第四章,4.5.1,函數(shù)零點(diǎn)與方程解

1、第四章,4.5.1,函數(shù)零點(diǎn)與方程解 4.5 函數(shù)的應(yīng)用( 二) 4 5.1 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的解與圖象交點(diǎn)三者之間的聯(lián)系.2.會借助函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點(diǎn)個數(shù) 知識點(diǎn)一 函數(shù)的零點(diǎn) 1概念：對于一般函數(shù) yf(x)，我們把使 f(x)0 的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) yf(x)的零點(diǎn) 2函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)、對應(yīng)方程的根的關(guān)系： 思考 函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與 x 軸的交點(diǎn)嗎？ 答案 不是函數(shù)的零點(diǎn)不是一個點(diǎn)，而是一個數(shù)，該數(shù)是函數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 知識點(diǎn)二 函數(shù)零點(diǎn)存在定理 如果

2、函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有 f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，這個 c 也就是方程f(x)0 的解 思考 1 函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件有哪些？ 答案 定理要求具備兩條：函數(shù)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；f(a)f(b)0. 思考 2 在函數(shù)零點(diǎn)存在定理中，若 f(a)f(b)0，則函數(shù) f(x)在(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)則滿足什么條件時(shí) f(x)在(a，b)上有唯一零點(diǎn)？ 答案 滿足 f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)，且 f(a)f(b)0. 1函數(shù) f(x)3x2 的零點(diǎn)

3、為 23 .( ) 2若 f(a)f(b)0，則 f(x)在a，b內(nèi)無零點(diǎn)( ) 3若 f(x)在a，b上為單調(diào)函數(shù)，且 f(a)f(b)0，則 f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)( ) 4若 f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則 f(a)f(b)0.( ) 5若函數(shù) f(x)滿足 f(a)f(b)0，則函數(shù)在區(qū)間a，b上至少有一個零點(diǎn)( ) 一、求函數(shù)的零點(diǎn) 例 1 (1)求函數(shù) f(x)î ïíïì x 2 2x3，x0，2ln x，x0的零點(diǎn)； (2)已知函數(shù) f(x)axb(a0)的零點(diǎn)為 3，求函數(shù) g(x)bx 2 ax

4、的零點(diǎn) 解 (1)當(dāng) x0 時(shí)，令 x 2 2x30，解得 x3(x1 舍)； 當(dāng) x0 時(shí)，令2ln x0，解得 xe 2 . 所以函數(shù) f(x)î ïíïì x 2 2x3，x0，2ln x，x0的零點(diǎn)為3 和 e 2 . (2)由已知得 f(3)0 即 3ab0，即 b3a. 故 g(x)3ax 2 axax(3x1) 令 g(x)0，即 ax(3x1)0，解得 x0 或 x 13 . 所以函數(shù) g(x)的零點(diǎn)為 0 和 13 . 反思感悟 探究函數(shù)零點(diǎn)的兩種求法 (1)代數(shù)法：求方程 f(x)0 的實(shí)數(shù)根，若存在實(shí)數(shù)根，則函數(shù)存在零點(diǎn)，

5、否則函數(shù)不存在零點(diǎn) (2)幾何法：與函數(shù) yf(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn) 跟蹤訓(xùn)練 1 求下列函數(shù)的零點(diǎn)： (1)f(x)(lg x) 2 lg x； (2)f(x)x 3 2x 2 x2. 解 (1)令(lg x) 2 lg x0，則 lg x(lg x1)0， lg x0 或 lg x1，x1 或 x10， 因此函數(shù) f(x)的零點(diǎn)是 1,10. (2)令 x 3 2x 2 x20， 得 x 2 (x2)(x2)(x2)(x 2 1) (x2)(x1)(x1)0， 解得 x1 或 x1 或 x2， 函數(shù) f(x)有 3 個零點(diǎn)，分別為1,1,2. 二、

6、零點(diǎn)的個數(shù)問題 例 2 判斷下列函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù) (1)f(x)x 2 34 x58 ； (2)f(x)ln xx 2 3. 解 (1)由 f(x)0，即 x 2 34 x58 0， 得 èæøö 342 4 58 3116 0， 所以方程 x 2 34 x58 0 沒有實(shí)數(shù)根， 即 f(x)零點(diǎn)的個數(shù)為 0. (2)方法一 函數(shù)對應(yīng)的方程為 ln xx 2 30， 所以原函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)即為函數(shù) yln x 與 y3x 2 的圖象交點(diǎn)個數(shù) 在同一直角坐標(biāo)系下，作出兩函數(shù)的圖象(如圖) 由圖象知，函數(shù) y3x 2 與 yln x 的圖象只有一個交點(diǎn) 從而方程

