職高數(shù)學(xué)概念與公式

1、職高數(shù)學(xué)概念與公式預(yù)備知識(shí)：（必會(huì)）完全平方和（差）公式：a 22abb2(ab) 2a 22abb2(ab) 2平方差公式： a2b 2(ab)(ab)立方和（差）公式： a 3b3( ab)(a2abb2 )a3b3(ab)( a2ab b2 )第一章1. 常用數(shù)集： N （自然數(shù)集）、Z （整數(shù)集）、Q （有理數(shù)集）、 R（實(shí)數(shù)集）、 N * （正整數(shù)集）、Z （正整數(shù)集）注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（2）一個(gè)集合含有 n 個(gè)元素，則它的子集有2 n 個(gè)，真子集有 2n 1個(gè)，非空真子集有 2n2個(gè)。2·充要條件（ 1）充分條件：若（2）必要條件：若（

2、3）充要條件：若p q ，則 p 是 q 充分條件 . q p ，則 p 是 q 必要條件 .pq ，且 qp ，則 p 是 q 充要條件 .第二章1二次不等式： (大于取兩邊 ,小于取中間 )判別式 0=0 0一元x| x x1或x x2 x | xb2 a2Rax bx c 0二次不等式的ax 2bx c 0 x|x1 x x2解集2、分式不等式： axb0( axb )(cxd)0cxdaxb0( axb )( cxd )0 cxdcxd0axb0(axb)(cxd )0dcx axb0( axb )( cxd )0cxd0cxd3、絕對(duì)值不等式：( c > 0) | axb |c

3、caxbc | axb |caxbc或 axbc | axb |ccaxbc | ax b | cax bc或 ax b c4均值定理（1） a 2b22ab ，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)，等號(hào)成立。（2） ab2ab (a,b R) ，當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)，等號(hào)成立。（3） abc3 abc (a, b, cR ) ，當(dāng)且僅當(dāng) a b c 時(shí)，等號(hào)成立。注： ab （算術(shù)平均數(shù)）ab （幾何平均數(shù)）2第三章 正比例函數(shù)： ykx 和 一次函數(shù)： ykx b 的值域?yàn)?R（當(dāng) k>0 時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)看 k<0時(shí)為減函數(shù)） 二次函數(shù)： yax 2bxc 的值域求法：配方法。如果 x 的取值范

4、圍不是 R 則還需畫圖像 反比例函數(shù)： y1的值域?yàn)?y | y0 （當(dāng) k>0 時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)k<0，函數(shù)為增函x數(shù)）指數(shù)函數(shù)：ya x,(a且a1),xR（當(dāng) 0<a<1 時(shí)為減函數(shù)，當(dāng) a>1時(shí)為增函數(shù)）0 對(duì)數(shù)函數(shù)： ylog ax, (a0且a1), x0（當(dāng) 0<a<1 時(shí)為減函數(shù)，當(dāng) a>1 時(shí)為增函數(shù)）1. 函數(shù)的奇偶性（1） 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（2） 若 f ( x)f ( x)奇若 f ( x) f (x)偶注：若奇函數(shù)在x 0處有意義，則 f (0) 0常值函數(shù) f ( x)a （ a0）為偶函數(shù) f ( x)0 既是

5、奇函數(shù)又是偶函數(shù)2. 函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于 x1、x2 a, b 且 x1x2 ，若f (x1 )f (x2 ), 稱f ( x)在 a, b上為增函數(shù)f (x1 )f (x2 ), 稱f ( x)在 a, b上為減函數(shù)增函數(shù)： x 值越大，函數(shù)值越大；x 值越小，函數(shù)值越小。減函數(shù)： x 值越大，函數(shù)值反而越小；x 值越小，函數(shù)值反而越大。3. 二次函數(shù)（1）二次函數(shù)的三種解析式一般式：f ( x)ax2bxc （ a0 ） 頂點(diǎn)式： f ( x)a( x k) 2h （ a0 ），其中 ( k , h ) 為頂點(diǎn) 兩 根 式 ： f (x)a( x x1 )( x x2 ) （ a0 ）， 其

6、 中 x 1 、 x 2 是f ( x )0 的兩根（2）圖像與性質(zhì)二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，有如下特征與性質(zhì)：開口a 0開口向上a 0 開口向下對(duì)稱軸： xb2 a頂點(diǎn)坐標(biāo)： (b, 4 acb 2)2 a4 a 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：（韋達(dá)定理）x 1xx 1x22baca f (x)ax 2bxc 為偶函數(shù)的充要條件為b0第四章1. 指數(shù)冪的性質(zhì)與運(yùn)算（1）根式的性質(zhì)：n 為任意正整數(shù)， (n a ) na當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，n a na ；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，na n| a |零的任何正整數(shù)次方根為零；負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根。（2） 零次冪： a01(a0)（ ） 負(fù)數(shù)指數(shù)冪：an1(a

