第10講,復(fù)數(shù)教師

1、第10講,復(fù)數(shù)教師 第十講 復(fù)數(shù) 玩前必備 1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)定義：形如 abi(a，br)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中 a 叫做復(fù)數(shù) z 的實部，b 叫做復(fù)數(shù) z 的虛部(i 為虛數(shù)單位) (2)分類： 滿足條件(a，b 為實數(shù)) 復(fù)數(shù)的分類 abi 為實數(shù)b0 abi 為虛數(shù)b0 abi 為純虛數(shù)a0 且 b0 (3)復(fù)數(shù)相等：abicdiac 且 bd(a，b，c，dr) (4)共軛復(fù)數(shù)：abi 與 cdi 共軛ac，bd(a，b，c，dr) (5)模：向量oz 的模叫做復(fù)數(shù) zabi 的模，記作|abi|或|z|，即|z|abi|a 2 b 2 (a，br) 2復(fù)數(shù)的幾何意義 復(fù)數(shù) zab

2、i 與復(fù)平面內(nèi)的點 z(a，b)及平面向量oz (a，b)(a，br)是一一對應(yīng)關(guān)系 3復(fù)數(shù)的運算 (1)運算法則：設(shè) z 1 abi，z 2 cdi，a，b，c，dr. (2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行 如圖給出的平行四邊形 oz 1 zz 2 可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即oz oz1oz 2，z 1 z 2oz 2oz 1. 玩轉(zhuǎn)典例 題型一 復(fù)數(shù)的概念及分類 例 1 實數(shù) x 分別取什么值時，復(fù)數(shù) z x2 x6x3(x 2 2x15)i 是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？ 解 (1)當(dāng) x 滿足î ïí

3、39;ì x 2 2x150，x30，即 x5 時，z 是實數(shù) (2)當(dāng) x 滿足î ïíïì x 2 2x150，x30，即 x3 且 x5 時，z 是虛數(shù) (3)當(dāng) x 滿足îïíïì x 2 x6x30，x 2 2x150，x30，即 x2 或 x3 時，z 是純虛數(shù) 例 2 (1)若 512ixiy(x，yr)，則 x_，y_. (2)已知(2x1)iy(3y)i，其中 x，yr，i 為虛數(shù)單位求實數(shù) x，y 的值 解析 (1)由復(fù)數(shù)相等的充要條件可知 x12，y5. (2)根

4、據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，由(2x1)iy(3y)i， 得î ïíïì 2x1y，1(3y)，解得îïíïì x 52 ，y4，即 x 52 ，y4. 答案：(1)12 5 (2)x 52 ，y4. 題型練透 1.當(dāng) m 為何值時，復(fù)數(shù) zm 2 (1i)m(3i)6i，mr，是實數(shù)？是虛數(shù)？是純虛數(shù)？ 解：z(m 2 3m)(m 2 m6)i， (1)當(dāng) m 滿足 m 2 m60，即 m2 或 m3 時，z 為實數(shù) (2)當(dāng) m 滿足 m 2 m60，即 m2 且 m3 時，z 為虛數(shù) (3)當(dāng)

5、m 滿足î ïíïì m 2 3m0，m 2 m60，即 m0 時，z 為純虛數(shù). 2.43aa 2 ia 2 4ai，則實數(shù) a 的值為( ) a1 b1 或4 c4 d0 或4 解析：選 c 由題意知î ïíïì 43aa 2 ，a 2 4a，解得 a4. 題型二 復(fù)數(shù)的幾何意義 例 3 (1)已知平面直角坐標(biāo)系中 o 是原點，向量 oa ， ob 對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 23i，32i，那么向量 ba對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( ) a55i b55i c55i d55i (2)在復(fù)平面內(nèi)，a，b，c 三點對

6、應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 1,2i，12i. 求向量 ab ， ac ， bc 對應(yīng)的復(fù)數(shù)； 判定abc 的形狀 解析(1)選 b 向量 oa ， ob 對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 23i，32i，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得向量 oa (2，3)， ob (3,2) 由向量減法的坐標(biāo)運算可得向量 ba oa ob (23，32)(5，5)，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，可得向量 ba 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 55i. (2)由復(fù)數(shù)的幾何意義知： oa (1,0)， ob (2,1)， oc (1,2)， ab ob oa (1,1)， ac oc oa (2,2)， bc oc ob (3,1)， ab ， ac ， bc

