額分配方法共有C；種。3.分組問(wèn)題分組問(wèn)題時(shí)排列組合中的一個(gè)難點(diǎn)，主要有以下兩種情況。（1）非平均分組問(wèn)題 在非平均分組問(wèn)題中， 不管是給出組名或不給出組名， 其分組的方法相同。例4把12人分成如下三組，分別求出以下各種分組的方法數(shù)：1分成甲、乙、丙三組，其中甲組7人、乙組3人、丙組2人。2分成三組，其中一組7人、一組3人、一組2人。解：先從12人中任選7人為甲組，余下5人中任選3人為乙組，剩下2人為丙 組，貝U共有C12C;3C|種不同的方法。第4

9、頁(yè)共 8 頁(yè)先從12人中任選7人為一組有C12種選法，再?gòu)挠嘞?人中任選3人有C；種選第5頁(yè)共 8 頁(yè)法，剩下的兩人為一組，共有Ci；C；C；種不同的選法分析：在第一個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生很容易受到干擾，就是對(duì)于甲、乙、丙三組，和分成 三組時(shí)否需要乘以A；的問(wèn)題。但是由于各組的人數(shù)不同，這個(gè)問(wèn)題屬于非平均分組問(wèn) 題，雖然第一小問(wèn)給出了分組的名稱，但是這個(gè)并不影響最后的結(jié)果，它們的分組方 法都是一樣的。（2）平均分分組問(wèn)題。分析：上面的非平均分組問(wèn)題中，是否給出組名對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，但在平均分組問(wèn) 題中一定要注意問(wèn)題是否給出了具體的組名，它們的結(jié)果是不同的。例5有6本不同的書，按下列要求分配，各有多少種分

10、發(fā)。1分給甲、乙、丙三人，每人2本；2平均分成三份。解：從6本書中任取2本給一個(gè)人，再?gòu)氖Ｏ碌?本中取2本給另外一個(gè)人，剩 下的2本給最后一個(gè)人，共有C；C：C；=90種分法。設(shè)平均分成三堆有x種分法，在分給甲乙、丙三人每人各說(shuō)明：上面例子中可以看出：兩個(gè)問(wèn)題都是分成三堆，每堆兩本，屬于平均分組問(wèn) 題，而（1）分到甲、乙、丙三人，屬于到位問(wèn)題，相當(dāng)于給出了甲、乙、丙三個(gè)指定 的組，但（2）沒(méi)有給出組名，因而是不同的。4.圓排列與重復(fù)組合問(wèn)題（1）圓排列定義1:從n個(gè)不同的元素中任取m（m乞n）個(gè)，按照一定的順序排成圓形，叫做一個(gè)圓排列列數(shù)，用符號(hào)Rm表示。例6 5個(gè)朋友坐在圓桌周圍時(shí)，席位排列

11、方法有幾種？解：設(shè)5個(gè)人分別為a，b，c，d，e，把他們排成一排時(shí)，排列的數(shù)目是5！，排成 圓形時(shí)，像下圖那樣只是轉(zhuǎn)了一個(gè)地方的排法被看做是一樣的，所以根據(jù)乘法原理得：5R55=5!2本，則應(yīng)有xA!CIC2Ccfccf種不同的分法規(guī)律：一般地，把nm個(gè)元素平均分到m個(gè)不同的位置，有種方法，把nm個(gè)不同元素平均分成m組有m!種分法定義2:從n個(gè)不同的元素中取出m（m空n）個(gè)元素的所有圓排列的個(gè)數(shù)，叫做圓排CnnmC： （m4）川C寫C：第6頁(yè)共 8 頁(yè)所以Rv24答：席位的排列方法有24種。命題1:n個(gè)不同的元素的圓排列數(shù)尺=（n-1）!。例7有6名同學(xué)做成一圓圈做游戲，有多少種做法?解：據(jù)命

