等差數(shù)列的前n項和二

1、等差數(shù)列的前n項和(二)學習目標1進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)2掌握等差數(shù)列前n項和的最值問題 3理解an與S的關系，能根據(jù) $求an.1 .前n項和公式：n(n 1)d 2dS = n a1 +2 d = ?n + (a1 2)n.知識點一等差數(shù)列前n項和及其最值2 .等差數(shù)列前n項和的最值(1)在等差數(shù)列an中，當ai> 0, d v 0時，S有最大值，使 $取到最值的n可由不等式組an > 0,確定;a“+1 w 0anW 0 ,當ai< 0, d > 0時，$有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式組確定.an+1 >

2、; 0d 2 d(2)因為S = qn + ai - n,若d工0,則從二次函數(shù)的角度看：當 d>0時，S有最小值；當 d V 0時，Sn有最大值；且n取最接近對稱軸的自然數(shù)時，Sn取到最值.知識點二 數(shù)列中an與Sn的關系對任意數(shù)列an, Sn與an的關系可以表示為Sl(n= 1),an =Si Si-1 (n2)思考2右 S = n + n,則 an =.答案2n解析n > 2 時，an =2 2Si Si-1 = n + n (n 1) + (n 1) = 2n,r , 2 當 n= 1 時，ai= S= 1 + 1 = 2 = 2xi,an= 2n.知識點三裂項相消法把數(shù)列

3、的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求和.常見的拆項方法：1 11 1 n(n+ k)= k(n n+ k；1 1 1 1 (2n 1)(2 n+ 1) = 2(2 n- 1 2n+ 1“Word資料題型一一已知S求an2例1已知數(shù)列an的前n項和為S,若S= 2n + 3n,試判斷數(shù)列仙是不是等差數(shù)列. 解 / Sn= 2n2+ 3n，二當 n >2 時，2 2an= Sn Sn- 1 = 2門 + 3門一2（門一1） 3（“一 1） = 4門+ 1.當 n= 1 時，a1= S= 5= 4x 1 + 1. n= 1 時，適合 an = 4n+ 1.數(shù)列的通項公式

4、是 an = 4n + 1.故數(shù)列an是等差數(shù)列.2跟蹤訓練1本例中，若 S = 2n + 3n + 1,試判斷該數(shù)列是不是等差數(shù)列.2解/ Sn= 2n + 3n + 1. n2 時，2 2an= Sn一 Sn-1 = 2n + 3n + 1 一2(n 1) 一 3(n一 1)一 1 = 4n +1.當 n= 1 時，a1= S= 6工4x 1 + 1.6,(n= 1), an =4n +1 (n> 2),故數(shù)列an不是等差數(shù)列.題型二等差數(shù)列前n項和的最值問題例2 在等差數(shù)列an中，若a1 = 25，且S9= S17,求Sn的最大值. 解方法一一T S9= S17, a1 = 25,

5、9(9 1)17(17 1) 9X 25+= 17X 25 +d ,解得d = 2.n (n 1)2 Sn= 25n +2 x ( 2) = n + 26n=(n 13)2+ 169.當n= 13時，Sn有最大值169.方法二同法一，求出公差 d = 2. an= 25 + (n 1) x ( 2) = 2n + 27.T a1= 25>0 ,1an = 2n+ 270, 由an+1 = 2(n + 1) + 27W 0,n < 132，得1n > 12；2又 N*, 當n= 13時，S有最大值169.方法三 / 9 = S7 ,aio+ aii + + ai7= 0.由等差

6、數(shù)列的性質(zhì)得ai3 + ai4= 0./ ai>0 , d<0. ai3>0 ,日4<0.當n= i3時，Sn有最大值i69.方法四2設 Sn= An + Bn.' S9= Si7,二次函數(shù)對稱軸為9 + 17X2= 13，且開口方向向下,當n= i3時，Sn取得最大值i69.跟蹤訓練2 已知等差數(shù)列an中，ai= 9, a4+ a?= 0.求數(shù)列an的通項公式；當n為何值時，數(shù)列an的前n項和取得最大值？解(i)由 ai= 9, a4 + a7= 0,得 ai + 3d + ai + 6d= 0，解得 d = 2, an= ai+ (n i) d= ii 2n

