流體力學(xué)3重點

1、第三章 流體運動學(xué)學(xué)習(xí)要點：熟練掌握恒定流、均勻流、流線、流管、流量、一維流、有旋流與無旋流等基本概念； 掌握連續(xù)性微分方程、一維連續(xù)性積分方程、流體微團的運動分析、描述流體運動的歐拉法和流線的性質(zhì)；了解跡線、二維流和非恒定流動等基本概念、描述流體運動的拉格朗日法、質(zhì)點加速度的表達式。第一節(jié) 流體運動的描述流體運動學(xué)研究流體的運動規(guī)律，包括描述流體運動的方法、質(zhì)點速度、加速度的變化和所遵循的規(guī)律。本章不涉及流體的動力學(xué)性質(zhì)，所研究的內(nèi)容及其結(jié)論，對無粘性流體和粘性流體均適用。流體和固體不同，流體運動是由無數(shù)質(zhì)點構(gòu)成的連續(xù)介質(zhì)的流動。怎樣用數(shù)學(xué)物理的方法來描述流體的運動？這是從理論上研究流體運動

2、規(guī)律首先要解決的問題。圖31 拉格朗日法描述流體運動有兩種方法，有歐拉（Leonhard Euler，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家，公元17071783年）法和拉格朗日(Lagrange，J.法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，公元17361813)法。一、拉格朗日法拉格朗日法是把流體的運動，看作無數(shù)個質(zhì)點運動的總和，以部分質(zhì)點作為觀察對象加以描述，將這些質(zhì)點的運動匯總起來，就得到整個流動。拉格朗日法也稱為跡線法。 拉格朗日法為識別所指定的質(zhì)點，用起始時刻的坐標(a，b，c)作為該質(zhì)點的標志。其位移就是起始坐標和時間變量的連續(xù)函數(shù)（圖31）。 （31） 式中a,b,c,t稱為拉格朗日變數(shù)。當研究某一指定的流體質(zhì)點

3、時起始坐標a，b，c是常數(shù)，式(31)所表達的是質(zhì)點的運動軌跡。速度和加速度都是針對某一流體質(zhì)點而言的，所以，將式(31)對時間進行一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，在求導(dǎo)過程中a，b，c視為常數(shù)，便得該質(zhì)點的速度和加速度。速度： （32）加速度： （33）拉格朗日法是質(zhì)點動力學(xué)方法的擴展，物理概念清晰。但由于流體質(zhì)點的運動軌跡極其復(fù)雜，應(yīng)用這種方法描述流體的運動在數(shù)學(xué)上存在困難，在實用上也不需要了解質(zhì)點運動的全過程。所以，除個別的流動外，都應(yīng)用歐拉法描述，本書后敘內(nèi)容均屬歐拉法。二、歐拉法歐拉法是以流動的空間作為觀察對象，觀察不同時刻各空間點上流體質(zhì)點的運動參數(shù)，將各個時刻的情況匯總起來，就描述了整個流動。

4、歐拉法也稱為流線法。由于歐拉法以流動空間作為觀察對象，每時刻各空間點都有確定的運動參數(shù)，這樣的空間稱為流場，包括速度場、壓強場、密度場等，分別表示為式（34）、（36）和（37）： （34） （35） （36） （37）式中，空間坐標x，y，z和時間變量t稱為歐拉變數(shù)。例如氣象預(yù)報，就是由設(shè)在各地的氣象臺(站)在規(guī)定的同一時間進行觀測，并把觀測到的氣象資料匯總，繪制成該時刻的天氣因子，據(jù)此發(fā)布預(yù)報，這樣的方法實為歐拉法。三、流體質(zhì)點的加速度，質(zhì)點導(dǎo)數(shù)拉格朗日法以個別質(zhì)點為對象，式(33)即為指定質(zhì)點（起始坐標a，b，c）的加速度表達式。下面討論歐拉法質(zhì)點加速度的表達式，求質(zhì)點的加速度，就要跟蹤