7、 對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 1i，22i，3i. | ab | 2，| ac |2 2，| bc | 10，| ab | 2 | ac | 2 | bc | 2 ， abc 是以 bc 為斜邊的直角三角形 例 4 (1)若復(fù)數(shù) z 對應(yīng)的點在直線 y2x 上，且|z| 5，則復(fù)數(shù) z( ) a12i b12i c12i d12i 或12i (2)設(shè)復(fù)數(shù) z 1 a2i，z 2 2i，且|z 1 |z 2 |，則實數(shù) a 的取值范圍是( ) a(，1)(1，) b(1,1) c(1，) d(0，) 解析 (1)依題意可設(shè)復(fù)數(shù) za2ai(ar)， 由|z| 5得 a 2 4a 2 5，解得 a1，故 z

8、12i 或 z12i. (2)因為|z 1 | a 2 4，|z 2 | 41 5， 所以 a 2 4 5，即 a 2 45，所以 a 2 1，即1a1. 答案 (1)d (2)b 題型練透 1(全國甲卷)已知 z(m3)(m1)i 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù) m 的取值范圍是( ) a(3,1) b(1,3) c(1，) d(，3) 解析：選 a 由題意知î ïíïì m30，m10，即3m1.故實數(shù) m 的取值范圍為(3,1) 2如果復(fù)數(shù) z1ai 滿足條件|z|2，那么實數(shù) a 的取值范圍是( ) a(2 2，2 2) b(2,

9、2) c(1,1) d( 3， 3) 解析：選 d 因為|z|2，所以 1a 2 2，則 1a 2 4，a 2 3，解得 3a 3. 3求復(fù)數(shù) z 1 68i 與 z 2 12 2i 的模，并比較它們的模的大小 解：z 1 68i，z 2 12 2i，|z 1 |6 2 8 2 10， |z 2 | èæøö 122 ( 2) 2 32 .1032 ，|z 1 |z 2 |. 題型三 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算 例 5 已知 z 1 (3x4y)(y2x)i，z 2 (2xy)(x3y)i，x，y 為實數(shù)，若 z 1 z 2 53i，則|z 1 z 2 |_

10、. 解析 z 1 z 2 (3 x 4 y )( y 2 x )i(2 x y )( x 3 y )i(3 x 4 y )(2 x y )( y 2 x )( x 3 y )i(5x5y)(3x4y)i53i， 所以î ïíïì 5x5y5，3x4y3，解得 x1，y0，所以 z 1 32i，z 2 2i，則 z 1 z 2 1i， 所以|z 1 z 2 | 2. 例 6 (1)已知復(fù)數(shù) z 1 48i，z 2 69i，求復(fù)數(shù)(z 1 z 2 )i 的實部與虛部； (2)已知 z 是純虛數(shù)， z21i 是實數(shù)，求 z. 解：(1)由題意得 z

11、1 z 2 (48i)(69i)(46)(8i9i)2i，則(z 1 z 2 )i(2i)i2ii 2 12i.于是復(fù)數(shù)(z 1 z 2 )i 的實部是 1，虛部是2. (2)設(shè)純虛數(shù) zbi(br)，則 z21i bi21i (bi2)(1i)(1i)(1i) (b2)(b2)i2. 由于 z21i 是實數(shù)，所以 b20，即 b2，所以 z2i. 題型練透 1.已知復(fù)數(shù) z 1 a 2 3i，z 2 2aa 2 i，若 z 1 z 2 是純虛數(shù)，則實數(shù) a_. 解析：由條件知 z 1 z 2 a 2 2a3(a 2 1)i，又 z 1 z 2 是純虛數(shù)，所以î ï

12、7;ïì a 2 2a30，a 2 10，解得 a3. 答案：3 2.若復(fù)數(shù) z 滿足 z(2i)117i(i 是虛數(shù)單位)，則 z 為( ) a35i b35i c35i d35i 解析 z(2i)117i， z 117i2i (117i)(2i)(2i)(2i) 1525i535i. 3.設(shè) i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 1ai2i為純虛數(shù)，則實數(shù) a 為( ) a2 b2 c 12 d. 12 解析 1ai2i (1ai)(2i)(2i)(2i) 2a5 12a5i，由 1ai2i是純虛數(shù)，則 2a50， 12a50，所以 a2. 題型四 復(fù)數(shù)運算的綜合應(yīng)用 例 7 已知 z