12、題一， =（6-1）! =120種。答：共有120種。證明：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為CT種，而將這m個(gè)元素排成圓形由命題1共有（m -1）!種方法，于是由乘法原理得Rm二現(xiàn)（m-1）!.（2）重復(fù)組合定義3:從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素，元素可以重復(fù)選取，不管怎樣的順序 并成一組，叫做重復(fù)組合。定義4:從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的所有重復(fù)組合的個(gè)數(shù)，叫做重復(fù)組合 數(shù)，用符號(hào)H：表示。例8有5個(gè)數(shù)1，2，3,4，5,同一個(gè)數(shù)允許選用任意次，求從中選出3個(gè)的重復(fù)組合數(shù)。解：如果從5個(gè)中選出3個(gè)時(shí)，選的都是不同的數(shù)，那么很明顯組合數(shù)為C；，但 是同一個(gè)數(shù)允許選用任意次，因此像（1

13、，1，1），（1，2，1），（4，4，5），的組合 也應(yīng)在算內(nèi)，所以要想辦法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成選取的全是不同元素的問(wèn)題，為了把上述（1，1，1），（1,2，1），（4,4,5）改成全是不同的數(shù)，先把這些數(shù)按從小到大的順 序排列起命題2:從n個(gè)元素中取出m（m乞n）個(gè)元素的圓排列數(shù)第7頁(yè)共 8 頁(yè)來(lái)得到（1,1,1）, （1,2,1）, （4,4,5）。然后第一個(gè)數(shù)不 變，在第二個(gè) 數(shù)上加1,在第三個(gè)數(shù)上加2，這就變成：(1,2,3), (1,2,4), (4,6,7)般地(a,b,c).r (a,b 1,c 2)，可以證明左右兩邊是一一對(duì)應(yīng)的(左右各有一組互相對(duì)應(yīng)，一組不能和兩組以上對(duì)應(yīng))。這樣，

14、a,b,c中即使有相同的元素，在上述的一一對(duì)應(yīng)中，也能夠改變成沒(méi)有相同的元素組，所以從整體上來(lái)說(shuō)，結(jié)果就成了從1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)數(shù)中選取3個(gè)不同的元素的組合問(wèn)題了，即337 6 5H5= C735。1x2x3答：從1,2,3,4,5中選取3個(gè)數(shù)的重復(fù)組合數(shù)為35。 命題3:從n個(gè)不同的元素中選取出m個(gè)元素的重復(fù)組合數(shù)為例9從3,5,7,11這4個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)相乘，同一個(gè)數(shù)允許重復(fù)使用，可以 得到多少個(gè)不相同的乘積？解：根據(jù)命題3有：H：=C42 j-10個(gè)。答：可以得到10個(gè)不相等的乘積。分析：圓排列和重復(fù)組合問(wèn)題時(shí)高考中的難點(diǎn)，學(xué)生在平時(shí)的理解過(guò)程中往往也存在很多的理解上的問(wèn)

15、題，主要是因?yàn)樗麄冊(cè)谄綍r(shí)的訓(xùn)練當(dāng)中已經(jīng)習(xí)慣性的接受了全排 列和不重復(fù)組合的很多的例題，導(dǎo)致了思維的本能反應(yīng)而導(dǎo)致錯(cuò)誤，老師在講解這兩 個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候最好能夠重新給學(xué)生建立相應(yīng)的知識(shí)體系，在講完這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)以后 再與前兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的對(duì)照理解和學(xué)習(xí)，這樣可能更好的促進(jìn)教學(xué)，學(xué)生也能 夠很好的接受。5.連排與間隔排(1)排列中的“連排”問(wèn)題(我們稱要求某些元素必須排在一起的排列問(wèn)題為“連 排”問(wèn)題)：例10某班有學(xué)生38人，其中男生24人，女生14人，現(xiàn)將他們排成一排，女生 必須排在一起的排法有多少種？我們稱要求某些元素必須排在一起的排列問(wèn)題為“連排”問(wèn)題。解：由于14名學(xué)生必須排在一起，所以

16、我們可以將14名學(xué)生看成1個(gè)“人”，把38人的排列問(wèn)題看成24+仁25人的問(wèn)題，共有P2?種，再考慮到14名學(xué)生之間的排法R：,因此女生必須排在一起的排法種數(shù)為F2；5R；4種。一般地，在n個(gè)不同的元素中，某k個(gè)元素排在一起的排法種數(shù)有種。例11某班有38名同學(xué)，其中第一組的12名同學(xué)必須排在一起且第一組中的5名女同學(xué)又必須排在一起的排列方法有多少種？解：將第一組的12名同學(xué)看成一個(gè)“人”。將38名同學(xué)的排列問(wèn)題看成27人的排列的問(wèn)題，共有排法P277種，再考慮到12名同學(xué)的排列方法，依照例1,可知第一組的第8頁(yè)共 8 頁(yè)12名同學(xué)要求5名女生排在一起的排法共有P88PS5種。因此總的排法種數(shù)