5、觀察這個質(zhì)點沿程速度的變化，速度表達式中的坐標x，y，z是質(zhì)點運動軌跡上的空間點坐標，不能視為常數(shù)，而是時間t的函數(shù)，即xx(t)、yy(t)、z=z(t）。加速度需按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)出： （38）分量形式： （39）上式也可表示為： （310）符號 （311）式(310) 是歐拉法描述流體運動中質(zhì)點加速度的表達式，式中包括因速度場隨時間變化引起的加速度，稱為當?shù)丶铀俣然驎r變加速度；速度場隨位置變化引起的加速度圖32收縮管出流(稱為遷移加速度或位變加速度，舉例說明如下：水箱中的水經(jīng)收縮管流出(圖32)，若水箱無來水補充，水位逐漸降低，管軸線上質(zhì)點的速度隨時間減小，當?shù)丶铀俣葹樨撝?。同時管道收

6、縮，質(zhì)點的速度隨遷移而增大，有遷移加速度為正值，所以該質(zhì)點的速度為：。圖33等直徑直管出流若水箱有水補充，水位保持不變，質(zhì)點的速度不隨時間變化，當?shù)丶铀俣?但仍有遷移加速度，該質(zhì)點的加速度為：。若出水管是等直徑的直管，且水位片保持不變(圖33)，管內(nèi)流動的水質(zhì)點，既無當?shù)丶铀俣龋矡o遷移加速度，0。歐拉法描述流體運動，質(zhì)點的物理量，不論矢量還是標量，對時間的變化率稱為該物理量的隨體導(dǎo)數(shù)或質(zhì)點導(dǎo)數(shù)： （312）式中和A分別稱為物理量的時變導(dǎo)數(shù)和位變導(dǎo)數(shù)例如不可壓縮液體，密度的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)為零： （313）例31 已知速度場， ，試求時，位于，處質(zhì)點的加速度。解 將代入速度場方程，得：，由式（39）得

7、：同理的， 第二節(jié) 歐拉法有關(guān)的基本概念一、 流動的分類歐拉法描述運動，各運動要素是空間坐標和時間變量的函數(shù)，如。在歐拉法的范疇內(nèi)，按不同的時空標準對流動進行分類。1. 恒定流和非恒定流以時間為標推，若各空間點上的運動要素(速度、壓強、密度等)皆不隨時間變化，這樣的流動是恒定流，反之是非恒定流，對于恒定流，流場方程為： （314）或物理量的時變導(dǎo)數(shù)為零： （315）比較恒定流與非恒定流，前者歐拉變數(shù)中減去了時間變量，從而使問題的求解大為簡化。實際工程中，多數(shù)系統(tǒng)正常運行時是恒定流，或雖然是非恒定流，但運動參數(shù)隨時間的變化緩慢，仍可近似按恒定流處理。在上一節(jié)列舉的水箱出流的例子中，水位保持不變的

8、是恒定流，水位隨時間變化的是非恒定流。2一維流、二維流和三維流圖34二維圓柱繞流以空間為標準，若各空間點上的運動參數(shù)(主要是速度)是三個空間坐標和時間變量的函數(shù)，流動是三維流動。若各空間點上的速度皆平行于某一平面，是運動參數(shù)在該平面的垂直方向無變化，令z軸垂直于該平面，則運動參數(shù)只是兩個空間坐標(x，y)和時間變量的函數(shù)，流動是二維流動。如水流繞過很長的圓柱體，忽略兩端的影響，流動可簡化為二維流動(圖34)。若運動參數(shù)只是一個空間坐標和時間變化的函數(shù)，這樣的流動是一維流動。如管道和渠道內(nèi)的流動，流束方向的尺寸遠大于橫向尺寸，流速取斷面的平均速度，流動可視為一維流動 。3均勻流和非均勻流若質(zhì)點的

9、遷移加速度為零，即： （316）流動是均勻流，反之是非均勻流。在上一節(jié)列舉的水箱出流的例子中，等直徑直管內(nèi)的流動(圖33)是均勻流，而變直徑管道內(nèi)的流動(圖32)是非均勻流；水位保持不變的等直徑直管內(nèi)的流動是恒定均勻流。4有壓流與無壓流：.有壓流：無自由表面，表面壓強不等于零的流動。.無壓流：有自由表面；或雖然無自由表面，但表面壓強等于零的流動。 例32 已知速度場為。試問：(1)2s時，在(2，4)點的加速度是多少?(2)流動是恒定流還是非恒定流?(3)流動是均勻流還是非均勻流? 解 (1).由式(39)得：，將代入上式得，。(2).因速度場隨時間變化，此流動是非恒定流?；蛴蓵r變導(dǎo)數(shù)，此流動