7、 ln xx 2 30 有一個根， 即函數(shù) yln xx 2 3 有一個零點(diǎn) 方法二 由于 f(1)ln 11 2 320， f(2)ln 22 2 3ln 210， 所以 f(1)f(2)0， 又 f(x)ln xx 2 3 的圖象在(1,2)上是連續(xù)的， 所以 f(x)在(1,2)上必有一個零點(diǎn)， 又 f(x)在(0，)上是遞增的，所以零點(diǎn)只有一個 反思感悟 判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的四種常用方法 (1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個不同的實(shí)數(shù)根就有幾個零點(diǎn) (2)畫出函數(shù) yf(x)的圖象，判定它與 x 軸的交點(diǎn)個數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個數(shù) (3)結(jié)合單調(diào)性，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可判定 yf(x

8、)在(a，b)上零點(diǎn)的個數(shù) (4)轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題 跟蹤訓(xùn)練 2 已知函數(shù) f(x)î ïíïì 4x4，0x1，x 2 4x3，x1和函數(shù) g(x)log 2 x，則函數(shù) h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)個數(shù)是_ 答案 3 解析 作出 g(x)與 f(x)的圖象如圖， 由圖知 f(x)與 g(x)的圖象有 3 個交點(diǎn)，即 h(x)有 3 個零點(diǎn) 三、判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間 例 3 (1)f(x)e x x2 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( ) a(2，1) b(1,0) c(0,1) d(1,2) 答案 c 解析 方法一 f(0)10，f(1

9、)e10，f(x)為 r 上的連續(xù)函數(shù)， f(x)在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn) 方法二 e x x20，即 e x 2x， 原函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間即為函數(shù) ye x 和 y2x 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間 如圖， 由圖象可得函數(shù) ye x 和 y2x 的圖象交點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1) (2)由表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程 e x 3x20 的一個根所在的區(qū)間是( ) x 0 1 2 3 4 e x 1 2.72 7.39 20.09 54.60 3x2 2 5 8 11 14 a.(0,1) b(1,2) c(2,3) d(3,4) 答案 c 解析 設(shè) f(x)e x 3x2，f(x)為 r 上的連續(xù)函

10、數(shù)，由題表知，f(0)，f(1)，f(2)均為負(fù)值，f(3)，f(4)均為正值，因此方程 e x 3x20 的一個根所在的區(qū)間為(2,3) 反思感悟 確定函數(shù) f(x)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法 (1)解方程法：當(dāng)對應(yīng)方程 f(x)0 易解時(shí)，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區(qū)間上 (2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若 f(a)f(b)0，則函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn) (3)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與 x 軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷 跟蹤訓(xùn)練 3 若方程 xlg(x2)1 的實(shí)根在區(qū)間(

11、k，k1)(kz)上，則 k 等于( ) a2 b1 c2 或 1 d0 答案 c 解析 由題意知，x0，則原方程即為 lg(x2) 1x ，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) ylg(x2)與 y 1x 的圖象，如圖所示， 由圖象可知，原方程有兩個根，一個在區(qū)間 (2，1)上，一個在區(qū)間 (1,2)上èæøö由lg 31，lg 4lg 10 12 可得 ， 所以 k2 或 k1. 根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍 典例 函數(shù) f(x)x 2 2|x|a1 有四個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 解 由 f(x)0 得 a12|x|x 2 ， 因?yàn)楹瘮?shù) f(x)x

12、2 2|x|a1 有四個不同的零點(diǎn)， 所以函數(shù) ya1 與 y2|x|x 2 的圖象有四個交點(diǎn)， 畫出函數(shù) y2|x|x 2 的圖象，如圖所示， 觀察圖象可知，0a11，所以 1a2. 素養(yǎng)提升 函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這樣就建立了數(shù)與形的聯(lián)系，利用函數(shù)圖象描述問題，充分體現(xiàn)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 1函數(shù) f(x)log 2 x 的零點(diǎn)是( ) a1 b2 c3 d4 答案 a 解析 令 f(x)log 2 x0，解得 x1. 2函數(shù) f(x)2 x 1x 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( ) a(1，) b. èæø

