隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1、.袈羅蒀蚄螄羄薃袀肂羃節(jié)蚃羈肅蒞袈襖肂蕆蟻螀肁蠆蒄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羈肈薄螈袇肇芃薀螃肇莆螆肁膆蒈蕿羇膅薀螄袃膄芀薇衿膃蒂袂螅膂薄蚅肄膁芄袁羀膁莆蚄袆膀葿衿螂艿薁螞肁羋芁蒅羇芇莃蝕羃芆薅蒃衿芅芅螈螄芅莇薁肅芄蒀螇罿芃薂薀裊莂節(jié)螅螁莁莄薈肀莀薆螃肆荿蚈蚆羂荿莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃袀肂羃節(jié)蚃羈肅蒞袈襖肂蕆蟻螀肁蠆蒄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羈肈薄螈袇肇芃薀螃肇莆螆肁膆蒈蕿羇膅薀螄袃膄芀薇衿膃蒂袂螅膂薄蚅肄膁芄袁羀膁莆蚄袆膀葿衿螂艿薁螞肁羋芁蒅羇芇莃蝕羃芆薅蒃衿芅芅螈螄芅莇薁肅芄蒀螇罿芃薂薀裊莂節(jié)螅螁莁莄薈肀莀薆螃肆荿蚈蚆羂荿莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃袀肂羃節(jié)蚃羈肅蒞袈襖肂蕆蟻螀肁蠆蒄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羈肈薄螈袇肇芃薀螃肇莆

2、螆肁膆蒈蕿羇膅薀螄袃膄芀薇衿膃蒂袂螅膂薄蚅肄膁芄袁羀膁莆蚄袆膀葿衿螂艿薁螞肁羋芁蒅羇芇莃蝕羃芆薅蒃衿芅芅螈螄芅莇薁肅芄蒀螇罿芃薂薀裊莂節(jié)螅螁莁莄薈肀莀薆螃肆荿蚈蚆羂荿莈袂袈羅蒀蚄螄羄薃袀肂羃節(jié)蚃羈肅蒞袈襖肂蕆蟻螀肁蠆蒄腿肀荿蝿肅聿蒁薂羈肈薄 第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用§1隱函數(shù)1方程能否在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)確定隱函數(shù)或？解令,則有(1)在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù);(2);(3),均在上述鄰域內(nèi)連續(xù);(4),.故由隱函數(shù)存在唯一性定理知,方程在原點(diǎn)的某鄰域內(nèi)可確定隱函數(shù).2方程在點(diǎn)(0,1,1)的某鄰域內(nèi)能否確定出某一個(gè)變量為另外兩個(gè)的函數(shù).解令,則;(1)在點(diǎn)(0,1,1)的某域內(nèi)連續(xù);(2)

3、;(3),均在上述鄰域內(nèi)連續(xù);(4),故由隱函數(shù)存在唯一性定理知,在點(diǎn)(0,1,1)的某鄰域內(nèi)方程能確定出函數(shù)和.3求由下列程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(1),求;(2),求;(3),求;(4)>0),求;(5),求;(6)求.解 (1)方程兩邊對(duì)求導(dǎo),得解得(2)解法一 方程兩邊對(duì)求導(dǎo),得即解得解法二 方程兩邊分別微分,得解得(3)解法一 設(shè)則所以,.解法二 方程兩邊微分,得即故.(4) 令則于是.(5)令則于是.(6)把看成的函數(shù),兩邊對(duì)求偏導(dǎo),則有把看成的函數(shù),兩邊對(duì)求偏導(dǎo),則0=把看成的函數(shù),兩邊對(duì)求偏導(dǎo),則4設(shè)，其中為由方程所確定的隱函數(shù)，求及。解 由，得由，得故5. 設(shè)，其中是由

4、方程所確定的隱函數(shù)，求及。解 由，得。于是，§2隱函數(shù)組1. 1.       試討論方程組，在點(diǎn)（1，-1，2）的附近能否確定形如的隱函數(shù)組？解 令則（1）在點(diǎn)（1，-1，2）的某鄰域內(nèi)連續(xù)；（2）（3）均在點(diǎn)（一，-1，2）的鄰域內(nèi)連續(xù)；（4）。由隱函數(shù)組定理，在點(diǎn)（1，-1，2）的附近所給方程組能確定形如的隱函數(shù)組。2. 2.       求下列程所確定的隱函數(shù)組的導(dǎo)數(shù)：（1） 求（2） 求（3） 求解 （1）設(shè)方程組所確定的隱函數(shù)組為，對(duì)兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得解方