7、.(2)方法一a = 9, d = 2,cn(n i)22Sn = 9 n+2( 2) = n + i0n = (n 5) + 25,當n= 5時，S取得最大值.方法二由知ai= 9, d = 2<0 , a“是遞減數(shù)列.ii令 an> 0,貝U ii 2n>0，解得 nw .n N*,.n w 5 時，an>0 , n6 時，an<0.當n= 5時，S取得最大值.題型三 求數(shù)列|an|的前n項和3 2 205例3 已知數(shù)列an的前n項和Sn =尹+牙n，求數(shù)列|an|的前n項和Tn.32 205解 ai= Si= 1 + 2 xi = 101.當 n2 時，an

8、= Sn S-13 220532 205=2" +2 n 2(n 1) +三(n 1) =-3n +104.n= 1也適合上式，數(shù)列an的通項公式為 an = 3n+ 104(n N*).由 an= 3n +104 > 0,得 nW 34.7.即當 nw 34 時，an>0 ；當 n35 時，an<0.(1)當 nw 34 時，Tn = |a1| + |a2汁+ |a| = a1 + a2 + + an3 2 205=$=尹 +丁 n； 當n35時，Tn = |a1| + |a2| + + |a34| + |as5|+ + |an|=但1 + a2 +，+ a34)

9、 (a35 + a36+ + an)=2(a1 + a2+ + a34) ® + a2+ + an)=28m $32 2052 x34 + X343 22n +2053 2205=尹n+ 3 502.3 2 205*尹 +n (n w 34 且 n N ),故Tn=3 2 205*尹n + 3 502 , (n35且n N ).跟蹤訓練3已知等差數(shù)列an沖，若82= 16, 84= 24，求數(shù)列|an|的前n項和Tn.解 設等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,2 X1 2a1 += 16,由 S2= 16, S = 24 得4 X34a1 + d = 24.2a1+ d = 16 ,

10、a1 = 9,即2出3d = 12.解得d= 2.所以等差數(shù)列an的通項公式為an= 11 2n (n N*).2當 nw 5 時，Tn=向|+ 砂| + + |an|= ai + a2 + + an= S= n + ion.當 n>6 時，Ti= |ai|+ 倒 + + |an|= ai+ a2 + + as a6 a7一an = 2$ S2 2 2=2 X( 5 + 10 X5) ( n + 10n)=n lOn + 50,*n + 10n(nW 5且n N ),故 Tn=2口*n lOn + 50(n6且n N ).題型四裂項相消法求和1 1 1例4 等差數(shù)列an中，a1 = 3,

11、公差d = 2, S為前n項和，求§ + $ +§'解等差數(shù)列an的首項a1= 3，公差d= 2,前 n 項和 Sn= na1 +n(n 1)2d= 3n +n(n 1)22 *X 2= n + 2n(n N ),1 1 11 1 1Sn + 2nn(n + 2)2(nn + 2),1 1 1 + + + S1十S2十十S1n十1)11111 1(1一 3)+ (2 4)十(3一 5)十十(n111111132門十 3十(n 一 n 十 2) = 2(1 十 2 一 門十 1 一 n 十 2) = 4 一2(n 十 1)(門十 2).1跟蹤訓練4已知數(shù)列an的通項公

12、式為an = (2n一 1)(2n+ )，求數(shù)列an的前n項和；1 1 1 1解 an=_()解(2 n 1)(2 n 十 1) 22n 1 2門十 1 丿，1 1 1 1 1 Si =十十十十十=1 X3+ 3X5十 5X7+ 十(2n 3)(2n 1)十(2n 1)(2門十 1)n2門十1 ,1111111 1 1 1 1 1=2(1 一 3)十(3 一 5)十(5一 7)十十亦一冇)+ 希一時)=2(1一 時)=_n Sn= 277.2例5 已知數(shù)列an的前n項和為S= n 1,則數(shù)列an的通項公式為an =,錯解an = Si Si -1 = (n 1) (n 1) 1 = 2n 1.

