(浙江專版)高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課(三)平面向量學(xué)案新人教A版必修4

1、1復(fù)習(xí)課(三)平面向量1.題型為選擇題和填空題. 主要考查向量的線性運(yùn)算及對(duì)向量有關(guān)概念的理解，常與向量共線和平面向量基本定理及數(shù)量積運(yùn)算交匯命題.2.向量的加法遵循三角形法則和平行四邊形法則，減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行運(yùn)算，向量的加減法滿足交換律、結(jié)合律，數(shù)乘運(yùn)算滿足結(jié)合律、分配律實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、 合并同類項(xiàng)等變形方向在向量的線性運(yùn)算中都可以使用.uujuruuuuLuir uuuruujur典例(北京高考)在厶ABC中，點(diǎn)M N滿足AM= 2MC,BN=NC.若MN=uuiruuirAB+yAC， 貝U x=;y=uuuu uuuuuuiur2uuur解析 AM :=2MC,AM=3

2、AC.UUIT UULTUULU1uuiruuur/BN=NC,.AN=J(AB+AC),uuuruuuruuuur1uur iuuir2uuur-MN=ANAM=2(AB+，AC) 3AC1unriuuir=2AB6AC.uuuuruuuruur又MN=xAB+yAC11x=2，y=6. 1答案216類題通法 向量線性運(yùn)算的基本原則向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，因此，對(duì)它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意向量的大小和方向兩個(gè)方面. 題組訓(xùn)練1若A(3 , 6),巳5,2) , Q6 ,y)三點(diǎn)共線，則y=()A. 13B.13C. 9D.

3、9uiuruur解析：選 DAB= ( 8,8),AC=(3 ,y+6)uuir uuur AB/AC, 8(y+ 6) 24= 0.常考點(diǎn)一平面向量的概念及線性運(yùn)算2 y =- 9.uuu2LULTuuiruuj2.設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外, |BC| = 16, |AB+AC| = |AB-uuuruuuuAC| , 則 |AM| =()A. 8B. 4C. 2D. 1uuirUlUT解析斤：選 C 由|BC|2=16,得 |BC| = 4.uuur uuirUlUUULTuuirIAB+AC| = |ABAC| = |BC| = 4,uur uuirLULLTIAB+AC

4、| = 2|AM| ,uuuu-1AM| = 2.uuu uuu UUU3OAOB3 .已知點(diǎn)O A B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且0P=-2-則()A.點(diǎn)P在線段AB上B.點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上C.點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上D.點(diǎn)P不在直線AB上uuu uuu uuu解析：選 B 由于 2OP= 3OAOB,uuu uuu uuu uuu uuur uuu- 2OP 2OA=OAOB，即 2AP=BA,uuiriuuu-AP=BA，則點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上.平面向量的數(shù)量積1題型既有選擇題、填空題，又有解答題，主要考查數(shù)量積運(yùn)算、向量的垂直等問(wèn)題， 常與平面幾何、三角函

5、數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題.2.解決此類問(wèn)題要掌握平面向量數(shù)量積的兩種求法：一是根據(jù)數(shù)量積的定義，即b=|a|b|cosB,二是利用坐標(biāo)運(yùn)算，即ab=X1X2+yiy2；同時(shí)還要掌握利用數(shù)量積求向量的夾角、求向量的長(zhǎng)度和判斷兩個(gè)向量垂直的方法.典例(1)(福建高考)設(shè)a= (1,2) ,b= (1,1) ,c=a+kb.若b丄 c,則實(shí)數(shù)k的值等于( )35A，-2B-3?？键c(diǎn)二353C.3D.24A.20B. 15C. 9D. 6(2)(四川高考)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,UULUT uuuruuirUULUTLUUUT=3MC,DN= 2NC，貝 UAMNM=(UULTuuiruuuu

6、|AB| = 6, |AD| = 4.若點(diǎn)MN滿足BM解析(1)c=a+kb= (1 +k,2+k),又bc,所以 1x(1 +k) + 1x(2 +k) = 0,解得如圖所示，由題設(shè)知：UUUUTunrUUUU UULT3UULTAM=AB+BM=AB+ 4AD,UUUUT UULT UUUU1UULT1UULT NM=NCMC=-AB -AD,34UUUUUUU UUL3UUAM -NM=AB+4AD1UULT1UULT3AB- 4AD1UULT3UULT1UULT=31AB|2-押AD|2+ 4ABUULT1UULTAD-4ABUULTAD=3x36-3x16=9.答案(1)A(2)C類