7、0, n N * )1anm( a0 , m , nN且 n1)（2） 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： anna m（3） 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：(a0, m, nR) a m a na m n (a m ) na mn (a b) nan bna當(dāng)a0時(shí)，yxa在（ ，）上單調(diào)遞增2.冪函數(shù)y x0當(dāng)a時(shí)，yxa在（ ，）上單調(diào)遞減003.指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化a bNlog a Nb(a0且a1)(N 0)4.對(duì)數(shù)基本性質(zhì)： log a a1 loga 10 a log a NN log a a NN log a b與 log ba互為倒數(shù)log a b log b a1log a b1log ba log a

8、m b nn log a bm5.對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算：log a (MN )log a Mlog a Nlog aMlog a Mlog a NN6.換底公式： log aNlogbN(b0且b 1)log ba7. 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定ya x (a0, a1的常數(shù) )ylog a x( a0, a1的常數(shù) )義圖像(1)x R, y0(1)x R, y0(2)圖像經(jīng)過(guò) (0,1) 點(diǎn)(2)圖像經(jīng)過(guò) (1,0)點(diǎn)性a1, ya x為增函數(shù)；a1, ylog a x在 (0,)上為增函數(shù)；0a1, yx為減函數(shù)0a1, y在(0, )上為減函數(shù)alog a x質(zhì)9原函數(shù)

9、與反函數(shù)的關(guān)系： 原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域；原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域 原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于yx 對(duì)稱求反函數(shù)的步驟：第一步：求原函數(shù)的值域，它是反函數(shù)定義域；第二步：由 yf ( x) 解析式求出 xf1 ( y )第三步：對(duì)換x y得到反函數(shù) y f1 ( )注明它的定義域x第五章等差數(shù)列每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差為同一個(gè)常數(shù)等比數(shù)列每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比為同一個(gè)常數(shù)定 a2 a1 a3 a2an an 1 da2a3anqa1a2an 1義(q0)注：當(dāng)公差d0 時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列注：等比數(shù)列各項(xiàng)及公比均不能為 0；當(dāng)公比為1 時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列通 ana1(n 1) dana1q n 1項(xiàng)公

10、式（ 1） da na m（1） qnma nnma m推（ 2） anam (n m)d（2） anam q n m論（3）若 m np q ，則 am ana p aq（ 3 ） 若 m np q ， 則am anap aq中 三個(gè)數(shù) a、b、c 成等差數(shù)列，則有三個(gè)數(shù) a、b、c 成等比數(shù)列，項(xiàng) 2ba cac則有b2公b2ac式前n(a1an )n(n1)1qn)a1an qSnSna (1n2na1d1q1q2項(xiàng)（ q1 ）和公式其 S2 n 1 (2n 1)an 如： S7 7a4它等差數(shù)列的連續(xù)n 項(xiàng)之和仍成等等比數(shù)列的連續(xù)n 項(xiàng)之和差數(shù)列仍成等比數(shù)列第六章1 180o弧度1o弧

11、度0.01745弧度1弧度(180) o57o18'180扇形弧長(zhǎng)公式和面積公式L 扇| rS扇1Lr1| r 2221. 任意三角函數(shù)的定義：sin對(duì)邊倒數(shù)csc1斜邊sincos鄰邊倒數(shù)sec1斜邊costan對(duì)邊倒數(shù)cot1鄰邊tan2. 特殊三角函數(shù)值一象0003004506002900643限sin0123422222cos4321022222tan033不存在133、同角函數(shù)基本關(guān)系式：平方關(guān)系倒數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系sin 2cos2=1tan·=1tansincotcossin21cos21tan=coscos2sin 2cotcot1sincot=1tan4、簡(jiǎn)化公

12、式：sin()sinsin( 2)sincos()coscos( 2) costan()tantan( 2)tansin()sinsin()sin cos()coscos()costan()tantan()tansin( 2 k)sinsin()cos cos( 2k)cos2（k） cos()sintan( 2 k)tan2tan()cot25 sin()sincoscossinsin() sincoscossin cos()coscossinsincos()coscossin sin tan()tantantan(tantan1tantan)tantan17、 sin 22sincos c

13、os 2cos2sin 2= 12 sin 2= 2cos21 tan 22 tan1 tan21cossin1costansin1cos1cos28 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)性質(zhì)奇函數(shù)圖像值定義域同期偶 單調(diào)性域性ysin xycosx奇 2k2,2k2 1,1 T23x R函2k,2k22數(shù)偶1,1 T 2 2k,2k x R函 2k,2k數(shù)y tan xxk2TkZR3. 正弦型函數(shù)yA sin( x)( A0,0)(1)定義域 R ，值域 A, A奇函(k, k)22數(shù)（2）周期： T2。（3）輔助公式： ya sin xb cos xa2b 2sin( x)9、余弦定理： a 2b 2c