13、6;12 ，1 c. èæøö13 ，12 d. èæøö14 ，13 答案 b 解析 易知 f(x)在(0，)上單調(diào)遞增 由 f(x)2 x 1x ，得 f èæøö12122 20， f(1)2110，f èæøö12f(1)0. 零點(diǎn)所在區(qū)間為 èæøö12 ，1 . 3對于函數(shù) f(x)，若 f(1)f(3)0，則( ) a方程 f(x)0 一定有一實(shí)數(shù)解 b方程 f(x)0 一定無實(shí)數(shù)解

14、 c方程 f(x)0 一定有兩實(shí)根 d方程 f(x)0 可能無實(shí)數(shù)解 答案 d 解析 函數(shù) f(x)的圖象在(1,3)上未必連續(xù)，故盡管 f(1)f(3)0，但方程 f(x)0 在(1,3)上可能無實(shí)數(shù)解 4函數(shù) f(x)(x1)(x 2 3x10)的零點(diǎn)有_個 答案 3 解析 f(x)(x1)(x 2 3x10) (x1)(x5)(x2)， 由 f(x)0 得 x5 或 x1 或 x2. 5若 32 是函數(shù) f(x)2x2 ax3 的一個零點(diǎn)，則 f(x)的另一個零點(diǎn)是_ 答案 1 解析 由 f èæøö322 94 32 a30 得 a5， 則 f(

15、x)2x 2 5x3. 令 f(x)0，即 2x 2 5x30， 解得 x 1 32 ，x 2 1，所以 f(x)的另一個零點(diǎn)是 1. 1知識清單： (1)函數(shù)的零點(diǎn)定義 (2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理 2方法歸納：轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合法 3常見誤區(qū)： (1)忽視函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用條件 (2)不能把函數(shù)、方程問題相互靈活轉(zhuǎn)化 1下列函數(shù)不存在零點(diǎn)的是( ) ayx 1x by 2x 2 x1 cylog a x 2 (a0 且 a1) dyî ïíïì x1，x0，x1，x0 答案 d 解析 令 y0，得選項(xiàng) a 和 c 中的函數(shù)的零點(diǎn)均為 1 和1；

16、 b 中函數(shù)的零點(diǎn)為 12 和 1； 只有 d 中函數(shù)無零點(diǎn) 2函數(shù) f(x)log 3 x82x 的零點(diǎn)一定位于區(qū)間( ) a(5,6) b(3,4) c(2,3) d(1,2) 答案 b 解析 f(3)log 3 382310， f(4)log 3 4824log 3 40. 又因?yàn)?f(x)在(0，)上為增函數(shù)， 所以其零點(diǎn)一定位于區(qū)間(3,4) 3已知 f(x)為奇函數(shù)，且該函數(shù)有三個零點(diǎn)，則三個零點(diǎn)之和等于( ) a0 b1 c1 d不能確定 答案 a 解析 因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱， 所以若 f(x)有三個零點(diǎn)，則其和必為 0. 4已知函數(shù) f(x)î ï&

17、#237;ïì 2 x 1，x1，1log 2 x，x1，則函數(shù) f(x)的零點(diǎn)為( ) a. 12 ，0 b2,0 c. 12 d0 答案 d 解析 當(dāng) x1 時(shí)，令 2 x 10，得 x0. 當(dāng) x1 時(shí)，令 1log 2 x0，得 x 12 (舍) 綜上所述，函數(shù) f(x)的零點(diǎn)為 0. 5方程 xlog 3 x3 的解為 x 0 ，若 x 0 (n，n1)，nn，則 n 等于( ) a0 b1 c2 d3 答案 c 解析 設(shè) f(x)xlog 3 x3， 則 f(1)1log 3 1320， f(2)2log 3 23log 3 210， f(3)3log 3 33

18、10， 又易知 f(x)為單調(diào)增函數(shù)， 所以方程 xlog 3 x3 的解在(2,3)內(nèi)，因此 n2. 6已知函數(shù)f(x)x 2 axb的兩個零點(diǎn)是2和3，則函數(shù)g(x)bx 2 ax1的零點(diǎn)是_ 答案 12 ，13 解析 由題意知，方程 x 2 axb0 的兩根為 2,3， î ïíïì 23a，23b，即 a5，b6， 方程 bx 2 ax16x 2 5x10 的根為 12 ，13 ， 即為函數(shù) g(x)的零點(diǎn) 7函數(shù) f(x)x 2 2 x 在 r 上的零點(diǎn)個數(shù)是_ 答案 3 解析 函數(shù) f(x)x 2 2 x 的零點(diǎn)個數(shù)，等價(jià)于函數(shù) y

