二次函數(shù)知識(shí)精講與拓展訓(xùn)練

1、二次函數(shù)知識(shí)精講與拓展訓(xùn)練【知識(shí)精講】1 .二次函數(shù)： 形如 的函數(shù)叫做二次函數(shù) .2 .二次函數(shù)的圖像性質(zhì)：（1）二次函數(shù)的圖像是 ; （2）二次函數(shù)y ax2 bx c（a 0, a, b,c為常數(shù)） 通 過 配 方 可 得b 2 4ac b2一y a（x ）（a 0,a,b,c為常數(shù)），其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 二2a 4a一 一b（3）當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口，并向上無限延伸；在對(duì)稱軸左側(cè)（即x）時(shí)，2ab . by隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸右側(cè)（即x）時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 時(shí)，2a2a函數(shù)有.當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口，并向下無限延伸；在對(duì)稱軸左側(cè)（即x-b）時(shí)，y隨2abb_.著x的增大而增

2、大；在對(duì)稱軸右側(cè)（即x）時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x 時(shí),2a2a函數(shù)有二3 .二次函數(shù)的圖像平移：（1）二次函數(shù)y ax2, y a（x h）2, y a（x h）2 k的圖像都是拋物線，并且形狀相 同，只是位置不同（a的取值決定拋物線的形狀）.將y ax2的圖像向右（h>0 ）、向左（h<0 ） 平移h個(gè)單位，就得到函數(shù)y a（x h）2的圖像；再將此拋物線向上 （k>0）、向下（k<0）平移k個(gè)單位得到函數(shù) y a（x h）2 k的圖像.上述平移的規(guī)律是：“h值正、負(fù)、右、左 移；k值正、負(fù)、上、下移.”4 .拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)： 拋物線y ax2 bx c與

3、y軸交于點(diǎn)（0,c）.若方ax2 bx c 0有兩根x1，x2，則拋物線y ax2 bx c交x軸點(diǎn)（xQ）后 ,0） 考點(diǎn)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)2. 例1 te乂 a,b,c為函數(shù)y ax bx c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為2 m , 1 - m ,-1 - m 的函數(shù)的一些結(jié)論：當(dāng)m = - 3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （1 , 8）;33 當(dāng)m >0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于 1 ； 當(dāng)m < 0時(shí)，函數(shù)在x >。時(shí)，y隨x的增大而減??；4頁腳當(dāng)m 0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)其中正確的結(jié)論有A.B.C.D.變式訓(xùn)練1.已知二次函數(shù)y ax2 bxc的圖像如圖所示，

4、則下列結(jié)論正確的是（A. a 0第（1）題4ac 0D. a b c 0第（3）題22.已知二次函數(shù) y axbx c（ a 0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論:2 b 4ac 0 ; abc0 ； 8a c 0 ； 9a 3b c 0 .3.已知二次函數(shù)y2axbx c（a 0）的圖象如圖所示，有下列 5個(gè)結(jié)論: abc 0； b a c； 4a 2b c 0； 2c 3b； a b m（am b）,（m 1的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有（）A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)考點(diǎn)二次函數(shù)圖像平移2例2.拋物線y x bx c圖像向右平移2個(gè)單位再向下平移 3個(gè)單位，所得圖像的解析 2式為y

5、 x 2x 3 ,則b、c的值為（）A . b=2 , c=2 B. b=2 , c=0C . b= -2 , c=-1D. b= -3 ,c=2 變式訓(xùn)練1 .把拋物線yx2向左平移1個(gè)單位，然后向上平移 3個(gè)單位，則平移后拋物線的表達(dá)式（ ）2 .若把函數(shù)y=x的圖象用E （x, x）記，函數(shù)y=2x+1的圖象用E （x, 2x+1 ）記，則E （x, x2 2x 1）可以由E （x, x2）怎樣平移得到？23 .如圖，點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為（1, 4）和（4, 4）,拋物線y a（x m） n的頂點(diǎn)在線3,段AB上運(yùn)動(dòng)，與x軸交于C、D兩點(diǎn)（C在D的左側(cè)），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為則點(diǎn)D的橫

6、坐標(biāo)最大值為（）A .考點(diǎn)確定二次函數(shù)解析式例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB OA,且OB 2OA,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2).(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的表達(dá)式;(3)連接AB ,在(2)中的拋物線上求出點(diǎn) P ,使得SAABPSA ABO 變式訓(xùn)練21 .二次函數(shù)y x mx 3的圖象與x軸的交點(diǎn)如圖所不，根據(jù)圖中信息可得到m的值. .一一22 .已知二次函數(shù) y x 2a a 1 (a為常數(shù))，當(dāng)a取不同的值時(shí)，其圖象構(gòu)成一個(gè)“拋物線系”.下圖分別是當(dāng)a 1, a 0, a 1, a 2時(shí)二次函數(shù)的圖象.它們的頂點(diǎn)在一條直線上，這條直線的解析式是y .1 23 .如