5、程組，得（2）方程組關(guān)于求偏導(dǎo)，得解得方程組關(guān)于求偏導(dǎo)，得解得（3）兩個(gè)方程包含及四個(gè)變量，可以確定兩個(gè)二元函數(shù)，因?yàn)槭乔?。自然是因變量，是自變量。方程組關(guān)于求偏導(dǎo)解得3. 求下列函數(shù)組所確定的反函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)：（1） 求。（2） 求。解 對(duì)函數(shù)組關(guān)求偏導(dǎo)數(shù)： 即解之得 ， 。函數(shù)組關(guān)求偏導(dǎo)數(shù)： 解之得 。（2）因?yàn)榭赏ㄟ^對(duì)函數(shù)組兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得解之得 于是。4.設(shè)函數(shù)是由方程組為參量）所定義的函數(shù)，求當(dāng)時(shí)的。解 因?yàn)樗裕?dāng)時(shí)，。5. 設(shè)以為新的自變量變換下列方程：（1）設(shè)（2）設(shè)解 （1）把作為自變量，看作的復(fù)合函數(shù)，于是有將代入原方程，并化簡(jiǎn)得（2）代入原方程，并化簡(jiǎn)得6.設(shè)函數(shù)由方程組

6、所確定，求和。解 方程組分別關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)：解得解得。§3幾何應(yīng)用1. 1.       求平面曲線（a>0）上任一點(diǎn)的切線方程，并證明這些切線被坐標(biāo)軸所截取的線段等長(zhǎng)。解 令，則，于是，曲線上任一點(diǎn)處的切線方程為：,即。切線與兩軸的交點(diǎn)分別為，因?yàn)?. 求下列曲線在所示點(diǎn)出的切線方程與法平面方程：（1），在點(diǎn)；（2）在點(diǎn)解 （1），所以切線方程為：。即。法平面方程為：即。（2）令則。所以。于是切線方程為：法平面方程為：。3. 求下列曲面在所示點(diǎn)出的切面方程與法線方程：（1）在點(diǎn)；（2）在點(diǎn)；解 （1）令則。于是切面方程

7、為：即。法線方程為 （2）令則，故切面方程為：即法線方程為4. 證明對(duì)任意常數(shù)，球面與錐面是正交的。證 設(shè)是球面與錐面上的任一點(diǎn)，則球面在該點(diǎn)的法向量為，錐面在該點(diǎn)的法向量為因?yàn)樗?，?duì)任意的常數(shù)，球面與錐面是正交的。5. 5.        求曲面的切平面，使它平行與平面。解 設(shè)曲面上這一點(diǎn)的切平面與平面平行，則，即，代入曲面方程得，即。故在點(diǎn)和點(diǎn)出的切平面與所給平面平行，其切平面方程分別為6.在曲線上求出一點(diǎn)，使曲線在此點(diǎn)的切線平行與 平面。解 設(shè)曲線在處的切線平行與 平面，因?yàn)榍€在處的切向量為，所以，即，解之得或，故

8、所求點(diǎn)為或。§4 條件極限1. 應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，求下列函數(shù)的條件極限：（1），若；（2），若（其中（3）若；解 （1）設(shè)令解之得由于當(dāng)時(shí)，故函數(shù)必在唯一穩(wěn)定點(diǎn)處取得極小值，極小值。（2）設(shè)令解之得由于當(dāng)個(gè)正數(shù)的積一定時(shí) ，其和必有最小值，故一定在唯一穩(wěn)定點(diǎn)取的最小值也是極小值（3）設(shè)令得或。若代入，可求得若，得或。如果，代入，可求得如果，則代入，可求得于是得到可能的條件極值點(diǎn)為個(gè)：又在有界閉集上連續(xù)，故有最值，因此，極小值為，極大值為2.（1）求表面積一定而體積最大的長(zhǎng)方體；（2）求體積一定而表面積最大的長(zhǎng)方體；解 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為，表面積為，則體積為。于是問題成為在條