7、題通法(1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的幾何意義；可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中已知向量的模和夾角進(jìn)行計(jì)算.題組訓(xùn)練1 .已知a+b+c= 0, |a| = 2, |b| = 3, |c| = 19，則向量a與b的夾角為()A. 30B. 45C.60D.以上都不對(duì)解析：選 Ca+b+c= 0, c= (a+b),2 2 2 2 2 c= (a+b)，即 |c| = |a| + |b| + 2|a|b|cos a,b,19 = 4+ 9+ 12cosa,b 1cosa,b= 2.又0wa,b=60.UULT UULT UULT UULT2.在厶

8、ABC中 ,AB=4, /ABC=30 ,D是邊BC上的一點(diǎn)，且ADAB=ADAC,UULTUULT則ADAB的值為()35B. 4C. 8D. 4umr uuiruuur uuir uuur umr umruuur uuu解析：選 D 由ADAB=ADAC，得AD(ABAC) = 0，即ADCB=umr uuu0，所以AD丄CB，即ACLCB又AB=4，/ABG30 ，所以AD= ABsin 30 =2，/BADuuruuur1=60,所以ADAB=AD- AB-cosZBAD=2x4 迄=4.3.已知向量a,b滿足|a| = |b| = 2,a與b的夾角為 60,則b在a方向上的投影是解析

9、：T|a| = |b| = 2,a與b的夾角為 60,二b在a方向上的投影是|b|cos 60 =1.答案：1uuur uuur4在平行四邊形ABCD中,AD=1，/BAD=60,E為CD的中點(diǎn)若ACBE= 1,則AB的長(zhǎng)為_(kāi)解析 :設(shè)|uiurAB|=x,x 0 ,則uuurABuuirAD=1uuurqx.又ACuuurBEunr=(AD+uuuruuur1uuu12111AB)AD 2AB2 .=1 尹 +4x=1, 解得x= 2，即AB的長(zhǎng)為勺答案：平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題1題目以解答題為主.主要包括向量與三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值與證明的結(jié)合，向量與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的結(jié)合等幾個(gè)方面此

10、類題目所涉及向量的知識(shí)往往是數(shù)量積的運(yùn)算，所 研究的問(wèn)題主要是討論三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).2.解決此類問(wèn)題，首先要根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，然后利用三角公式進(jìn)行恒等變換，轉(zhuǎn)化為題目中所要求的問(wèn)題.典例（廣東高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 已知向量m=孑， ,n=（sinx,ncosx),x 0, .(1) 若m丄n,求 tanx的值；n(2) 若m與n的夾角為，求x的值.解(1)若mLn,則mvn= 0.A. 06由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sinx-cosx= 0,/tanx= 1.n(2) m 與 n 的夾角為,. nsinx4n又Tx0,12 -類題通法在平面向量與三角

11、函數(shù)的綜合問(wèn)題中，一方面用平面向量的語(yǔ)言表述三角函數(shù)中的問(wèn)題,如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的 關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識(shí)解決平面向量問(wèn)題，在解決此類問(wèn)題的過(guò)程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函 數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題.題組訓(xùn)練11 .設(shè)a= (sinx,1)，b= ，cosx，且a/b，則銳角x為()n代亍nB. TnC.百nD12解析：選 B 因?yàn)閍/b，所以 sin1xcosx=0,所以 sin 2x= 1，又x為銳角，所以 02x2 成立的x的取值范圍.8解:(1) /?(x) =a

12、(a+b) =aa+a - b2 2 2=sinx+ cosx+ sinxcosx+ cosx1 1=1 + qsin 2x+ 2(cos 2x+ 1)二?(x)的最大值為 2 H，最小正周期T= =n.使?(x) 3 成立的x的取值范圍是n3nx kn gWxwkn+ ,kZ8 8回i口驗(yàn)收特訓(xùn)1_uuu uuuuuu uuu1設(shè)P, Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若OA=a,OB=b,則OP+OQ=()A.a+bB. ab1C. 2(a+b)D.(a+b)解析：選 A 如圖，uuu UUU uur uuu UUU UUUOP=OA+AP,OQ=OB+BQ,UUUT UUU AP=BQ,uuu u

