第四章,4.4.2,第1課時,對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)(一)

1、第四章,4.4.2,第1課時,對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)(一) 4 4.2 對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 第 第 1 課時 對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)( 一) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).2.會類比指數(shù)函數(shù)研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).3.掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的簡單應(yīng)用.4.了解反函數(shù)的概念及它們的圖象特點 知識點一 對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 對數(shù)函數(shù) ylog a x(a0，且 a1)的圖象和性質(zhì)如下表 ylog a x (a0，且 a1) 底數(shù) a1 0a1 圖象 定義域 (0，) 值域 r 單調(diào)性 在(0，)上是增函數(shù) 在(0，)上是減函數(shù) 共點性 圖象過定點(1,0)，即 x1 時，y0 函數(shù)值特點

2、x(0,1)時， y(，0)； x1，)時， y0，) x(0,1)時， y(0，)； x1，)時， y(，0 對稱性 函數(shù) ylog a x 與 y1logax 的圖象關(guān)于 x 軸對稱 思考 對數(shù)函數(shù)圖象的"上升'或"下降'與誰有關(guān)？ 答案 底數(shù) a 與 1 的關(guān)系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的升降 當(dāng) a1 時，對數(shù)函數(shù)的圖象"上升'；當(dāng) 0a1 時，對數(shù)函數(shù)的圖象"下降' 知識點二 反函數(shù) 指數(shù)函數(shù) ya x (a0，且 a1)與對數(shù)函數(shù) ylog a x(a0 且 a1)互為反函數(shù)它們的定義域與值域正好互換 1若函數(shù) yf(

3、x)是函數(shù) y3 x 的反函數(shù)，則 f èæøö12的值為_ 答案 log 3 2 解析 yf(x)log 3 x，f èæøö12log 3 12 log 3 2. 2函數(shù) ylg(x1)的圖象大致是_(填序號) 答案 解析 由底數(shù)大于 1 可排除，ylg(x1)可看作是 ylg x 的圖象向左平移 1 個單位長度(或令 x0 得 y0，而且函數(shù)為增函數(shù)) 3已知函數(shù) ya x (a0，且 a1)在 r 上是增函數(shù)，則函數(shù) ylog a x 在(0，)上是_函數(shù)(填"增'或"減'

4、;) 答案 增 解析 因為函數(shù) ya x 在 r 上是增函數(shù)， 所以 a1，所以 ylog a x 在(0，)上是增函數(shù) 4函數(shù) ylog a x1(a0，且 a1)的圖象過定點_ 答案 (1,1) 解析 因為對數(shù)函數(shù) ylog a x 的圖象過定點(1,0)， 所以函數(shù) ylog a x1 的圖象過定點(1,1) 一、對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 例 1 (1)如圖，若 c 1 ，c 2 分別為函數(shù) ylog a x 和 ylog b x 的圖象，則( ) a0ab1 b0ba1 cab1 dba1 答案 b 解析 作直線 y1，則直線與 c 1 ，c 2 的交點的橫坐標(biāo)分別為 a，b，易知 0ba

5、1. (2)若函數(shù) ylog a (xb)c(a0，且 a1)的圖象恒過定點(3,2)，則實數(shù) b_，c_. 答案 2 2 解析 函數(shù)的圖象恒過定點(3,2)， 將(3,2)代入 ylog a (xb)c， 得 2log a (3b)c. 又當(dāng) a0，且 a1 時，log a 10 恒成立， c2,3b1，b2，c2. (3)已知 f(x)log a |x|(a0，且 a1)滿足 f(5)1，試畫出函數(shù) f(x)的圖象 解 因為 f(5)1，所以 log a 51，即 a5， 故 f(x)log 5 |x|î ïíïì log 5 x，x0，l