9、件下，求函數(shù)的最大值設(shè)令解得。因?yàn)樗箝L(zhǎng)方體體積有最大值，且穩(wěn)定點(diǎn)只有一個(gè)，所以表面積一定而體積最大的長(zhǎng)方體是立方體。（2）設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為，體積為，則表面積為。設(shè)令解得所以體積一定而表面積最大的長(zhǎng)方體是立方體。 令由，得3. 求空間一點(diǎn)到平面的最短距離；解 設(shè)平面上任意一點(diǎn)是，此題就是求函數(shù)在條件下的最小值，因?yàn)榕c的極值點(diǎn)相同，所以設(shè)令由此得，代入解得。所以。由幾何學(xué)知，空間定點(diǎn)到平面的最短距離存在。故為所求最短距離。    總練習(xí)題1， 1，  方程-（1-）=0哪些點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)可唯一地確定連續(xù)可導(dǎo)的隱函數(shù)y=f（x）？解

10、 設(shè)F（x，y）=-（1-），則=-2x+4，=2y. 若=0,則有y=0,代入原方程解得x=0,x=1,即在點(diǎn)(0, 0),(1,0),(-1,0)處有=0 設(shè)D=(x,y)| -（1-）=0-(0,0),(1,0),(-1,0).于是F(x,y)在D上每一點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)都有定義且連續(xù); ,在D上每一點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)都連續(xù);在D上每一點(diǎn)(x,y)有F（x，y）=0,(x, y)0.故方程-（1-）=0在D上每一點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)都可唯一的確定連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)的隱函數(shù)y=f(x).2,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù),函數(shù)(y)在區(qū)間(c, d)內(nèi)連續(xù),而且(y)>0.問在怎樣的條件下,方程(y)=f

11、(x)能確定函數(shù).并研究例子:(I ) =x; (II) =-x解 F(x, y)=(y)-f(x)在(a, b)(c, d)內(nèi)連續(xù);=(y)>0.即 F在 (a, b)(c, d)內(nèi)關(guān)于y 嚴(yán)格單調(diào);因此只要f(a, b)(c, d),即存在點(diǎn)(, )滿足F(, )=0 ,就可以(, ) 附近確定隱函數(shù)y=f(x)(I) (I)                 設(shè) f(x)=x,(y)= .由于f(x), (y), 都在R 上連

12、續(xù),且(y)=>0 ,f(R)(R )=R,故方程=x可確定函數(shù)y=y(x);(II) 由于f(x)=- x 0, (y) =>0 ,f(R)(R)=,所以方程=-x不能確定函數(shù)y=y(x)3,設(shè)f(x, y, z)=0,z=g(x, y).試求解 對(duì)方程組,關(guān)于x求導(dǎo)得,解之得 ,  膇芆蕆蚃羀膂蒆螅膅蒁蒅袇羈莇蒄羀膄芃薃蠆羆腿薃螁膂肅薂羄羅蒃薁蚃芀荿薀螆肅芅蕿袈羋膁薈羀肁蒀薇蝕襖莆蚇螂肀節(jié)蚆裊袂膈蚅薄肈膄蚄螇袁蒃蚃衿膆莈螞羈罿芄蟻蟻膄膀蟻螃羇葿螀裊膃蒞蝿羈羆芁螈蚇膁芇蒞袀肄膃莄羂艿蒂莃螞肂莈莂螄羋芄莁袆肀膀蒀罿袃蒈葿蚈聿莄葿螁袂莀蒈羃膇芆蕆蚃羀膂蒆螅膅蒁蒅袇羈莇蒄羀膄芃薃蠆羆腿薃螁膂肅薂羄羅蒃薁蚃芀荿薀螆肅芅蕿袈羋膁薈羀肁蒀薇蝕襖莆蚇螂肀節(jié)蚆裊袂膈蚅薄肈膄蚄螇袁蒃蚃衿膆莈螞羈罿芄蟻蟻膄膀蟻螃羇葿螀裊膃蒞蝿羈羆芁螈蚇膁芇蒞袀肄膃莄