19、2 x ，yx 2 的圖象交點(diǎn)個數(shù)如圖，畫出函數(shù) y2 x ，yx 2 的大致圖象 由圖象可知有 3 個交點(diǎn)，即 f(x)x 2 2 x 有 3 個零點(diǎn) 8若 abc0，且 b 2 ac，則函數(shù) f(x)ax 2 bxc 的零點(diǎn)的個數(shù)是_ 答案 0 解析 ax 2 bxc0 的根的判別式 b 2 4ac，b 2 ac，且 abc0， 3b 2 0，方程 ax 2 bxc0 無實(shí)根 函數(shù) f(x)ax 2 bxc 無零點(diǎn) 9判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出其零點(diǎn) (1)f(x)x 2 2x1；(2)f(x)x 4 x 2 ； (3)f(x)4 x 5；(4)f(x)log 3 (x1)

20、 解 (1)令x 2 2x10，解得 x 1 x 2 1， 所以函數(shù) f(x)x 2 2x1 的零點(diǎn)為 1. (2)令 f(x)x 2 (x1)(x1)0， 解得 x0 或 x1 或 x1， 故函數(shù) f(x)x 4 x 2 的零點(diǎn)為 0，1 和 1. (3)令 4 x 50，則 4 x 5， 因?yàn)?4 x 0，50，所以方程 4 x 50 無實(shí)數(shù)解 所以函數(shù) f(x)4 x 5 不存在零點(diǎn) (4)令 log 3 (x1)0，解得 x0， 所以函數(shù) f(x)log 3 (x1)的零點(diǎn)為 0. 10已知函數(shù) f(x)2a4 x 2 x 1. (1)當(dāng) a1 時(shí)，求函數(shù) f(x)的零點(diǎn)； (2)若

21、f(x)有零點(diǎn)，求 a 的取值范圍 解 (1)當(dāng) a1 時(shí)，f(x)24 x 2 x 1. 令 f(x)0，即 2(2 x ) 2 2 x 10， 解得 2 x 1 或 2 x 12 (舍去) x0，函數(shù) f(x)的零點(diǎn)為 0. (2)若 f(x)有零點(diǎn)，則方程 2a4 x 2 x 10 有解， 于是 2a 2x 14 x èæøö12x è æøö14x ， 令 èæøö12x t，則 g(t)tt 2 è æøöt 122 14 .

22、 t0， g(t)在(0，)上單調(diào)遞增，其值域?yàn)?0，)， 2a0，即 a 的取值范圍是(0，) 11若函數(shù) y èæøö13|x 1| m 有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( ) a(，1 b1，) c1,0) d(0，) 答案 c 解析 因?yàn)楹瘮?shù) y èæøö13|x 1| m 有零點(diǎn)， 所以方程 èæøö13|x 1| m0 有解， 即方程 èæøö13|x 1| m 有解， 因?yàn)閨x1|0， 所以 0 èæ&

23、#248;ö13|x 1| 1，即 0m1， 因此1m0. 12函數(shù) f(x)ax 2 bxc，若 f(1)0，f(2)0，則 f(x)在(1,2)上零點(diǎn)的個數(shù)為( ) a至多有一個 b有兩個 c有且僅有一個 d一個也沒有 答案 c 解析 若 a0，則 f(x)bxc 是一次函數(shù)， 由 f(1)f(2)0 得零點(diǎn)只有一個； 若 a0，則 f(x)ax 2 bxc 為二次函數(shù)， 若 f(x)在(1,2)上有兩個零點(diǎn)， 則必有 f(1)f(2)0，與已知矛盾 若 f(x)在(1,2)上沒有零點(diǎn)， 則必有 f(1)f(2)0，與已知矛盾 故 f(x)在(1,2)上有且僅有一個零點(diǎn) 13若方程|x 2 4x|a0 有四個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 答案 (0,4) 解析 由|x 2 4x|a0，得 a|x 2 4x|， 作出函數(shù) y|x 2 4x|的圖象， 則由圖象可知，要使方程|x 2 4x|a0 有四個不相等的實(shí)根，則 0a4. 14已知函數(shù) f(x)3 x x，g(x)log 3 x2，h(x)log 3 xx 的零點(diǎn)依次為 a，b，c，則 a，b，c 的大小關(guān)系是_ 答案 abc 解析 畫出函數(shù) y3 x ，ylog 3 x，yx，y2 的圖象，如圖所示， 觀察圖象可知，函數(shù) f(