6、og 5 (x)，x0. 所以函數(shù) ylog 5 |x|的圖象如圖所示 (教師) 延伸探究 1在本例中，若條件不變，試畫出函數(shù) g(x)log a |x1|的圖象 解 因為 f(x)log 5 |x|，所以 g(x)log 5 |x1|， 如圖，g(x)的圖象是由 f(x)的圖象向右平移 1 個單位長度得到的 2在本例中，若條件不變，試畫出函數(shù) h(x)|log a x|的圖象 解 因為 a5，所以 h(x)|log 5 x|.h(x)的圖象如圖所示 反思感悟 對數(shù)函數(shù)圖象的變換方法 (1)作 yf(|x|)的圖象時，保留 yf(x)(x0)圖象不變，x0 時 yf(|x|)的圖象與 yf(x

7、)(x0)的圖象關(guān)于 y 軸對稱 (2)作 y|f(x)|的圖象時，保留 yf(x)的 x 軸及上方圖象不變，把 x 軸下方圖象以 x 軸為對稱軸翻折上去即可 (3)有關(guān)對數(shù)函數(shù)平移也符合"左加右減，上加下減'的規(guī)律 (4)yf(x)與 yf(x)關(guān)于 y 軸對稱，yf(x)與 yf(x)關(guān)于 x 軸對稱，yf(x)與 yf(x)關(guān)于原點對稱 跟蹤訓(xùn)練 1 (1)函數(shù) f(x)log a |x|1(a1)的圖象大致為( ) 答案 c 解析 函數(shù) f(x)log a |x|1(a1)是偶函數(shù)， f(x)的圖象關(guān)于 y 軸對稱， 當(dāng) x0 時，f(x)log a x1 是增函數(shù)；

8、 當(dāng) x0 時，f(x)log a (x)1 是減函數(shù)， 又圖象過(1,1)，(1,1)兩點，結(jié)合選項可知選 c. (2)畫出函數(shù) y|log 2 (x1)|的圖象，并寫出函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間 解 函數(shù) y|log 2 (x1)|的圖象如圖所示 由圖象知，其值域為0，)，單調(diào)減區(qū)間是(1,0，單調(diào)增區(qū)間是(0，) 二、比較大小 例 2 (1)若 alog 2 3，blog 3 2，clog 4 6，則下列結(jié)論正確的是( ) abac babc ccba dbca 答案 d 解析 因為函數(shù) ylog 4 x 在(0，)上是增函數(shù)，alog 2 3log 4 9log 4 61，log 3 21，

9、所以bca. (2)比較下列各組中兩個值的大?。?log 3 1.9，log 3 2； log 2 3，log 0.3 2； log a ，log a 3.14(a0，a1)； log 5 0.4，log 6 0.4. 解 因為 ylog 3 x 在(0，)上是增函數(shù)， 所以 log 3 1.9log 3 2. 因為 log 2 3log 2 10，log 0.3 2log 0.3 10， 所以 log 2 3log 0.3 2. 當(dāng) a1 時，函數(shù) ylog a x 在(0，)上是增函數(shù)， 則有 log a log a 3.14； 當(dāng) 0a1 時，函數(shù) ylog a x 在(0，)上是減函數(shù)

10、， 則有 log a log a 3.14. 綜上所得，當(dāng) a1 時，log a log a 3.14； 當(dāng) 0a1 時，log a log a 3.14. 在同一直角坐標(biāo)系中，作出 ylog 5 x，ylog 6 x 的圖象，再作出直線 x0.4(圖略)，觀察圖象可得 log 5 0.4log 6 0.4. 反思感悟 比較對數(shù)值大小時常用的四種方法 (1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 (2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化 (3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量 (4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進行分類討論 跟蹤訓(xùn)練 2 比較大小： (1)log a 5.