10、是非恒定流。(3).由式(316) ，此流動是均勻流。二、流線圖35 某時刻流線圖1流線的概念為了將流動的數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)換成流動圖像，特引入流線的概念。所謂流線是某瞬時無窮多流體質(zhì)點運動趨勢的連線。某瞬時確定時刻流場中所作的空間曲線，線上每點處質(zhì)點在該時刻的速度矢量，都與曲線相切（圖35）。 2.流線的性質(zhì)流線是一條條光滑連續(xù)的曲線（含直線）；除了駐點(圖36中A點流速為0）和切點(圖36中B點流速也為0）外，流線不能中斷（A點）和產(chǎn)生（B點）；除了奇點（圖37、圖38的O點流速為無窮）外，流線不能相交和轉(zhuǎn)折（否則位于交點的流體質(zhì)點，在同一時刻就有與兩條流線相切的兩個速度矢量，這是不可能的）；流線

11、的密疏表示流動的快慢程度，也就是表達了流速的大?。涣骶€之間夾角的大小，表明流動變化的快慢程度，也就是流線的彎曲程度表示流動變化的快慢程度。通過對流動的分類可知，恒定流因各空間點上速度矢量不隨時間變化，所以流線的形狀和位置不隨時間變化；非恒定流一般說來流線隨時間變化。均勻流因質(zhì)點速度的方向和大小都不隨位移而變化，所以均勻流的流線是相互平行的直線，同一流線上各點的流速相等。因此，從圖象上看，流線為平行直線的流動是均勻流，如圖39。圖39圓管均勻流2.流線的性質(zhì).同一時刻的不同流線，不能相交；根據(jù)流線定義，在交點的液體質(zhì)點的流速向量應(yīng)同時與這兩條流線相切，即一個質(zhì)點不可能同時有兩個速度向量；圖310

12、流線方程.流線不能是折線，而是一條光滑的曲線；流體是連續(xù)介質(zhì)，各運動要素是空間的連續(xù)函數(shù)；.流線簇的疏密反映了速度的大??；對不可壓縮流體，元流的流速與其過水斷面面積成反比。3流線方程根據(jù)流線的定義，可直接得出流線的微分方程。設(shè)t時刻，在流線上某點附近取微元流段矢量d為該點的速度矢量(圖310)，兩者方向一致： （317）上式可寫為： （318）式(318)包括兩個獨立方程，式中是空間坐標x，y，z和時間t的函數(shù)。因為流線是對同時刻而言，所以微分方程中，時間t是參變量，在積分求流線方程時作為常數(shù)。4跡線方程跡線是指某一質(zhì)點在某一時段內(nèi)的運動軌跡線。流體質(zhì)點在某一時段的運動軌跡稱為跡線。由運動方程

13、： （319）便可得到跡線的微分方程： （320）式中，時間t是自變量，x，y，z是t的因變量 。流線和跡線是兩個不同的概念，但在恒定流中，流線不隨時間變化，流線上的質(zhì)點繼續(xù)沿流線運動，此時流線和跡線在幾何上是一致的，兩者重合。圖311例33 已知速度場，。試求：流線方程及，時流線圖。 解 由流線的微分方程式(318) ，其中是參變量，積分得：圖312流束或，所得流線方程是直線方程，不同時刻）的流線圖是三組不同斜率的直線如(圖311)。三、流管、過流斷面、元流和總流1. 流管、流束 在流場中任取不與流線重合的封閉曲線，過曲線上各點作流線，所構(gòu)成的管狀表面稱為流束(圖312)。 因為流線不能相交