13、 1 是虛數(shù)，z 2 z 1 1z 1 是實數(shù)，且1z 2 1. (1)求|z 1 |的值以及 z 1 的實部的取值范圍； (2)若 1z11z 1 ，求證： 為純虛數(shù) 解 設(shè) z 1 abi(a，br，且 b0) (1)z 2 z 1 1z 1 abi1abi èæøöaaa 2 b 2 èæøöbba 2 b 2i. 因為 z 2 是實數(shù)，b0，于是有 a 2 b 2 1，即|z 1 |1， 所以 z 2 2a. 由1z 2 1，得12a1，解得 12 a12 ，即 z 1 的實部的取值范圍是 ë&#

14、234;éûúù 12 ，12. (2) 1z11z 1 1abi1abi 1a 2 b 2 2bi(1a) 2 b 2ba1 i. 因為 a ëéûù 12 ，12，b0，所以 為純虛數(shù) 題型練透 1. 設(shè) z 是虛數(shù)，z 1z 是實數(shù)，且12，求|z|的值及 z 的實部的取值范圍 解 因為 z 是虛數(shù)，所以可設(shè) zxyi，x，yr，且 y0. 所以 z 1z xyi1xyi xyixyix 2 y 2 xxx 2 y 2 èæøöyyx 2 y 2i. 因為 是實數(shù)且 y

15、0，所以 yyx 2 y 2 0，所以 x2 y 2 1， 即|z|1.此時 2x.因為12，所以12x2，從而有 12 x1， 即 z 的實部的取值范圍是 èæøö 12 ，1 . 玩轉(zhuǎn)練習(xí) 1i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 7i3i ( ) a2i b2i c2i d2i 解析：選 b 7i3i (7i)(3i)10 2010i102i. 2(全國卷)若 a 為實數(shù)，且(2ai)(a2i)4i，則 a( ) a1 b0 c1 d2 解析：選 b (2ai)(a2i)4i，4a(a 2 4)i4i. î ïíïì

16、 4a0，a 2 44.解得 a0.故選 b. 3若復(fù)數(shù) z 滿足z1i i，其中 i 是虛數(shù)單位，則 z( ) a1i b1i c1i d1i 解析：選 a z (1i)ii 2 i1i，z1i，故選 a. 4設(shè) i 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2i1i 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于( ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 解析：選 b 2i1i 2i(1i)(1i)(1i) 2(i1)21i，由復(fù)數(shù)的幾何意義知1i 在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為(1,1)，該點位于第二象限，故選 b. 5已知 (1i)2z1i(i 為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù) z( ) a1i b1i c1i d1i 解析：選 d 由 (

17、1i)2z1i，得 z (1i)21i 2i1i 2i(1i)(1i)(1i) 1i，故選 d. 6已知復(fù)數(shù) z(52i) 2 (i 為虛數(shù)單位)，則 z 的實部為_ 解析：復(fù)數(shù) z(52i) 2 2120i，其實部是 21. 答案：21 7i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(12i)(ai)是純虛數(shù)，則實數(shù) a 的值為_ 解析：由(12i)(ai)(a2)(12a)i 是純虛數(shù)可得 a20,12a0，解得 a2. 答案：2 8設(shè)復(fù)數(shù) abi(a，br)的模為 3，則(abi)(abi)_. 解析：|abi| a 2 b 2 3，(abi)(abi)a 2 b 2 3. 答案：3 9設(shè)復(fù)數(shù) zlg(m 2 2m2)(m 2 3m2)i(mr)，試求 m 取何值時？ (1)z 是實數(shù). (2)z 是純虛數(shù) (3)z 對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第一象限 解：(1)由 m 2 3m20 且 m 2 2m20，解得 m1 或 m2，復(fù)數(shù)表示實數(shù) (2)當(dāng)實部等于零且虛部不等于零時，復(fù)數(shù)表示純虛數(shù) 由 lg(m 2 2m2)0，且 m 2 3m20， 求得 m3，故當(dāng) m3 時，復(fù)數(shù) z 為純虛數(shù)