13、uu uuu uuuOP+OQ=OA+OB=a+b.2 .已知向量a,b滿足ab= 0, |a| = 1, |b| = 2,則 |ab| =()A. 0B. 1C. 2D. 5解析：選 D 因?yàn)?|ab|2=a2 2ab+b2= 1 0+ 22= 5,所以 |ab| = , 5，故選 D.3.若平面向量a= ( 1,2)與b的夾角是 180,且|b| = 3 . 5,則b的坐標(biāo)為()A. (3 , 6)B. ( 3,6)=2 +#sinc n2x+433由(1)知?(x)? 2+n32x+匚nn2x+0? 2knW2x+ W2kn447t+ n?kn 仝xwkn +3n8(kZ).9C. (6

14、 , 3)D. ( 6,3)解析：選 A 由題意設(shè)b=Xa=( 一入，2入)(入v0)，而|b| = 3 5，則.入2+ 4入2= 3 5,所以X= 3,b= (3 , 6).4.已知|a| = 1, |b| = ,2,且a丄（ab），則向量a與向量b的夾角為（）nA. 6nB.壬nC.T2nD. 32 2解析：選 BT a丄(ab)，二a(ab) =aab= 0,二ab=a, |a| = 1, |b| = 2, cosa,b= |暮|售=|a b| =-2,-向量a與向量b的夾角為-4，故選 B.uuir uuuuiruur5在ABC中, (BC+BA)AC= |AC|，則ABC的形狀一定是

15、()A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形uuiruuuuuuruuir2uuruuuruuuuuur解析：選C 由(BC+BA)AC= |AC|，得AC(BC+BAAC) = 0，即uuuruuur uuuuuuuuuruuuuuuruuuAC(BC+BA+CA)= 0,.2ACBA= 0,.AC _LBA,A=90 .故選 C.6.已知平面向量a,b,c滿足|a| = 1, |b| = 2 , |c| = 3,且a,b,c兩兩所成的角相等，則|a+b+c|等于（)A. 6 或 3C. 2B. 6 或 2D. 6解析：選 A/a,b, c兩兩所成的角相等，這個(gè)角為 0或

16、 120.當(dāng)夾角為 0 時(shí)，|a+b+c| = |a| + |b| + |c| = 1+ 2+ 3 = 6,排除 C；當(dāng)夾角為 120 時(shí)，1 1ab=|a|b|cos 120=1x2x ，=1,bc=|b|c|cos 120=2x3x -=133,ca=|c|a|cos 120 =3x1x ,2 2 2 2|a+b+c|=a+b+c+2(ab+bc+ca)2223=1+2+3+2132=3,-1a+b+c| = -：.3.|a+b+c| = 6 或.3.7已知向量a= ( 1,3) ,b= (1 ,t)，若(a 2b)丄a,則 |b| =_ .解析：/a= ( 1,3) ,b= (1 ,t)

17、,a 2b= ( 3,3 2t).T(a 2b)丄a,(a 2b)a=0,即(一 1)x( 3) + 3(3 2t) = 0,即t= 2,b= (1,2) ,|b| = . 12+ 22= 5.10答案：52n&已知平面向量a與b的夾角等于,如果|a| = 2 , |b| = 3,那么|2a 3b| =_ .解析：222222n2|2a3b|=(2a3b)=4a12ab+9b=4X2 12X2X3Xcosp +9X33133, |2a 3b| = .133.答案：133. 29 .已知|a| = 2|b|豐0,且關(guān)于x的方程x+ |a|x+ab= 0 有實(shí)根，則a與b的夾角的 取值范圍

18、是_ .解析：由于|a| = 2|b|豐0,且關(guān)于x的方程x2+ |a|x+ab= 0 有實(shí)根，則|a|2 4ab0.12ab41 a|1n設(shè)向量a與b的夾角為B,貝ycose=W=-, 0 T,n|a|b|1221 a|n答案：y,n10.已知 |a|= 4, |b|= 3, (2a 3b)(2a+b) = 61.(1) 求a與b的夾角0;求|a+b|.解：(1)v(2a 3b)(2a+b) = 61,2 24a 4ab 3b= 61,即 64 4ab 27= 61.ab= 6.ab 61ocose=廠二e= 120 .(2) |a+b|=/a2+2ab+b2=.：16+2X 6+9=13.