14、，所以流體不能由流管壁出入。恒定流中流線的形狀不隨時間變化，所以恒定流流管、流束的形狀也不隨時間變化。圖313 過流斷面2. 過流斷面在流束上作出的與流線正交的橫斷面是過流斷面。過流斷面相互平行的均勻流段，過流斷面才是平面(圖313)。3元流和總流元流是過流斷面無限小的流束，幾何特征與流線相同。由于元流的過流斷面無限小，斷面上各點的運動參數(shù)如z(位置高度)、(流速)、(壓強)均相同。 總流是過流斷面為有限大小的流束，是由無數(shù)元流構(gòu)成的，斷面上各點的運動參數(shù)一般情況下是不同的。四、流量、斷面平均流速1流量單位時間通過某一過流斷面的流體體積稱為該斷面的體積流量，簡稱流量，液體一般用流量；單位時間通

15、過某一過流斷面的流體質(zhì)量稱為質(zhì)量流量，氣體一般用質(zhì)量流量。加以dA表示過流斷面的微元面積，表示該點的速度，則：體積流量： （） （321）質(zhì)量流量： （322）對于均質(zhì)不可壓縮液體，密度為常數(shù)，則： 2斷面平均流速總流過流斷面上各點的流速一般是不相等的，以管流為例，管壁附近流速較小，軸線上流速最大(圖314)。為了便于計算，設(shè)想過流斷面上流速均勻分布，通過的流量與實際流量相同，流速定義為該斷面的平均流速，即 （323）或： （324）式(323)是曲面積分的中值定理。圖315例34 已知半徑為的圓管中，過流斷面上的流速分布為，式中是軸線上斷面最大流速，y為距管壁的距離(圖315)。試求通過的流

16、量和斷面平均流速。解 在過流斷面半徑處，取環(huán)形微元面積，面上各點流速相等流量：第三節(jié) 連續(xù)性方程圖316連續(xù)性方程是流體力學(xué)基本方程之一，是質(zhì)量守恒原理的流體力學(xué)表達式。一、連續(xù)性微分方程在流場中取微小直角六面體空間為控制體，正交的三個邊長dx，dy，dz，分別平行于x，y，z坐標軸(圖316)?？刂企w是流場中劃定的空間，形狀、位置固定不變，流體可不受影響地通過。時間x方向流出與流入控制體的質(zhì)量差，即x方向凈流出質(zhì)量為： （325）同理，y、z方向的凈流出質(zhì)量： （326） （327）d時間控制體的總凈流出質(zhì)量： （328）流體是連續(xù)介質(zhì)，質(zhì)點間無空隙，根據(jù)質(zhì)量守恒原理，d時間控制體的總凈流出

17、質(zhì)量必等于控制體內(nèi)由于密度變化而減少的質(zhì)量，即： （329）化簡得： （330）或 （331）式(330)或式(331)是連續(xù)性微分方程的一般形式。對于均質(zhì)的不可壓縮流體，密度常數(shù)，式(330)化簡為： （332）按場論的定義，速度場的散度，所以，不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程可表示為： （333）連續(xù)性微分方程是1755年歐拉首先建立的，是質(zhì)量守恒原理的流體力學(xué)表達式(微分形式)。因此，是控制流體運動的基本微分方程式。例35 已知速度場，試問流動是否滿足連續(xù)性條件。解：此流動為可壓縮流體，非恒定流動，由連續(xù)性微分方程一般式(式330)計算。，將以上各項代人式(330)得：，此流動滿足連續(xù)性條件

18、。例36 已知速度場其中為常數(shù)。試求坐標方的速度分量。解：流動為不可壓縮流體空間流動，由不可壓縮流體連續(xù)性微分式方程式（322）積分得：是的任意函數(shù)。滿足連續(xù)性微分方程的可能有無數(shù)個，最簡單的情況取即。四、連續(xù)性微分方程對總流的積分設(shè)恒定總流，以過流斷面1l、22及側(cè)壁面圍成的固定空間為控制體，體積為(圖317)。 將不可壓縮液體的連續(xù)性微分方程式(332)，對控制體空間積分，根據(jù)高斯(Gauss)圖317 總流連續(xù)性方程定理 式中：為體積的封閉表面；為在微元面積dA外法線方向的投影。因側(cè)表面上，于是式(333)化簡為： （334）上式第一項的方向與外法線方向相反，取負號。由此得到：，即： （