11、1，log a 5.9(a0，且 a1)； (2)log 3 ，log 2 3，log 3 2. 解 (1)當(dāng) a1 時，ylog a x 在(0，)上是增函數(shù)， 又 5.15.9，所以 log a 5.1log a 5.9； 當(dāng) 0a1 時，ylog a x 在(0，)上是減函數(shù)， 又 5.15.9，所以 log a 5.1log a 5.9. 綜上，當(dāng) a1 時，log a 5.1log a 5.9； 當(dāng) 0a1 時，log a 5.1log a 5.9. (2)log 2 3 12 log 2 3， 又 1log 2 32， 12 log 231. 又 log 3 2 12 log 3

12、212 ，log 3 1， log 3 log 2 3log 3 2. 1函數(shù) ylog a (x1)(0a1)的圖象大致是( ) 答案 a 解析 0a1，ylog a x 在(0，)上單調(diào)遞減，故排除 c，d； 又函數(shù) ylog a (x1)的圖象是由 ylog a x 的圖象向右平移一個單位長度得到的，故 a 正確 2若 a2 0.2 ，blog 4 3.2，clog 2 0.5，則( ) aabc bbac ccab dbca 答案 a 解析 a2 0.2 1blog 4 3.20c1， abc. 3下列式子中成立的是( ) alog 0.4 4log 0.4 6 b1.01 3.4 1

13、.01 3.5 c3.5 0.3 3.4 0.3 dlog 7 6log 6 7 答案 d 解析 因為 ylog 0.4 x 為減函數(shù)，故 log 0.4 4log 0.4 6，故 a 錯；因為 y1.01 x 為增函數(shù)，所以1.01 3.4 1.01 3.5 ，故 b 錯；由冪函數(shù)的性質(zhì)知，3.5 0.3 3.4 0.3 ，故 c 錯，log 7 61log 6 7，d 正確 4若函數(shù) yf(x)是函數(shù) ya x (a0，且 a1)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點 è çæø÷ö32， 23，則 a_. 答案 2 解析 因為點 è

14、çæø÷ö32， 23在 yf(x)的圖象上， 所以點 è çæø÷ö 23 ，32 在 ya x 的圖象上，則有3223a ， 所以 a 2 2，又因為 a0，a 2. 5設(shè) a1，函數(shù) f(x)log a x 在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為 12 ，則 a_. 答案 4 解析 a1，f(x)log a x 在a,2a上遞增， log a (2a)log a a 12 ， 即 log a 2 12 ，12a 2，a4. 1知識清單： (1)對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì) (2)利用對數(shù)

15、函數(shù)的圖象及性質(zhì)比較大小 2方法歸納：圖象變換、數(shù)形結(jié)合法 3常見誤區(qū)： 作對數(shù)函數(shù)圖象易忽視底數(shù) a1 與 0a1 兩種情況 1函數(shù) f(x)log a x(0a1)在a 2 ，a上的最大值是( ) a0 b1 c2 da 答案 c 解析 0a1， f(x)log a x 在a 2 ，a上單調(diào)遞減， f(x) max f(a 2 )log a a 2 2. 2函數(shù) ya x (a0，且 a1)的反函數(shù)的圖象過點( a，a)，則 a 的值為( ) a2 b. 12 c2 或12 d3 答案 b 解析 方法一 函數(shù) ya x (a0，且 a1)的反函數(shù)為 ylog a x(a0，且 a1)， 故

16、 ylog a x 的圖象過點( a，a)，則 alog a a 12 . 方法二 函數(shù) ya x (a0，且 a1)的反函數(shù)的圖象過點( a，a)，函數(shù) ya x (a0，且 a1)的圖象過點(a， a)，a a a12a ，即 a 12 . 3設(shè) alog 3 7，b2 1.1 ，c0.8 3.1 ，則( ) abac bcab ccba dacb 答案 b 解析 alog 3 7，1a2. b2 1.1 ，b2. c0.8 3.1 ，0c1.即 cab. 4已知 a132-，blog 2 13 ，c121log3，則( ) aabc bacb ccba dcab 答案 d 解析 0a13

