第五章,5.2.1,三角函數概念

1、第五章,5.2.1,三角函數概念 5.2 三角函數的概念 5 2.1 三角函數的概念 學習目標 1.理解三角函數的概念，會求給定角的三角函數值.2.掌握任意角三角函數在各象限的符號.3.掌握三角函數誘導公式一并會應用 知識點一 任意角的三角函數的定義 條件 如圖，設 是一個任意角，r，它的終邊 op 與單位圓交于點 p(x，y) 定義 正弦 點 p 的縱坐標 y 叫做 的正弦函數，記作 sin ，即 ysin 余弦 點 p 的橫坐標 x 叫做 的余弦函數，記作 cos ，即 xcos 正切 點 p 的縱坐標與橫坐標的比值 yx 叫做 的正切，記作 tan ，即 yx tan (x0) 三角函數

2、 正弦函數 ysin x，xr 余弦函數 ycos x，xr 正切函數 ytan x，x 2 k，kz 思考 三角函數值的大小與點 p 在角 終邊上位置是否有關？ 答案 三角函數值是比值，是一個實數，它的大小與點 p 在終邊上的位置無關，只與角 的終邊位置有關，即三角函數值的大小只與角有關 知識點二 正弦、余弦、正切函數值在各象限內的符號 1圖示： 2口訣："一全正，二正弦，三正切，四余弦' 知識點三 公式一 終邊相同的角的同一三角函數的值相等 即 (sin(2k)sin ， cos(2k)cos ， tan(2k)tan ， 其中 kz. 1sin 表示 sin 與 的乘積

3、( ) 2設角 終邊上的點 p(x，y)，r|op|0，則 sin yr ，且 y 越大，sin 的值越大( ) 3終邊相同的角的同一三角函數值相等( ) 4終邊落在 y 軸上的角的正切函數值為 0.( ) 一、三角函數的定義及應用 例 1 (1)已知角 的終邊與單位圓的交點為 p èæøö35 ，y (y0)，則 tan . 答案 43 解析 因為點 p èæøö35 ，y (y0)在單位圓上， 則925 y2 1， 所以 y 45 ，所以 tan 43 . (2)(多選)若角 的終邊經過點 p(x，3)且 si

4、n 31010，則 x 的值為( ) a 3 b1 c1 d. 3 答案 bc 解析 |op| x 2 9， sin 3|op| 3x 2 9 31010， 解得 x 2 1，x1. 延伸探究 在本例(2)中，將"sin 31010'改為"cos 1010'求 x 的值 解 |op| x 2 9， cos x|op| xx 2 9 1010， 解得 x 2 1，又 x0，x1. (學生) 反思感悟 利用三角函數的定義求一個角的三角函數值有以下幾種情況 (1)若已知角，則只需確定出該角的終邊與單位圓的交點坐標，即可求出各三角函數值 (2)若已知角 終邊上一點

5、p(x，y)(x0)是單位圓上一點，則 sin y，cos x，tan yx . (3)若已知角 終邊上一點 p(x，y)不是單位圓上一點，則先求 r x 2 y 2 ，再求 sin yr ， cos xr . (4)若已知角 終邊上的點的坐標含參數，則需進行分類討論 跟蹤訓練 1 角 的終邊落在直線 y2x 上，求 sin ， cos 的值 解 方法一 設角 的終邊與單位圓交于點 p(x，y)， 聯立î ïíïì y2x，x 2 y 2 1，解得îíì x55，y 2 55或îíì

6、x55，y 2 55， 即點 p 坐標為 èæøö55， 2 55或 èæøö55， 2 55， 當點 p 坐標為 èæøö55， 2 55時，sin 2 55，cos 55， 當點 p 坐標為 èæøö55， 2 55時，sin 2 55， cos 55. 方法二 若 的終邊在第一象限內， 設點 p(a,2a)(a0)是其終邊上任意一點， 因為 r|op| a 2 4a 2 5a， 所以 sin yr 2a5a 2 55，cos xr