17、有P227P88PS5種命題4:一般地，n個(gè)不同元素的排列中，某k個(gè)元素必須排在一起的且在這k個(gè)分析：“連排”問(wèn)題的類型很多，不可能一一例舉，處理“連排”問(wèn)題的基本方法, 就是將要求排列在一起的元素看成一個(gè)整體，將它作為一個(gè)元素放到問(wèn)題中去處理， 之后再考慮這個(gè)整體的內(nèi)部排列。（2） “間隔排”問(wèn)題我們稱要求某些元素中的任何兩個(gè)都不能排列在一起的排列問(wèn)題為“間隔排”問(wèn)題。例12某班有59名同學(xué)，其中第一小組有14名，現(xiàn)將他們排成一排且要求第一 小組的任何兩名同學(xué)都不排在一起的排法有多少種？解：首先將不要求間隔的同學(xué)先排列有P：5種排法，然后再將要求間隔排的同學(xué)插入已排的45位同學(xué)的46個(gè)空檔（

18、包括兩頭）中去，有P；6種插入方法，所以總的排法種數(shù)共有P64P455種。命題5: 般地，在n個(gè)不同元素的排列中，某k（k乞叩）個(gè)元素中的任何兩個(gè)元素不排列在一起的排法有Pnn,Pnl 1種。例13現(xiàn)有數(shù)字1，2，3，4，5，6,用它們（不重復(fù)）可組成多少個(gè)各位上奇偶 相間的六位數(shù)？解：首先將1，3，5先排共有P33種排法，再將2，4，6插入已排的1，3，5的空檔中去，考慮到奇偶數(shù)字要相間排列，故只有兩大插法。在2，4，6之間還要考慮順序關(guān)系，所以插法共有2P33種，故可組成2P33P33個(gè)奇偶相間的六位數(shù)。分析：處理“間隔排”問(wèn)題的基本方法是將不要求間排的元素先排，之后再考慮將 要求間隔排的

19、元素插入已排元素的空檔中間去。2.3.6重復(fù)計(jì)算或者漏計(jì)算求解排列組合問(wèn)題時(shí)，常有遺漏或重復(fù)的情況，導(dǎo)致解答錯(cuò)誤，下面將求解排列組 合問(wèn)題時(shí)幾類常見的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，以引起注意。（1）對(duì)一些數(shù)學(xué)概念的意義把握不準(zhǔn)，出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。例14數(shù)2310有多少個(gè)正約數(shù)？錯(cuò)解：因?yàn)?310 = 2 3 5 7 11,所以從這5個(gè)質(zhì)數(shù)中分別取1個(gè)，取2個(gè)，取3個(gè)，取4個(gè)，取5個(gè)的積都是2310的正約數(shù)，故正約數(shù)有C5+C；+C53+C；4+C；5=31（個(gè)）。分析：上述解法其實(shí)有遺漏，原因?qū)φs數(shù)的概念掌握不深入，所謂的正約數(shù)是指： 若有一個(gè)正約數(shù)c（此處的整數(shù)指正整數(shù)），使得整數(shù)a與b之間適合a二be，則稱b可 整除a，記作bIa，這時(shí)a稱為b的倍數(shù)，b稱為a的約數(shù)，因?yàn)?|2310，所以1也元素中的某I個(gè)元素有必須排在一起的排法共有Pn,：Pk對(duì)Pkk種第9頁(yè)共 8 頁(yè)是2310的一個(gè)正約數(shù)，所以正確的解答為Cs+Cl+Cf+Cs +C5 +32（個(gè)）。（2）對(duì)題意要求或約束條件考慮不周，出現(xiàn)遺漏或重復(fù)或者不符題意的解答。例15用數(shù)字0,1,2, 3, 4, 5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，能夠組成多少個(gè)大