14、22bc cos A ； cos Ab2c2a 22bcb2a 2c22ac cosB ； cos Ba 2c 2b 22acc2a 2b 22ab cos C ； cos Ca 2b 2c 22 acabc正弦定理：sin Bsin Csin A（3）三角形面積公式 S ABC1 ab sin C1 bc sin A1 ac sin B222第七章1、向量向量的數(shù)量積：a b | a | | b | cos （其中為兩個(gè)向量的夾角）(1)代數(shù)方式的運(yùn)算：設(shè) a(a1 ,a2 ) ， b (b1, b2 ) ，加法： ab( a1b1 , a2b2 )減法： ab( a1b1, a2b2 )數(shù)

15、乘向量：a (a1,a2 )向量的數(shù)量積： aba1 b1a 2b2 （結(jié)果為實(shí)數(shù)）(2)兩個(gè)向量平行與垂直的判定：設(shè)a (a , a) ， b(b1, b2 ) ，12平行的判定： a bbaa bab1221垂直的判定： a bab0a 1b1a 2 b20(3)其它公式：設(shè)a (a , a ) ， b(b1,b2 )12向量的長(zhǎng)度： | a |a12a22設(shè) A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，則 AB( x2x1 , y2y1 ) ；| AB | ( x2x1 ) 2( y2y1 )2設(shè) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，則線段 AB 的中點(diǎn) M

16、 的坐標(biāo)為 M( x1x2 , y1y2 )22兩個(gè)向量的夾角為，則 cosaba1 b1a 2 b2| a | b |a12222a2b1 b2 平移公式：圖形F 上點(diǎn) P（ x,y）對(duì)應(yīng)平移后的圖形F' 上的點(diǎn) P' (x' , y ' ) 平移向量PP '(h, k) ，則x'xhy'yk第八章1.直線部分 :斜率：傾斜角為90 0 的直線沒(méi)有斜率； ktan（傾斜角的正切）已知直線 l 的方向向量為v(v1v 2, v2 ) ，則 k lv 1經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P ( x , y ), P ( x , y )111222直線 AxByC0

17、的斜率 K的直線的斜率 Ky 2y1(x1 x2 )x 2x1AB（1） 直線的方程點(diǎn)向式： xx 0yy 0v(v1 , v2 ) 為 l 的方向向量，方向向量與l 平行v1v 2兩點(diǎn)式： yy1xx1y2y1x2x1點(diǎn)法式： A( xx0 )B( yy0 )0 v' (A, B) 為 l 的法向量，法向量與l 垂直斜截式： ykxb點(diǎn)斜式： yy 0k ( xx0 )截距式： xy1( a為 l 在 x軸上的截距， b為 l 在 y軸上的截距 )ab一般式： AxByC0其中直線 l 的一個(gè)方向向量為 (B, A)2.兩條直線平行或垂直的條件： 兩條直線斜率為 k1, k2 ，且不

18、重合則 l1 l 2k1k2 兩條直線的斜率為 k1 , k2 ，則 l1 l2k1k213.兩條直線的夾角公式（設(shè)夾角為）： k1k2 時(shí)， l1 l2 ，夾角=00； k1k21時(shí)， l1 l 2 ，則夾角=900 ； tan|k1 k2 | （ k1 k21）1 k1 k2一般式： l 1 : A1 xB 1 xC 10 與 l 2 : A2 xB2 xC20cos| A1A2B1B2 |A 2B2A2B211224.點(diǎn) ( x0 , y0 ) 到直線 AxByC0 的距離公式 : dAx0By0C|A2B2|5.兩平行線6、圓部分l1 : Ax By C1 0 與 l 2 : Ax B

19、y C20 間距離 d |C1C2|A2B2圓的方程：1.標(biāo)準(zhǔn)方程： ( x a) 2( yb)2r 2 (其中圓心為 ( a, b) ，半徑為 r )2.一般方程： x 2y 2DxEyF0 （其中圓心為 (D ,E ) ，半徑為 rD 2E 24F ）2223.參數(shù)方程： ( xa) 2( y b) 2r 2 的參數(shù)方程為xr cosa (0,2)yr cosb4. 直線和圓的位置關(guān)系：主要用幾何法，利用圓心到直線的距離d 和半徑 r 比較。d r相交 ； dr相切 ； d r相離5.圓的切線方程：過(guò)圓x2y 21上一點(diǎn) P(x0 , y0 ) 的圓的切線方程： x0 xy0 yr 27、橢圓部分定義式：| MF1 | MF 2 |2a(2a| F1 F2 |)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)：橢圓的 x 2y21(a b 0)y2x21(a b 0)a 2b 2a