7、 a5a 55. 若 的終邊在第三象限內， 設點 p(a,2a)(a0)是其終邊上任意一點， 因為 r|op| a 2 4a 2 5a(a0)， 所以 sin yr 2a 5a 2 55， cos xr a 5a 55. 二、三角函數值符號的應用 例 2 (1)若 sin tan 0，且 cos tan 0，則角 是( ) a第一象限角 b第二象限角 c第三象限角 d第四象限角 答案 c 解析 由 sin tan 0 可知 sin ，tan 異號，從而 是第二或第三象限角 由 cos tan 0 可知 cos ，tan 異號，從而 是第三或第四象限角 綜上可知， 是第三象限角 (2)(多選)下

8、列選項中，符號為負的是( ) asin(100) bcos(220) ctan 10 dcos 答案 abd 解析 100在第三象限，故 sin(100)0；220在第二象限，故 cos(220)0；10 èæøö3， 72在第三象限，故 tan 100，cos 10. 反思感悟 判斷三角函數值符號的兩個步驟 (1)定象限：確定角 所在的象限 (2)定符號：利用三角函數值的符號規(guī)律，即"一全正，二正弦，三正切，四余弦'來判斷 跟蹤訓練 2 已知點 p(sin ，cos )在第三象限，則角 的終邊在( ) a第一象限 b第二象限 c第三象

9、限 d第四象限 答案 c 解析 點 p(sin ，cos )在第三象限， î ïíïì sin 0，cos 0， 為第三象限角 三、公式一的簡單應用 例 3 計算下列各式的值： (1)sin(1 395)cos 1 110cos(1 020)sin 750； (2)sin èæøö 116cos 125tan 4. 解 (1)原式sin(436045)cos(336030)cos(336060)sin(236030) sin 45cos 30cos 60sin 30 2232 12 12 64 14 1

10、64. (2)原式sin èæøö2 6cos èæøö2 25tan(40)sin 6 cos 250 12 . 反思感悟 利用誘導公式一進行化簡求值的步驟 (1)定形：將已知的任意角寫成 2k 的形式，其中 0,2)，kz. (2)轉化：根據誘導公式一，轉化為求角 的某個三角函數值 (3)求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數值 跟蹤訓練 3 計算下列各式的值： (1)tan 405sin 450cos 750； (2)sin 253tan èæøö 154. 解

11、(1)原式tan(36045)sin(36090)cos(236030) tan 45sin 90cos 30 113232. (2)sin 253tan èæøö 154 sin èæøö3 8 tan èæøö4 4 sin 3 tan 4 321. 1已知 sin 513 ，cos 1213 ，則角 的終邊與單位圓的交點坐標是( ) a. èæøö513 ，1213 b. èæøö513 ，

12、1213 c. èæøö1213 ，513 d. èæøö 1213 ，513 答案 d 解析 設交點坐標為 p(x，y)， 則 ysin 513 ，xcos 1213 ， 點 p èæøö 1213 ，513. 2已知角 的終邊經過點(4,3)，則 cos 等于( ) a. 45 b.35 c35 d45 答案 d 解析 設點 p(4,3)，則|op| (4) 2 3 2 5， cos 4|op| 45 . 3(多選)若 sin cos 0，則 在( ) a第一象限 b第二

13、象限 c第三象限 d第四象限 答案 ac 解析 因為 sin cos 0， 所以 sin 0，cos 0 或 sin 0，cos 0， 所以 在第一象限或第三象限 4計算：sin 256cos èæøö 173tan 94 . 答案 2 解析 原式sin èæøö4 6cos èæøö6 3 tan èæøö2 4 sin 6 cos 3 tan 4 12 12 1 2. 5已知角 的終邊過點 p(3a,4a)(a0)，則 2sin c

14、os . 答案 1 或1 解析 因為 r (3a) 2 (4a) 2 5|a|， 若 a0，則 r5a，角 在第二象限 sin yr 4a5a 45 ，cos xr 3a5a 35 ， 所以 2sin cos 85 35 1. 若 a0，則 r5a，角 在第四象限， sin 4a5a 45 ，cos 3a5a 35 . 所以 2sin cos 85 35 1. 1知識清單： (1)三角函數的定義及求法 (2)三角函數在各象限內的符號 (3)公式一 2方法歸納：轉化與化歸、分類討論 3常見誤區(qū)：三角函數值的大小只與角的大小有關，與終邊上的點無關；正切函數的定義域為 î í&#