13、答案 2n 1錯因分析 運用an= S S-1求通項公式時，要求 n > 2，只有驗證n= 1滿足通項公式后， 才能用一個式子來表示，否則必須分段表示.正解當 n > 2 時，an = Sn Sn- 12 2=(n 1) (n 1) 1= 2n 1.2當n = 1時，a1 = S = 1 1 = 0，不符合上式，0, n = 1 ,an=2n 1 , n2.0, n = 1,答案2n 1, n>22 .誤區(qū)警示根據(jù)前n項和Sn = an + bn + c判斷an是不是等差數(shù)列時，只有當c= 0時是等差數(shù)列，否則不是.21.已知數(shù)列an的前n項和Sn= n ,貝y an等于()

14、2A. nB. nC. 2n+ 1D. 2n 12 .已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，且9>S>S5,有下列四個命題： d<0 :Sn>0 :S12<0 ；數(shù)列S中的最大項為S11，其中正確命題的序號是 ()A .B.C. D .3. 已知等差數(shù)列an中，麼|=瘁|,公差d>0,則使得前n項和Sn取得最小值的正整數(shù) n的值是4 數(shù)列an的通項公式其前n項和S= 9，貝U n =5 .已知數(shù)列 6的前n項和S= 3+ 2n，求an.一、選擇題21 若數(shù)列an的前n項和S = n 1，則a4等于（）A. 7B. 8 C. 9D. 1722數(shù)列an為等差數(shù)列，它

15、的前 n項和為S,若$= （n+ 1） +入貝U入的值是（）A. 2 B. 1 C. 0D. 13 .設等差數(shù)列an的前n項和為S1, Sn-1 = 2 , Sm= 0, Sn +1 = 3,貝U m等于（）A. 3B. 4 C. 5D. 64. 已知等差數(shù)列an的前n項和為S,若OB= a1（OA +妙OC，且A, B, C三點共線（該直線不過點0）,貝U Soo等于（）A. 100B. 101C. 200D. 2015. 若數(shù)列an的前n項和是 S= n 4n+2,則|a|+ &| +等于（）A. 15B. 35C. 66D. 1006. 設數(shù)列an是等差數(shù)列，若 a1 + a3+

16、 a5= 105 , a2 + a4 + a6= 99,以S表示an的前n項和，則使S達到最大值的n是()A. 18 B. 19 C. 20D. 217.Tx31An(n + 2)1 311( )22 n+1n+21n+ 1)1 1 1 1_L_L+等于(2 X43 X54 X6n(n+ 2廠、填空題8.若等差數(shù)列an滿足a7 + a8 + a9>0 , a7 + a10<0，則當n=時，數(shù)列an的前n項和 最大.29.已知數(shù)列 ©滿足a+ 2a2 + 3a3+ + nan = n ,則數(shù)列an的通項公式為 10.已知數(shù)列:1 11L2，1 + 2 + 3，則其前n項和等

17、于三、解答題2 *11.數(shù)列an的前 n 項和 $= 100n n (n N ).(1)判斷an是不是等差數(shù)列 , 若是， 求其首項、公差;設bn = |an|,求數(shù)列bn的前n項和.12.在數(shù)列an中,a1= 1,an =2S22S 1(n> 2)，求數(shù)列a的通項公式.* 1 213.已知數(shù)列an, an N , S是其前n項和，$ = ® + 2).8(1)求證an是等差數(shù)列；1設bn = 230，求數(shù)列bn的前n項和的最小值.當堂檢測答案1 答案 D2 2 解析 當 n = 1 時，a1 = S1 = 1，當 n > 2 時，an= S S-1= n (n 1) =