19、335）或 （336）式中、總流的斷面11和22的平均流速。圖318變直徑水管式(335)或式(336)稱為液體總流的連續(xù)性方程，是控制液體總流運動的基本方程。例37 變直徑水管(圖318)，已知粗管段直徑200mm，斷面平均流速度08ms，細管直徑100mm。試求細管段的斷面平均流速。 解 由液體總流連續(xù)性方程式(333) 圖319三通分流管， 例38 輸水管道經(jīng)三通管分流(圖332)已知管徑d1d2200mm， mm斷面平均流速3m，2ms。試求斷面的平均流速。解 流入和流出三通管的流量應(yīng)相等， ，第四節(jié) 流體微團運動的分析本章第二節(jié)介紹了歐拉法的基本概念，這些概念是以流線為基礎(chǔ)建立的總流

20、運動基本概念。按連續(xù)介質(zhì)模型，流體是由無數(shù)質(zhì)點構(gòu)成的，認識流場的特點。需從分析質(zhì)點運動入手。圖320流體微團一、微團運動的分解 按連續(xù)介質(zhì)模型，流體是由無數(shù)質(zhì)點構(gòu)成的流動空間相比無限小，又含有大量分子的微元體其尺度效應(yīng)(變形、旋轉(zhuǎn))時，習(xí)慣上稱為微團，因此微團是流體運動的單元。剛體力學(xué)早已證明，剛體的般運動，可以分解為移動和轉(zhuǎn)動兩部分。流體是有流動性且極易變形的連續(xù)介質(zhì)，流體微團在運動過程中，除移動和轉(zhuǎn)動之外，還將有變形運動，1858年德國力學(xué)家女姆租茲(He1mhotz，H)提出速度分解定理，從理論上解決了這個問題。某時刻在流場中取微團(圖320)，令其中點為基點，速度。在點的鄰域任取一點，

21、M點的速度以點的速度用泰勒(TayLor.G)級數(shù)前兩項表示： （337） （337） （337）為顯示出移動、旋轉(zhuǎn)和變形運動，對以上各式加減相同項，做恒等變換， ，（337令 （338） 則式（337）恒等于： （339）式(339)是微團運動速度的分解式，下面對式中各項的分析顯示，液體微團運動的速度分解為移動、變形(包括線變形和角變形)和旋轉(zhuǎn)幾種運動速度的組合，這就是流體的速度分解定理。二、微團運動的組成分析圖321微團運動式(338)是微團運動的分解式，式中各項分別代表其一簡單運動的速度。為簡化分析，取平面運動的矩形微團，以為基點，該點的速度分量為，則、點的速度可由泰勒級數(shù)的前兩項表示，

22、如圖321所示。1. 、如圖321所示，、是微團各點共有的速度，如果微團只隨基點平移，微團上各點的速度即為、，從這意義上說，、是微團平移在各點引起的速度，稱為平移速度。同理，對于空間流場，、稱為平移速度。圖322流體微團的線變形2、以為例。微團上點和點方向的速度不同，在d時間，兩點軸移量不等，邊發(fā)生線變形，平行軸的直線都將發(fā)生線變形(圖322)。 （340）圖323流體微團的偏轉(zhuǎn)是單位時間微團方向的相對線變形量，稱為該方向的線變形速度。同理，是微團在y,z方向的線變形速度。3. 、以為例，因微團點和點方向的速度不同，在時間，兩點y方向的位移量不等，邊發(fā)生偏轉(zhuǎn)(圖323)，偏轉(zhuǎn)角度： （341）同理，邊也發(fā)生偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)角度 （342），偏轉(zhuǎn)的結(jié)果，使微團由原來的矩形變成平行四邊形，這種剪切變形即角變形可用來衡量。圖324 （343）是單位時間微團在面上的角變形，稱為角變形速度。同理，是微團在平面上的角變形速度。4. 、圖325以為例，在圖（323）中，若微團邊偏轉(zhuǎn)的方向相反，轉(zhuǎn)角相等，(圖324)