7、圖，已知二次函數(shù) y -x bx c的圖象經(jīng)過 A (2, 0)、B (0, 6)兩點(diǎn)。2(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式(2)設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與 x軸交于點(diǎn)C,連結(jié)BA、BC,求4ABC的面積。4 .如圖，已知拋物線 y=x2+bx + c經(jīng)過矩形 ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn) A、B, AB平行于x軸, 對(duì)角線BD與拋物線交于點(diǎn) P,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0, 2), AB=4.(1)求拋物線的解析式；(2)若Saapo= 3 ,求矩形ABCD的面積.5 .將直角邊長為6的等腰RtAOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(-3, 0

8、).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P作AB的平行線交 AC于點(diǎn)E,連接AP,當(dāng) APE 的面積最大時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G,使4AGC的面積與(2)中 APE的最大面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)考點(diǎn)確定二次函數(shù)與方程、不等式、一次函數(shù)、反比例函數(shù)2例1.拋物線y ax bx c圖像如圖所示，則一次函數(shù)ya b cy 一2bx 4ac b與反比例函數(shù)第15題圖變式訓(xùn)練1.若正比例函數(shù) y 2kx與反比例函數(shù) yx在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像大致為()考點(diǎn)5二次函數(shù)與幾何的綜合題例5.如圖，拋物線 y=ax2+bx + c經(jīng)過點(diǎn)A (4,

9、 0)、B (2, 2),連結(jié)OB、AB.(1)求該拋物線的解析式；(2)求證： OAB是等腰直角三角形；(3)將 OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)135 ° 得到AOA' B',寫出A' B'的中點(diǎn)P的坐標(biāo), 試判斷點(diǎn)P是否在此拋物線上，并說明理由.變式訓(xùn)練1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A( 4,0), B(0, 4), C (2,0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值.(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q是直線yx上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾

10、個(gè)位置能夠使得3).(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2)過C點(diǎn)作CD平行于x軸交拋物線于點(diǎn) D,寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并求 AD、BC的交點(diǎn) E的坐標(biāo)；(3)若拋物線的頂點(diǎn)為 P,連結(jié)PC、PD,判斷四邊形 CEDP的形狀，并說明理由.【思維能力提升訓(xùn)練】1.方程x2+2x 1=0的根可看成函數(shù) y=x+2與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用此方法可推斷 方程x3+x- 1=0的實(shí)根x所在范圍為()A.B.C.D.2 .已知實(shí)數(shù)的最大值為3 .如圖，已知拋物線 y = ax2+bx + c(a W0)的對(duì)稱軸為x= 1 ,且拋物線經(jīng)過 A (1, 0)、 B (0, 3)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)

11、 B.(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸 x= 1上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn) C的距離之和最小，并求出此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo);(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸 x=1上的一動(dòng)點(diǎn)，求使/PCB= 904 .已知平面直角坐標(biāo)系 xOy ,拋物線y=x2+bx + c過點(diǎn)A(4,0)、B(1,3).(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)記該拋物線的對(duì)稱軸為直線1,設(shè)拋物線上的點(diǎn) P(m,n)在第四象限，點(diǎn) P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為E,點(diǎn)E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為F,若四邊形OAPF的面積為20,求m、n 的值.5 .如圖，拋物線y = ax2 + bx

12、+ 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 A ( 4, 0)、B (2, 0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D. E (1, 2)為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G .(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在直線EF上求一點(diǎn)H,使 CDH的周長最小，并求出最小周長;(3)若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， EFK的面積最大？并求出最大面積.家庭作業(yè)1 .若二次函數(shù)y x2 bx 5配方后為y （x 2）2 k則b、k的值分別為（）2 .在直角坐標(biāo)系中，若解析式為y 2x2 4x 5的圖像沿著x軸向左平移兩個(gè)單位， 再沿著y軸向下平移一個(gè)單位，此時(shí)圖

13、像的解析式為（）3 .二次函數(shù)y=ax2+bx + c的圖象如圖所示，反比例函數(shù)y= a與正比例函數(shù) y= （b +xc） x在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A. B. C.D. 12,1 24.如圖，兩條拋物線yi -x21、y2-x21與分別經(jīng)過點(diǎn)2,0 , 2,0且平行于y22軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為（）A.8 B.6 C. 10 D. 4（4題圖）5 .如圖，小明的父親在相距 2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個(gè)簡易的秋千.拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為 米.6 .圖為二次函數(shù)的圖象，給出下列說法：；方程的根為；當(dāng)時(shí)，y隨x值的增大而增大；當(dāng)時(shí)，.其中，正確的說法有 .(請(qǐng)寫出所有正確說法的序號(hào))7 .已知點(diǎn)A (1, 1)在二次函數(shù)圖像上。(1)用含的代數(shù)式表示；(2)如果該二次函數(shù)的圖像與軸只有一