19、11.已知向量a= ( 3,2) ,b= (2,1) ,c= (3 , 1) ,tR(1)求|a+tb|的最小值及相應(yīng)的t值；若atb與c共線，求實(shí)數(shù)t.解：(1)va= ( 3,2) ,b= (2,1),a+tb= ( 3,2) +1(2,1) = ( 3+ 2t,2 +1),-1a+tb| = 3+ 2t+2 +12x4249；49 7 51xn11=J5t8t+13=斗 5t5+寸$ -5-=*2 3 4 5 627怯4當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號(hào)，即|a+tb|的最小值為，此時(shí)t=.355vatb=(3,2)1(2,1)=(32t,2t),又atb與c共線，c= (3 , 1),(32t)X(

20、1)(2t)X3=0.123 解得t飛.3n12.已知向量 rn= (1,1)，向量n與向量m的夾角為，且mrn= 1.求向量 n；(2)設(shè)向量a= (1,0)，向量b= (cosx, sinx)，其中xR若na= 0，試求 |n+b|的取值范圍.解：令n= (x,y),x+y=1,.2-_：x1 7+y2cos 茅一 1,x= 0, 或y= 1. n= ( 1,0)或 n= (0， 1)./a=(1,0),na=0,- n=(0，1).n+b=(cosx,sinx1).|n+b|=.cos2x+sinx12=_22sinx=/2 1sinx/ 1sinx1,0w|n+b|0,sin 2av0

21、,sina0,2sinacosav0.sin a 0,即 a 在第二象限.cos av0.5.已知平面向量a= (1,2) ,b= ( 2,m)，且a/b,貝 U 2a+ 3b等于(A. ( 5, 10)C. ( 3, 6)B. ( 4, 8)D. ( 2, 4)解析：選 B /a= (1,2) ,b= ( 2,m),-1Xm2X(2)=0,m= 4.2a+ 3b= (2,4)+ ( 6, 12) = ( 4, 8).6 .若a4n2n，且 sina= 5,貝Usina+ cos(na)的值為(52BT2j2 D解析：選sinn2a+42 cos(n a)迄.2sin+ cosa+cosa2

22、21516a+ 2C0Sa.- sina7tCOSa二2+ 2COSa7已知向量a= (1,2) ,b= ( 2, 4) , |c| = 5,若(cb)a=，貝 Ua與c的夾 角為()15A.30B.60C.120D.150155解析：選 Cab= 10,則(cb)a=caba=ca+ 10=三,所以ca=刁ac21設(shè)a與c的夾角為B,則 cose=:,又 0e0,0,x0)的部分圖象如圖 2 所示，則?(1) +?(2) +?(3) +?(11)的值等于()1718A. 2C. 2 + 2 2解析：選 C 由圖象可知，函數(shù)的振幅為2,初相為 0，周期為 8,則A= 2,2n3=8，從而?(x

23、) = 2sin -4x.n ?(1)+?(2)+?(3)+?(11)=?(1)+?(2)+?(3)=2si n + 2sinn+2sin3n4=2 + 2 2.10.已知 3a+ 4b+ 5c= 0,且 |a| = |b| = |c| = 1,則a(b+c)=()A. 0B.3C.5D.解析：選 B 由 3a+ 4b+ 5c= 0，得向量 3a,4b,5c能組成三角形，又|a| = |b| = |c| = 1,所以三角形的三邊長(zhǎng)分別是3,4,5 ,故三角形為直角三角形,且a丄b,所以a(b+c) =a - c11.如圖，在四邊形ABCD中，|uuirAB| + |uuirBD| + |uuu

24、rDC1 = 4,uuiruuuruuiruuurunruuiruuuruuur1AB|BD1+11BD|1 DC| =4,ABBD=BDDC=0,則uuiruuuruu(AB+DC) AC的值為 ( )A.4B. 2C.4 2D. 2 2uuuruuurunruuiruuiruuiruuuruuu解析：選 ATAC=AB +BD+DC,ABBD=BDDCuuur uuuruuu(AB+DC)ACuuiruuuruuiruuurULUTunr2unruuu=(AB+ DC；)(AB +BD+DC)=AB+ABBDuuuruuiruuur uuiruuurounr2unruuuruuur2DCA

25、B+DC BD+DC=AB+ 2ABDC+DC.uuuruuuruuuuuurABBD =0,BD) DC；=0,uuuruuur uuiruuuruuuuirAB丄BD , DC丄BD ,AB/DC,uuuruuuruuruuirABDC =1AB|DC|=0,lur+ABuuurDC+1920uuiruuur原式=(IABI + IDCI)UULTUULTUULTUULT設(shè)丨AB| + |DC| =x,貝 V |BD| = 4 x, |BD|x= 4, - x 4x+ 4= 0,.x= 2 ,原式=4，故選 A.12.已知函數(shù)y= 2sin(cox+0)(co 0,0 0 0,0 0n)為