15、236;þýüx ïï x 2 k，kz. 1點 a(x，y)是 60角的終邊與單位圓的交點，則 yx 的值為( ) a. 3 b 3 c.33 d33 答案 a 解析 由三角函數定義知 yx tan 60 3. 2代數式 sin(330)cos 390的值為( ) a 34 b.34 c 32 d.14 答案 b 解析 由誘導公式可得， sin(330)cos 390sin 30cos 30 12 3234. 3若 cos 32，且角 的終邊經過點 p(x,2)，則 p 點的橫坐標 x 是( ) a2 3 b2 3 c2 2 d2 3 答案

16、d 解析 因為 cos 320，所以 x0， 又 r x 2 2 2 ，由題意得xx 2 2 2 32， 所以 x2 3. 4(多選)下列三角函數值的符號判斷正確的是( ) acos(280)0 bsin 5000 ctan èæøö 780 dtan 53120 答案 bcd 解析 cos(280)cos(36080)cos 800； sin 500sin(360140)sin 140，90140180， sin 1400； tan èæøö 78tan èæøö2 98t

17、an 98， 98 èæøö， 32， tan 98 0； tan 5312 tan èæøö4 512tan 512 ，512 èæøö0， 2， tan 512 0. 5已知 sin cos 0，且|cos |cos ，則角 是( ) a第一象限角 b第二象限角 c第三象限角 d第四象限角 答案 d 解析 sin cos 0，sin ，cos 是一正一負， 又|cos |cos ，cos 0， 綜上有 sin 0，cos 0， 即 為第四象限角 6已知角 終邊與單位圓交于

18、點 p èæøö32，y ，則 cos ，sin . 答案 32 12 解析 點 p èæøö32，y 滿足單位圓 x 2 y 2 1， 則 34 y2 1，y 12 ， cos 32，sin 12 . 7點 p(tan 2 020，cos 2 020)位于第 象限 答案 四 解析 因為 2 0205360220， 所以 2 020的終邊與 220的終邊相同， 又 220是第三象限角， 所以 tan 2 0200，cos 2 0200， 即點 p 位于第四象限 8已知角的終邊經過點(3a9，a2)，且cos 0，s

19、in 0，則實數a的取值范圍是 答案 (2,3 解析 由 cos 0，sin 0 可知，î ïíïì 3a90，a20， 解得2a3. 9化簡下列各式： (1)sin 72cos 52cos(5)tan 4 ； (2)a 2 sin 810b 2 cos 9002abtan 1 125. 解 (1)原式sin 32cos 2 cos 1 10111. (2)原式a 2 sin 90b 2 cos 1802abtan 45 a 2 b 2 2ab(ab) 2 . 10已知 終邊上一點 p(x,3)(x0)，且 cos 1010x，求 sin ，t

20、an . 解 由題意知 r|op| x 2 9， 由三角函數定義得 cos xr xx 2 9 ， 又因為 cos 1010x， 所以xx 2 9 1010x. 因為 x0，所以 x1. 當 x1 時，p(1,3)， 此時 sin 31 2 3 2 3 1010，tan 31 3. 當 x1 時，p(1,3)， 此時 sin 3(1) 2 3 2 3 1010，tan 31 3. 11函數 y sin x cos x的定義域是( ) ax|2kx2k，kz b. î íìþýüx ïï 2k 2 x2k，kz c.

21、 î íìþýüx ïï k 2 xk，kz dx|2kx2k，kz 答案 b 解析 由 sin x0，cos x0， 得 x 為第二象限角或 y 軸正半軸上的角或 x 軸負半軸上的角， 所以 2k 2 x2k，kz. 12在abc 中，若 sin acos btan c0，則abc 是( ) a銳角三角形 b直角三角形 c鈍角三角形 d銳角三角形或鈍角三角形 答案 c 解析 在abc 中，a，b，c(0，)， sin a0，cos btan c0， b，c 一個為銳角，另一個為鈍角， abc 為鈍角三角形 13函數 ysin x|sin x| |cos x|cos xtan x|tan x| 的值域是( ) a1,0,1,3 b1,0,3 c1,3 d1,