18、 2n 1,又因 a = 1 符合 an = 2n 1,所以，a = 2n 1(n N ).2 .答案 B解析/ S>S7, /. a7<0 ,/ S7> S5, a6+ a7>0 , a6>0 , /. d<0 ,正確.11 又 S1= (a1 + an)= 11 a6>0 ,正確.12S12=2(a1 + a12)= 6(a6 + a7)>0 ,不正確.$中最大項為S,不正確.故正確的是.3 .答案 6或7解析由 |a5|=|a9|且d >0 得a5<0,a9>0，且a5 + a9 = 0? 2a1+12d = 0?a1 +

19、6d= 0,即卩a7=0，故S7且最小.4 .答案 99解析an Sn= ( . 2 1) + ( .3 ,2) + + ( . n+ 1 . n)=,n +1 1 = 9, n = 99.5.解(1)當 n= 1 時，ai = S = 3 + 2= 5.(2)當 n2 時，$-1= 3 + 2廠,nnn 1n 又 Sn= 3+ 2 ,二 an= Si Si-1 = 2 一 2 = 2 (n >2).1 1又當n= 1時，a1= 2= 1工5,5(n= 1),an =n 12(n> 2).Word資料課時精練答案一、選擇題1 答案 A解析a4= S4 S= (4 1) (3 1)

20、= 7.2 .答案 B2 解析等差數(shù)列前n項和Sn的形式為Sn= an + bn, ?= 1.3 .答案 C解析am = & Sm-1 = 2, am +1 = &+1 Sm= 3,所以公差 d = am+1 am= 1,m (a1 + am),由 Sm = 0,得 a1 = 2，所以 am= 2+ (m 1) 1 = 2，解得 m = 5，故選 C.4 .答案 A解析 A、B、C三點共線？ a1 + a2oo = 1,S200 =(a1 + a2oo )=100.5.答案 C1, n= 1, 解析易得an=2n 5, n2.|a|= 1, |a2| = 1, |a3|= 1,

21、令 an>0 貝U 2n 5>0 , n >3. |a1|+ |a2|+ + |a1o|=1 + 1 + a3 + a1。=2 + (S10 SQ2 2=2 + (10 4 X10+ 2) (2 4 X2+ 2)=66.6 .答案 C解析a1 + a3 + a5= 105 = 3a3,- a3= 35,a2+ a4+ a6= 99 = 3a4, a4=33 ,a4 a34 3=2 ,- an= a3+ (n 3)d = 41 2n,41令 an>0 , 41 2n>0, n<3, nw 20.7. 答案 C解析通項an =1 11 1n(n + 2) = 2

22、(n nT2)，1 11111 1原式=2(1 - 3+(24+(3 - 5)+(n1 1 1n +1)+n+ 2)1 1 1 1=2(1+2n+r - n+2)1311=2(2 n+ 1 n + 2)，二、填空題8. 答案 8解析 t a7 + a8 + a9= 3a8>0 , a8>0.* a7 + a10= a8 + a9<0 , a8>0 , a9<0.故前8項的和最大.9 答案2n 1an =n2解析a1 + 2a2+ 3a3 + nan= n ,2當 n2 時，ai + 2a2+ 3© + (n 1)an 1= (n 1),2 n 1 nan

23、 = 2n 1 , /. an=n當n= 1時，a1= 1，符合上式,2n 1數(shù)列an的通項公式為an =n10答案2nn+ 11 2 1 1解析= =2(一 一)1 + 2 + + n n(n + 1)'n n+ 1h所求的和為2(1 12nn+ 1) = n+ 1.1 1 1 1 12)+(23)+(n市)=2(1 三、解答題2 211.解 (1)當 n >2 時，an = Sn S-1= (100n n ) 100(n 1) (n 1) = 101 2n.2t a1= S= 100 x 1 1 = 99 適合上式， an= 101 2n(n N*)./ an+ 1 an= 2 為常數(shù)，數(shù)列an是首項為99,公差為一2的等差數(shù)列.令 an = 101 2n > 0，得 n < 50.5,n N*, n w 50( n N*). 當 1w nw 50 時，an>0，此時 bn=|an|= an, bn的前 n 項和 S' n= 100n n2. 當 n51 時，an<0，此時 bn = |an|= an,由 b51+ b52 + + bn = (a51+ a5