26、偶函數(shù)，0=三,y=2n2cosox,排除 C、D;y=2cosox2,2，結(jié)合題意可知T=n,.=n, co =2,co排除 B,選 A.二、填空題（本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，共 20 分.把答案填在題中的橫線上）uuuruuuruuur13.在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若AC=入AE+口AF, 其中入，口R貝 U入+口=_.uuuruuur解析：設(shè)AB=a,AD=b,uuur1uuur1uuur則AF=a+尹AE=?a+b,AC=a+b,24代入條件得入=口= 3,入+口= 3.答案：4UUIUUUU14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知OA= ( 1

27、,t) ,OB= (2,2).若/ABQ90 ,則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi) .uuur uuuuuiu uuur解析：/ABO=90,.AB丄OB,OBAB= 0.uuur uuu uuu又AB=OBOA= (2,2) ( 1,t) = (3,2 t),(2,2)(3,2t)=6+2(2t)=0. -1 =5.答案：5其圖象與直線y= 2 的交1B.co= ,0C.co12,nD.co=2,0=15.已知?(x) = sin-H-右 cos3a= 507t7ta2，貝 U?a+ =213n解析：因?yàn)?COSa=50a卩，則 sinasin卩;,n12右函數(shù)y= 2cosax 的最小正周期是 4n,貝 U

28、a=； 2一=仏sinx sinx口3函數(shù)y=是奇函數(shù)；sinx 1n4函數(shù)y= Sinxy在0,n上是增函數(shù).其中正確命題的序號(hào)為 _ .解析：a= 390 30=卩，但 sina= sin卩，所以不正確；函數(shù)y= 2cosax的最小正周期為T(mén)= 芻 =4n,3 1 a|1 1所以|a| = 2,a=，因此不正確；n中函數(shù)定義域是x x工2kn+ ,k Z，顯然不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不正確；nn由于函數(shù)y= sinx = sin x= cosx，它在(0,n)上單調(diào)遞增，因此 正確.答案：三、解答題(本大題共 6 個(gè)小題，共 70 分，解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演 算步驟)17.(本

29、小題滿分 10 分)已知|a| = 1,|b| = 一 2,a與b的夾角為0.(1) 若a/b,求ab；(2) 若ab與a垂直，求0.解：(1) a/b,.0= 0 或 180, ab= |a|b|cos0= .:2.(2)vab與a垂直，(ab)a= 0,7ta+ i2=sinn n .a+12+6=sin7t答案:710a+ COS23即 |a|2ab= 1 2cos0= 0,424口：2cosB=又 0wBw180,.0= 45.118.(本小題滿分 12 分)已知 tana =，求1+2sinn acos2n a- 的值.2 . 25nsin a sin 2-a1 + 2sinacos

30、a2 2Sina cosasin8 9 10a+ cos2a+ 2sinacos2 2sina cosasina+ cosa求2a2cos9解：Tab= cos 2a+ sina(2sina 1) 2 .=cos 2a+ 2sina sina10 + cosa解：原式=425sina cosasina+ cosasina cosa5 2sin 2a 4cos2=1sina=5nTa,n,/ sin 2a=2si n sin3a=二5 cos4a=5，acos24a=,252a2cos75 ,：2sin 2a2 2cosa sinasina+ cosatana+ 15 ,2sin 2na4cos

31、a+ 12,原式=12+1121=3.19.（本小題滿分12 分)已知a= (cos 2a, sina.n),b=(1,2si na 1), a2, n,2620.(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)？(x) = 2cosxsinx+ y 3sin2x+ sinxcosx.n(1)當(dāng)x 0,時(shí)，求?(x)的值域;n5n用五點(diǎn)法在下圖中作出y=?(x)在閉區(qū)間 一 6，一了上的簡(jiǎn)圖;nnn4n(1)x0，2x + ，右沐 sin 2x+ 才w1,.當(dāng)x 0，專 時(shí)，?(x)的值域?yàn)?, 2.2n由T= 2，得T=n,列表:xn6n72n*37n5nn2x+0n2n3n22ncn2sin 2x+3-02020圖象如圖所示.5 .2 X24255 5解:?(x) = 2