17、2-2 0 1，blog 2 13 log 2 10， c121log3 121log21，cab. 5函數(shù) f(x)lg(|x|1)的大致圖象是( ) 答案 b 解析 由 f(x)的定義域為(，1)(1，)，且 f(x)lg(|x|1)lg(|x|1)f(x)，得 f(x)是偶函數(shù)，由此知 c，d 錯誤 又當(dāng) x1 時，f(x)lg(x1)在(1，)上單調(diào)遞增，所以 b 正確 6函數(shù) ylog a (x4)2(a0 且 a1)恒過定點_ 答案 (5,2) 解析 令 x41 得 x5，此時 ylog a 122， 所以函數(shù) ylog a (x4)2 恒過定點(5,2) 7函數(shù) y2log 2

18、x(x1)的值域為_ 答案 2，) 解析 當(dāng) x1 時，log 2 x0，所以 y2log 2 x2. 8如果函數(shù) f(x)(3a) x 與 g(x)log a x(a0，且 a1)的增減性相同，則實數(shù) a 的取值范圍是_ 答案 (1,2) 解析 若 f(x)，g(x)均為增函數(shù)，則î ïíïì 3a1，a1， 即 1a2； 若 f(x)，g(x)均為減函數(shù)，則î ïíïì 03a1，0a1，無解 故 1a2. 9比較下列各組中兩個值的大?。?(1)ln 0.3，ln 2； (2)log a 3

19、.1，log a 5.2(a0，且 a1)； (3)log 3 0.2，log 4 0.2； (4)log 3 ，log 3. 解 (1)因為函數(shù) yln x 在(0，)上是增函數(shù)，且 0.32，所以 ln 0.3ln 2. (2)當(dāng) a1 時，函數(shù) ylog a x 在(0，)上是增函數(shù)， 又 3.15.2，所以 log a 3.1log a 5.2； 當(dāng) 0a1 時，函數(shù) ylog a x 在(0，)上是減函數(shù)， 又 3.15.2，所以 log a 3.1log a 5.2. 綜上所述，當(dāng) a1 時，log a 3.1log a 5.2； 當(dāng) 0a1 時，log a 3.1log a 5.

20、2. (3)因為 0log 0.2 3log 0.2 4，所以1log 0.2 3 1log 0.2 4 ， 即 log 3 0.2log 4 0.2. (4)因為函數(shù) ylog 3 x 是增函數(shù)，且 3， 所以 log 3 log 3 31. 同理，1log log 3，所以 log 3 log 3. 10已知 f(x)|lg x|，且 1c ab1，試借助圖象比較 f(a)，f(b)，f(c)的大小 解 先作出函數(shù) ylg x 的圖象，再將圖象位于 x 軸下方的部分以 x 軸為對稱軸翻折到 x 軸上方，于是得 f(x)|lg x|圖象(如圖)，由圖象可知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在

21、(1，)上單調(diào)遞增 由 1c ab1 得 f èæøö1cf(a)f(b)， 而 f èæøö1c ïïïïlg 1c|lg c|lg c|f(c) f(c)f(a)f(b) 11函數(shù) f(x)lg|x|為( ) a奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減 b奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增 c偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞增 d偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減 答案 d 解析 已知函數(shù)定義域(，0)(0，)關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，且 f(x)lg|x|lg|x|f(x)，所以它是偶函數(shù)又

22、當(dāng) x0 時，f(x)lg x 在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增又因為 f(x)為偶函數(shù)，所以 f(x)lg|x|在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減 12已知函數(shù) f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log 3 x，直線 ya(a0)與這三個函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)分別為 x 1 ，x 2 ，x 3 ，則 x 1 ，x 2 ，x 3 的大小關(guān)系是( ) ax 2 x 3 x 1 bx 1 x 3 x 2 cx 1 x 2 x 3 dx 3 x 2 x 1 答案 a 解析 分別作出三個函數(shù)的大致圖象，如圖所示 由圖可知，x 2 x 3 x 1 . 13已知 f(x)|log 3 x|，若 f(a)f(2)，則 a 的取值范圍為_ 答案 èæøö0， 12(2，) 解析 作出函數(shù) f(x)的圖象，如圖所示， 由于 f(2)f èæøö1